Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

6 อนุกรมอนันต์

อนุกรมอนันต์

  • Login to see the comments

6 อนุกรมอนันต์

  1. 1. 1 แผนที่ 6 อนุกรมอนันต์ อนุกรมอนันต์ ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., ka เป็นลาดับจากัดที่มี k พจน์ แล้ว 1 2 3 ka a a ... a    เป็นอนุกรม จากัด (finite series) ถ้า 1a , 2a , 3a , ..., na , ... เป็นลาดับอนันต์ แล้ว 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมอนันต์ (infinite series) ผลบวกของอนุกรมอนันต์ ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ให้ nS        1 1 1 1a a d a 2d ... a n 1 d        nS   1 n 2a n 1 d 2     nS   1 1 n a a n 1 d 2      nS   1 n n a a 2  ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต ให้ nS  2 3 n 2 n 1 1 1 1 1 1 1a a r a r1 a r ... a r a r        nS   n 1a r 1 , r 1   r 1 เหมาะสาหรับ r 1 หรือ nS   n 1 n a 1 r , 1 r   r 1 เหมาะสาหรับ r 1
  2. 2. 2 บทนิยาม กาหนด 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมอนันต์ ให้ 1S  1a 2S  1 2a a 3S  1 2 3a a a  . . . nS  1 2 3 na a a ... a ...     เรียก nS ว่า ผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม เมื่อ n เป็นจานวนเต็มบวก เรียกลาดับอนันต์ 1S , 2S , 3S , ..., nS , ... ว่า ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม (a sequence of partial sums) ตัวอย่างที่ 1 กาหนด  4 7 10 ... 3n 1 ...      จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม วิธีทา ให้ 1S  4 2S  4 7  11 3S  4 7 10   21 nS   4 7 10 ... 3n 1          n 2 4 n 1 3 2         n 8 3n 3 2      n 3n 5 2  ดังนั้น ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 4, 11, 21, ...,   n 3n 5 , 2  ...
  3. 3. 3 ตัวอย่างที่ 2 กาหนด n 1 1 1 1 ... ... 2 4 8 2      จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม วิธีทา ให้ 1S  1 2 2S  1 1 2 4   3 4 3S  1 1 1 2 4 8    7 8 nS  n 1 1 1 1 ... 2 4 8 2      n 1 1 1 2 2 1 1 2             n 1 1 2  ดังนั้น ลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรมคือ 1 , 2 3 , 4 7 , 8 ..., n 1 1 , 2  ... บทนิยาม กาหนดอนุกรมอนันต์ 1 2 3 na a a ... a ...     ให้ 1S , 2S , 3S , ..., nS , ... เป็นลาดับ ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้ ถ้าลาดับ nS เป็นลาดับลู่เข้า และ n lim  nS  S เมื่อ S เป็นจานวนจริง แล้วอนุกรม 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมลู่เข้า (convergent series) เรียก S ว่า ผลบวกของอนุกรม ถ้าลาดับ nS เป็นลาดับลู่ออก แล้วอนุกรม 1 2 3 na a a ... a ...     เป็นอนุกรมลู่ออก (divergent series) จากตัวอย่างที่ 1  4 7 10 ... 3n 1 ...      ลาดับ 4, 11, 21, ...,   n 3n 5 , 2  ... เป็นลาดับลู่ออก ดังนั้น  4 7 10 ... 3n 1 ...      เป็นอนุกรมลู่ออก
  4. 4. 4 จากตัวอย่างที่ 2 n 1 1 1 1 ... ... 2 4 8 2      ลาดับ 1 , 2 3 , 4 7 , 8 ..., n 1 1 , 2  ... เป็นลาดับลู่เข้า n lim  nS  nn 1 lim 1 2        1 ดังนั้น n 1 1 1 1 ... ... 2 4 8 2      เป็นอนุกรมลู่เข้า การแสดงว่าอนุกรมอนันต์ใดเป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ทาได้ดังนี้ 1. พิจารณาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม หาสูตรผลบวกย่อย n พจน์แรกของอนุกรม 2. พิจารณาลิมิตของลาดับ nS ถ้า n lim  nS หาค่าได้ อนุกรมนั้นเป้นอนุกรมลู่เข้า ถ้าลาดับ nS ไม่ มีลิมิต อนุกรมนั้นเป็นอนุกรมลู่ออก ทฤษฎีบท ให้อนุกรมเรขาคณิตมีพจน์แรกเป็น 1a และ r เป็นอัตราส่วนร่วม ถ้า r 1 แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมี 1a 1 r เป็นผลบวกของอนุกรม ถ้า r 1 แล้วอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก ข้อสังเกต อนุกรมเรขาคณิตที่มี 1 r 1   เป็นอนุกรมลู่เข้า อนุกรมเรขาคณิตที่มี r 1  หรือ r 1 เป็นอนุกรมลู่ออก
