Duration and convexity

1. ‫تبریزی‬ ‫عبده‬ ‫حسین‬
‫رادپور‬ ‫میثم‬
‫خردادماه‬90

2. ‫موضوعات‬‫فهرست‬
•‫بازد‬ ‫و‬ ‫ریسک‬ ‫موازنۀ‬ ‫قرضه؛‬ ‫اوراق‬‫ه‬
•‫نرخ‬ ‫تالطم‬ ‫ریسک‬ ‫سررسید؛‬ ‫اثر‬‫بهره‬
•‫دیرش‬
•‫تحدب‬

3. ‫بازده‬ ‫و‬ ‫ریسک‬ ‫موازنۀ‬
‫قرضه‬ ‫اوراق‬

4. ‫خریدار‬ ‫یا‬ ‫ناشر‬ ‫به‬ ‫اعطایی‬ ‫اختیار‬ ‫اساس‬ ‫بر‬ ‫قرضه‬ ‫اوراق‬ ‫انواع‬
‫فاقد‬ ‫قرضۀ‬ ‫اوراق‬
‫اختیار‬
Option-
free bonds
‫قرضۀ‬ ‫اوراق‬
‫فراخواندنی‬
Callable
bonds
‫قرضۀ‬ ‫اوراق‬
‫فروختنی‬
Putable
bonds

5. ‫اختیار‬ ‫فاقد‬ ‫قرضۀ‬ ‫اوراق‬ ‫بازدۀ‬ ‫بر‬ ‫مؤثر‬ ‫عوامل‬

6. ‫بازده‬ ‫نرخ‬ ‫بر‬ ‫حاکم‬ ‫های‬‫ریسک‬
• Default risk
‫نکول‬ ‫ریسک‬
• Interest rate volatility risk
‫بهره‬ ‫نرخ‬ ‫تالطم‬ ‫ریسک‬
• Reinvestment risk
‫مجدد‬ ‫گذاری‬‫سرمایه‬ ‫ریسک‬
• Liquidity risk
‫نقدینگی‬ ‫ریسک‬

7. ‫بهره‬ ‫نرخ‬ ‫تالطم‬ ‫ریسک‬
‫سررسید‬ ‫اثر‬

8. ‫در‬ ‫قیمت‬ ‫تالطم‬‫فاقد‬ ‫قرضۀ‬ ‫اوراق‬‫اختیار‬
‫اااار‬ ‫ااااا‬ ‫بااااا‬
(yield)‫اااااااا‬ ‫قی‬
‫اا‬‫ا‬ ‫اک‬‫ا‬‫قرض‬ ‫اوراق‬
‫ازازای‬ ‫باا‬ ‫و‬ ‫یابد‬ ‫می‬
‫اوراق‬ ‫ا‬‫ا‬‫ااااا‬ ‫قی‬ ،‫آن‬
‫یابد‬ ‫می‬ ‫ا‬.
‫قی‬
‫ر‬

9. ‫های‬‫ویژگی‬‫ریسک‬ ‫با‬ ‫مرتبط‬‫نرخ‬ ‫تالطم‬‫بهره‬
‫کوپن‬ ‫نرخ‬
•‫اااار‬ ‫ا‬ ‫یزاااای‬ ‫م‬ ‫اعی‬‫ا‬‫ساا‬ ‫در‬
(yield)‫اید‬‫ا‬‫سررس‬ ‫ارر‬‫ا‬‫ز‬ ‫اا‬‫ا‬‫ب‬ ‫و‬
‫اوپن‬‫ا‬ ‫ار‬‫ا‬‫ک‬ ‫اک‬‫ا‬ ‫ر‬ ، ،‫ا‬‫ا‬‫مش‬
‫اا‬ ‫قی‬ ‫تقیاام‬ ،‫با،ااد‬ ‫تاار‬
‫اس‬ ‫بیشتر‬.
‫سررسید‬
•‫ار‬‫ا‬‫اا‬ ‫ا‬ ‫ای‬‫ا‬‫یزاا‬ ‫م‬ ‫اعی‬‫ا‬‫ساا‬ ‫در‬
(yield)‫وپ‬ ‫کر‬ ‫زرر‬ ‫با‬ ‫و‬‫ن‬
‫اید‬‫ا‬‫سررسا‬ ‫اک‬‫ا‬‫ا‬ ‫ر‬ ، ،‫ا‬‫ا‬‫مشا‬
‫ق‬ ‫تقیم‬ ،‫با،د‬ ‫تر‬‫یوالکی‬‫ا‬ ‫ی‬
‫اس‬ ‫بیشتر‬.
‫سررسید‬ ‫تا‬ ‫ثمر‬
•‫او‬ ‫کر‬ ‫ا‬ ‫یزی‬ ‫م‬ ‫سعی‬ ‫در‬‫پن‬
،‫ااین‬ ‫م‬ ‫سررسااید‬ ‫زاارر‬ ‫بااا‬ ‫و‬
‫اید‬‫ا‬‫سررسا‬ ‫اا‬‫ا‬‫تا‬ ‫ده‬ ‫اا‬‫ا‬‫با‬ ‫اک‬‫ا‬‫ا‬ ‫ر‬
(yield to maturity)‫تار‬
‫بیشاا‬ ‫اا‬ ‫قی‬ ‫تقیاام‬ ،‫با،ااد‬‫تر‬
‫اس‬.

