PELUANG MATEMATIKA

1. 1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori peluang adalah ilmu pengetahuan yang mempelajari ketidakpastian.
Ilmi ini awalnya dikembangkan dari permainan spekulasi, seperti permainan
kartu remi dan pelemparan dadu. Pada awalnya, teori peluang diaplikasikan
untuk menentukan kemungkinan memenangkan suatu permainan judi. Setelah
berkembang, teori ini diperlukan dalam penyelesaian masalah dalam berbagai
bidang seperti meteorology, asuransi dan industry. Sebagai contoh, dalam
proses pengeringan kue, kejadian cacat adalah kue pecah atau hancur.
Kemungkinan kejadian cacat dalam periode produksi dapat dijelaskan dengan
teori peluang. Bahkan teori peluang mendasari kebanyakan metode-metode
statistik, yaitu suatu bidang matematika yang aplikasinya hamper meliputi
setiap area kehidupan modern.
1.2 Rumusan Masalah
1.2.1 Apa yang dimaksud bilangan faktorial?
1.2.2 Apa yang dimaksud permutasi?
1.2.3 Apa yang dimaksud kombinasi?
1.2.4 Apa yang dimaksud dengan peluang?
1.2.5 Bagaimana cara menghitung peluang suatu kejadian?
1.2.6 Bagaimana cara menghitung peluang kejadian majemuk?

2. 2
BAB II
PEMBAHASAN
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara
untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan
berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam
matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas dalam tidak hanya dalam
matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains dan filsafat.
2.1 Bilangan Faktorial
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk
pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk
mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam
matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas
untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan
irasional, dan bilangan kompleks. Dalam matematika, faktorial dari bilangan
asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau
sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara
umum dapat dituliskan sebagai:
Sebagai contoh, nilai dari adalah
2.2 Permutasi
Permutasi merupakan penyusunan kumpulan angka atau objek dalam
berbagai urutan-urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Dalam permutasi
urutan diperhatikan. Adapun macam-macam permutasi yakni:
a. Permutasi dari unsur yang berbeda
Permutasi dari n unsur yang berbeda diambil dari k unsur adalah
susunan dari k unsur itu dalam suatu urutan.
Contohnya :

3. 3
1. Dalam kelas terdapat 3 orang yang akan dipilih 2 orang untuk menjadi
ketua dan wakil ketua kelas. Banyak cara untuk memilih 2 orang
tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, ketiga orang kandidat
itu adalah A, B, dan C. Posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara, posisi
wakil ketua dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang
dilakukan untuk memilih 2 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat
adalah 3 × 2 = 6 cara. Salah satu ciri permutasi yaitu ada posisi yang
berbeda yang akan ditempati.
Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur k yakni:
Contoh soal:
1. Di sebuah kantor ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk mengisi
kekosongan 2 kursi pejabat. Tentukan banyak cara yang bisa
dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?
Penyelesaian :
Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah
posisi yang akan diisi)
b. Permutasi dari unsur yang sama
Banyaknya permutasi yang memuat k unsur yang sama ditentukan
dengan rumus:
Contoh:
1. Tentukan berapa banyak susunan kata yang dapat dibentuk dari kata
MATEMATIKA tanpa perulangan?
Penyelesaian:

4. 4
Kata MATEMATIKA terdapat 10 unsur dimana unsur yang sama
terdapat pada M=2 T=2 A=3, sehingga kata yang dapat dibentuk dari
kata MATEMATIKA tanpa adanya pengualangan yaitu terdapat
10!
2! 2! 3! = 151.200 cara.
c. Pernuasi keliling (siklis)
Permutasi siklis adalah permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur
secara melingkar menurut arah putaran tertentu.
Contoh:
1. 5 orang calon presiden tahun 2014 duduk disebuah meja berbentuk
lingkaranuntuk saling berdiskusi. Ada berapa cara untuk menyusun
kursi para calon presiden tersebut?
Penyelesaian:
(5-1)! = 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
2.3 Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan
urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur
dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan
bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k
unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh:
1. Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte
(Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya
Psiklis = (n – 1)!

