Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận án tiến sĩ ngành vật lí với đề tài: Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác của electronphonon trong giếng lượng tử

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN ĐÌNH HIÊN
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ
PHONON LÊN MỘT SỐ HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG
DO TƯƠNG TÁC CỦA ELECTRON-PHONON
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
HUẾ - NĂM 2018

2. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN ĐÌNH HIÊN
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ
PHONON LÊN MỘT SỐ HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG
DO TƯƠNG TÁC CỦA ELECTRON-PHONON
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số : 62 44 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
Người hướng dẫn khoa học:
1. GS.TS. TRẦN CÔNG PHONG
2. PGS.TS. LÊ ĐÌNH
HUẾ - NĂM 2018
i

3. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nêu trong
luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác.
Huế, tháng 04 năm 2018
Tác giả luận án
Nguyễn Đình Hiên
ii

4. LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TS Trần Công
Phong và PGS.TS Lê Đình, là những người thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, đóng
góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Vật lý và Phòng Đào tạo Sau Đại
học-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế; Ban đào tạo Sau Đại học, Ban Giám đốc
Đại học Huế đã tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành luận án này.
Tác giả cũng xin cảm ơn PGS.TS Trương Minh Đức cùng quý Thầy, Cô thuộc Tổ
bộ môn Vật lý lý thuyết-Khoa Vật lý-Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế đã đóng
góp ý kiến cho luận án.
Chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Dự bị đại học dân tộc trung ương
Nha Trang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian cũng như hỗ trợ một phần kinh
phí cho tác giả trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn sự động viên, chia sẻ của bạn bè, đồng nghiệp và
người thân trong qúa trình hoàn thiện luận án.
Luận án được hoàn thành tại Tổ bộ môn Vật lý lý thuyết-Khoa Vật lý-Trường
Đại học Sư phạm-Đại học Huế.
Tác giả luận án
iii

5. MỤC LỤC
Trang phụ bìa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Danh sách bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
MỞ ĐẦU 16
NỘI DUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ . . . . . . . . 24
1.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 24
1.1.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi không
có từ trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi có từ
trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
giếng lượng tử thế parabol khi không có từ trường 26
1.2.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong
giếng lượng tử thế parabol khi có từ trường . . . 27
1

6. 1.3. Tương tác electron-phonon quang khối trong giếng lượng
tử dưới tác dụng của trường ngoài . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.1. Đối với giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . 30
1.3.2. Đối với giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . 30
1.4. Tương tác electron-phonon quang giam giữ trong giếng
lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài . . . . . . . . . 31
1.4.1. Đối với giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . 32
1.4.2. Đối với giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . 32
1.5. Phương pháp chiếu toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.6. Biểu thức của tenxơ độ dẫn khi không có từ trường . . . 35
1.6.1. Biểu thức của độ dẫn tuyến tính . . . . . . . . . 42
1.6.2. Biểu thức của hàm suy giảm tuyến tính . . . . . 45
1.6.3. Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính . . . . . . . 47
1.6.4. Biểu thức của độ dẫn phi tuyến . . . . . . . . . . 48
1.6.5. Biểu thức của các hàm suy giảm phi tuyến . . . . 56
1.6.6. Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến . . . . . . . 57
1.7. Biểu thức của tenxơ độ dẫn khi có từ trường . . . . . . . 60
1.7.1. Biểu thức của tenxơ độ dẫn . . . . . . . . . . . . 60
1.7.2. Biểu thức của hàm suy giảm . . . . . . . . . . . . 60
1.7.3. Biểu thức tốc độ hồi phục . . . . . . . . . . . . . 62
1.8. Độ rộng của vạch phổ hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chương 2. ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON
LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG ELECTRON -
PHONON TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ . . . . . 64
2.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 64
2

7. 2.1.1. Công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . . . . . . . 64
2.1.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.3. Công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . . . . . . . 76
2.1.4. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon thành phần phi tuyến . . . . . . 84
2.2. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.1. Công suất hấp thụ tuyến tính . . . . . . . . . . . 87
2.2.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 90
2.2.3. Công suất hấp thụ phi tuyến . . . . . . . . . . . . 96
2.2.4. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng
electron-phonon thành phần phi tuyến . . . . . . 101
2.3. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Chương 3. ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON
LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG TỪ-PHONON
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ . . . . . . . . . . . . 107
3.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 107
3.1.1. Biểu thức của công suất hấp thụ . . . . . . . . . 107
3.1.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng
từ-phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2. Giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.1. Biểu thức của công suất hấp thụ . . . . . . . . . 118
3.2.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh dò tìm cộng hưởng
từ-phonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3