10. ‫اولیۀ‬ ‫ثمر‬ ‫با‬ ‫قرضه‬ ‫ورق‬ ‫چهار‬ ‫برای‬ ‫قیمت‬ ‫تغییرات‬ ‫درصد‬6%
‫قیمت‬ ‫تغییر‬ ‫درصد‬
9%-20‫سالک‬ 9%-5‫سالک‬ 6%-20‫سالک‬ 6%-5‫سالک‬ ‫ثمر‬‫جد‬ ‫سررسید‬ ‫تا‬‫ید‬
25.04 8.57 27.36 8.98 4.00%
11.53 4.17 12.55 4.38 5.00%
5.54 2.06 6.02 2.16 5.50%
1.07 0.41 1.17 0.43 5.90%
0.11 0.04 0.12 0.04 5.99%
0.11- 0.04- 0.12- 0.04- 6.01%
1.06- 0.41- 1.15- 0.43- 6.10%
5.13- 2.01- 5.55- 2.11- 6.50%
9.89- 3.97- 10.68- 4.16- 7.00%
18.40- 7.75- 19.79- 8.11 8.00%

11. ‫دیرش‬
‫است‬ ‫بهره‬ ‫نرخ‬ ‫تالطم‬ ‫ریسک‬ ‫سنجۀ‬:
•‫با‬ ‫کسب‬ ‫اب‬ ‫درآمد‬ ‫با‬ ‫بهادار‬ ‫اوراق‬ ‫قی‬ ‫حساسی‬ ‫سزجۀ‬‫تغییارا‬ ‫ک‬
‫اس‬ ‫بهره‬ ‫کر‬.
•‫ا‬ ‫قی‬ ‫تقیام‬ ‫در‬ ‫سررساید‬ ‫تاا‬ ‫ار‬ ‫و‬ ‫سررساید‬ ،‫وپن‬ ‫کر‬ ‫ر‬ ‫ا‬‫اوراق‬
‫د‬ ‫د‬‫می‬ ‫ارائک‬ ‫محاسبک‬ ‫عدد‬ ‫یک‬ ‫قالب‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫اب‬ ‫درآمد‬ ‫با‬ ‫بهادار‬.

12. ‫دیرش‬
‫است‬ ‫سررسید‬ ‫برای‬ ‫شاخصی‬:
•‫با‬ ‫بهاادار‬ ‫اوراق‬ ‫ر‬ ‫ماث‬ ‫سررسید‬ ‫ایزدۀ‬ ‫ک‬ ‫و‬ ‫اس‬ ‫سررسید‬ ‫ا‬ ‫بهتر‬ ‫،اخصی‬‫درآماد‬ ‫ا‬
‫اس‬ ‫اب‬.
•‫سررساید‬ ‫تا‬ ‫مان‬ ‫استاکدارد،دۀ‬ ‫کی‬ ‫و‬ ‫میاکگین‬(Term to maturity)‫اوراق‬
‫ا‬ ‫ک‬ ‫اای‬ ‫جریاان‬ ‫لی‬ ‫ز‬ ‫ش‬ ‫ار‬ ،‫ان‬ ‫او‬ ‫ک‬ ‫یوری‬ ‫بک‬ ، ‫اس‬ ‫اب‬ ‫درآمد‬ ‫با‬ ‫بهادار‬‫دی‬
‫اس‬.

