Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

3 อนุกรมเลขคณิต

398 views

Published on

อนุกรมเลขคณิต

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

3 อนุกรมเลขคณิต

  1. 1. อนุกรม ผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ เรียกว่ำ อนุกรม (series) และผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับ จำกัด ..., na เขียนในรูปของ จะเรียกผลรวมของพจน์ทุกพจน์ของ ลำดับจำกัดว่ำ อนุกรมจำกัด ตัวอย่ำงที่ 1 จงเขียนอนุกรมจำกัดของลำดับจำกัดต่อไปนี้ (1) (2) (3) (4) วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ (2) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ (3) เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ (4) 3 3 3 1 2 3 ...   เป็นอนุกรมจำกัดของลำดับ ... 1a , 2a , 3a , 1 2 3 na a a ... a    12, 9, 6, 3 1, 3, 9, 27, 81 1 , 2 2 1 , 2 3 1 , 2 4 1 , 2 5 1 , 2 6 1 , 2 7 1 2 3 1 , 3 2 , 3 3 , ..., 3 10 12 9 6 3   12, 9, 6, 3 1 3 9 27 81    12, 9, 6, 3 2 3 4 5 6 7 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2       1 , 2 2 1 , 2 3 1 , 2 4 1 , 2 5 1 , 2 6 1 , 2 7 1 2 3 1 , 3 2 , 3 3 , nS  1 2 3 na a a ... a    ข้อตกลง ถ้ำ 1a , 2a , 3a , ..., na เป็นลำดับจำกัด ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 3 na a a ... a    เขียนด้วยด้วย 5S นั่นคือ 5S  1 2 3 4 5a a a a a    ในทำนองเดียวกัน ผลบวก 6 พจน์แรกของอนุกรม 1 2 3 na a a ... a    เขียนด้วยด้วย 6S นั่นคือ 6S  1 2 3 4 5 6a a a a a a     ในกรณีทั่วไป จะเขียนแทนผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมด้วย nS นั่นคือ nS  1 2 3 na a a ... a    จำกข้อตกลงนี้จึงได้ว่ำ 1S  1a 2S  1 2a a 3S  1 2 3a a a  . . .
  2. 2. ตัวอย่ำงที่ 2 กำหนดลำดับจำกัด (1) จงเขียนอนุกรมของลำดับนี้ (2) จงหำผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1) (3) จงหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1) วิธีทำ (1) เป็นอนุกรมจำกัด (2) ผลบวก 5 พจน์แรกของอนุกรมในข้อ (1) (3) ผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมในข้อ (1) 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10         2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , 2 6 , 2 7 , 2 8 , 2 9 , 2 10  2 2 2 2 2 1 2 3 4 5     1 4 9 16 25     55  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10          1 4 9 16 25 36 49 64 81 100          385 ข้อตกลง 1. เพื่อควำมสะดวก ต่อไปนี้จะเขียนอนุกรมจำกัดที่มีหลำยพจน์ โดยเขียนเฉพำะ 3 พจน์แรก และ พจน์สุดท้ำย โดยละพจน์อื่นๆ ไว้ในฐำนที่เข้ำใจ เช่น ในตัวอย่ำงที่ 2 ข้อ (1) จะเขียนอนุกรม 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10         ย่อๆ เป็น 2 2 2 2 1 2 3 ... 10    2. อนุกรมที่เกิดจำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และอนุกรมที่เกิดจำกลำดับเรขำคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเรขำคณิต
  3. 3. กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด กำรหำผลบวกของอนุกรมจำกัด สำมำรถหำด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติได้ แต่กรณีที่อนุกรมจำกัดนั้นมี หลำยๆ พจน์ กำรหำผลบวกของอนุกรมด้วยวิธีหำผลบวกตำมปกติจะไม่สะดวก พิจำรณำผลบวกของอนุกรมต่อไปนี้ (1) 3 5 7 9 11    (2) 1 1 1 4 2 1 2 4 8      (3) 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2 4 8 16 32 64         จะเห็นได้ว่ำ ผลบวกของอนุกรม 3 5 7 9 11    หำด้วยวิธีหำผลบวกปกติได้เท่ำกับ 35 ซึ่งหำได้ ง่ำยๆ ผลบวกของอนุกรม 1 1 1 4 2 1 2 4 8       32 16 8 4 2 1 8       63 8 ผลบวกของอนุกรม 1 1 1 1 1 1 4 2 1 2 4 8 16 32 64          256 128 64 32 16 8 4 2 1 63          511 63 จะเห็นว่ำ ในบำงกรณีผลบวกของอนุกรมที่มีจำนวนพจน์หลำยๆ พจน์ จะหำผลบวกตำมปกติไม่ สะดวก ต้องหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตร ในหัวข้อนี้ จะกล่ำวถึงกำรหำผลบวกด้วยวิธีคำนวณจำกสูตรเฉพำะของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม เรขำคณิต ดังนี้
