Download luận văn thạc sĩ ngành vật lí với đề tài: Khảo sát cộng hưởng từ - phonon trong siêu mạng bán dẫn bằng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái, cho các bạn tham khảo 50000620

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ HỒNG SEN
KHẢO SÁT CỘNG HƯỞNG TỪ - PHONON TRONG
SIÊU MẠNG BÁN DẪN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
TOÁN TỬ CHIẾU ĐỘC LẬP TRẠNG THÁI
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số : 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. LÊ ĐÌNH
Thừa Thiên Huế, năm 2016
i

2. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi,
các số liệu và kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được
các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Hồng Sen
ii

3. LỜI CẢM ƠN
Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tôi xin chân thành cảm
ơn quý thầy, cô giáo trong khoa Vật Lý và phòng đào tạo sau đại học,
trường đại học sư phạm, đại học Huế; đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ
tôi trong quá trình học tập tại trường.
Đặc biệt, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - PGS.
TS Lê Đình đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn thân thiết
đã luôn ở bên cạnh động viên giúp đỡ tôi vượt qua mọi khó khăn.
Huế, tháng 9 năm 2016
Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Hồng Sen
iii

4. MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh sách các hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 1. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH SIÊU MẠNG
BÁN DẪN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 10
1.1. Tổng quan về siêu mạng bán dẫn . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1. Siêu mạng bán dẫn . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
siêu mạng bán dẫn thành phần . . . . . . . . . . 13
1.1.3. Hamiltonian của hệ electron - phonon khi có mặt
điện trường ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái . . . . . . 17
Chương 2. BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA ĐỘ DẪN VÀ CÔNG SUẤT HẤP THỤ . . . 20
2.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn . . . . . . . . . . 20
2.2. Hàm suy giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ trong siêu mạng
bán dẫn thành phần khi có từ trường . . . . . . . . . . . 31
2.4. Cộng hưởng từ - phonon trong siêu mạng bán dẫn . . . . 41
Chương 3. KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN . . 43
3.1. Xác định đỉnh cộng hưởng từ - phonon . . . . . . . . . . 44
1

5. 3.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên cộng hưởng từ - phonon . . 45
3.2.1. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên vị trí đỉnh cộng hưởng 45
3.2.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên độ rộng phổ ODMPR 46
3.3. Ảnh hưởng của từ trường lên cộng hưởng từ - phonon . . 48
3.3.1. Ảnh hưởng của từ trường lên vị trí đỉnh cộng hưởng 48
3.3.2. Ảnh hưởng của từ trường lên độ rộng phổ . . . . 49
3.4. Ảnh hưởng của chu kỳ siêu mạng lên cộng hưởng từ -
phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.1. Ảnh hưởng của chu kỳ siêu mạng lên vị trí đỉnh
cộng hưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2. Ảnh hưởng của chu kỳ siêu mạng lên độ rộng phổ 51
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
2

6. DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
1.1 Minh hoạ phương pháp toán tử chiếu. . . . . . . . . . . . 19
3.1 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng pho-
ton. Ở đây, nhiệt độ T = 200 K, từ trường B = 10 T, s
= 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon
với các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Ở đây, nhiệt độ T
= 200 K (đường liền nét),nhiệt độ T = 300 K (đường nét
đứt), từ trường B = 10 T, s=1. . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Độ rộng vạch phổ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon với các
giá trị khác nhau của nhiệt độ. Ở đây từ trường B = 10
T, s = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.5 Vị trí đỉnh cộng hưởng ODMPR với các giá trị khác nhau
của từ trường: B = 8 T (đường liền nét), B = 10 T (đường
nét đứt) và B = 12 T (đường chấm chấm). Ở đây, nhiệt
độ T = 200 K, s = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Độ rộng vạch phổ đỉnh ODMPR với các giá trị khác nhau
của từ trường. Ở đây, nhiệt độ T = 200 K, N’=0. . . . 50
3.7 Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon dò tìm bằng quang học
với các giá trị khác nhau của chu kỳ siêu mạng: d = 50
nm (đường chấm chấm), d = 60 nm (đường nét đứt) và
d = 70 nm (đường liền nét). Ở đây, nhiệt độ T = 200 K,
từ trường B = 10 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3

7. 3.8 Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon với các giá trị khác
nhau của chu kỳ siêu mạng: d = 50 nm (đường chấm
chấm), d = 60 nm (đường nét đứt) và d = 70 nm (đường
liền nét). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4

8. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bán dẫn thấp chiều đã và đang là đối tượng thu hút sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Các cấu trúc thấp chiều bao gồm:
hệ chuẩn hai chiều (2D) như hố lượng tử và siêu mạng, trong đó các
hạt tải bị giới hạn theo một chiều và tự do theo hai chiều còn lại, phổ
năng lượng bị gián đoạn theo chiều bị giới hạn; hệ một chiều (1D) như
dây lượng tử, trong đó các hạt tải bị giới hạn theo hai chiều, chúng
chuyển động tự do dọc theo chiều dài của dây, phổ năng lượng bị gián
đoạn theo hai chiều không gian; hệ không chiều (0D) như chấm lượng
tử, trong đó các hạt bị giới hạn theo cả ba chiều trong không gian và
không thể chuyển động tự do, các mức năng lượng bị gián đoạn theo cả
ba chiều trong không gian.
Khi nghiên cứu các cấu trúc thấp chiều, các nhà khoa học đã phát
hiện ra nhiều tính chất kỳ lạ và ưu việt của chúng so với bán dẫn khối
(3D) truyền thống. Có thể nói bán dẫn thấp chiều là một vật liệu có
tính chất đặc trưng. Các linh kiện quang điện tử hoạt động dựa trên các
cấu trúc mới này bởi vì chúng có nhiều tính năng vượt trội như tiêu tốn
ít năng lượng, tốc độ hoạt động nhanh và kích thước nhỏ.
Trong các bán dẫn hệ thấp chiều thì siêu mạng bán dẫn có nhiều
hiệu ứng lượng tử đáng quan tâm nghiên cứu như cộng hưởng electron
- phonon, cộng hưởng cyclotron, cộng hưởng từ - phonon. Trong số các
hiệu ứng này, thì hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon (Magnetophonon
Resonance - MPR) đang được các nhà khoa học rất quan tâm [11], [13],
[24], [25], [26], [27]. Sở dĩ như vậy là vì hiệu ứng MPR có thể đem lại
nhiều thông tin có ích cho việc nghiên cứu cấu trúc và tính chất của vật
5

9. liệu. Ngoài ra, hiệu ứng cộng hưởng từ - phonon còn là công cụ mạnh để
khảo sát các tính chất của các bán dẫn, ví dụ như cơ cấu hồi phục hạt
tải, sự tắt dần của các dao động gây ra bởi tương tác electron - phonon,
đo khối lượng hiệu dụng, xác định khoảng cách giữa các mức năng lượng
gần nhau.
Để nghiên cứu các tính chất của hệ thấp chiều đã có nhiều phương
pháp được đề xuất, chẳng hạn như phương pháp tích phân đường Fey-
man, phương pháp hàm Green, phương pháp phương trình động lượng
tử và phương pháp chiếu toán tử. Mỗi phương pháp đều có ưu điểm
riêng tùy theo từng bài toán cụ thể, trong đó phương pháp chiếu toán
tử là phương pháp được sử dụng nhiều nhất lý do là vì với các toán tử
chiếu hoàn toàn xác định, ta có thể thu được công thức độ dẫn khá hoàn
hảo, biểu thức hàm dạng phổ tường minh.
Các công trình nghiên cứu với các tính toán cho các hiệu ứng cộng
hưởng từ - phonon (MPR) được các nhà khoa học rất quan tâm. MPR
được Gurevich và Firsov tiên đoán bằng lý thuyết lần đầu tiên vào năm
1961, được Puri, Geballe và đồng nghiệp [30] quan sát bằng thực nghiệm
vào năm 1963. MPR xảy ra ở nhiều vật liệu bán dẫn, hợp kim như Si,
Insb, GaAs, CdTe, cũng như trong các hệ thấp chiều [25]. Nguồn gốc
của hiệu ứng MPR là sự tán xạ cộng hưởng điện tử gây ra bởi sự hấp thụ
và phát xạ các phonon khi khoảng cách giữa hai mức Landau bằng năng
lượng của phonon quang dọc (LO). Gần đây, G.Q. Hai và F.M. Peeters
[13] đã chứng minh về lý thuyết rằng các hiệu ứng MPR có thể được
quan sát trực tiếp thông qua việc nghiên cứu dò tìm bằng quang học
cộng hưởng từ - phonon (Optically detected magnetophonon resonance
- ODMPR) trong hệ bán dẫn khối GaAs. Tác giả D.J. Barnes và đồng
nghiệp [11] cũng công bố kết quả thực nghiệm của ODMPR trong hệ
bán dẫn hai chiều của các lớp chuyển tiếp dị thể GaAs/AlxGa(1-x)As.
6

10. Gần đây hơn, S.Y. Choi, S.C. Lee và đồng nghiệp đã khảo sát chi tiết
các hiệu ứng ODMPR trong bán dẫn khối và siêu mạng bán dẫn [26],
[27].
Ở trong nước, đã có khá nhiều công trình nghiên cứu về cộng hưởng
từ - phonon. Năm 2011 đề tài luận án tiến sĩ của Võ Thành Lâm đã đi sâu
nghiên cứu nhiều loại cộng hưởng, trong đó có cộng hưởng từ - phonon
trong bán dẫn hố lượng tử vuông góc sâu vô hạn và hố thế lượng tử
parabol [4]. Luận văn thạc sĩ của Lê Thị Diệu Hiền nghiên cứu cộng
hưởng từ - phonon trong trong bán dẫn giếng lượng tử với thế vuông
góc có độ sâu vô hạn [3]. Luận văn thạc sĩ của Lê Thị Cẩm Trang nghiên
cứu lý thuyết để phát hiện cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử
hình chữ nhật bằng quang học (2008) [6]. Luận văn thạc sĩ của Nguyễn
Thị Lan Anh nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong giếng lượng tử
đặt trong từ trường xiên [1]. Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Ngọc
Uyên nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử đặt trong
từ trường xiên [8]. Luận văn thạc sĩ của Phan Thị Thanh Nhi nghiên cứu
cộng hưởng từ - phonon trong dây lượng tử thế parabol và thế vuông góc
[5]. Luận văn thạc sĩ của Cái Thị Tuyết Trinh nghiên cứu cộng hưởng
từ - phonon trong dây lượng tử thế parabol và thế tam giác [7].
Như vậy, cho đến nay đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về cộng
hưởng từ - phonon trong bán dẫn thấp chiều. Tuy nhiên, chưa có công
trình nào sử dụng phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái khảo
sát cộng hưởng từ - phonon trong siêu mạng bán dẫn.
Vì những lí do trên tôi chọn đề tài: “Khảo sát cộng hưởng từ -
phonon trong siêu mạng bán dẫn bằng phương pháp toán tử
chiếu độc lập trạng thái” làm đề tài luận văn của mình.
7

11. 2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là áp dụng phương pháp toán tử chiếu độc lập
trạng thái để thiết lập biểu thức của tenxơ độ dẫn từ và công suất hấp
thụ sóng điện từ trong siêu mạng bán dẫn thành phần do tương tác
electron - phonon dưới tác dụng của điện trường và từ trường ngoài, từ
đó khảo sát hiện tượng cộng hưởng từ - phonon và dò tìm bằng quang
học hiện tượng này.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu hệ thấp chiều trong đó đặc biệt là siêu mạng bán dẫn
và phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái.
- Thiết lập năng lượng và hàm sóng của electron trong siêu mạng
bán dẫn đặt trong từ trường.
- Thiết lập tenxơ độ dẫn và công suất hấp thụ bằng phương pháp
toán tử chiếu độc lập trạng thái.
- Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng
photon, từ đó khảo sát cộng hưởng từ - phonon và dò tìm cộng hưởng
này bằng quang học.
- Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng phổ vào nhiệt độ, từ trường
và thông số của siêu mạng.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều
hạt trong Vật lý thống kê trong đó sẽ tập trung nhiều vào sử dụng
phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái để thiết lập các biểu thức
giải tích.
- Sử dụng chương trình tin học Mathematica để tính số và vẽ đồ
8

12. thị.
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu hiện tượng cộng hưởng từ - phonon
trong siêu mạng bán dẫn thành phần khi có mặt của điện trường xoay
chiều và từ trường tĩnh với các giới hạn sau:
- Chỉ xét phonon khối (3 chiều).
- Chỉ xét đến tương tác electron - phonon, bỏ qua tương tác cùng
loại (electron - electron, phonon - phonon).
6. Bố cục luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục,
phần nội dung chính của luận văn gồm có ba chương.
- Chương 1 trình bày những vấn đề tổng quan.
- Chương 2 trình bày phần tính toán giải tích.
- Chương 3 trình bày kết quả tính số, vẽ đồ thị và thảo luận kết
quả.
9