8. 3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Chương 4. ẢNH HƯỞNG CỦA SỰ GIAM GIỮ PHONON
LÊN HIỆU ỨNG CỘNG HƯỞNG CYCLOTRON
TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ . . . . . . . . . . . . 130
4.1. Độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng cyclotron trong
giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn . . . . . . . . . 130
4.2. Độ rộng vạch phổ của đỉnh cộng hưởng cyclotron trong
giếng lượng tử thế parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.3. Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P.1
4

9. DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Viết tắt Tiếng Anh Tiếng Việt
SQW Square quantum well Giếng lượng tử thế vuông góc
PQW Parabolic quantum well Giếng lượng tử thế parabol
EPR Electron-phonon resonance Cộng hưởng electron-phonon
MPR Magneto-phonon resonance Cộng hưởng từ-phonon
CR Cyclotron resonance Cộng hưởng cyclotron
ODEPR Optically detected Cộng hưởng electron-phonon
electron-phonon resonance dò tìm bằng quang học
ODMPR Optically detected Cộng hưởng từ-phonon
magneto-phonon resonance dò tìm bằng quang học
LW linewidth Độ rộng vạch phổ
ODEPRLW ODEPR linewidth Độ rộng vạch phổ của đỉnh
ODEPR
ODMPRLW ODMPR linewidth Độ rộng vạch phổ của đỉnh
ODMPR
CRLW CR linewidth Độ rộng vạch phổ của đỉnh
CR
5

10. DANH MỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU
Kí hiệu Đại lượng tương ứng
Lz Bề rộng của giếng lượng tử theo phương z
V0 Thể tích của hệ
m0 Khối lượng tĩnh của electron
m∗
Khối lượng hiệu dụng của electron
ϵ0 Hằng số điện môi
χ0 Hằng số điện môi tĩnh
χ∞ Hằng số điện môi cao tần
n Chỉ số lượng tử của electron
m Chỉ số lượng tử của phonon giam giữ
N Chỉ số mức Landau
ωc Tần số cyclotron
ac Bán kính cyclotron
B Từ trường
E0 Biên độ điện trường
ω Năng lượng photon tới
ωLO Năng lượng phonon quang dọc
ωm,q⊥
LO Năng lượng phonon quang dọc giam giữ
B0(ω) Phần ảo của hàm suy giảm tuyến tính
P0(ω) Công suất hấp thụ tuyến tính
P1(ω) Thành phần công suất hấp thụ phi tuyến
B1,2(2ω) Phần ảo của hàm suy giảm phi tính
PNLn(ω) Công suất hấp thụ phi tuyến
ODEPRLWSQW LW của đỉnh ODEPR tuyến tính trong SQW
6

11. Kí hiệu Đại lượng tương ứng
ODEPRLWPQW LW của đỉnh ODEPR tuyến tính trong PQW
ODEPRLWSQW
1 LW của đỉnh ODEPR thành phần phi tuyến
trong SQW
ODEPRLWPQW
1 LW của đỉnh ODEPR thành phần phi tuyến
trong PQW
ODMPRLWSQW LW của đỉnh ODMPR trong SQW
ODMPRLWPQW LW của đỉnh ODMPR trong PQW
CRLWSQW LW của đỉnh CR trong SQW
CRLWPQW LW của đỉnh CR trong PQW
Bulk Kí hiệu cho phonon khối
Confine (Conf.) Kí hiệu cho phonon giam giữ
7

12. DANH SÁCH BẢNG
2.1 Sự phụ thuộc của ODEPRLWSQW vào T. . . . . . . . . . 72
2.2 Sự phụ thuộc của ODEPRLWSQW vào Lz. . . . . . . . . 74
2.3 Sự phụ thuộc của ODEPRLWSQW
1 vào Lz. . . . . . . . . 86
2.4 Sự phụ thuộc của ODEPRLWPQW vào T. . . . . . . . . . 93
2.5 Sự phụ thuộc của ODEPRLWPQW vào ωz. . . . . . . . . 94
2.6 Sự phụ thuộc của ODEPRLWPQW
1 vào ωz. . . . . . . . . 104
3.1 Sự phụ thuộc của ODMPRLWSQW vào T. . . . . . . . . 115
3.2 Sự phụ thuộc của ODMPRLWSQW vào Lz. . . . . . . . . 117
3.3 Sự phụ thuộc của ODMPRLWPQW vào T. . . . . . . . . 125
3.4 Sự phụ thuộc của ODMPRLWPQW vào ωz. . . . . . . . . 127
4.1 Sự phụ thuộc của CRLWSQW vào T. . . . . . . . . . . . 133
4.2 Sự phụ thuộc của CRLWSQW vào Lz. . . . . . . . . . . . 134
4.3 Sự phụ thuộc của CRLWSQW vào B. . . . . . . . . . . . 135
4.4 Sự phụ thuộc của CRLWPQW vào T. . . . . . . . . . . . 139
4.5 Sự phụ thuộc của CRLWPQW vào ωz. . . . . . . . . . . . 141
4.6 Sự phụ thuộc của CRLWPQW vào B. . . . . . . . . . . . 142
8

