2. 1. Teorema ceva
• Teorema Ceva merupakan teorema yang terkenal di geometri
elementer.
Contoh:
Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing
terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

3. • Teorema Ceva menyatakan bahwa
• Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika
dan hanya jika:
• Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga
dapat dibentuk sebagai berikut.

4. Pembuktian teorema ceva
• Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari
teorema tersebut.
Dengan demikian, untuk membuktikan
teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi
berikut:
1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1
titik, maka
2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF
berpotongan di 1 titik

5. • Untuk Kondisi Pertama:
Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.
Lihat gambar segitiga ABC di atas.
dan memiliki tinggi yang sama.
Oleh karena itu: ... (ia)
• Perhatikan juga bahwa dan juga memiliki tinggi yang
sama.
Oleh karena itu: . (ib)
Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:
• ....(ic)
•
Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk
sisi segitiga yang lain:
• ....(ii)
....(iii)
Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:
• Kondisi pertama TERBUKTI

6. • Untuk Kondisi Kedua:
(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang
sama)
Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan
berikut.
• ... (i)
• Karena masih memakai simbol F dalam gambar, maka persamaan
ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):
• ... (ii)
• Dengan membandingkan keduanya, maka didapat:
• Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:
•
• Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.
Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik
• Kondisi Kedua TERBUKTI

7. • BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRI
Untuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb:
• Maka, didapatkan ketiga persamaan berikut (lihat
gambar paling atas).
... (i)
... (ii)
... (iii)
• Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut,
didapatkan persamaan berikut.
• TERBUKTI

8. Teorema minellaous
• Teorema Menelaus merupakan dual dari teorema Ceva.
• Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak
pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA.
• Teorema Menelaus menyatakan bahwa:
Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika:
Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah
berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB.. Dengan
demikian, salah satu dari AD atau DB

9. • BUKTI TEOREMA MENELAUS
• Jika dilihat pembuktian dari teorema Ceva
yang sebelumnya, sebenarnya pembuktian
teorema ini memiliki proses yang sama.
• Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari
teorema tersebut.
Dengan demikian, untuk membuktikan
teorema ini, diharus untukmembuktikan 2
kondisi berikut:
1. Jika titik D, E, dan F segaris, maka
2. Jika , maka titik D, E, dan F segaris.

10. • Untuk Kondisi Pertama:
Kasus 1: jika ada 1 titik yang berada di perpanjangan garis, 2
titik lainnya ada di garis yang bukan merupakan
perpanjangan. Artinya, garis ini melewati daerah segitiga ABC.
Lihat gambar.
• Sekarang, buktikan dahulu untuk kasus 1:
Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.

11. • Dengan menggunakan prinsip kesebangunan
segitiga, kita dapatkan 3 persamaan berikut:
• ... (i)
...(ii)
...(iii)
• Dengan mengalikan ketiganya, maka akan kita
dapatkan teorema Minelaus:
•
• TERBUKTI

12. • Kasus 2: Jika semua titik berada pada perpanjangan garis. Artinya, garis
tidak melewati daerah segitiga ABC. Lihat gambar.
• Sekarang, buktikan kasus 2 dengan cara yang sama seperti kasus 1:
Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.
• Dengan menggunakan prinsip kesebangunan segitiga, maka akan
didapatkan persamaan berikut.
• ... (i)
... (ii)
... (iii)
• Dengan mengalikan ketiganya, teorema Menelaus TERBUKTI.

13. • Untuk Kondisi Kedua:
buktikan kalau titik D,E, dan F' segaris jika terpenuhi kondisi berikut:
• Dengan masih mengganggap titik F ada dalam segitiga di mana titik D, E,
dan F segaris (sesuai dengan pembuktian kondisi 1), maka persamaan ini
juga berlaku:
• Dengan menggabungkan kedua persamaan itu didapatkan:
• Tambahkan 1 di kedua ruas (cara yang sama seperti pembuktian teorema
Ceva), maka:
•
• Artinya, titik dan titik berhimpit. Jadi, titik D,E, dan F' segaris. TERBUKTI.