13. NỘI DUNG
Chương 1
TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH SIÊU MẠNG
BÁN DẪN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Chương này trình bày tổng quan về siêu mạng bán dẫn, hàm
sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu mạng bán dẫn
thành phần chịu tác dụng của từ trường, Hamiltonian của hệ
electron - phonon khi có mặt trường ngoài và tổng quan về
phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái.
1.1. Tổng quan về siêu mạng bán dẫn
1.1.1. Siêu mạng bán dẫn
Siêu mạng bán dẫn (semiconductor superlattice) là vật liệu bán dẫn
có cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc hai loại khác
nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp nhau. Siêu mạng bán dẫn được
chế tạo từ một lớp mỏng bán dẫn có độ dày dA ký hiệu là A, độ rộng
vùng cấm hẹp (ví dụ GaAs) đặt tiếp xúc với lớp bán dẫn mỏng có độ dày
dB ký hiệu là B có độ rộng vùng cấm rộng (ví dụ AlAs). Các lớp mỏng
này đặt xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông góc
với các lớp trên), khoảng cách giữa hai lớp bán dẫn liên tiếp d = dA +dB
gọi là chu kỳ siêu mạng. Trong thực tế tồn tại nhiều lớp mỏng kế tiếp
nhau dưới dạng B/A/B/A. . . và độ rộng hàng rào thế đủ hẹp để các
lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần hoàn. Khi đó, electron có thể
xuyên qua hàng rào thế di chuyển từ lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp này
sang bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó electron ngoài việc chịu
10

14. ảnh hưởng của thế tuần hoàn của tinh thể nó còn chịu thêm ảnh hưởng
của một thế phụ. Thế phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng
lượng giữa các cận điểm đáy vùng dẫn của hai bán dẫn tiếp xúc nhau
và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với
hằng số mạng. Hệ electron trong siêu mạng khi đó là khí electron chuẩn
hai chiều. Các tính chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ
năng lượng và hàm sóng của electron thông qua việc giải phương trình
Schodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn trong siêu mạng. Dựa
vào cấu trúc của hai lớp bán dẫn A và B, người ta chia siêu mạng bán
dẫn thành hai loại: siêu mạng bán dẫn pha tạp và siêu mạng bán dẫn
thành phần.
+ Siêu mạng bán dẫn pha tạp:
Các giếng thế trong siêu mạng có thể được tạo thành từ hai lớp
bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau, siêu mạng có cấu
tạo như vậy gọi là siêu mạng bán dẫn pha tạp (Doped Semiconductor
Superlattice - DSSL). Ưu điểm của siêu mạng bán dẫn pha tạp về mặt
cấu trúc là có thể dễ dàng điều chỉnh các tham số của siêu mạng nhờ
thay đổi nồng độ pha tạp.
+ Siêu mạng bán dẫn thành phần:
Siêu mạng bán dẫn thành phần được cấu tạo từ các lớp bán dẫn A
và B khác nhau sao cho hàng rào thế trong các hố lượng tử đủ hẹp để các
electron có thể xuyên qua hàng rào thế năng (từ bán dẫn có vùng cấm
hẹp này sang bán dẫn có vùng cấm hẹp khác) thì các hố lượng tử đa lớp
trở thành bán dẫn siêu mạng thành phần (Compositional Semiconductor
Superlattice - CSSL).
Ta giả thiết rằng độ rộng vùng cấm ζA
g của bán dẫn A nhỏ hơn độ
rộng vùng cấm ζB
g của bán dẫn B trong một hố thế lượng tử độc lập
(ζB
g > ζA
g ). Do sự khác nhau này mà biên vùng dẫn cũng như biên vùng
11

15. hóa trị của các bán dẫn A và B không ngang nhau. Sự chênh lệch năng
lượng giữa các biên của một loại vùng thuộc hai lớp kế tiếp của siêu
mạng tạo nên một hố lượng tử giam giữ các hạt trong một lớp mỏng.
Chính vì vậy việc nghiên cứu biên của các vùng có tính chất quyết định
trong việc tạo ra các thiết bị giam giữ lượng tử. Tuy nhiên các nghiên
cứu lý thuyết và thực nghiệm đã chỉ ra rằng sự thay đổi thế năng là khá
đột biến và tạo ra một hố thế dạng chữ nhật. Hố thế hình chữ nhật này
là phù hợp với thế giam giữ trong hầu hết các hố lượng tử. Độ sâu của
hố lượng tử đối với các electron được xác định bởi hiệu các cực tiểu các
vùng dẫn của bán dẫn A và B [22]
∆c = ∆ζc = |ζA
c − ζB
c |,
còn đối với lỗ trống thì được xác định bởi hiệu các cực đại của các vùng
hóa trị của các bán dẫn A và B
∆v = ∆ζv = |ζA
v − ζB
v |.
Thế của siêu mạng được xác định bởi hiệu của các khe năng lượng của
hai bán dẫn
∆r = ∆ζg = ζB
g − ζA
g = ∆c + ∆v = U0,
nghĩa là bằng tổng năng lượng chênh lệch của vùng dẫn và năng lượng
chênh lệch của vùng hóa trị ứng với hai lớp bán dẫn A và B tạo thành
siêu mạng.
Từ sự tương quan giữa vị trí đáy vùng dẫn và đỉnh vùng hóa trị
của các bán dẫn, bán dẫn siêu mạng thành phần được phân thành hai
loại chính.
+ Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn
toàn bao nhau. Trong loại này, cả electron và lỗ trống đều bị giam cầm
trong cùng một lớp bán dẫn loại A (như siêu mạng GaAs/GaAlAs).
12

16. + Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm gần
nhau nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần. Trong loại
này lỗ trống giam giữ trong lớp A còn electron bị giam giữ trong lớp B
(như siêu mạng GaxIn1−xAs/GaAsySb1−y).
Cả hai loại trên luôn thỏa mãn điều kiện ζA
y < ζB
y và ∆v < ∆c.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong siêu
mạng bán dẫn thành phần
1.1.2.1 Khi không có từ trường
Hàm sóng chuẩn hóa của hố lượng tử chuẩn hai chiều với hàng rào
thế vô hạn có dạng như sau:
Ψ(r⊥, z) =
1
√
S
eik⊥r⊥
2
Lz
sin(kzz), (1.1)
trong đó:
kz =
nπ
Lz
(n = 1, 2, 3, ...),
với kz là thành phần vectơ sóng theo phương trục z; n là số lượng tử
hóa trong hố thế độc lập; S = LxLy; Lx, Ly, Lz là độ rộng theo phương
x, y, z.
Siêu mạng là hố lượng tử đa lớp có liên kết, do đó hàm sóng và phổ
năng lượng trong siêu mạng có thể tính theo cùng một cách như đối với
các hố lượng tử. Vì hàng rào thế trong siêu mạng hữu hạn nên ta thay
thế hàm sóng theo phương z trong hố thế vô hạn bởi Φn(z) là hàm sóng
của electron trong hố thế cô lập hữu hạn
2
Lz
sin(kzz) −→ Φn(z),
trong đó Φn(z) là nghiệm của bài toán hố lượng tử hữu hạn. Xét các
hố lượng tử cấu thành siêu mạng là tương tác yếu với nhau, do đó hàm
sóng của electron trong siêu mạng thỏa mãn định lý Bloch và có dạng
13

17. chồng chập các sóng phẳng [33]
Ψnα,kα
(r) =
1
LxLys0
eik⊥r⊥
s0
j=1
eikzjd
Φnα
(z − jd), (1.2)
trong đó nα là số lượng tử ở trạng thái α (nα = 1, 2, ...); k⊥ = kxi + kyj;
r⊥ = xi + yj; d là chu kỳ siêu mạng; j = 1, 2, ...; s0 là số chu kỳ siêu
mạng.
Hàm Φnα
(z) là hàm sóng của một hố thế độc lập ở trạng thái |α
trong bán dẫn siêu mạng thành phần có dạng
Φnα
(z) =
ξ
2nαnα!
√
π
1
2
exp −
ξ2
z2
2
Hnα
(ξz), (1.3)
với ξ = m∗
ω0
và Hnα
(z) là đa thức Hermite.
Xét siêu mạng một chiều có thế tuần hoàn theo trục z. Thế siêu
mạng ảnh hưởng rất ít đến chuyển động của electron trong mặt phẳng
(x, y), còn chuyển động của electron theo phương trục z sẽ tương ứng
với chuyển động của electron trong một trường tuần hoàn với chu kỳ
d. Tương ứng với hàm sóng ở phương trình (1.2), phổ năng lượng của
electron trong siêu mạng ở mini vùng thứ n ở trạng thái |α có dạng [33]
En(k) =
2
(k⊥)2
2m∗
+ E(kz), (1.4)
trong đó E(kz) = En − ∆n cos(kzd), với kz được xác định trong mini
vùng thứ nhất −π/d ≤ kz ≤ π/d; n là chỉ số mini vùng (s0 là chỉ số mini
vùng cao nhất) n = 1, 2, ...s0; En là năng lượng trong hố thế cô lập; ∆n
là một nửa độ rộng của mini vùng thứ n. Biểu thức của En có dạng
En =
2
π2
2m∗d2
0
n2
= n2
E0, (1.5)
với d0 là bề rộng của hố thế cô lập, E0 = 2
π2
/(2m∗
d2
0).
Do đó phổ năng lượng của electron được viết lại như sau
En(k) =
2
(k⊥)2
2m∗
+ n2
E0 − ∆n cos(kzd). (1.6)
14

18. 1.1.2.2 Khi có từ trường
Khi có mặt của từ trường B dọc theo trục z (B//Oz), chuyển động
của electron trong mặt phẳng (x, y) cũng bị lượng tử hóa. Phổ năng
lượng của electron bị lượng tử hóa theo kiểu Landau (lượng tử hóa
thành các mức Landau biểu thị bằng số lượng tử N). Chọn thế vectơ
A ≡ (0, Bx, 0), lúc này
E⊥ → (N + 1/2) ωc.
Hamiltonian của một electron được cho bởi công thức
h0 =
[p + eA(r)]2
2m∗
,
ở đây ta sử dụng chuẩn Landau cho thế vectơr A; p là kí hiệu xung lượng
của một electron dẫn với khối lượng hiệu dụng m∗
.
Phổ năng lượng và hàm sóng của electron tương ứng với Hamiltonian
một electron h0 có dạng
Ψnα,kα
(r) ≡ |α = |Nα, nα, kαy ≡ |Nα, kαy |nα , (1.7)
trong đó
|Nα, kαy =
1
Ly
1
2
eikαyy
ΦNα
(x − Xα), (1.8)
với ΦNα
(x − Xα) là hàm riêng của dao động tử điều hòa với tần số
cyclotron ωc
ΦNα
(x − Xα) =
1
(
√
π2NαNα!ac)1/2
exp −
(x − Xα)2
2a2
c
HNα
x − Xα
ac
(1.9)
và
|nα ≡ Φnα
(z) (1.10)
là hàm sóng được đặc trưng bởi thế giam giữ theo trục z, được cho bởi
phương trình (1.3).
15

19. Trong các công thức trên, Xα là tâm quĩ đạo của chuyển động cy-
cloron tương ứng với trạng thái |α , Xα ≡ − kαy/(eB) = − kαy/(m∗
ωc);
ac là bán kính quĩ đạo cyclotron, ac = [ /(eB)]1/2
; HN là đa thức Hermite
bậc N; Ly và Lz là các độ dài chuẩn hóa theo phương y và z.
Vậy phổ năng lượng của electron trong siêu mạng thành phần khi
có mặt từ trường theo trục z có dạng
En(k) = E⊥ + E = (N +
1
2
) ωc +
2
π2
2m∗d2
0
n2
− ∆n cos(kzd). (1.11)
1.1.3. Hamiltonian của hệ electron - phonon khi có mặt điện
trường ngoài
Giả sử điện trường lan truyền theo phương trục siêu mạng (trục z)
và xuyên sâu vào mẫu, vectơ cường độ điện trường biến thiên theo thời
gian có dạng
E =
3
j=1
ejEje−iωt
, (1.12)
trong đó ej, Ej và ω lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số của điện
trường theo phương j.
Hamiltonian của hệ trong biểu diễn lượng tử hóa thứ cấp gồm
Hamiltonian cân bằng của hệ electron - phonon và Hamiltonian không
cân bằng do tương tác với trường ngoài [2]
H(t) = Heq + Hint(t). (1.13)
Bỏ qua tương tác giữa các hạt cùng loại, Hamiltonian cân bằng của hệ
Heq là
Heq = Hd + V,
trong đó Hd là Hamiltonian của hệ electron - phonon tự do
Hd = He + Hph =
α
Eαa+
α aα +
q
ω+
q bq,
16