  5. 5. 5 กิจกรรมที่ 1.2 ก 1. จงหาลาดับของผลบวกย่อยของอนุกรม และบอกว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมลู่เข้าและมีผลบวกเท่าใด 1) n 1 3 1 1 3 1 ... ... 2 2 6 2 3            2) n 1 4 8 2 2 ... 2 ... 3 9 3            3) 4 8 12 ... 4n ...     4)   n 11 3 9 1 ... 3 ... 4 4 4 4       5) n 1 3 9 27 3 1 ... ... 4 16 64 4            6) n 1 2 4 8 2 1 ... ... 3 9 27 3             2. ลาดับเลขคณิตลาดับหนึ่งมีผลบวก 5 พจน์แรก และผลบวก 15 พจน์แรก เท่ากันคือ 75 จงหาพจน์ ที่ 10 ของลาดับนี้ 3. ถ้า S  200, 201, 202, ..., 400 จงหาผลบวกทั้งหมดของจานวนในเซต S ที่หารด้วย 8 ลง ตัว แต่หารด้วย 12 ไม่ลงตัว 4. ในการปล่อยจรวดสู่อวกาศเหนือระดับน้าทะเล วินาทีแรกจรวดขึ้นไปได้สูง 45 ไมล์ ในวินาทีต่อๆ ไป ความสูงของจรวดจะลดลงวินาทีละ 5 ไมล์ จงหาว่านานเท่าใดจรวดอยู่เหนือระดับน้าทะเล 210 ไมล์ 5. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 5 พจน์แรก ของอนุกรมต่อไปนี้ 1) 54 36 18 ...   2) 54 36 24 ...   3) 1 1 3 2 2 ... 2 12    4) 1 11 111 1111 ...   
  6. 6. 6 6. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 1 3 9 ... 3     7. รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งมีด้านยาวด้านละ 10 เซนติเมตร สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สอง ให้จุดยอด มุมอยู่ที่จุดกึ่งกลางของด้านทั้งสี่ของรูปที่หนึ่ง สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่สาม ให้จุดยอดมุมอยู่ที่จุดกึ่งกลาง ของด้านทั้งสี่ของรูปที่สอง ทาเช่นนี้เรื่อยไป จงหาความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด 8. ในการเช่าซื้ออาคารสงเคราะห์ ปีแรกเสียค่าเช่าเดือนละ 5,000 บาท ปีที่สองเสียค่าเช่าลดลง 10% ของค่าเช่าปีแรก ปีที่สามเสียค่าเช่าลดลงอีก 10% ของค่าเช่าปีที่สอง จงหาโดยใช้เครื่องคานวณ 1) ค่าเช่าอาคารสงเคราะห์ในปีที่ 10 เดือนละเท่าไร 2) ค่าเช่าทั้งหมดในเวลา 10 ปี 9. ในการกาจัดศัตรูพืชแห่งหนึ่ง เมื่อฉีดยาทาลายหนึ่งครั้งก็จะกาจัดศัตรูพืชได้เพียง 75% ของปริมาณ ศัตรูพืชที่มีอยู่ในขณะนั้นเสมอ จงหาว่าจะกาจัดศัตรูพืชได้เป็นจานวนกี่เปอร์เซ็นต์ของปริมาณที่มีอยู่ก่อนการ กาจัดเมื่อ 1) ฉีดยาทาลาย n ครั้ง 2) ฉีดยาทาลายครบ 5 ครั้ง 10. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 1 3 5 7 ... 2 4 8 16     11. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้ 1) 1 4 7 10 ... 3 9 27 81     2) n 3 5 7 2n 1 ... ... 2 4 8 2       12. อนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหนึ่งมีพจน์ที่สองเท่ากับ 6 และผลบวกอนันต์เท่ากับ 24 จงหาอนุกรมนี้
  7. 7. 7 13. ลูกปิงปองตกจากโต๊ะสูง 4 ฟุต ถ้าทุกครั้งที่ลูกปิงปองตกกระทบพื้นจะกระดอนขึ้นเป็นระยะทาง 3 4 ของความสูงที่ตกมา จงหาระยะทางทั้งหมดที่ลูกปิงปองเคลื่อนที่ในแนวดิ่ง 14. การเคลื่อนที่ของชิงช้าเป็นเส้นโค้ง ครั้งแรกแกว่งได้ระยะทาง 240 เซนติเมตร ครั้งต่อไปแกว่งได้ ระยะทาง 9 10 ของระยะทางครั้งก่อนเสมอ จงหาระยะทางที่ชิงช้าเริ่มแกว่งจนหยุด 15. จงหาผลบวกของอนุกรม 1 1 1 1 log2 log4 log8 log16 ... 4 8 16 32     16. อนุกรมอนันต์อนุกรมหนึ่ง มีพจน์ที่สองเท่ากับพจน์ที่ 10 และผลบวกอนันต์เท่ากับ 9 จงหา อัตราส่วนร่วมของอนุกรมนี้ 17. จงเขียนทศนิยมซ้าต่อไปนี้ในรูปเศษส่วน 1) 0.45 2) 0.4567 สัญลักษณ์แทนการบวก อักษรกรีก  เรียกว่า ซิกมา เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก ซึ่ง n i i 1 a    1 2 3 na a a ... a    i i 1 a     1 2 3 na a a ... a ...    