13. ‫دیرش‬ ‫ریاضی‬ ‫تعریف‬
‫ق‬ ‫اوراق‬ ‫ا‬ ‫قی‬ ‫پذیری‬ ‫ش‬ ‫ک‬ ‫اس‬ ‫،اخصی‬‫رضاک‬
‫می‬ ‫محاسبک‬ ‫بهره‬ ‫کر‬ ‫تغییرا‬ ‫بک‬ ‫کسب‬ ‫را‬‫زد‬.
y
PP
dy
PdP
durationModified




14. ‫اختیار‬ ‫فاقد‬ ‫قرضۀ‬ ‫ورق‬ ‫قیمت‬ ‫معادلۀ‬
P:‫قی‬
C:‫ای‬‫دوره‬ ‫وپن‬ ‫بهرۀ‬
Y:‫ای‬‫دوره‬ ‫سررسید‬ ‫تا‬ ‫ر‬
M:‫ی‬ ‫اس‬ ‫ش‬ ‫ار‬(‫پایاکی‬ ‫ش‬ ‫ار‬)
N:‫ا‬ ‫دوره‬ ‫داد‬ ‫ت‬
n21
)y1(
MC
)y1(
C
)y1(
C
P






 

15. ‫قیمت‬ ‫معادلۀ‬ ‫اول‬ ‫مشتق‬
‫قی‬ ‫ریبی‬ ‫ت‬ ‫تغییر‬ ،‫ر‬ ‫بک‬ ‫کسب‬ ‫قی‬ ‫ادلۀ‬ ‫م‬ ‫اول‬ ‫مشتق‬‫تغییر‬ ‫ای‬ ‫ا‬ ‫بک‬ ‫را‬
‫د‬ ‫د‬‫می‬ ‫کشان‬ ‫ر‬ ‫در‬ ‫کی‬ ‫و‬.












 n21
)y1(
)MC(n
)y1(
C2
)y1(
C1
)y1(
1
dy
dP


16. ‫یافته‬‫تعدیل‬ ،‫مکالی‬ ‫دیرش‬
‫ریبی‬ ‫ت‬ ‫درصد‬
‫قی‬ ‫تغییر‬
‫مکالی‬ ‫دیرش‬
‫یازت‬‫دیل‬ ‫ت‬ ‫دیرش‬‫ک‬












 n21
)y1(
)MC(n
)y1(
C2
)y1(
C1
P
1
)y1(
1
P
1
dy
dP













 n21
)y1(
)MC(n
)y1(
C2
)y1(
C1
P
1
durationMacaulay 












 n21
)y1(
)MC(n
)y1(
C2
)y1(
C1
P
1
)y1(
1
durationModified 

17. ‫مثال‬1:‫دیرش‬ ‫محاسبۀ‬
‫قرضۀ‬ ‫ورقۀ‬ ‫یک‬ ‫دیرش‬5‫وپن‬ ‫کر‬ ‫با‬ ‫سالک‬9‫سررسید‬ ‫تا‬ ‫ر‬ ‫و‬ ‫درصد‬6‫پرداخ‬ ‫دورۀ‬ ‫با‬ ‫درصد‬6‫ی‬ ‫اس‬ ‫ش‬ ‫ار‬ ‫و‬ ‫ک‬ ‫ما‬100‫؟‬ ‫اس‬ ‫در‬ ‫دالر‬
‫ش‬ ‫ار‬‫لی‬ ‫ز‬×t ‫لی‬ ‫ز‬ ‫ش‬ ‫ار‬ ‫د‬ ‫ک‬ ‫جریان‬ ‫دوره‬(t)
4.3689 4.3689 4.5 1
8.4834 4.2417 4.5 2
12.3544 4.1181 4.5 3
15.9928 3.9982 4.5 4
19.4087 3.8817 4.5 5
22.6121 3.7687 4.5 6
25.6124 3.6589 4.5 7
28.4187 3.5523 4.5 8
31.0399 3.4489 4.5 9
777.5781 77.7578 104.5 10
945.8694 112.7953 ‫جمع‬
8.38 ‫مکالی‬ ‫دیرش‬(‫سال‬ ‫نیم‬ ‫به‬)
4.19 ‫دیرش‬‫مکالی‬(‫سال‬ ‫به‬)