  4. 4. อนุกรมเลขคณิต อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำดับ เลขคณิต ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต เช่น เป็นลำดับเลขคณิต มีค่ำ เป็นอนุกรมเลขคณิต มีค่ำ กำรหำผลบวกของทุกพจน์ของอนุกรมนี้ (มีทั้งหมด 5 พจน์) ทำได้อีกวิธีหนึ่ง ดังนี้ เนื่องจำก ดังนั้น ในกรณีของกำรหำผลบวก พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต จะหำได้ดังนี้ จำก และ จะได้ ------------   d 3, 5, 7, 9, 11 d 2, 1a 3, 5a 11 3 5 7 9 11    d 2, 1a 3, 5a 11 3 5 7  9 11 11 9 7  5 3 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14  5 14 3 5 7 9 11     5 14 2   35 n nS  1 2 3 n 2 n 1 na a a ... a a a        n 1a a n 1 d   nS         1 1 1 1 1a a d a 2d ... a n 3 d a n 2 d                  1a n 1 d     อนุกรมที่ได้จำกลำดับเลขคณิต เรียกว่ำ อนุกรมเลขคณิต และเรียกผลต่ำงร่วมของลำดับเลขคณิต ว่ำเป็นผลต่ำงร่วมของอนุกรมเลขคณิต สูตร อนุกรมเลขคณิต หรือ  d nS    1 n 2a n 1 d 2   nS   1 n n a a 2 
  5. 5. จำก  สำมำรถเขียน ในรูปผลบวกของพจน์ที่ เรียงตำมลำดับไปถึงพจน์ที่ 1 ได้เป็น ------------  นำ   จะได้ ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 1) เรำสำมำรถแปลงสูตรที่ 1 ให้ง่ำยยิ่งขึ้น โดยใช้สูตร แทนในสูตรที่ 1 ดังนี้ จำก จะได้ ดังนั้น ---------- (สูตรที่ 2) nS n nS       1 1 1a n 1 d a n 2 d a n 3 d ...                       1 1 1a 2d a d a     n nS S         1 1 1 1a a (n 1)d a d a n 2 d                    1 1 1 1a 2d a n 3 d ... a n 3 d a 2d                      1 1 1 1a n 2 d (a d) a n 1 d a              n2S        1 1 12a n 1 d 2a d nd 2d 2a 2d nd 2d ...                  1 1 12a nd 3d 2d 2a nd 2d d 2a n 1 d          n2S          1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d ...                  1 1 12a n 1 d 2a n 1 d 2a n 1 d        n2S    1n 2a n 1 d   n 1a a n 1 d   nS    1 n 2a n 1 d 2   nS    1 1 n a a n 1 d 2      nS    1 n 2a n 1 d 2   nS   1 n n a a 2 
  6. 6. ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้ (1) (2) (3) วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้ ผลบวก วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้ ผลบวก (2) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้ ผลบวก วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; 10a 47 จะได้ ผลบวก 3 5 7 9 11    2 7 12 17 22 27 32 37 42 47         4 5 7 8 10 11 13 14 1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3             3 5 7 9 11     35 nS   1 n n a a 2  n 5, 1a 3, 5a 11  5S    5 3 11 2   5 14 2   35  2 7 12 17 22 27 32 37 42 47          245 nS   1 n n a a 2  n 10, 1a 2,  10S    10 2 47 2   5 49  245