  8. 8. 8 สมบัติของ  1. n i 1 c    nc 2. n i i 1 ca    n i i 1 c a   3.   n i i i 1 a b    n n i i i 1 i 1 a b     4.   n i i i 1 a b    n n i i i 1 i 1 a b     การใช้  หาผลบวก 1 2 3 ... n     n i 1 i      n n 1 2  2 2 2 2 1 2 3 ... n     n 2 i 1 i       n n 1 2n 1 6   3 3 3 3 1 2 3 ... n     n 3 i 1 i      2 n n 1 2      ตัวอย่าง 1. 5 i 1 4    5 4  20 2. 3 i 1 4n    3 i 1 4 n     4 1 2 3  3.   4 2 i 1 n n 2     4 4 4 2 i 1 i 1 i 1 n n 2            2 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 2        
  9. 9. 9 กิจกรรมที่ 1.2 ข 1. จงเขียนในรูปการบวก 1)   5 i 1 i 3       1 3 2 3    …………………………………………………………………………………….. 2)   4 k 1 2k 5         2 1 5 2 2 5   ……………………………………………………………………… 3)   4 2 m 2 6 m         2 2 6 2 6 1      ……………………………………………………………….. 4)   3 i 0 5 i 3     5 0 3 ………………………………………………………………………….………………….. 5)   i 15 i 1 3 2       1 1 3 2   ……………………………………………………………………………..………………….. 6) i4 i 1 1 5 3         1 1 5 2       ……………………………………………………………………………..…..………………. 7)   4 2 k 1 2k k      2 2 1 1  …………………………………………………………………………..………….. 8) 4 k 0 k 1 k 1     0 1 0 1    ………………………………………………………….………………………..………………….. 9) 4 2 n 1 2n 1 n      2 2 1 1 1   ………………………………………………………..…………………..………………….. 10)   3 2 i 1 i i 1     2 1 1 1  ………………………………………………………………………..…………..……….. 11)    13 k 11 k 6 k 7       11 6 11 7   ……………………………………………………..………………. 12)   12 2 k 10 k 4    ……………………………………………………………………………..……….……………….…….. 2. จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้ในรูปสัญลักษณ์แทนการบวก 1)  1 2 2 3 3 4 4 5 ... n n 1           ………………………………………..……….……………….…… 2)   22 2 2 2 1 3 5 7 ... 2n 1 ...        ………………………………………..……….……………….…….. 3)   1 1 1 1 1 ... ... 2 6 12 20 n n 1         ………………………………………..……….……………….…….. 4) n 1 2 3 n ... ... 5 25 125 5       ………………………………………..……….……………….……………………. 5) 2 1 3 2 2 3 n 1 n ... ... 1 2 2 3 3 2 n n 1                 …………………………………………………
  10. 10. 10 3. จงหาค่าของ 1)   4 2 k 1 k 3           2 2 2 2 1 3 2 3 3 3 4 3       …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. 2)   4 2 k 1 k 3   ……………………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. 3)   49 k 0 50   ……………………………………………………………………………………………….………………….. …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. 4)   52 k 50 k k 5         50 50 5 51 51 5 52 52 5     …………………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………………………. 4. ถ้าพจน์ที่ n ของอนุกรมเลขคณิตหนึ่ง คือ 5n 2 จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรมนี้ 5. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 2 2 2 2 2 1 3 5 7 9 ...     6. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 3 3 3 3 2 5 8 11 ...    7. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมต่อไปนี้ 1) 2 4 10 28 ...    2) 1 5 13 29 ...    8. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 2 3 5 8 8 13 11 18 ...        9. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 1 3 6 10 15 ...    