20. V là Hamiltonian tương tác của hệ electron - phonon
V =
q α,β
Cα,β(q)a+
α aβ(bq + b+
−q),
a+
α (aα) tương ứng là toán tử sinh (hủy) electron trong trạng thái |α ,
b+
q (bq) tương ứng là toán tử sinh (hủy) phonon trong trạng thái |q ≡
|q, s , (q là vectơr sóng của phonon ứng với năng lượng ωq, s là chỉ số
phân cực). Cα,β(q) là yếu tố ma trận tương tác electron - phonon được
định nghĩa như sau
Cα,β(q) = V (q) α|eiqr
|µ , (1.14)
r là vectơ vị trí của electron, V (q) là thừa số kết cặp, phụ thuộc vào
mode phonon.
Hamiltonian tương tác Hint phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên
theo thời gian trong phép gần đúng lưỡng cực có dạng [24]
Hint(t) = −
i
ω
E(t)J. (1.15)
Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, nghĩa là tương tác được mắc vào tại
thời điểm t → −∞, biểu thức Hint có thêm thừa số ea
(a → 0+
). Lúc đó
(1.15) trở thành:
Hint(t) = −
i
ω
Eje−iωt
Jj, (1.16)
với
ω = ω − ia.
1.2. Phương pháp toán tử chiếu độc lập trạng thái
Phép chiếu toán tử được Mori đưa ra lần đầu tiên năm 1965 [28] với
mục đích áp dụng lý thuyết về hàm tương quan của Kubo [23] để khắc
phục một khó khăn cơ bản mà các lý thuyết về quá trình không thuận
17

21. nghich thời đó mắc phải, đó là tính phân kỳ của các số hạng trong khai
triển của các đại lượng động lực khi hệ chịu tác dụng của trường ngoài.
Ý tưởng của phương pháp chiếu toán tử mà Mori đưa ra là bất kỳ
đại lượng động lực A(t) nào cũng có thể viết được dưới dạng:
A(t) = Ξ(t).A + A (t), A (t) =
∞
0
Ξ(t − s).f(s)ds, (1.17)
trong đó Ξ(t) được xác định bởi phép biến đổi Laplace, f(t) là hàm ngẫu
nhiên mô tả tính ngẫu nhiên của tương tác. Khi đó hình chiếu của một
vectơ G lên trục A được xác định bởi
PG = (G, A∗
)(A, A∗
)−1
A, (1.18)
với A∗
là liên hợp Hermite của A, kí hiệu (A, B) biểu diễn hàm tương
quan của hai toán tử A và B. Phương trình này xác định một toán
tử tuyến tính Hermite P trong không gian Hilbert thỏa mãn điều kiện
P(1−P) = 0. Từ đó ta định nghĩa tích vô hướng trong số hạng đầu tiên
của (1.17) là hình chiếu của A(t) lên trục A, và số hạng thứ hai A (t) là
thành phần thẳng góc với nó, cụ thể là
Ξ(t) = (A(t), A∗
)(A, A∗
)−1
, A (t) = (1 − P)A(t). (1.19)
Như vậy Ξ(t) mô tả sự diễn tiến theo thời gian của hình chiếu của đại
lượng A(t) như hình 1.1.
Tiếp theo phương pháp chiếu toán tử của Mori, một loạt kỹ thuật
chiếu đã được giới thiệu để giải quyết nhiều bài toán khác nhau [9], [10],
[12], [21], [29], [32], [34]. Trong đề tài này chúng tôi sử dụng kĩ thuật
chiếu độc lập trạng thái [14] mà nhóm Kang N.L. đã giới thiệu năm
2000. Các toán tử chiếu độc lập trạng thái được định nghĩa như sau
PX = X Jk/ Jk , P = 1 − P, (1.20)
18

22. Hình 1.1: Minh hoạ phương pháp toán tử chiếu.
trong đó Jk là thành phần theo phương k của vectơ mật độ dòng J:
J =
α,µ
Jα,µa+
α aµ, (1.21)
với J là vectơ mật độ dòng một điện tử. Ở đây ta sử dụng kí hiệu trung
bình tập hợp đại lượng X
X ≡ TR{ρ0[X, Jl]}, (1.22)
với ρ0 là toán tử mật độ cân bằng, TR{X} là kí hiệu phép lấy vết đại
lượng X.
19

23. Chương 2
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH
CỦA ĐỘ DẪN VÀ CÔNG SUẤT HẤP THỤ
Chương này trình bày tính toán giải tích tường minh công
suất hấp thụ trong bán dẫn siêu mạng thành phần trong trường
hợp tán xạ electron - phonon quang dọc, sau đó xác định điều
kiện cộng hưởng từ - phonon.
2.1. Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn
Khi hệ electron - phonon được đặt trong từ trường không đổi B =
(0, 0, B) và điện trường biến thiên tuần hoàn theo thời gian với tần số
góc ω, E = E0eiωt
, phản ứng của hệ là sinh ra độ dẫn, gọi là độ dẫn
quang - từ. Trong gần đúng phản ứng tuyến tính, ta thu được biểu thức
tenxơ độ dẫn có dạng [14], [15]
σkl(ω) =
i
ω
lim
a→0+
( ω − L)−1
Jk , (2.1)
trong đó ω = ω − ia, a → 0+
; L là toán tử Liouville tương ứng với
Hamiltonian H.
Bây giờ ta sử dụng phép chiếu độc lập trạng thái đã được định
nghĩa ở (1.20) để tính tenxơ độ dẫn. Xét đại lượng ( ω − L)−1
Jk. Tác
dụng P + P về bên phải toán tử Liouville trong đại lượng này, ta được
( ω − L)−1
Jk = [ ω − L(P + P)]−1
Jk = [ ω − LP − LP]−1
Jk. (2.2)
Sử dụng đẳng thức (A − B)−1
= A−1
+ A−1
B(A − B)−1
[16] và lưu ý
cách định nghĩa toán tử chiếu ở (1.20), (2.2) trở thành
( ω − L)−1
Jk =
Jk
ω
+
LP( ω − LP)−1
Jk
ω
20

24. = ( ω − LP)−1 L ( ω − L)−1
Jk Jk
Jk
=
Jk
ω
+ ( ω − LP)−1 L ( ω − L)−1
Jk Jk
Jk
, (2.3)
do PJk = (1 − P)Jk = 0.
Lấy trung bình hai vế phương trình (2.3), ta thu được
( ω − L)−1
Jk =
Jk
ω
+
( ω − LP)−1
LJk
Jk
=
Jk
ω
1 −
1
ω
LJk
Jk
+
LP( ω − LP)−1
LJk
Jk
−1
.
(2.4)
Đặt
LJk Jk
−1
= Ckl, (2.5)
LP( ω − LP)−1
LdJk Jk
−1
= Dkl(ω), (2.6)
LP( ω − LP)−1
LvJk Jk
−1
= Γkl(ω), (2.7)
với Ld và Lv lần lượt là toán tử Liouville tương ứng với Hamiltonian H0
và U, L = Ld + Lv.
Thay các biểu thức (2.5), (2.6) và (2.7) vào (2.4), ta có
( ω − L)−1
Jk =
Jk
ω
1 −
1
ω
[Ckl + Dkl(ω) + Γkl(ω)]
−1
=
Jk
ω − Ckl − Dkl(ω) − Γkl(ω)
. (2.8)
Thay (2.8) vào (2.1), ta thu được
σkl(ω) =
i
ω
lim
a→0+
Jk
ω − Ckl − Dkl(ω) − Γkl(ω)
. (2.9)
Như vậy, bằng việc sử dụng phép chiếu độc lập trạng thái được
định nghĩa ở (1.20), ta đã đưa được biểu thức tenxơ độ dẫn về dạng cụ
thể như phương trình (2.9). Chú ý rằng các thừa số tán xạ Ckl, Dkl(ω),
21

25. Γkl(ω) có thể xác định một cách độc lập nhau và độc lập với độ dẫn
trong phương trình (2.9). Vì vậy, nếu so sánh biểu thức độ dẫn ở (2.9)
với biểu thức tương ứng thu được khi sử dụng phép chiếu phụ thuộc
trạng thái [15], ta thấy rằng biểu thức này đơn giản hơn và thuận tiện
hơn khi thực hiện tính số. Đây là ưu điểm của kĩ thuật chiếu độc lập
trạng thái so với kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái. Bây giờ ta vận
dụng kết quả (2.9) để tính độ dẫn quang - từ trong vật liệu bán dẫn mà
trị riêng và hàm riêng của toán tử năng lượng được đặc trưng bằng chỉ
số Landau Nα và các vectơ sóng k như sau
En(k) = (N +
1
2
) ωc +
2
π2
2m∗d2
0
n2
− ∆n cos(kzd), (2.10)
Ψnα,kα
(r) ≡ |α = |Nα, nα, kαy ≡ |Nα, kαy |nα , (2.11)
trong đó |Nα, kαy , |nα được cho bởi (1.8) và (1.10).
Trong bài toán này, đối với một sóng điện từ phân cực tròn với tần
số ω, ta cần tìm thành phần σ+−(ω) của độ dẫn quang - từ. Từ (2.9) ta
có
σ+−(ω) =
i
ω
lim
a→0+
J+
ω − C+− − D+−(ω) − Γ+−(ω)
, (2.12)
trong đó [14], [17]
J+ =
α
j+
α+1,αa+
α+1aα, (2.13)
với
j+
α+1,α = α + 1|j+
|aα = −ie[2(Nα + 1) ωc/m]1/2
. (2.14)
Với trường hợp các toán tử chiếu là độc lập trạng thái, theo Phụ lục 1,
ta có:
J+ =
α
|j+
α+1,α|2
(fα+1 − fα), (2.15)
trong đó fα là hàm phân bố Fermi - Dirac của electron ở trạng thái |α
fα = {1 + exp [(Eα − EF )/kBT]}−1
, (2.16)
22

26. với EF là năng lượng Fermi, kB là hằng số Boltzmann ở nhiệt độ T và
|α + 1 = |Nα+1, k . (2.17)
Các thừa số tán xạ C+−, D+−(ω) và Γ+−(ω) trong (2.12) được xác
định như sau. Từ (2.5), ta có
C+− = LJ+ J+
−1
= LdJ+ J+
−1
+ LvJ+ J+
−1
. (2.18)
Theo Phụ lục 2 và Phụ lục 5, ta có LdJ+ = ωcJ+, LvJ+ = 0, nên
C+− = ωc J+ J+
−1
= ωc. (2.19)
Từ (2.6), sử dụng Phụ lục 2 và PJ+ = 0, ta được
D+−(ω) = LP( ω − LP)−1
LdJ+ J+
−1
= ωc LP( ω − LP)−1
J+ J+
−1
= 0. (2.20)
Từ (2.7), ta có:
E+−(ω) = LP( ω − LP)−1
LvJ+ J+
−1
= TR ρ0[LP( ω − LP)−1
LvJ+, J−] J+
−1
. (2.21)
Sử dụng công thức (P.6) ở Phụ lục 6
TR ρ0[LPX, J−] = TR {ρ0[LvJ−, X]} − TR {ρ0[LvPX, J−]} ,
thay vào (2.21) thu được
E+−(ω) = TR ρ0[LvJ−, ( ω − LP)−1
LvJ+]
− TR ρ0[LvP( ω − LP)−1
LvJ+, J−] J+
−1
= {SH1(2.22) + SH2(2.22)} J+
−1
. (2.22)
Xét số hạng SH2(2.22), ta có
PLvJ+ = LvJ+ J+ J+
−1
, (2.23)
23

27. nên
SH2(2.22) = TR ρ0[LvP( ω − LP)−1
LvJ+ J+ J+
−1
, J−]
= 0, (2.24)
vì theo Phụ lục 5, ta có LvJ+ = 0.
Thay (2.24) vào (2.22), ta thu được
Γ+−(ω) = J+
−1
TR ρd[LvJ−, ( ω − LP)−1
LvJ+] , (2.25)
trong đó ta đã giả sử tương tác là khá yếu nên ρ0 = ρd + ρv ≈ ρd.
Thay (2.19) và (2.20) và (2.12), ta thu được biểu thức độ dẫn như
sau
σ+−(ω) =
i
ω
lim
a→0+
J+
ω − ωc − Γ+−(ω)
. (2.26)
Như vậy, cho đến đây chúng ta đã sử dụng kĩ thuật chiếu độc lập
trạng thái để khai triển tenxơ độ dẫn thành biểu thức (2.26), với Γ+−(ω)
được gọi là hàm suy giảm [18], xác định theo (2.25). Ở chương tiếp theo,
biểu thức tenxơ độ dẫn và hàm suy giảm sẽ được khai triển tường minh
hơn, đồng thời kết quả thu được từ kĩ thuật chiếu độc lập trạng thái
được áp dụng vào mô hình siêu mạng bán dẫn thành phần để nghiên
cứu cộng hưởng từ - phonon.
2.2. Hàm suy giảm
Hàm suy giảm (2.25) sẽ được khai triển cụ thể hơn bằng cách tính
trung bình thống kê theo toán tử mật độ. Từ (2.25) ta có
J+ Γ+−(ω) = TR ρd LvJ−, ω − LP
−1
LvJ+ , (2.27)
với LP = L(1 − P), ta suy ra
J+ Γ+−(ω) = TR ρd LvJ−, (( ω − L) + LP)−1
LvJ+
24