5. 5
untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus?
(tidak memperhatikan posisi pemain)
Penyelesaian:
Jadi, Antonio Conte punya 167.960 kombinasi .
2.4 Peluang
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah
cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu
kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan
lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas
dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains
dan filsafat.
1. Ruang Sampel dan Kejadian
Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu
percobaan atau kejadian. Himpunan bagian dari ruang sampel disebut
kejadian atau peristiwa. Ruang sampel dalam ilmu peluang biasanya
dinotasikan dengan huruf S. Anggota-anggota dari ruang sampel atau
kemungkinan-kemungkinan yang muncul disebut dengan titik sampel.
ruang sampel dibedakan menjadi dua yaitu ruang sampel diskrit dan ruang
sampel kontinu. Ruang sampel dikatakan ruang sampel diskrit jika anggota
dari ruang sampel dapat didaftar. Sedangkan jika anggota dari ruang
sampel tidak dapat didaftar disebut ruang sampel kontinu. Ruang Sampel
suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

6. 6
a. Dengan Diagram Pohon
Kejadian yang mungkin:
AA : Muncul sisi angka pada kedua koin
AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2
b. Dengan Tabel
Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G).
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali,
yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P
adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Penyelesaian :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2.5 Peluang suatu kejadian
Peluang suatu kejadian yang diinginkan adalah perbandingan banyaknya
titik sampel kejadian yang diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang

7. 7
sampel kejadian tersebut. Misalkan A adalah suatu kejadian yang diinginkan,
maka nilai peluang kejadian A dinyatakan dengan
Atau dapat dirumuskan dengan sebagai berikut:
Keterangan:
P(A) = Peluang kejadian A
n(A) = Banyaknya kejadian A
n(S) = Banyaknya seluruh kejadian atau ruang sampel
Contoh :
1. Pada percobaan melempar sebuah dadu bermata 6, pada ruang sampelnya
terdapat sebanyak 6 titik sampel, yaitu munculnya sisi dadu bermata 1, 2,
3, 4, 5, dan 6.
Misalnya jika pada percobaan tersebut diinginkan kejadian munculnya
mata dadu prima, maka mata dadu yang diharapkan adalah munculnya
mata dadu 2, 3, dan 5, atau sebanyak 3 titik sampel. Sedang banyaknya
ruang sampel adalah 6, maka peluang kejadian munculnya mata dadu
prima adalah
2.6 Peluang Kejadian Majemuk
Peluang kejadian majemuk yaitu peluang yang berasal dari lebih dari satu
kejadian serta peluang kejadian bersyarat.
a. Peluang Gabungan 2 kejadian

8. 8
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪ B ditentukan dengan aturan:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Contoh:
1. Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya
bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima.
Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= 3/6 + 3/6 – 2/6 = 4/6 = 2/3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3
b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin
terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0 atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
P (A∪ B) = P(A) + P(B
Contoh:
1. Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya
bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap.
Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6

9. 9
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
= 3/6 + 3/6 = 1
Jadi, peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan
sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada
terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian
saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu
sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
Maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling
bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Contoh:
1. Dalam tas I terdapat 4 bola putih dan 2 bola hitam. Dalam tas II
terdapat 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari masing-masing tas.
a) Keduanya berwarna putih
b) Keduanya berwama hitam
Penyelesaian:
Misal : A = bola putih dari tas I
B = bola putih dari tas II
P(A) = 4/6
P(B) = 3/8
P(A) = 2/6 P(B) = 5/8
a. P(AÇB) = P (A) . P (B) = 4/6 . 3/8 = 1/4
b. P((A) Ç P(B)) = P(A). P(B) = 2/6 . 5/8 = 5/24