  11. 11. 11 10. จงหาผลบวกของอนุกรม   1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n n 1 n 2 ... 20 21 22                11. กาหนดอนุกรม 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 3 3 3 3 3                            จงหา 1) พจน์ที่ n 2) ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 3) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม 12. กาหนด   30 n 1 a n 1 d       5,865 และ   20 n 1 a n 1 d       2,610 จงหา   50 n 1 a n 1 d      13. จงหาค่าของ 1)   7 2 n 1 n 4n 1    2)     n n 2 n 1 1 cosn 3 1              3)     n n 1 n 3 n 1 sin n 1 2 1 5                       14. จงหาผลบวก n พจน์แรก และผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม แล้วพิจารณาว่าเป็นอนุกรมลู่เข้า หรือไม่ ถ้าเป็นจงหาผลบวกของอนุกรม 1)    n i 1 1 2i 1 2i 1        1 1 1 1 1 ... 1 3 3 5 5 7 5 7 2n 1 2n 1            2)   n i 1 1 i i 4    1 1 5   ………………………………………………………………………………………………………
  12. 12. 12 15. จงหาผลบวกของอนุกรมในแต่ละข้อต่อไปนี้ 1)   n 1 1 4n 3 4n 1      2)     n 1 n 1 2n 1 1 n n 1        3)   n 1 1 n n 1 n 2      16. กาหนดให้ลาดับ na สอดคล้องกับสมการ 1 2 3 na 2a 3a ... na     n 1 n 2   ทุก n 1 จงหาค่าของ n n 1 a    17. กาหนดให้  a R 1   และ 3 n 2 2 2 2 a a a a log a log a log a ... log a     2,970 จงหาค่าของ  1 3 5 ... 2n 1 2 4 6 ... 2n          18. กาหนดให้ π 0 θ 2   และ 2 3 4 sinθ sin θ sin θ sin θ ...     1 4 จงหาผลบวกของอนุกรม 2 3 cosθ cos θ cos θ ...   19. กาหนดให้ na       k 1 1 2 2 3 3 3 ... n n ... n n             โดยที่ k เป็นค่าคงตัว ที่ทาให้ n lim  na  L, L 0 แล้ว  6 L k มีค่าเท่าไร 20. กาหนดให้ na  n 1 n 1 n 2 3 4    และ nb  1 1 2 ... n   ถ้า A และ B เป็นผลบวกของอนุกรม n n 1 a    และ n n 1 b    ตามลาดับ แล้ว A B มีค่าเท่าไร
  13. 13. 13 21. กาหนดให้ na และ nb เป็นลาดับ ซึ่งมีเงื่อนไขดังนี้ na  2 3n n 1 เมื่อ n 500 nb  3 เมื่อ n 500 6 เมื่อ n 500 2 3n n 1 n 7    เมื่อ n 500
  14. 14. 14 กิจกรรมตรวจสอบความเข้าใจ 1. จงตรวจสอบว่าอนุกรมต่อไปนี้เป็นอนุกรมลู่เข้าหรืออนุกรมลู่ออก ถ้าเป็นอนุกรมลู่เข้า จงหาผลบวก ของอนุกรมนั้น 1) 1 1 4 1 ... 4 16     2) 3 9 27 1 ... 2 4 8     3) 5 7 9 3 ... 2 3 4     4) 3 4 3 3 3 3 ...    5)   n 1 1 4n 3 4n 1      6)   22 n 1 2n 1 n n 1      7) n 3 n 1 e n     2 3 4 e e e e ... 8 27 64     8) n 1 1 n n 1      9) n 1 n ln n 1     10) n n n 1 1 1 2 5         
  15. 15. 15 2. จงตรวจสอบว่าอนุกรมในข้อใดเป็นอนุกรมลู่เข้า ลิอนุกรมในข้อใดเป็นอนุกรมลู่ออก 1) k k 1 k 2k 100          2) k k 1 3k 2k 1          3)   k 1 k k 0 2 3 k 1     4) k k 1 k 0 k 5     5) k k 1 10 k!    6) 2 k 1 k! k    7)   2 2 2 k 1 k 2k 1     8)    2 k 1 k k 2 k 4      9) 4 k 1 3 cosk k     10) 3 k 1 k 1 k 1      11) k 1 1 1 k     12)    2 k 1 k 3 k k 1 k 2      