28. = TR ρd LvJ−, ( ω − L)−1
LvJ+
+ TR ρd LvJ−, ( ω − L)−1
LP ω − LP
−1
LvJ+
= TR ρd LvJ−, ( ω − L)−1
LvJ+ , (2.28)
trong đó ta đã tính đến P(LvJ+) = LvJ+ J+ J+
−1
= 0, do LvJ+ = 0.
Tiếp tục biến đổi (2.28), thay L = Ld + Lv, ta được
J+ Γ+−(ω) = TR ρd LvJ−, (( ω − Ld) − Lv)−1
LvJ+
= TR ρd LvJ−, ( ω − Ld)−1
LvJ+
+ TR ρd LvJ−, ( ω − Ld)−1
L2
v ( ω − L)−1
J+
≈ TR ρd LvJ−, ( ω − Ld)−1
LvJ+ , (2.29)
trong đó ta chỉ lấy gần đúng đến số hạng bậc hai của thế tán xạ nên
L2
v = 0.
Sử dụng các hệ thức (P.4), (P.5) đã chứng minh ở Phụ lục 3 và Phụ
lục 4
LvJ− =
q β α
J+
α+1,α
∗
bq + b+
−q Cβ,α(q)a+
β aα+1 − Cα+1,β(q)a+
α aβ ,
LvJ+ =
q β α
J+
α+1,α bq + b+
−q Cβ,α+1(q)a+
β aα − Cα,β(q)a+
α+1aβ
và Phụ lục 7
( ω − Ld)−1
bqa+
α aβ = G+
α,β(q)bqa+
α aβ,
( ω − Ld)−1
b+
−qa+
α aβ = G−
α,β(−q)b+
−qa+
α aβ,
với
G±
α,β(±q) = ( ω − Eα + Eβ ± ω±q)−1
, (2.30)
ta viết lại (2.29) như sau
J+ Γ+−(ω)
25

29. = TR ρd
q,β,α
(j+
α+1,α)∗
(bq + b+
−q)(Cβ,α(q)a+
β aα+1 − Cα+1,β(q)a+
α aβ),
q ,β ,α
j+
α +1,α {Cβ ,α +1(q )[G−
β ,α (q )bq + G−
β ,α (−q )b+
−q ]a+
α aβ
− Cα ,β (q )[G+
α +1,β (q )bq + G−
α +1,β (−q )b+
−q ]a+
α +1aβ . (2.31)
Khai triển (2.31) ta được 16 số hạng sau
J+ Γ+−(ω) =
16
n=1
(SHn), (2.32)
trong đó
(SH1) =
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cβ,αCβ ,α +1(q )G+
β ,α (q )
× TR{ρd[bqa+
β aα+1, bq a+
β aα ]};
(SH3) =
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cβ,αCβ ,α +1(q )G−
β ,α (−q )
× TR{ρd[bqa+
β aα+1, b−q a+
β aα ]};
(SH5) = −
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cβ,αCα ,β (q )G+
α +1,β (q )
× TR{ρd[bqa+
β aα+1, bq a+
α +1aβ ]};
(SH7) = −
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cβ,αCα ,β (q )G−
α +1,β (−q )
× TR{ρd[bqa+
β aα+1, b−q a+
α +1aβ ]};
(SH9) = −
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cα+1,βCβ ,α +1(q )G+
β ,α (q )
× TR{ρd[bqa+
α aβ, bq a+
β aα ]};
(SH11) = −
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cα+1,βCβ ,α +1(q )G−
β ,α (−q )
× TR{ρd[bqa+
α aβ, b−q a+
β aα ]};
(SH13) =
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cα+1,βCα ,β (q )G+
α +1,β (q )
× TR{ρd[bqa+
α aβ, bq a+
α +1aβ ]};
26

30. (SH15) =
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cα+1,βCα ,β (q )G−
α +1,β (−q )
× TR{ρd[bqa+
α aβ, b−q a+
α +1aβ ]}.
Các số hạng (SH2), (SH4), (SH6), (SH8), (SH10), (SH12), (SH14),
(SH16) lần lượt lấy dạng tương ứng với các số hạng (SH1), (SH3), (SH5),
(SH7), (SH9), (SH11), (SH13), (SH15), nhưng thay bq bởi b+
−q.
Trong mười sáu số hạng này, có tám số hạng là (SH1), (SH4), (SH5),
(SH8), (SH9), (SH12), (SH13), (SH16) cho đóng góp bằng không do tám
số hạng này đều có chứa trung bình của các giao hoán tử có dạng
[b1a1, b2a2] = b1b2[a1, a2] + [b1, b2]a2a1,
hoặc
[b+
1 a1, b+
2 a2] = b+
1 b+
2 [a1, a2] + [b+
1 , b+
2 ]a2a1,
chúng đều bằng 0 vì [b1, b2] = [b+
1 , b+
2 ] = 0 và b1b2 = b+
1 b+
2 = 0.
Ta tính các số hạng còn lại bằng cách sử dụng các hệ thức giao hoán
của các toán tử sinh, hủy electron, phonon và các hệ thức trị trung bình
thống kê (Phụ lục 8). Với toán tử sinh hủy electron, ta có:
TR{ρda+
α aβ} = faδα,β,
TR{ρdaβa+
α } = TR{ρd([aβ, a+
α ]+ − a+
α aβ)} = (1 − fα)δα,β.
Với toán tử sinh hủy phonon, ta có:
TR{ρdb+
q bq } = Nqδq,q ,
TR{ρdbq b+
q } = TR{ρd([bq , b+
q ] + b+
q bq )} = (1 + Nq)δq,q ,
trong đó Nq = [exp( ωq/kBT)−1]−1
là hàm phân bố Planck của phonon
có năng lượng ωq. Lưu ý rằng phổ của phonon là hàm chẵn đối xứng
qua trục tung nên ωq = ω−q và Nq = N−q. Đồng thời chú ý đến tính
Hermite của thế U dẫn đến Cα,β(−q) = C+
α,β(q). Cuối cùng cộng gộp
tám số hạng lại, ta thu được biểu thức hàm dạng phổ như sau
27

31. (fα − fα+1)Γ+−(ω)
=
q,β
Cα+1,β(q) C+
β,α+1(q) − C+
β−1,α(q)j+
β,β−1/j+
α+1,α
×
(1 + Nq)fα(1 − fβ)
ω − Eβ + Eα − ωq
−
Nqfβ(1 − fα)
ω − Eβ + Eα − ωq
+
Nqfα(1 − fβ)
ω − Eβ + Eα + ωq
−
(1 + Nq)fβ(1 − fα)
ω − Eβ + Eα + ωq
+
q,β
Cβ,α(q) C+
α,β(q) − C+
α+1,β+1(q)j+
β+1,β/j+
α+1,α
×
(1 + Nq)fβ(1 − fα+1)
ω − Eα+1 + Eβ − ωq
−
Nqfα+1(1 − fβ)
ω − Eα+1 + Eβ − ωq
+
Nqfβ(1 − fα+1)
ω − Eα+1 + Eβ + ωq
−
(1 + Nq)fα+1(1 − fβ)
ω − Eα+1 + Eβ + ωq
. (2.33)
Biểu thức (2.33) là biểu thức tính hàm suy giảm theo các hàm phân
bố của electron và phonon. Như vậy, dưới tác dụng của điện trường
ngoài, electron chuyển mức kèm theo hấp thụ hoặc phát xạ phonon.
Mỗi số hạng trong (2.33) biểu diễn một quá trình tương tác giữa
các hạt và sự dịch chuyển của electron giữa các mức năng lượng. Chẳng
hạn như số hạng thứ nhất thể hiện quá trình chuyển dời từ trạng thái
|α đến trạng thái trung gian |β kèm theo sự phát xạ một phonon có
năng lượng ωq nhờ hấp thụ một photon có năng lượng ω. Trong số
hạng này, (1 + Nq) và fα(1 − fβ) tương ứng là điều kiện phát xạ phonon
và điều kiện chuyển dời từ trạng thái |α đến trạng thái |β . Các số hạng
còn lại có thể giải thích tương tự. Mẫu số ở các số hạng thể hiện năng
lượng được bảo toàn trong các quá trình chuyển dời. Cụ thể như sau:
28

32. SH Chuyển mức Định luật BTNL Photon ω Phonon ωq
1 α → β Eβ = Eα + ω − ωq hấp thụ phát xạ
2 β → α Eα = Eβ − ω + ωq phát xạ hấp thụ
3 α → β Eβ = Eα + ω + ωq hấp thụ hấp thụ
4 β → α Eα = Eβ − ω − ωq phát xạ phát xạ
5 β → α + 1 Eα+1 = Eβ + ω − ωq hấp thụ phát xạ
6 α + 1 → β Eβ = Eα+1 − ω + ωq phát xạ hấp thụ
7 β → α + 1 Eα+1 = Eβ + ω + ωq hấp thụ hấp thụ
8 α + 1 → β Eβ = Eα+1 − ω − ωq phát xạ phát xạ
Nếu cộng gộp từng cặp số hạng lại, ta được các chuyển dời sau
SH Chuyển mức 2 Photon ω 2 Phonon ωq
1+5 α → α + 1 hấp thụ phát xạ
2+6 α + 1 → α phát xạ hấp thụ
3+7 α → α + 1 hấp thụ hấp thụ
4+8 α + 1 → α phát xạ phát xạ
Như vậy, tám số hạng trong biểu thức (2.33) mô tả tất cả các quá trình
dịch chuyển có thể có của electron giữa hai trạng thái |α và |α + 1
thông qua trạng thái trung gian |β dưới tác dụng của điện từ trường
ngoài. Đây cũng chính là ưu điểm của phương pháp mà ta sử dụng. Ở
phần tiếp theo ta sẽ tính phần ảo của hàm suy giảm (2.33).
Hàm suy giảm Γ+−ω thu được ở (2.33) phụ thuộc vào ω = ω − ia,
nên là một đại lượng phức và có thể phân tích thành
Γ+−(ω) = A(ω) + iB(ω), (2.34)
trong đó A(ω) = [Γ+−(ω)] và B(ω) = [Γ+−(ω)] tương ứng là phần
thực và phần ảo của Γ+−(ω).
Trong giới hạn lượng tử với giả thiết từ trường lớn và tán xạ phonon
yếu, ωc KBT, A(ω) có thể bỏ qua khi so sánh với ωc [15], [20]. Vì
29

33. thế ở đây ta không quan tâm đến đóng góp của phần thực A(ω) mà chỉ
tính toán đóng góp của phần ảo B(ω).
Sử dụng đồng nhất thức Dirac [19]
lim
s→0+
(x − is)−1
= ℘
1
x
+ iπδ(x), (2.35)
trong đó ℘(x) và δ(x) tương ứng là giá trị chính Cauchy và hàm delta -
Dirac của x. Lần lượt tính các số hạng trong (2.33) rồi lấy phần ảo của
chúng, chẳng hạn như với SH1 (2.33), ta tính như sau
SH1(2.33) =
(1 + Nq)fα(1 − fβ)
ω − Eβ + Eα − ωq
= (1 + Nq)fα(1 − fβ) lim
a→0+
{( ω − Eβ + Eα − ωq) − i a}−1
= (1 + Nq)fα(1 − fβ) lim
a→0+
℘[( ω − Eβ + Eα − ωq)−1
]
+ iπδ( ω − Eβ + Eα − ωq) . (2.36)
Suy ra
[SH1(2.33)] = π(1 + Nq)fα(1 − fβ)δ( ω − Eβ + Eα − ωq). (2.37)
Các số hạng còn lại trong (2.33) tính tương tự, cuối cùng ta thu được
(fα − fα+1)B(ω)
= π
q,β
Cα+1,β(q) C+
β,α+1(q) − C+
β−1,α(q)j+
β,β−1/j+
α+1,α
× [(1 + Nq)fα(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fα)]δ( ω − Eβ + Eα − ωq)
+[Nqfα(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fα)]δ( ω − Eβ + Eα + ωq)
+ π
q,β
Cβ,α(q) C+
α,β(q) − C+
α+1,β+1(q)j+
β+1,β/j+
α+1,α
× [(1 + Nq)fβ(1 − fα+1) − Nqfα+1(1 − fβ)]δ( ω − Eα+1 + Eβ − ωq)
+[Nqfβ(1 − fα+1) − (1 + Nq)fα+1(1 − fβ)]δ( ω − Eα+1 + Eβ + ωq) .
(2.38)
Biểu thức (2.38) là phần ảo của hàm suy giảm của một bán dẫn
khối đặt trong điện từ trường ngoài, được tìm ra bằng kỹ thuật chiếu
30

34. độc lập trạng thái. Sự khác biệt của các mô hình được chọn để nghiên
cứu là ở hàm trạng thái và phổ năng lượng của electron. Ở phần tiếp
theo, biểu thức (2.38) được áp dụng để tính toán cho mô hình siêu mạng
bán dẫn thành phần.
2.3. Biểu thức giải tích của công suất hấp thụ trong
siêu mạng bán dẫn thành phần khi có từ trường
Công suất hấp thụ được xác định theo biểu thức
P(ω) =
E2
0
2
[σ+−(ω)], (2.39)
với [σ+−(ω)] là phần thực của độ dẫn σ+−(ω) ở phương trình (2.26).
Từ (2.26) và (2.34), ta có
σ+−(ω) =
i
ω
lim
a→0+
J+
ω − ia − ωc − [A(ω) + iB(ω)]
=
i
ω
lim
a→0+
J+
[ω − ωc − A(ω)] − i[a + B(ω)]
=
i
ω
lim
a→0+
J+ {[ω − ωc − A(ω)] + i[a + B(ω)]}
[ω − ωc − A(ω)]2 + [a + B(ω)]2
= −
1
ω
lim
a→0+
J+ [a + B(ω)]
[ω − ωc − A(ω)]2 + [a + B(ω)]2
+
i
ω
lim
a→0+
J+ [ω − ωc − A(ω)]
[ω − ωc − A(ω)]2 + [a + B(ω)]2
⇒ [σ+−(ω)] = −
1
ω
lim
a→0+
J+ [a + B(ω)]
[ω − ωc − A(ω)]2 + [a + B(ω)]2
. (2.40)
Như đã nói ở trên, A(ω) có thể bỏ qua trong giới hạn lượng tử, vì thế
[σ+−(ω)] = −
1
ω
J+ B(ω)
(ω − ωc)2 + B(ω)2
. (2.41)
Thay (2.41) vào (2.39), ta thu được
P(ω) = −
E2
0
2 ω
J+ B(ω)
(ω − ωc)2 + (B(ω))2
, (2.42)
31