18. ‫مثال‬2:‫قیمت‬ ‫تغییرات‬ ‫تخمین‬ ‫برای‬ ‫دیرش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬
‫قرضۀ‬ ‫ورقۀ‬ ‫یک‬ ‫دیرش‬20‫کوپن‬ ‫نرخ‬ ‫با‬ ‫ساله‬9
‫و‬ ‫سررسوو‬ ‫وا‬‫و‬‫ر‬ ‫وور‬ ‫ر‬ ‫و‬ ‫وو‬‫و‬‫درص‬6‫دور‬ ‫بووا‬ ‫وو‬‫و‬‫درص‬
‫نرداخت‬6‫ی‬ ‫اس‬ ‫ارزش‬ ‫و‬ ‫ماهه‬100‫چقور‬ ‫دالر‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬:
‫از‬ ً‫ا‬‫دفعت‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫اگر‬6‫به‬6.1‫یابوو‬ ‫افویایی‬ ‫درصوو‬
‫ب‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫ت‬ ‫ق‬ ‫ر‬ ‫رغ‬ ‫رقریبی‬ ‫درصو‬‫ا‬:
‫از‬ ً‫ا‬‫دفعت‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫اگر‬6‫به‬5.9‫یابوو‬ ‫کواهی‬ ‫درصوو‬
‫ب‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫ت‬ ‫ق‬ ‫ر‬ ‫رغ‬ ‫رقریبی‬ ‫درصو‬‫ا‬:
66.10
)03.01(
98.10
durationModified
98.10durationMacaulay




%066.1)001.0(66.10
P
P
ydurationModified
P
P
durationModified
P
dP





%066.1)001.0(66.10
P
P



19. ‫کند؟‬ ‫نمی‬ ‫کار‬ ‫خوب‬ ‫دیرش‬ ‫زمانی‬ ‫چه‬
‫ا‬ ‫در‬ ‫قی‬ ‫تغییر‬ ‫ی‬ ‫واق‬ ‫و‬ ‫ریبی‬ ‫ت‬ ‫درصد‬ ،‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫قرضۀ‬ ‫ورق‬ ‫برای‬‫تغییرا‬ ‫ای‬
‫بود‬ ‫د‬ ‫خوا‬ ‫یر‬ ‫جدول‬ ‫،رح‬ ‫بک‬ ‫ر‬:
‫اختالف‬(‫درصد‬)
‫تغیی‬ ‫تقریبی‬ ‫درصد‬‫ر‬‫قیمت‬
(‫دیرش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬)
‫درصد‬‫ق‬ ‫تغییر‬ ‫واقعی‬‫یمت‬
(‫قیم‬ ‫معادلۀ‬ ‫اساس‬ ‫بر‬‫ت‬)
‫درصد‬‫تغییر‬‫ث‬‫مر‬
0.06 1.66- 1.60- 0.1
0.04 1.66+ 1.70+ 0.1-
2.92 21.32- 18.40- 2
3.72 21.32+ 25.04+ 2-

20. ‫کند؟‬ ‫نمی‬ ‫کار‬ ‫خوب‬ ‫دیرش‬ ‫زمانی‬ ‫چه‬

21. ‫دیرش‬ ‫ضعف‬‫نقطه‬ ‫چرایی‬
‫اکحزاای‬ ‫ر‬ ‫ا‬ ‫دیرش‬
‫ورق‬ ‫اا‬ ‫قی‬ ‫تااابق‬
‫بااااار‬ ‫را‬ ‫قرضاااااک‬
‫قی‬ ‫تغییرا‬‫آن‬
‫زد‬ ‫ی‬ ‫ک‬ ‫لحاظ‬.
‫قی‬
‫ر‬
‫اندازه‬ ‫از‬ ‫کمتر‬
‫اندازه‬ ‫از‬ ‫بیش‬
1y2y y

22. ‫قیمت‬ ‫تغییرات‬ ‫تخمین‬ ‫بهبود‬
‫قی‬ ‫ادلۀ‬ ‫م‬ ‫تیلور‬ ‫سری‬
P
Error
)dy(
P
1
dy
Pd
2
1
dy
P
1
dy
dP
P
dP
Errordy
P
1
dy
Pd
2
1
dy
dy
dP
dP
2
2
2
2
2



23. ‫تحدب‬ ‫محاسبۀ‬
‫سیم‬ ‫ت‬ ‫حاصل‬ ‫تحدب‬"‫ق‬ ‫ادلۀ‬ ‫م‬ ‫دوم‬ ‫مشتق‬‫ی‬
‫ر‬ ‫بک‬ ‫کسب‬"‫اس‬ ‫قرضک‬ ‫ورق‬ ‫قی‬ ‫بر‬:

















n212
2
2
)y1(
)MC)(1n(n
)y1(
C32
)y1(
C21
P
1
)y1(
1
2
1
Convexity
P
1
dy
d
2
1
Convexity