10. 10
d. Peluang Kejadian Saling Terpisah
Dua kejadian dikatakan saling terpisah jika kedua kejadian tersebut tidak
dapat terjadi secara bersamaan. Untuk dua kejadian saling terpisah, A dan
B, peluang salah satu terjadi, P(A atau B), adalah jumlah dari peluang
masing-masing kejadian.
P(A or B) = P(A) + P(B)
Contoh:
1. Misalnya, ketika memilah bola secara acak dari keranjang yang berisi
3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola
biru atau merah adalah ketika memilah bola secara acak dari keranjang
yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang
mendapat bola biru atau merah adalah?
Penyelesaian:
P(Biru atau Merah) = P(Biru) + P(Merah)
P(Biru atau Merah) = 3/10 + 5/10
P(Biru atau Merah) = 8/10 = 0.8
e. Peluang Kejadian Tidak Saling Terpisah
Untuk kejadian yang tidak saling terpisah peluang terjadinya salah satu
atau keduanya adalah dimana P(A ∩ B) adalah peluang kejadianA dan
kejadian B terjadi secara bersamaan.
Contoh:
1. Ketika mengambil kartu dari satu set kartu permainan (52 kartu),
peluang mendapat kartu merah atau raja adalah?
Penyelesaian:
P(Merah atau Raja) = P(Merah) + P(Raja) - P(Merah ∩ Raja)
P(A atau B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

11. 11
P(Merah atau Raja) = 26/52 + 4/52 - 2/52
P(Merah atau Raja) = 28/52 = 7/13
f. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling
bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan
mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya
kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
P(A∩B)
P(A/B) = ———— P(B) ≠ 0
P(B)
Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi
adalah:
P(A∩B)
P(B/A) = ———— P(A) ≠ 0
P(A)
Contoh:
1. Terdapat sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Jika
akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali
tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola
merah!
Penyelesaian:
Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama
adalah A, sehingga :
P(A) = n(A)/n(S)= 5/8
Misalkan kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua
adalah B, sehingga :
P(B/A) = n(B/A)/n(S) = 4/7
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) = 5/8 × 4/7 =5/14

12. 12
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Peluang atau kebolehjadian atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah
cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu
kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep ini telah dirumuskan dengan
lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas
dalam tidak hanya dalam matematika atau statistika, tapi juga keuangan, sains
dan filsafat.
Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian
antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Permutasi
merupakan penyusunan kumpulan angka atau objek dalam berbagai urutan-
urutan yang berbeda tanpa ada pengulangan. Kombinasi adalah susunan
unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Ruang sampel adalah
himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan atau kejadian.
Himpunan bagian dari ruang sampel disebut kejadian atau peristiwa. Ruang
sampel dalam ilmu peluang biasanya dinotasikan dengan huruf S. Anggota-
anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul
disebut dengan titik sampel. ruang sampel dibedakan menjadi dua yaitu ruang
sampel diskrit dan ruang sampel kontinu. Peluang suatu kejadian yang
diinginkan adalah perbandingan banyaknya titik sampel kejadian yang
diinginkan itu dengan banyaknya anggota ruang sampel kejadian tersebut.
Peluang kejadian majemuk yaitu peluang yang berasal dari lebih dari satu
kejadian serta peluang kejadian bersyarat.
3.2 Saran
Sebagai calon guru, sebaiknya kita memahami materi Geometri
Transformasi dengan baik, agar nanatinya pada saat mengajar kita lebih
mudah memberikan pembelajaran kepada anak didik kita mengenai Geometri
Transformasi

13. 13
DAFTAR PUSTAKA
I Made SuarjanadanI GustiNgurahJapa.2014. Matematika. Singaraja:UNDIKSHA
http://id.wikipedia.org/wiki/Peluang_%28matematika%29
http://umyreztuti.blogspot.com/2010/11/pengertian-ruang-sampel-dan-titik.html
http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-
Pendamping/Praweda/Matematika/0410%20Mat%202-4e.htm
http://genius.smpn1mgl.sch.id/file.php/1/ANIMASI/matematika/Teori%20Peluan
g/materi01.html
http://rumus-matematika.com/cara-menentukan-peluang-kejadian-majemuk-dan-
kejadian-bersyarat/
http://rumus-matematika.com/bagaimana-cara-menghitung-peluang-dari-suatu-
kejadian/
http://rumushitung.com/2013/04/06/permutasi-dan-kombinasi-matematika/
http://mtksmampsw.wordpress.com/kelas-xi/kelas-xi-ipa-semester-i/peluang/