35. trong đó J+ được xác định theo (2.15). Từ đó ta có
P(ω) =
E2
0
2 ω α
|j+
α+1,α|2
(fα − fα+1)B(ω)
(ω − ωc)2 + (B(ω))2
. (2.43)
Với |j+
α+1,α|2
= 2e2
(Nα + 1) ωc/m∗
, ta được:
P(ω) =
ωce2
E2
0
m∗ω α
(Nα + 1)(fα − fα+1)B(ω)
(ω − ωc)2 + (B(ω))2
. (2.44)
Như vậy, để tính công suất hấp thụ trong mô hình siêu mạng bán dẫn
thành phần, ta phải tìm biểu thức giải tích tường minh của B(ω). Để
làm được điều này, ta cần tính các yếu tố ma trận tương tác electron -
phonon Cα,β(q) trong biểu thức (2.38), sau đó tính tổng theo trạng thái
β và tổng theo vectơ sóng q của phonon.
Cα,β(q) = Cq α| exp(iqr)|β
= Cq Nα, kαy, nα| exp(iqr)|Nβ, kβy, nβ
= Cq dxdy Nα, kαy|ei(qxx+qyy)
|Nβ, kβy, dz nα|eiqzz
|nβ .
Hàm sóng được tách biến, thành phần |n theo Oz, còn |N, ky theo mặt
phẳng xOy, từ đó
+∞
−∞
dxdy ... =
1
Ly
+∞
−∞
ei(−kαy+kβy+qy)y
dy
+∞
−∞
Φ∗
Nα
(x − Xα)eiqxx
ΦNβ
(x − Xβ)dx
=
1
Ly
2πδkβy,kαy−qy
JNαNβ
(Xα, qx, Xβ).
Vậy
Cα,β(q) =
2πCq
Ly
δkβy,kαy−qy
JNαNβ
(Xα, qx, Xβ)Q(nα, nβ, qz). (2.45)
Tương tự, ta có
Cα,β(q)+
= Cα,β(−q) =
2πCq
Ly
δkβy,kαy+qy
JNαNβ
(Xα, −qx, Xβ)Q(nα, nβ, −qz),
(2.46)
32

36. trong đó δkβy,kαy±qy
là kí hiệu Kronecker và
Q(nα, nβ, ±qz) ≡ dz nα|e±iqzz
|nβ ,
JNαNβ
(Xα, ±qx, Xβ) ≡
+∞
−∞
Φ∗
Nα
(x − Xα)e±iqxx
ΦNβ
(x − Xβ)dx.
Đối với siêu mạng bán dẫn thành phần thì
Q(nα, nβ, ±qz) =
s0
j=1
d
0
dzΦnα
(z − jd)e±iqzz
Φnβ
(z − id), (2.47)
trong đó Φnα
(z) được xác định bởi công thức (1.3).
Để cho đơn giản ta thay Nα → N, Nβ → N , Xα → X, Xβ →
X , nα → n, nβ → n . Ta có
JN,N (X, ±qx, X ) =
+∞
−∞
dxΦN (x − X)e±iqxx
Φ∗
N (x − X )
=
N<!
N>!
1/2
X< − X> ± iqxr2
0
√
2r0
N>−N<
LN>−N<
N<
(X − X )2
+ q2
xr4
0
2r2
0
× exp −
X − X
2r0
2
−
qxr0
2
2
± iqx
X + X
2
,
trong đó N< = min{Nα, Nβ}, N> = max{Nα, Nβ}.
Mặt khác, từ (2.50) ta suy ra
j+
β,β−1
j+
α+1,α
=
N
N + 1
1/2
,
j+
β+1,β
j+
α+1,α
=
N + 1
N + 1
1/2
. (2.48)
Thay (2.45), (2.46) và (2.48) vào yếu tố ma trận tương tác ta được
Cα+1,βC+
β,α+1 = |Cq|2 4π2
(Ly)2
K1(N + 1, N ; t)M(n, n ; qz)δkβy,kαy−qy
,
Cα+1,βC+
β−1,α
j+
β,β−1
j+
α+1,α
= |Cq|2 4π2
(Ly)2
N
N + 1
1/2
K2(N + 1, N − 1; t)
×M(n, n ; qz)δkβy,kαy−qy
,
33

37. Cβ,αC+
α,β = |Cq|2 4π2
(Ly)2
K1(N, N ; t)M(n, n ; qz)δkβy,kαy+qy
,
Cβ,αC+
α+1,β+1
j+
β+1,β
j+
α+1,α
= |Cq|2 4π2
(Ly)2
N + 1
N + 1
1/2
K2(N, N ; t)M(n, n ; qz)
×δkβy,kαy+qy
,
với δkβy,kαy±qy
= δkβy,kαy±qy
δkαy,kβy qy
và M(n, n ; qz) = Q(n, n ; qz)Q(n, n ; −qz),
trong đó ta đã đặt
K1(N, N ; t) = JN,N (X, qx, X )JN ,N (X , −qx, X)
=
N<!
N>!
(X − X )2
+ q2
xr4
0
2r2
0
N>−N<
exp −
(X − X )2
+ q2
xr4
0
2r2
0
×LN>−N<
N<
(X − X )2
+ q2
xr4
0
2r2
0
LN>−N<
N<
(X − X )2
+ q2
xr4
0
2r2
0
=
N<!
N>!
tN>−N<
e−t
LN>−N<
N<
(t)LN>−N<
N<
(t);
K2(N, N ; t) = JN+1,N +1(X, qx, X )JN ,N (X , −qx, X)
=
N< + 1
N> + 1
N<!
N>!
tN>−N<
e−t
LN>−N<
N<
(t)LN>−N<
N<+1 (t),
với
t ≡ [(X − X )2
+ q2
xr4
0]/(2r0)2
. (2.49)
Vậy
Cα+1,β(q) C+
β,α+1(q) − C+
α,β−1(q)
j+
β,β−1
j+
α+1,α
=
4πCq
Ly
2
K1(N + 1, N ; t) −
N
N + 1
1/2
K2(N, N − 1; t)
×M(n, n ; qz)δkβy,kαy−qy
, (2.50)
Cβ,α(q) C+
α,β(q) − C+
α+1,β+1(q)
j+
β+1,β
j+
α+1,α
=
4πCq
Ly
2
K1(N, N ; t) −
N + 1
N + 1
1/2
K2(N, N ; t)
34

38. ×M(n, n ; qz)δkβy,kαy+qy
. (2.51)
Ta định nghĩa các hàm K và K như sau
K(N, N ; t) ≡ K1(N, N ; t) −
N + 1
N + 1
1/2
K2(N, N ; t),
K (N, N ; t) ≡ K1(N + 1, N ; t) −
N
N + 1
1/2
K2(N, N − 1; t).
Sử dụng công thức
LN −N
N+1 (t) − LN −N
N (t) = Ln −n−1
n+1 (t),
(N + 1)LN−N
N (t) − (N + 1)LN−N
N +1 (t) = tLN−N +1
N (t),
ta thu được
K(N, N ; t) =



− N!
N !tN −N
e−t
LN −N
N (t)LN −N+1
N+1 (t), N > N;
N !
(N+1)!tN−N +1
e−t
LN−N
N (t)LN−N +1
N (t), N ≤ N;
với Lm
n (t) là đa thức Laguerre:
Lm
n (t) = et
t−m
(n!)−1 dn
dtn
(e−t
tm+n
).
Suy ra
K(N, N ; t) = K (N, N ; t).
Thay (2.50) và (2.51) vào (2.38), ta thu được biểu thức của B(ω):
B(ω) =
1
fα − fα+1
4π3
(Ly)2
q,β
|Cq|2
M(n, n ; qz)K(N, N ; t)δkβy,kαy−qy
× [(1 + Nq)fα(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fα)]δ( ω − Eβ + Eα − ωq)
+ [Nqfα(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fα)]δ( ω − Eβ + Eα + ωq)
+
1
fα − fα+1
4π3
(Ly)2
q,β
|Cq|2
M(n, n ; qz)K(N, N ; t)δkβy,kαy+qy
(2.52)
× [(1 + Nq)fβ(1 − fα+1) − Nqfα+1(1 − fβ)]δ( ω − Eα+1 + Eβ − ωq)
+ [Nqfβ(1 − fα+1) − (1 + Nq)fα+1(1 − fβ)]δ( ω − Eα+1 + Eβ + ωq) .
35

39. Sử dụng các công thức chuyển tổng thành tích phân sau
β
=
N ,n kβy,kβz
→
N ,n
Ly
2π
dkβy
π
d
−π
d
dkβz,
q
→
V
4π2
+∞
0
q⊥dq⊥
+∞
−∞
dqz. (2.53)
Xét tương tác giữa electron và phonon quang phân cực, trong đó có
tính đến hiệu ứng chắn. Giả sử q2
≈ q2
⊥ hay q⊥ qz đối với dịch chuyển
trong mặt phẳng (x,y), khi đó V (q) ≈ V (q⊥),
|C(q)|2
=
e2
ωq
2 0V
1
χ∞
−
1
χ0
q2
(q2 + q2
d)2
≈
e2
ωq
2 0V
1
χ∞
−
1
χ0
q2
⊥
(q2
⊥ + q2
d)2
, (2.54)
trong đó: V = SLz = LxLyLz là thể tích của hệ; ωq là năng lượng của
phonon quang dọc; 0, χ∞, χ0 lần lượt là hằng số điện, độ thẩm điện môi
cao tần và độ thẩm điện môi tĩnh; qd là nghịch đảo độ dài chắn Debye.
Giả sử ta xét phonon khối (ba chiều) và không tán sắc ( ωq ≈
ωLO ≈ hằng số). Việc lấy gần đúng như trên cho phép ta lấy tích phân
theo q⊥ một cách chính xác.
Do các biến độc lập nhau nên ta có thể lấy tích phân riêng đối với
từng biến. Tích phân theo dq⊥ chỉ tồn tại đối với V (q⊥) và K(N, N ; t),
tích phân theo dqz chỉ tồn tại đối với M(n, n ; qz); kβy đã chứa trong
K(N, N ; t) và δkβy,kαy±qy
, do đó
q kβy
|C(q)|2
K(N, N ; t)M(n, n ; qz)δkβy,kαy±qy
=
e2
ω0Ly
16 0π3
1
χ∞
−
1
χ0
N ,n
∞
0
q3
⊥
(q2
⊥ + q2
d)2
dq⊥K(N, N ; t)
×
∞
−∞
M(n, n ; qz)dqz. (2.55)
36

40. Tính tích phân theo kβz. Ta có kβz chứa trong fβ và Eβ
kβz
→
π
d
−π
d
[(1 + Nq) fα(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fα)]
×δ( ω − Eβ + Eα − ωq) dkβz
+
π
d
−π
d
[Nqfα(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fα)]
×δ( ω − Eβ + Eα + ωq) dkβz
+
π
d
−π
d
[(1 + Nq) fβ(1 − fα+1) − Nqfα+1(1 − fβ)]
×δ( ω − Eα+1 + Eβ − ωq) dkβz
+
π
d
−π
d
[Nqfβ(1 − fα+1) − (1 + Nq)fα+1(1 − fβ)]
×δ( ω − Eα+1 + Eβ + ωq) dkβz
= A1(N, N , n, n ) + A2(N, N , n, n )
+A3(N, N , n, n ) + A4(N, N , n, n ), (2.56)
trong đó hàm phân bố Fermi - Dirac
fα = 1 + exp
Eα − EF
kBT
−1
,
với
Eα = (Nα + 1/2) ωc + n2
αE0 − ∆ cos(kαzd).
Tính số hạng A1
A1 =
π
d
−π
d
[(1 + Nq) fα(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fα)]
37

41. ×δ( ω − Eβ + Eα − ωq) dkβz. (2.57)
Sử dụng tính chất hàm delta
δ(g(x)) =
n
i=1
δ(x − xi)
|g (xi)|
, δ(ax) =
1
|a|
δ(x), (2.58)
với xi và n lần lượt là nghiệm và số nghiệm của phương trình g(x) = 0;
g (x) là phép lấy đạo hàm. Ở đây ta đặt
g(kβz1) = ∆ cos kβz1d − [∆ cos kαzd − (N − N ) ωc
− (n2
− n 2
)E0 − (ω − ωq)].
Đạo hàm của g(kβz1) theo kβz1 là
g (kβz1) = −∆d sin kβz1d.
Nghiệm của phương trình g(kβz1) = 0 là
kβz1 =
1
d
k1,
với
k1 = arccos cos kαzd −
1
∆
(N − N ) ωc
−
1
∆
(n2
− n 2
)E0 −
1
∆
(ω − ωq) .
Ta thu được
A1 =
1
| − ∆d sin k1|
[(1 + Nq)fα(1 − fβ,k1
)] − Nqfβ,k1
(1 − fα) ,(2.59)
trong đó hàm phân bố
fβ,k1
=
1
1 + exp
Eβ,k1
−EF
kBT
=
1
1 + exp
Eα+ (ω−ωq)−EF
kBT
.
Tương tự
A2 =
π
d
−π
d
[Nqfα(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fα)]
38