24. ‫مثال‬3:‫تحدب‬ ‫محاسبۀ‬
‫قرضۀ‬ ‫ورقۀ‬ ‫یک‬ ‫تحدب‬5‫وپن‬ ‫کر‬ ‫با‬ ‫سالک‬9‫سررسید‬ ‫تا‬ ‫ر‬ ‫و‬ ‫درصد‬6‫پرداخ‬ ‫دورۀ‬ ‫با‬ ‫درصد‬6‫ی‬ ‫اس‬ ‫ش‬ ‫ار‬ ‫و‬ ‫ک‬ ‫ما‬100‫؟‬ ‫اس‬ ‫در‬ ‫دالر‬
PV × t ×(t+1) ‫لی‬ ‫ز‬ ‫ش‬ ‫ار‬(PV) ‫د‬ ‫ک‬ ‫جریان‬ ‫دوره‬(t)
8.7378 4.3689 4.5 1
25.4502 4.2417 4.5 2
49.4172 4.1181 4.5 3
79.964 3.9982 4.5 4
116.451 3.8817 4.5 5
158.2854 3.7687 4.5 6
204.8984 3.6589 4.5 7
255.7656 3.5523 4.5 8
310.401 3.4489 4.5 9
8553.358 77.7578 104.5 10
9762.729 112.7953 ‫جمع‬
40.792 ‫تحدب‬(‫نیم‬ ‫به‬‫سال‬)
10.198

25. ‫مثال‬2:‫قیمت‬ ‫تغییرات‬ ‫تخمین‬ ‫برای‬ ‫تحدب‬ ‫از‬ ‫استفاده‬
‫قرضۀ‬ ‫ورقۀ‬ ‫یک‬ ‫رحوب‬20‫کوپن‬ ‫نرخ‬ ‫با‬ ‫ساله‬9
‫و‬ ‫سررسوو‬ ‫وا‬‫و‬‫ر‬ ‫وور‬ ‫ر‬ ‫و‬ ‫وو‬‫و‬‫درص‬6‫دور‬ ‫بووا‬ ‫وو‬‫و‬‫درص‬
‫نرداخت‬6‫ی‬ ‫اس‬ ‫ارزش‬ ‫و‬ ‫ماهه‬100‫چقور‬ ‫دالر‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬:
‫از‬ ً‫ا‬‫دفعتو‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫اگر‬6‫بوه‬8‫یابوو‬ ‫افویایی‬ ‫درصوو‬
‫سو‬ ‫اسوا‬ ‫بور‬ ‫وت‬ ‫ق‬ ‫ور‬ ‫رغ‬ ‫رقریبی‬ ‫درصو‬‫جۀ‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫رحوب‬:
‫از‬ ً‫ا‬‫دفعتو‬ ‫ر‬ ‫ر‬ ‫اگر‬6‫بوه‬4‫یابوو‬ ‫کواهی‬ ‫درصوو‬
‫سو‬ ‫اسوا‬ ‫بور‬ ‫وت‬ ‫ق‬ ‫ور‬ ‫رغ‬ ‫رقریبی‬ ‫درصو‬‫جۀ‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫رحوب‬:
053.82Convexity
%28.3)02.0(053.82)y()Convexity(
P
P 22


%28.3)02.0(053.82)y()Convexity(
P
P 22



26. ‫سنجه‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫با‬ ‫قیمت‬ ‫تغییرات‬ ‫تخمین‬
‫یازتک‬‫دیل‬ ‫ت‬ ‫دیرش‬×‫تغیی‬‫ر‬ ‫ر‬
‫تحدب‬×(‫ر‬ ‫تغییر‬)2
‫یزی‬ ،‫ت‬ ‫درصد‬
‫قی‬ ‫تغییرا‬

27. ‫مثال‬5:‫واقعی‬ ‫تغییرات‬ ‫با‬ ‫آن‬ ‫مقایسۀ‬ ‫و‬ ‫قیمت‬ ‫تغییرات‬ ‫تخمین‬
‫اختالف‬(‫درصد‬)
‫تغییر‬ ‫تقریبی‬ ‫درصد‬‫قی‬‫مت‬(‫با‬
‫تحدب‬ ‫و‬ ‫دیرش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬)
‫درصد‬‫ق‬ ‫تغییر‬ ‫واقعی‬‫یمت‬
(‫قیم‬ ‫معادلۀ‬ ‫اساس‬ ‫بر‬‫ت‬)
‫درصد‬‫تغییر‬‫ث‬‫مر‬
0.36- 18.04- 18.40- 2
0.44 24.60+ 25.04+ 2-

28. ‫تشکر‬ ‫با‬