  16. 16. 16 แบบทดสอบก่อนเรียน – หลังเรียน จงเลือกคาตอบที่ถูกต้อง 1. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก. na  n 1 n 1 n 1     เป็นลาดับลู่ออก ข. na  n 1 r 1 r   เป็นลาดับลู่ออก เมื่อ r 1 ค. n 1 1 1 1 ... ... 10 100 1000 10             เป็นอนุกรมลู่เข้ามีผลบวกเท่ากับ 1 11  ข้อใดต่อไปนี้สรุปเกี่ยวกับข้อความข้างต้นได้ถูกต้อง 1. ก และ ข เป็นจริง 2. ก และ ค เป็นจริง 3. ข และ ค เป็นจริง 4. ก, ข และ ค เป็นจริง 2.   7 2 n 1 n 2   มากกว่า     nn n 2 n 1 1 cosn 3 1              อยู่เท่าไร 1. 33 2. 54 3. 56 4. 58 3. ลาดับในข้อใดเป็นลาดับลู่ออก 1. na  2 21 1 sin cos n n  2. na    n 1 1 2n 1    3. na    n 1 n 1 1 n         4. na  n 2 3      
  17. 17. 17 4. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง 1. ถ้า 1 2 3a a a ...   เป็นอนุกรมเรขาคณิต และ nS  n k k 1 a   แล้ว n lim  nS หาค่าได้เสมอ 2. ถ้า na เป็นพจน์ที่ n ของลาดับ ซึ่งมี n 1 na a  สาหรับทุกๆ n แล้วลาดับนี้เป็นลาดับลู่ออก 3. ให้ na เป็นลาดับซึ่งกาหนดโดย na 1 เมื่อ n เป็นจานวนคี่ และ na  2 n 1 n 3   เมื่อ n เป็น จานวนคู่ แล้ว na เป็นลาดับลู่เข้า 4. ผลบวกของอนุกรม 2 3 4 5 12 22 35 1 ... 3 3 3 3      เท่ากับ 45 8 5. ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง 1. 2 3 4 1 1 1 1 ... 2 2 2 2     เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 2 2. ถ้า a 0 แล้วอนุกรม 2 3 a a a 1 ... 1 a 1 a 1 a                  เป็นอนุกรมลู่เข้า มีผลบวกเท่ากับ 2 3. 1 2 3 4 ln ln ln ln ... 2 3 4 5     เป็นอนุกรมลู่ออก 4. ถ้า na เป็นลาดับซึ่ง n lim  na  0 แล้ว n 1 0 a n   สาหรับทุกค่าของ n 6. ผลบวก 18 พจน์แรกของอนุกรม 1 9 25 49 81 ...     เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 7,734 2. 7,751 3. 7,753 4. 7,770 7. ผลบวกของอนุกรม 3 n3 3 3 3 log 3 log 3 log 3 ... log 3    เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1.   1 n 1 log3 2  2.   n n 1 log3 2  3.   1 n 1 2  4.   n n 1 2 
  18. 18. 18 8. กาหนดอนุกรม 2 3 A:1 m m m ...    และ 2 4 6 B:1 m m m ...    ถ้าทั้ง A และ B เป็น อนุกรมลู่เข้า ผลบวกของอนุกรม A เป็นสองเท่าของผลบวกของอนุกรม B แล้ว m มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 2. 1 m 1   3. 1 4. ข้อมูลที่ให้มาไม่ถูกต้อง 9. กาหนด c เป็นค่าคงตัว และถ้า   3 2 3 nn 5cn 3n 5c 1 1 1 lim 1 ... ... 2 4 2n 1          แล้ว c เท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ 1. 2 5 2. 1 5 3. 1 10 4. 1 20 10. กาหนดอนุกรม   5 5 5 5 A : ... ... 1 2 2 3 3 4 n n 1          1 1 1 1 B:1 ... ... 2 3 4 n       n 1 27 3 C:15 9 ... 15 ... 5 5            ข้อใดต่อไปนี้สรุปเกี่ยวกับอนุกรมข้างต้นได้ถูกต้อง 1. อนุกรมทั้งสามเป็นอนุกรมลู่เข้าทั้งหมด 2. อนุกรม A และ B เท่านั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า 3. อนุกรม A และ C เท่านั้นเป็นอนุกรมลู่เข้า 4. ลิมิตของลาดับของพจน์ของอนุกรม B มีค่าเท่ากับศูนย์ จึงทาให้อนุกรม B เป็นอนุกรมลู่เข้า