42. ×δ( ω − Eβ + Eα + ωq) dkβz
=
1
| − ∆d sin k2|
[Nqfα(1 − fβ,k2
)] − (1 + Nq)fβ,k2
(1 − fα) ,
(2.60)
trong đó
k2 = arccos cos kαzd −
1
∆
(N − N ) ωc
−
1
∆
(n2
− n 2
)E0 −
1
∆
(ω + ωq) ,
hàm phân bố
fβ,k2
=
1
1 + exp
Eβ,k2
−EF
kBT
=
1
1 + exp
Eα+ (ω+ωq)−EF
kBT
.
A3 =
π
d
−π
d
[(1 + Nq) fβ(1 − fα+1) − Nqfα+1(1 − fβ)]
×δ( ω − Eα+1 + Eβ − ωq) dkβz
=
1
| − ∆d sin k3|
(1 + Nq)fβ,k3
(1 − fα+1) − Nqfα+1(1 − fβ,k3
) ,
(2.61)
trong đó
k3 = arccos cos kαzd +
1
∆
(N − N − 1) ωc
+
1
∆
(n2
− n 2
)E0 +
1
∆
(ω − ωq) ,
hàm phân bố
fβ,k3
=
1
1 + exp
Eβ,k3
−EF
kBT
=
1
1 + exp
Eα+1− (ω−ωq)−EF
kBT
.
A4 =
π
d
−π
d
[Nqfβ(1 − fα+1) − (1 + Nq)fα+1(1 − fβ)]
39

43. ×δ( ω − Eα+1 + Eβ + ωq) dkβz
=
1
| − ∆d sin k4|
Nqfβ,k4
(1 − fα+1) − (1 + Nq)fα+1(1 − fβ,k4
) ,
(2.62)
trong đó
k4 = arccos cos kαzd +
1
∆
(N − N − 1) ωc
+
1
∆
(n2
− n 2
)E0 +
1
∆
(ω + ωq) ,
hàm phân bố
fβ,k4
=
1
1 + exp
Eβ,k4
−EF
kBT
=
1
1 + exp
Eα+1− (ω+ωq)−EF
kBT
.
Thay (2.55), (2.59), (2.60), (2.61) và (2.62) vào (2.52), ta được biểu thức
của B(ω)
B(ω) =
N ,n
e2
ωq
4 Ly
1
χ∞
−
1
χ0
1
f(N, n) − f(N + 1, n)
×
∞
0
q3
⊥
(q2
⊥ + q2
d)2
dq⊥K(N, N ; t).In,n
×
1
| − ∆d sin k1|
[(1 + Nq)fα(1 − fβ,k1
)] − Nqfβ,k1
(1 − fα)
+
1
| − ∆d sin k2|
[Nqfα(1 − fβ,k2
)] − (1 + Nq)fβ,k2
(1 − fα)
+
1
| − ∆d sin k3|
(1 + Nq)fβ,k3
(1 − fα+1) − Nqfα+1(1 − fβ,k3
)
+
1
| − ∆d sin k4|
Nqfβ,k4
(1 − fα+1) − (1 + Nq)fα+1(1 − fβ,k4
) .
(2.63)
Trong biểu thức (2.63)
In,n =
s0
j=1
d
0
Φn(z − jd)Φn (z − jd)eiqzz
dz
2
. (2.64)
40

44. Việc tính tích phân ở (2.63) trong trường hợp tổng quát là rất phức
tạp nên ta chỉ tính trong một số trường hợp đặc biệt. Ở đây ta quan
tâm trong giới hạn lượng tử, trong đó sự tách mức Landau là khá lớn và
hầu hết các electron dẫn lấp đầy mức thấp nhất. Vì vậy ta chỉ xét dịch
chuyển giữa hai mức N = 0 và N + 1 = 1, các mức trung gian là N = 0
và N = 1, và chỉ xét dịch chuyển nội vùng con (n = n = 1).
1. Trường hợp N = N = 0; K(0, 0; t) = te−t
, ta được
B(ω) =
N ,n
e2
ωq
4 Ly
1
χ∞
−
1
χ0
1
f(0, n) − f(1, n)
×
∞
0
t2
e−t
(t + q2
d
a2
c
2 )2
dt × In,n A1(0, 0, n, n )
+ A2(0, 0, n, n ) + A3(0, 0, n, n ) + A4(0, 0, n, n ) . (2.65)
2. Trường hợp N = 0, N = 1; K(0, 1; t) = t(t − 1)e−t
, ta được
B(ω) =
N ,n
e2
ωq
4 Ly
1
χ∞
−
1
χ0
1
f(0, n) − f(1, n)
×
∞
0
t2
(t − 1)e−t
(t + q2
d
a2
c
2 )2
dt × In,n A1(0, 1, n, n )
+ A2(0, 1, n, n ) + A3(0, 1, n, n ) + A4(0, 1, n, n ) . (2.66)
Thay các biểu thức B(ω) trong các trường hợp trên vào (2.44) ta
thu được biểu thức công suất hấp thụ trong mô hình siêu mạng bán dẫn
thành phần.
2.4. Cộng hưởng từ - phonon trong siêu mạng bán
dẫn
Hàm Delta - Dirac trong biểu thức (2.52) biểu diễn định luật bảo
toàn năng lượng trong các quá trình chuyển mức của electron, được viết
41

45. lại như sau:
δ ω + (N − N ) ωc + (n2
− n 2
)E0 + ∆(cos(kβzd) − cos(kαzd)) ± ωLO .
Khi có cộng hưởng thì đối số của hàm delta bằng không, nên ta có
điều kiện cộng hưởng:
ω = (N − N) ωc + (n 2
− n2
)E0 + ∆(cos(kαzd) − cos(kβzd)) ± ωLO.
Trong trường hợp n = n và kαz = kβz thì điều kiện ODMPR trở
thành:
ω = s ωc ± ωLO, (2.67)
trong đó s = N − N là số nguyên.
Khi điều kiện cộng hưởng ODMPR được thỏa mãn, các electron trên
các mức Landau được đặc trưng bởi chỉ số mức N có thể dịch chuyển
sang các mức N khác bởi sự hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng
lượng ω trong quá trình hấp thụ hoặc phát xạ một phonon có năng
lượng ωLO.
42

46. Chương 3
KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Trong chương này, chúng tôi tiến hành xác định đỉnh
ODMPR, độ rộng vạch phổ đỉnh ODMPR trong bán dẫn siêu
mạng thành phần, sau đó sẽ khảo sát sự thay đổi vị trí của
đỉnh ODMPR, độ rộng vạch phổ theo nhiệt độ, từ trường và
chu kỳ siêu mạng.
Biểu thức giải tích tổng quát của công suất hấp thụ thu được ở
chương 2 có chứa các hàm phân bố của electron và phonon phụ thuôc
vào nhiệt độ T, tần số cyclotron ωc và tần số điện trường ngoài ω. Vì
vậy, ta có thể lập chương trình tính số và vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ
thuộc công suất hấp thụ vào năng lượng photon. Từ đồ thị biểu diễn sự
phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon, chúng tôi xác
định đỉnh ODMPR và khảo sát sự thay đổi vị trí, độ rộng vạch phổ đỉnh
ODMPR theo nhiệt độ, từ trường, chu kỳ siêu mạng.
Trong giới hạn lượng tử, hầu hết các electron dẫn đều chiếm giữ các
mức Landau thấp nhất [15], do vậy ta chỉ cần xét dịch chuyển giữa hai
mức Landau thấp nhất là N = 0 và N + 1 = 1. Để đơn giản ta chỉ xét
dịch chuyển nội vùng con n = n = 1.
Chúng tôi thực hiện tính số đối với siêu mạng bán dẫn thành phần
được lựa chọn là bán dẫn GaAs/GaAlAs có các thông số như sau [31]:
43

47. Thông số Ký hiệu Giá trị
Khối lượng hiệu dụng của electron m∗
6.097 × 10−32
kg
Chu kỳ của siêu mạng d 50 nm-70 nm
Năng lượng Fermi EF 50 meV
Số chu kỳ s0 50
Hằng số Boltzmann kb 1.38 × 10−23
J/K
Hằng số điện môi ε 13.5
Độ thẩm điện môi cao tần χ∞ 10.9
Độ thẩm điện môi tĩnh χ0 12.9
Năng lượng phonon quang dọc ωLO 36.25 meV
3.1. Xác định đỉnh cộng hưởng từ - phonon
Hình 3.1: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon. Ở đây, nhiệt độ
T = 200 K, từ trường B = 10 T, s = 1.
Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon ở nhiệt
độ T = 200 K, từ trường B = 10 T được biểu diễn trên hình 3.1. Từ
hình vẽ ta thấy đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp
thụ vào năng lượng photon có ba đỉnh. Bằng máy tính ta xác định được
44

48. các đỉnh nằm tại các vị trí có giá trị năng lượng photon lần lượt từ trái
qua phải bằng: 17.28 meV (đỉnh 1), 36.25 meV (đỉnh 2), 53.53 meV (đỉnh
3). Ở đây, từ trường B = 10 T, do đó ta tính được năng lượng cyclotron
ωc = 17.28 meV.
+ Đỉnh 1 thỏa mãn điều kiện ω = ωc (17.28 meV), đây là điều kiện
cộng hưởng cyclotron. Vậy đỉnh 1 chính là đỉnh cộng hưởng cycloron.
+ Đỉnh 2 thỏa mãn điều kiện ω = ωLO (36.25 meV), sự xuất hiện
đỉnh này là do dịch chuyển nội vùng Landau (s=0).
+ Đỉnh 3 thỏa mãn điều kiện ω = ωc + ωLO (53.53 meV = 17.28
meV + 36.25 meV). Vậy đỉnh 3 là đỉnh cộng hưởng từ - phonon dò tìm
bằng quang học với s = 1.
3.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên cộng hưởng từ -
phonon
3.2.1. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên vị trí đỉnh cộng hưởng
Hình 3.2: Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon với các giá trị
khác nhau của nhiệt độ. Ở đây, nhiệt độ T = 200 K (đường liền nét),nhiệt độ T = 300
K (đường nét đứt), từ trường B = 10 T, s=1.
45

49. Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon tại từ
trường B = 10 T ứng với hai giá trị nhiệt độ T = 200 K và T = 300 K
được biểu diễn trên hình 3.2. Từ hình vẽ ta thấy, mỗi đường cong biểu
diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon với
hai giá trị nhiệt độ khác nhau vẫn có ba đỉnh. Trường hợp T = 200 K
(đường liền nét) vị trí các đỉnh đã được khảo sát ở hình 3.1; trường hợp
T = 300 K (đường nét đứt) bằng máy tính ta xác định được các đỉnh
nằm tại các vị trí có giá trị năng lượng photon lần lượt từ trái qua phải
bằng: 17.28 meV, 36.25 meV và 53.53 meV.
Trong hình 3.2 đỉnh ODMPR ở hai nhiệt độ T = 200 K và T = 300
K trùng nhau tại vị trí có năng lượng photon bằng 53.53 meV. Như vậy
nhiệt độ không ảnh hưởng đến vị trí đỉnh ODMPR.
Kết quả này là hoàn toàn phù hợp, vì trong biểu thức giải tích đối
số của hàm delta - Dirac không chứa nhiệt độ nên nhiệt độ không ảnh
hưởng đến điều kiện dò tìm ODMPR. Khi nhiệt độ thay đổi chỉ làm thay
đổi độ cao của các đỉnh cộng hưởng, nghĩa là thay đổi độ rộng vạch phổ
đỉnh ODMPR.
3.2.2. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên độ rộng phổ ODMPR
Độ rộng vạch phổ được xác định bởi khoảng cách giữa hai giá trị
của biến phụ thuộc (thường là tần số hoặc năng lượng của photon) mà
tại đó công suất hấp thụ bằng một nửa giá trị cực đại của nó.
Về nguyên tắc, độ rộng vạch phổ chỉ được thu nhận từ đồ thị của
công suất hấp thụ như là một hàm năng lượng của photon. Ý tưởng
của phương pháp tìm độ rộng vạch phổ là đầu tiên tìm giá trị cực đại
của công suất hấp thụ Pmax, từ đó kẻ một đường thẳng P = Pmax/2
song song với trục hoành cắt đồ thị của công suất hấp thụ tại hai điểm,
khoảng cách giữa hai điểm này được gọi là độ rộng phổ.
46