  7. 7. (3) วิธีที่ 1 หำผลบวกจำกกำรหำผลบวกตำมปกติ จะได้ ผลบวก วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร ; จะได้ ผลบวก ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมที่กำหนดค่ำ และ ให้ดังนี้ (1) (2) (3) วิธีทำ (1) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ จำก จะได้ วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้  4 5 7 8 10 11 13 14 1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3             3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3             102 3  34 nS   1 n n a a 2  n 12, 1a 1, 12 14 a 3   12S  12 14 1 2 3       17 6 3        34 1a d 1a 3, d 2 1a 2, d 5 1a 8, d 2  nS   1 n n a a 2  8a  1a 7d   3 7 2  17 8S   1 8 8 a a 2     8 3 17 2   80 nS   1 n 2a n 1 d 2     5S      8 2 3 8 1 2 2       4 6 14   80
  8. 8. (2) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ จำก จะได้ วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ (3) วิธีที่ 1 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ จำก จะได้ วิธีที่ 2 หำผลบวกโดยใช้สูตร จะได้ nS   1 n n a a 2  8a  1a 7d   2 7 5  37 8S   1 8 8 a a 2     8 2 37 2   156 nS   1 n 2a n 1 d 2     5S      8 2 2 8 1 5 2       4 4 35   156 nS   1 n n a a 2  8a  1a 7d   8 7 2   6 8S   1 8 8 a a 2     8 8 6 2      8 nS   1 n 2a n 1 d 2     5S       8 2 8 8 1 2 2        4 16 14  8
  9. 9. ตัวอย่ำงที่ 3 จงหำผลบวกของอนุกรม วิธีทำ อนุกรมนี้มี จะต้องหำค่ำ จำก จะได้ จำก หำผลบวกของ หรือหำ จำก จะได้ ตัวอย่ำงที่ 4 กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 2 เท่ำกับ 10 และมีผลต่ำงร่วมเท่ำกับ จงหำ และ วิธีทำ กำหนด และ จำก จะได้ จำก จะได้ และ ดังนั้น และ 5 9 13 17 ... 81     1a 5, na 81, d 4 n na   1a n 1 d  81   5 n 1 4  81  5 4n 4  n  20 n  20 5 9 13 17 ... 81     20S nS   1 n n a a 2  20S    20 5 81 2   860 3 15S 20S 2a 10 d 3 na   1a n 1 d  10   1a 2 1 3  10  1a 3 1a  7 nS   1 n 2a n 1 d 2     15S      15 2 7 15 1 3 2        15 14 42 2   420 20S      15 2 7 20 1 3 2        15 14 57 2   710 15S  420 20S  710
  10. 10. ตัวอย่ำงที่ 5 กำหนดให้อนุกรมเลขคณิตมีพจน์ที่ 5 และพจน์ที่ 9 เท่ำกับ และ ตำมลำดับ จงหำผลบวก 20 พจน์แรก วิธีทำ กำหนด และ จำก ----------- -----------  ; แทนค่ำ ลงใน  จะได้ จำก ดังนั้น ผลบวก 20 พจน์แรก คือ ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง วิธีทำ เนื่องจำก เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มี จำก จำก จะได้ ดังนั้น ผลบวกของจำนวนเต็มคี่ตั้งแต่ ถึง เท่ำกับ 19 35 5a 19 9a 35 na   1a n 1 d  5a   1a 5 1 d  19  1a 4d 9a   1a 9 1 d  35  1a 8d  16  4d d  4 d  4 19  1a 4(4) 1a  3 20a  1a 19d  3 19(4)  79 20S   1 20 20 a a 2    10 3 79  820 9 251 9 11 13 ... 251    1a 9, d 2 na   1a n 1 d  251   9 n 1 2  251  9 2n 2  n  244 2  122 nS   1 n n a a 2  122S    122 9 251 2   15,860 9 251 15,860
  11. 11. ตัวอย่ำงที่ 7 ผู้รับเหมำก่อสร้ำงคนหนึ่งนำปูนซีเมนต์วำงซ้อนกันเป็นชั้นๆ ถ้ำเขำวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นล่ำงสุด ถุง และวำงปูนซีเมนต์ไว้ชั้นบนสุดจำนวน 24 ถุง โดยให้แต่ละชั้นที่สูงขึ้นมีปูนซีเมนต์ลดลงชั้นละ ถุง เสมอ จงหำว่ำ (1) ปูนซีเมนต์กองนี้มีกี่ชั้น (2) ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมดกี่ถุง วิธีทำ (1) ถ้ำเรียงจำนวนถุงปูนซีเมนต์จำกบนลงล่ำงจะได้อนุกรมนี้ คือ โดยที่ จำก จะได้ 100 ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มี ชั้น (2) จำนวนถุงทั้งหมดของปูนซีเมนต์กองนี้ คือ หรือ จำก จะได้ ดังนั้น ปูนซีเมนต์กองนี้มีทั้งหมด ถุง 100 4 24 28 32 ... 100    1a 24, d 4 na   1a n 1 d  100   24 n 1 4   24 4n 4  4n  80 n  20 20 24 28 32 ... 100    20S nS   1 n n a a 2  20S    20 24 100 2   1,240 1,240

×