  19. 19. 19 11. ลิมิตของลาดับ na  1 3 2 43 1 1 3 n n 5 n n             เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0 2. 1 5 3. 3 5 4. หาค่าไม่ได้ 12. ถ้า        2 3 n a a a alog ax 2log a x 3log a x ... nlog a x 110     แล้ว x มีค่าเท่ากับข้อใด ต่อไปนี้ 1. 10 1 a 2. 5 1 a 3. 5 2 1 a 4. 5 4 1 a 13. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตคาตอบของอสมการ  3 3 3 3log x log 2x log 4x log 8x ... 1     1.  0, 3 2.  3, 3.  0,3 3 4.  3 3, 14. ข้อใดต่อไปนี้เป็นเซตคาตอบของอสมการ 2 3 9 10 1 1 1 1 ... 1 log x log x log x log x      1.  0,1 2.  10!, 3.    0,1 10!,  4.    0,1 1, 
  20. 20. 20 15. ผลบวกของอนุกรม  n n 1 5 3 2 n n 1           เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 0 2. 2 3. 4 4. 5 16. ถ้า    15 n 2 2 a n 2 n 1 b     โดยที่ a และ b เป็นจานวนเต็ม ซึ่ง ห.ร.ม. ของ a และ b เป็น 1 แล้ว a b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 240 2. 329 3. 569 4. 580 17. กาหนดให้ na  n 1 1 2i       และ nb  n 1 1 2i       เมื่อ 2 i 1  ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง 1. n n n n lim a lim b    2. n n n lim a b 0    3. n n n lim a b 1   4. n n n a lim 1 b  18. ผลบวกของอนุกรมจากัด 1 40 3 38 5 36 ... 39 2        เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 5,740 2. 6,480 3. 17,220 4. 18,060
  21. 21. 21 19. ให้ na เป็นลาดับของจานวนจริงโดยที่ na      ln n 2 ln n 1   ทุก n 1 และให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่ง นิยามโดย   x f x e ถ้า y  n 2009 n 1 a 1 log e  แล้วค่าของ  f y เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. ln2007 2. ln2008 3. ln2010 4. ln2011 20. กาหนดเศษที่ได้จากการหาร   80 2 n 3 k! k 3k 1    ด้วย 2,550 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2,510 2. 2,520 3. 2,530 4. 2,540 21. กาหนดพจน์ที่ n ของลาดับสองลาดับ ดังนี้ na     2 2 2 2 n 1 2 3 ... n 3 1 2 3 ... n         nb  3n 2 3n 1 n 2 n 1        n n n lim a b   มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 1 1 3  2. 1 3 3. 1 1 2 3  4. 1 3 2 
  22. 22. 22 22. ถ้า na เป็นลาดับซึ่ง a 0 และ 2 n 1 n n 1 n a a a 2a     สาหรับทุกจานวนเต็มบวก n แล้ว 10 n n 11 1 a a   มี ค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 511 2. 512 3. 1,023 4. 1,024 23. ถ้า n เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่งทาให้ 3 n 2 2 2 2 1 log 2 log 2 ... log 2 n 21      แล้ว 2 n 1 2 2 ... 2    มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 63 2. 127 3. 255 4. 511 24. ผลบวกของอนุกรม 2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 ... 19 20        เท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 40,130 2. 42,230 3. 42,130 4. 43,120 25. ให้ na เป็นลาดับของจานวนจริงบวกที่สอดคล้องสมการ    n n 1loga loga n n 1a a   เมื่อ n 1 1a 8 และ 2a 16 แล้ว 2 2554log a มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้ 1. 2554 3 4 4       2. 2553 3 4 4       3. 2553 4 4 3       4. 2554 4 4 3      

×