50. Hình 3.3: Độ rộng vạch phổ.
Như vậy, để tìm sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ vào một
đại lượng x nào đó, trước hết, ta vẽ đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của
công suất hấp thụ vào năng lượng của photon theo các giá trị khác nhau
của đại lượng x. Sau đó, xác định giá trị công suất hấp thụ cực đại Pmax
bằng lệnh FindMaxValue, từ đó dùng lệnh FindRoot[Pmax( ω)/2] để tìm
hai giá trị của năng lượng photon ω1 và ω2 ứng với một nửa giá trị
cực đại của công suất hấp thụ và tính ∆ ω = ω2 − ω1 đây chính là độ
rộng vạch phổ. Mỗi cặp giá trị (x, ∆ ω) được biểu diễn một điểm trên
đồ thị. Cuối cùng nối các điểm này với nhau ta được đường biểu diễn
quy luật phụ thuộc độ rộng vạch phổ theo đại lượng x. Phương pháp
này được gọi là phương pháp Profile.
Dựa trên đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
năng lượng photon với các giá trị khác nhau của nhiệt độ ta tiến hành
xác định độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon theo nhiệt độ.
Mỗi đường cong xác định một độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ -
phonon.
Đồ thị biểu diễn độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon được
47

51. Hình 3.4: Độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon với các giá trị khác nhau của
nhiệt độ. Ở đây từ trường B = 10 T, s = 1.
biểu diễn ở hình 3.4 với các giá trị nhiệt độ được khảo sát từ T = 100
K - 200 K tương ứng với độ rộng vạch phổ từ 0.8216 meV - 0.8234 meV.
Qua hình 3.4 ta thấy độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon
tăng theo nhiệt độ. Theo tính chất vật lý thì điều này là hợp lý vì khả
năng tán xạ electron - phonon tăng khi nhiệt độ tăng, do đó độ rộng
vạch phổ tăng.
3.3. Ảnh hưởng của từ trường lên cộng hưởng từ -
phonon
3.3.1. Ảnh hưởng của từ trường lên vị trí đỉnh cộng hưởng
Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon ở nhiệt độ T = 200 K ứng với
ba giá trị từ trường B = 8 T, B = 10 T và B = 12 T được biểu diễn
trên hình 3.5. Trong hình 3.5 đỉnh cộng hưởng từ - phonon ban đầu ở vị
trí 1 (50.08 meV) ứng với giá trị từ trường B = 8 T, sau đó dịch chuyển
sang vị trí 2 (53.53 meV) ứng với giá trị từ trường B = 10 T, cuối cùng
48

52. Hình 3.5: Vị trí đỉnh cộng hưởng ODMPR với các giá trị khác nhau của từ trường: B
= 8 T (đường liền nét), B = 10 T (đường nét đứt) và B = 12 T (đường chấm chấm).
Ở đây, nhiệt độ T = 200 K, s = 1.
dịch chuyển sang vị trí 3 (56.91 meV) ứng với giá trị từ trường B = 12
T. Như vậy vị trí đỉnh ODMPR dịch chuyển về phía năng lượng photon
lớn hơn.
Kết quả này hoàn toàn phù hợp, vì khi từ trường tăng thì khoảng
cách giữa các mức Landau tăng, do đó để dịch chuyển giữa các mức
Landau này electron cần hấp thụ hoặc phát xạ photon có năng lượng
lớn hơn.
3.3.2. Ảnh hưởng của từ trường lên độ rộng phổ
Dựa trên đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
năng lượng photon với các giá trị khác nhau của từ trường chúng tôi
tiến hành xác định độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon.
Đồ thị biểu diễn độ rộng vạch phổ đỉnh ODMPR được biểu diễn ở
hình 3.6 với các giá trị từ trường được khảo sát từ B = 8 T - 16 T tương
ứng với độ rộng vạch phổ từ 0.3 meV - 0.9 meV. Qua hình 3.6 ta thấy độ
49

53. Hình 3.6: Độ rộng vạch phổ đỉnh ODMPR với các giá trị khác nhau của từ trường. Ở
đây, nhiệt độ T = 200 K, N’=0.
rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon tăng theo từ trường. Điều
này được giải thích là vì khi từ trường tăng thì tần số cycloron tăng làm
cho bán kính cyclotron giảm, sự giam giữ electron - phonon tăng lên làm
cho xác suất tán xạ electron - phonon tăng dẫn đến độ rộng vạch phổ
tăng.
3.4. Ảnh hưởng của chu kỳ siêu mạng lên cộng
hưởng từ - phonon
3.4.1. Ảnh hưởng của chu kỳ siêu mạng lên vị trí đỉnh cộng
hưởng
Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng lượng photon tại từ
trường B = 10 T, nhiệt độ T = 200 K ứng với ba giá trị chu kỳ siêu
mạng d = 50 nm, d = 60 nm và d = 70 nm được biểu diễn trên hình
3.7. Từ hình vẽ ta thấy, vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon với các giá
trị khác nhau của chu kỳ siêu mạng không thay đổi. Bởi vì chu kỳ siêu
50

54. Hình 3.7: Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon dò tìm bằng quang học với các giá trị
khác nhau của chu kỳ siêu mạng: d = 50 nm (đường chấm chấm), d = 60 nm (đường
nét đứt) và d = 70 nm (đường liền nét). Ở đây, nhiệt độ T = 200 K, từ trường B =
10 T.
mạng không ảnh hưởng đến điều kiện dò tìm đỉnh ODMPR, nó chỉ ảnh
hưởng đến độ rộng vạch phổ đỉnh ODMPR.
3.4.2. Ảnh hưởng của chu kỳ siêu mạng lên độ rộng phổ
Dựa trên đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào
năng lượng photon với các giá trị khác nhau của chu kỳ siêu mạng chúng
tôi tiến hành xác định độ rộng vạch phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon
theo chu kỳ siêu mạng. Mỗi đường cong xác định một độ rộng vạch phổ
đỉnh cộng hưởng từ - phonon.
Đồ thị biểu diễn độ rộng vạch phổ phổ đỉnh cộng hưởng từ - phonon
được biểu diễn ở hình 3.8 với các giá trị của chu kỳ siêu mạng được khảo
sát từ d = 50 nm - 70 nm tương ứng với độ rộng vạch phổ đỉnh cộng
hưởng từ 0.139 meV - 0.144 meV. Qua hình 3.8 ta thấy độ rộng vạch phổ
đỉnh cộng hưởng từ - phonon giảm theo chu kỳ siêu mạng. Lý do là khi
d tăng thì sự giam giữ electron giảm, dẫn đến xác suất tán xạ electron
51

55. Hình 3.8: Vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon với các giá trị khác nhau của chu kỳ
siêu mạng: d = 50 nm (đường chấm chấm), d = 60 nm (đường nét đứt) và d = 70 nm
(đường liền nét).
- phonon quang dọc giảm do đó độ rộng phổ giảm.
52

56. KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã sử dụng kỹ thuật chiếu độc lập
trạng thái trong thống kê lượng tử để nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon
đối với bán dẫn siêu mạng thành phần. Các kết quả chính của luận văn
có thể tóm tắt như sau:
1. Thu được biểu thức giải tích tổng quát của công suất hấp thụ
trong mô hình bán dẫn siêu mạng thành phần.
2. Từ biểu thức giải tích tổng quát của công suất hấp thụ, chúng
tôi đã thực hiện tính số và vẽ đồ thị khảo sát sự phụ thuộc của công
suất hấp thụ vào năng lượng photon, từ đó xác định được đỉnh cực đại
thỏa mãn điều kiện ODMPR.
3. Luận văn còn khảo sát đỉnh ODMPR theo từ trường, nhiệt độ
và chu kỳ siêu mạng chúng tôi thu được kết quả khi từ trường thay đổi
thì vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon thay đổi, nhiệt độ và chu kỳ siêu
mạng không làm thay đổi vị trí đỉnh cộng hưởng từ - phonon.
4. Đã sử dụng phương pháp Profile để tiến hành khảo sát sự phụ
thuộc độ rộng phổ tương ứng với các đỉnh ODMPR vào nhiệt độ, từ
trường và chu kỳ siêu mạng. Trong đó độ rộng vạch phổ đều tăng theo
nhiệt độ, từ trường và giảm theo chu kỳ siêu mạng.
5. Luận văn có thể mở rộng theo hướng xét trường hợp phonon bị
giam giữ, phonon âm và xét quá trình tương tác với các loại phonon khác.
Luận văn cũng có thể phát triển khi nghiên cứu hiện tượng ODMPR phi
tuyến trong siêu mạng bán dẫn thành phần hoặc các mô hình thấp chiều
hay các vật liệu bán dẫn khác....
6. Các kết quả lý thuyết đều được tính số và vẽ đồ thị bằng phần
mềm Mathematica để khảo sát và phân tích. Những kết quả thu được
góp phần giải thích những cơ chế xảy ra do tương tác electron - phonon
53

57. trong siêu mạng bán dẫn thành phần dưới tác dụng của trường ngoài và
cung cấp các thông tin về các tính chất của siêu mạng bán dẫn thành
phần cho công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử bằng vật liệu nanô hiện
nay.
54

58. TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Thị Lan Anh (2015), Nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon
trong giếng lượng tử đặt trong từ trường xiên, Luận văn thạc sĩ,
ĐHSP - ĐH Huế.
2. Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (1998), Vật
lý thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
3. Lê Thị Diệu Hiền (2013), Cộng hưởng từ-phonon trong trong bán
dẫn giếng lượng tử với thế vuông góc có độ sâu vô hạn, Luận văn
thạc sĩ, ĐHSP - ĐH Huế.
4. Võ Thành Lâm (2011), Nghiên cứu một số hiệu ứng cộng hưởng do
tương tác electron-phonon trong các hệ chuẩn hai chiều, Luận án
tiến sĩ Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.
5. Phan Thị Thanh Nhi (2015), Nghiên cứu cộng hưởng từ-phonon
trong dây lượng tử thế parabol và thế vuông góc, Luận văn thạc sĩ,
ĐHSP-ĐH Huế.
6. Lê Thị Cẩm Trang (2008), Nghiên cứu lý thuyết để phát hiện cộng
hưởng từ- phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật bằng quang học,
Luận văn thạc sĩ, ĐHSP - ĐH Huế.
7. Cái Thị Tuyết Trinh (2015), Nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon
trong dây lượng tử thế parabol và thế tam giác, Luận văn thạc sĩ,
ĐHSP - ĐH Huế.
8. Nguyễn Thị Ngọc Uyên (2015), Nghiên cứu cộng hưởng từ - phonon
trong dây lượng tử đặt trong từ trường xiên, Luận văn thạc sĩ, ĐHSP
- ĐH Huế.
55

59. Tiếng Anh
9. Argyres P. N. and Sigel J. L. (1974), "Theory of Cyclotron-resonance
absorption", Phys. Rev. B 35, pp. 1139-1148.
10. Badjou S. and Argyres P. N. (1987), "Theory of Cyclotron Reso-
nance in Electron-Phonon System", Phys. Rev. B 35, pp. 5964-5868.
11. Barnes D.J., Nicholas R.J., Peeters F.M., Wu X.G., Devreese J.T.,
Singleton J., Langerak C.J.G.M., Haris J.J. and Foxon C.T. (1991),
“Observation of optically detected magnetophonon resonance”, Phys.
Rev. Lett. 66, pp. 794-797.
12. Cho Y. J. and Choi S. D. (1994), "Application of the Isolation-
Projection Technique to the cyclotron transitions in electron-impurity
interacting systems", J. Korean Phys. Soc. 26(2), pp. 191-194
13. Hai G. Q., Peeters F. M. (1999), "Optically dectected magnetophonon
resonance in polar seminconductor", Phys. Rev. B 60, pp. 16513-
16518.
14. Kang N. L., Lee H. Y. and Choi S. D. (2000), "Calculation of cy-
clotron resonance linewidths in Ge by using a many-body State-
Independent Projection Technique", J. Korean. Phys. Soc. 37, pp.
339-342.
15. Kang N. L., Lee H. Y. and Choi S. D. (1996), "A many-body the-
ory of quantum-limit cyclotron transition line-shapes in electron-
phonon systems based on projection technique", Progr. of Theor.
Phys. 96, pp. 307-316.
16. Kang N. L., Shin D. H., Yi S. N. and Choi S. D. (2005), "Predic-
tion of intraband transition linewidths due to longitudinal optical
56

60. phonon scattering in GaN for electrons in a quantum well", J. Ko-
rean. Phys. Soc. 46, pp. 1040-1044.
17. Kang N. L. and Choi S. D. (2000), "Recurrence relation represen-
tations of magneto-optical conductivity" J. Korean. Phys. Soc. 36,
pp. 219-222.
18. Kang N. L. and Choi S. D. (2009), "Optical transition linewidths
due to piezoelectric phonon scattering in two-dimensional electron
systems", J. Phys. Soc. Japan 78, pp. 24710-24713.
19. Kang N. L., et. al. (2003), "Intraband linewidths of optical conduc-
tivity in quantum wells due to LO phonon scattering", J. Korean.
Phys. Soc. 44, pp. 379-385.
20. Kang N. L., Lee J. H. and Choi S. D. (2004), "Derivation ò the
DC conductivity in a quantum well by using an operator algebra
technique" J. Korean. Phys. Soc. 44, pp. 1535-1541.
21. Kim J. G., Choi S. D. and Kang N. L. (2002), "Theory of conductiv-
ity and scattering factor-function in quasi two-dimensional system
based on ensemble-average projection scheme", J. Korean. Phys.
Soc. 40, pp. 781-787.
22. Kittel C. (2004), "Introduction to Solid State Physics", John Wiley
and sons.
23. Kubo B. R. (1957), "Statistical-mechanical theory of irreversible
processes (General theory and simple applications to magnetic and
conduction problems)", J. Phys. Soc. Japan 12, pp. 570-586.
24. Lee S.C., Kang Y.B., Hu G.Y., Ryu J.Y., Coi S.D. (1998), “ Trans-
verse electric-field-induced magnetophonon resonance in n-type Ger-
57

61. manium” Phys. Rev. B 57, pp. 11875-11878.
25. Lee S. C et. al.(2000), "Magnetophonon resonance in quasi - one -
dimensional electronic systems in tilted magnetic field", Phys. Rev.
B, (62), pp. 5045-5054.
26. Lee S.C., Ahn H.S., Kang D.S., Lee S.O., Kim S.W. (2003), “Opti-
cally detected magnetophonon resonances in n-Ge in tilted magnetic
fields”, Phys. Rev. B 67, pp. 115342-11546.
27. Lee S.C. (2007), “Optically detected magnetophonon resonances in
quantum well”, J. Korean Phys. Soc. 51, pp. 1979-1986.
28. Mori H. (1965), "Transport, Collective motion, and Brownian mo-
tion", Progr. of Theor. Phys. 33, pp. 423-455.
29. Nguyen Quang Bau, Nguyen Vu Nhan and Tran Cong Phong (2002),
"Calculations of the absorption coefficient of a weak electromag-
netic wave by free carriers in doped superlattices by the Kubo-Mori
method", J. Phys. Soc. Japan 41, pp. 149-154.
30. Puri S. M and Geballe T. H. (1963), Bull. Am. Phys. Soc. 8, pp.
560-568.
31. Silin A. P., Sov. Phys. Usp.28, 972(1986); K. Ploog and G. H.Dohler(1983),
"Compositional and doping superlactices in III-V semiconductors",
Adv. Phys., 32, pp. 285-359.
32. Sug. J. Y. and Choi S. D. (1997), "Quantum transport theory based
on The Equilibrium Density Projection Technique in the continued
fraction representation", Phys. Rev. E 55, pp. 314-321.
33. Shmelev G. M. (1977), "Plasma oscillations in a Supperlattice”,
Phys. Stat, Sol. B, 80, pp. 391-397.
58

62. 34. Tran Cong Phong and Nguyen Quang Bau (2003), "Parametric res-
onance of acoustic and optical phonons in a quantum well", J. Ko-
rean. Phys. Soc. 42, pp. 647-651.
59

63. PHỤ LỤC
Phụ lục 1
Chứng minh J+ = α |j+
α+1,α|2
(fα+1 − fα).
Ta có J+ = TR {ρ0[J+, J−]}, với
J+
=
α
j+
α+1,αa+
α+1aα, (P.1)
J−
=
α
(j+
α+1,α)∗
a+
α+1aα+1 (P.2)
Ta tính [J+, J−] như sau
[J+, J−] =
α,α
j+
α+1,α(j+
α +1,α )∗
[a+
α+1aα, a+
α aα +1]
=
α,α
j+
α+1,α(j+
α +1,α )∗
(a+
α+1aα +1δα,α − a+
α aαδα,α )
=
α
|j+
α+1,α|2
(a+
α+1aα+1 − a+
α aα).
Từ đó ta có
J+ =
α
|j+
α+1,α|2
TR ρ0(a+
α+1aα+1 − a+
α aα)
=
α
|j+
α+1,α|2
(fα+1 − fα). (P.3)
P.1

64. Phụ lục 2
Chứng minh LdJ+ = ωcJ+. Ta có
V T = LdJ+ = [H0, J+]
=
α,α
Eαj+
α +1,α [a+
α aα, a+
α +1aα ]
=
α,α
Eαj+
α +1,α (a+
α aα δα,α +1 − a+
α +1aαδα,α )
=
α
(Eα+1 − Eα)j+
α+1,αa+
α+1aα
= (Eα+1 − eα)J+
= ωcJ+ = V P.
Phụ lục 3
Tính LvJ−.
Ta đã biết Lv là toán tử Liouville tương ứng với phần Hamiltonian U
mô tả tương tác giữa điên tử và phonon, nên ta có
LvJ− = [U, J−]
=
q γ,µ
Cγ,µ(q)(bq + b+
−q)
α
(j+
α+1,α)∗
[a+
γ aµ, a+
α aα+1]
=
q γ,µ
Cγ,µ(q)(bq + b+
−q)
α
(j+
α+1,α)∗
(a+
γ aα+1δα,µ − a+
α aµδα+1,γ)
=
q γ,µ
Cγ,µ(q)(bq + b+
−q)
α
(j+
α+1,α)∗
a+
γ aγ+1
−
q µ
Cα+1,µ(q)(bq + b+
−q)
α
(j+
α+1,α)∗
a+
α aµ
=
q,γ,α
(j+
α+1,α)∗
(bq + b+
−q)(Cγ,α(q)a+
γ aα+1 − Cα+1,µ(q)a+
α aγ). (P.4)
P.2

65. Phụ lục 4
Tính LvJ+.
LvJ+ = [U, J+]
=
q γ,µ
Cγ,µ(q)(bq + b+
−q)
α
j+
α+1,α[a+
γ aµ, a+
α+1aα]
=
q γ,µ
Cγ,µ(q)(bq + b+
−q)
α
j+
α+1,α(a+
γ aαδα+1,µ − a+
α+1aµδα,γ)
=
q γ
Cγ,α+1(q)(bq + b+
−q)
α
j+
α+1,α)a+
γ+1aγ
−
q µ
Cα,µ(q)(bq + b+
−q)
α
j+
α+1,αa+
α+1aµ
=
q,γ,α
j+
α+1,α(bq + b+
−q)(Cγ,α+1(q)a+
γ aα − Cα,µ(q)a+
α+1aγ). (P.5)
Phụ lục 5
Chứng minh LvJ+ = 0
Theo phụ lục 4, ta có
LvJ+ =
q,γ,α
j+
α+1,α(bq + b+
−q)(Cγ,α+1(q)a+
γ aα − Cα,µ(q)a+
α+1aγ),
nên ta có LvJ+ = 0, vì bq = 0 và b+
−q = 0.
P.3

66. Phụ lục 6
Chứng minh
TR{ρ0[LPX, J−]} = TR{ρ0[LvJ−, X]} − TR{ρ0[LvPX, J−]}. (P.6)
Ta có
V T = TR{ρ0[LJ−, PX]}
= TR{ρ0[LJ−, (1 − P)X]}
= TR{ρ0[LJ−, X]} − TR{ρ0[LJ−, PX]}
= TR{ρ0[LJ−, X]} − TR{ρ0[LPX, J−]}
= TR{ρ0[LvJ−, X]} − TR{ρ0[LvPX, J−]}
+TR{ρ0[LdJ−, X]} − TR{ρ0[LdPX, J−]}. (P.7)
Ta lại có
TR{ρ0[LdPX, J−]} ≡ LdPX = Ld
X J+
J+
= LdX ≡ TR{ρ0[LdX, J−]} = TR{ρ0[LdJ−, X]},
thay vào (P.7) ta được
V T = TR{ρ0[LvJ−, X]} − TR{ρ0[LvPX, J−]} = V P.
Phụ lục 7
Tính ( ω − Ld)−1
bqa+
α aβ và ( ω − Ld)−1
b+
−qa+
α aβ.
Ta có
( ω − Ld)−1
bqa+
α aβ
= [( ω)−1
+ ( ω)−1
Ld( ω − Ld)−1
]bqa+
α aβ
P.4

67. = ( ω)−1
bqa+
α aβ + ( ω)−1
( ω − Ld)−1
Ldbqa+
α aβ, (P.8)
với
Ldbqa+
α aβ = [H0, bqa+
α aβ]
=
α
Eα [a+
α aα , bqa+
α aβ] +
q
ωq [b+
q bq , bqa+
α aβ]
=
α
bqα [a+
α aα , a+
α aβ] +
q
ωq [b+
q bq , bq]a+
α aβ
=
α
bq(a+
α aβδα,α − a+
α aα δα ,β) +
q
ωq [b+
q , bq]bq a+
α aβ
=
α
bq(a+
α aβδα,α − a+
α aα δα ,β) −
q
ωq δq,q bq a+
α aβ
= Eαbqa+
α aβ − Eβbqa+
α aβ − ωqbqa+
α aβ
= (Eα − Eβ − ωq)bqa+
α aβ, (P.9)
thay vào (P.8) ta được
Ldbqa+
α aβ = ( ω)−1
bqa+
α aβ + ( ω)−1
( ω − Ld)−1
(Eα − Eβ − ωq)bqa+
α aβ.
Từ đó ta có
( ω − Ld)−1
bqa+
α aβ = ( ω)−1
bqa+
α aβ[1 − ( ω)−1
(Eα − Eβ − ωq)]−1
= ( ω − Eα + Eβ + ωq)−1
bqa+
α aβ
Tương tự ta tính được
( ω − Ld)−1
b+
−qa+
α aβ = ( ω − Eα + Eβ − ω−q)−1
b+
−qa+
α aβ
Đặt
G±
αβ(±q) = ( ω − Eα + Eβ ± ω±q)−1
ta viết lại như sau
( ω − Ld)−1
bqa+
α aβ = G+
αβ(q)bqa+
α aβ, (P.10)
( ω − Ld)−1
b+
−qa+
α aβ = G−
αβ(−q)b+
−qa+
α aβ. (P.11)
P.5

68. Phụ lục 8
Tính tám số hạng cho đóng góp khác không trong biểu thức (2.32).
Chẳng hạn xét SH3, ta có
(SH3) =
q,β,α q ,β ,α
(j+
α+1,α)∗
j+
α +1,α Cβ,αCβ ,α +1(q )G−
β ,α (−q )
×TR{ρd[bqa+
β aα+1, b−q a+
β aα ]},
trong đó
TR{ρd[bqa+
β aα+1, b−q a+
β aα ]}
= TR{ρdbqb+
−q (a+
β aα δα+1,β − a+
β aα+1δβ,α + TR{[bq, b+
q ]a+
β aα a+
β aα+1}
= [(1 + N−q )(fβ − fβ ) + fβ (1 − fα )]δq,−q δβ ,α+1δβ,α .
Suy ra
(SH3) =
q,β,α
(j+
α+1,α)∗
j+
β+1,βCβ,α(q)Cα+1,β+1(−q)G−
α+1,β(q)
×[(1 + Nq)(fβ − fα+1) + fα+1(1 − fβ)].
Cộng trừ thêm một lượng Nqfβfα+1 vào đại lượng trong [...], ta có
(1 + Nq)(fβ − fα+1) + fα+1(1 − fβ) + Nqfβfα+1 − Nqfβfα+1
= (1 + Nq)fβ − (1 + Nq)fα+1 + fα+1 − fα+1fβ(1 + Nq) + Nqfβfα+1
= (1 + Nq)fβ(1 − fα+1) + fα+1[1 − (1 + Nq) + Nqfβ]
= (1 + Nq)fβ(1 − fα+1) − Nq(1 − fβ)fα+1.
Cuối cùng ta thu được
(SH3) =
q,β,α
(j+
α+1,α)∗
j+
β+1,βCβ,α(q)Cα+1,β+1(q)G−
α+1,β(q)
×[(1 + Nq)(fβ − fα+1) − Nq(1 − fβ)fα+1].
P.6

69. Các số hạng còn lại tính hoàn toàn tương tự, kết quả thu được như sau
(SH2) =
q,β,α
(j+
α+1,α)∗
j+
β+1,βCβ,α(q)Cα+1,β+1(q)G+
α+1,β(q)[(1 + Nq)(fβ − fα+1) − Nq(1 − fβ)fα+1],
(SH6) =
q,β,α
|j+
α+1,α|2
Cβ,α(q)C+
α,β(q)G+
α+1,β(q)[(1 + Nq)fα+1(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fα+1)],
(SH7) =
q,β,α
|j+
α+1,α|2
Cβ,α(q)C+
α,β(q)G−
α+1,β(q)[Nqfα+1(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fα+1)],
(SH10) =
q,β,α
|j+
α+1,α|2
Cα+1,β(q)C+
β,α+1(q)G+
β,α(q)[(1 + Nq)fβ(1 − fα) − Nqfα(1 − fβ)],
(SH11) =
q,β,α
|j+
α+1,α|2
Cα+1,β(q)C+
β,α+1(q)G−
β,α(q)[Nqfβ(1 − fα) − (1 + Nq)fα(1 − fβ)],
(SH14) =
q,β,α
(j+
α+1,α)∗
j+
β,β−1Cα+1,β(q)C+
β−1,α(q)G+
β,α(q)[Nqfα(1 − fβ) − (1 + Nq)fβ(1 − fα)],
(SH15) =
q,β,α
(j+
α+1,α)∗
j+
β,β−1Cα+1,β(q)C+
β−1,α(q)G+
β,α(q)[(1 + Nq)fα(1 − fβ) − Nqfβ(1 − fα)].
P.7