13. DANH SÁCH HÌNH VẼ
1.1 Sơ đồ chuyển mức của electron giữa trạng thái trung gian
η và các trạng thái cơ bản α và β. . . . . . . . . . . . . . 46
1.2 Cách xác định độ rộng vạch phổ từ sự phụ thuộc của công
suất hấp thụ vào năng lượng photon. . . . . . . . . . . . 63
2.1 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PSQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong SQW đối với mô hình
phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường
gạch gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm. b) Sự phụ thuộc
của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPR
SQW ( ω) vào năng
lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODEPR (đỉnh 4
của hình 2.1a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPR
SQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODEPR
đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các
giá trị khác nhau của T: T = 200 K (đường nét liền),
T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm
chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh
ODEPR vào T: mô hình phonon khối (đường nét liền) và
phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, Lz = 12 nm. 73
2.3 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPR
SQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODEPR
đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các
giá trị khác nhau của Lz: Lz = 12 nm (đường nét liền),
Lz = 13 nm (đường gạch gạch) và Lz = 14 nm (đường
9

14. chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phỏ của
đỉnh ODEPR vào Lz: mô hình phonon khối (đường nét
liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T =
300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến PNln
SQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong SQW đối với mô hình
phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường
gạch gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm. b) Sự phụ thuộc
của thành phần công suất hấp thụ phi tuyến PODEPR−SQW
1 ( ω)
vào năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODEPR
phi tuyến (đỉnh 2d của hình 2.4a)). . . . . . . . . . . . . 85
2.5 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR
thành phần phi tuyến vào Lz: mô hình phonon khối (đường
nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây,
T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PPQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong PQW đối với mô hình
phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường
gạch gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO. b) Sự phụ thuộc
của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPR
PQW ( ω) vào năng
lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODEPR (đỉnh 3
của hình 2.6a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPR
PQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODEPR
đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các
giá trị khác nhau của T: T = 200 K (đường nét liền),
T = 250 K (đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm
10

15. chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh
ODEPR vào T: mô hình phonon khối (đường nét liền) và
phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, ωz = 0.5ωLO. 93
2.8 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ tuyến tính PODEPR
PQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODEPR
đối với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các
giá trị khác nhau của ωz: ωz = 0.5ωLO (đường nét liền),
ωz = 0.6ωLO (đường gạch gạch), ωz = 0.7ωLO (đường
chấm chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của
đỉnh ODEPR vào ωz: mô hình phonon khối (đường nét
liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T =
300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.9 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ phi tuyến PNln
PQW ( ω)
vào năng lượng photon ω trong PQW đối với mô hình
phonon khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường
gạch gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO. b) Sự phụ thuộc
của thành phần công suất hấp thụ phi tuyến PODEPR−PQW
1 ( ω)
vào năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODEPR
phi tuyến (đỉnh 2c của hình 2.9a)). . . . . . . . . . . . . 102
2.10 Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR
thành phần phi tuyến vào ωz: mô hình phonon khối (đường
nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây,
T = 300 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PSQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW đối với mô hình phonon
khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch
gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm, B = 20.97 T. b) Sự
11

16. phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPR
SQW ( ω) vào năng
lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODMPR (đỉnh 4
của hình 3.1a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPR
SQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODMPR đối
với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị
khác nhau của T: T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K
(đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b)
Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào
T: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam
giữ (đường gạch gạch). Ở đây, Lz = 12 nm và B = 20.97 T.116
3.3 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPR
SQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh ODMPR đối
với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá
trị khác nhau của Lz: Lz = 12 nm (đường nét liền), Lz =
13 nm (đường gạch gạch) và Lz = 14 nm (đường chấm
chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh
ODMPR vào Lz: mô hình phonon khối (đường nét liền)
và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K
và B = 20.97 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW đối với mô hình phonon
khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch
gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO, B = 20.97 T. b)
Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW ( ω) vào năng
lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODMPR (đỉnh 4
của hình 3.4a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12

17. 3.5 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPR
PQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODMPR đối
với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị
khác nhau của T: T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K
(đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b)
Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODMPR vào
T: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam
giữ (đường gạch gạch). Ở đây, ωz = 0.5ωLO và B = 20.97 T.126
3.6 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PODMPR
PQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh ODMPR đối
với mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá
trị khác nhau của ωz: ωz = 0.5ωLO (đường nét liền), ωz =
0.6ωLO (đường gạch gạch), ωz = 0.7ωLO (đường chấm
chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh
ODMPR vào ωz: mô hình phonon khối (đường nét liền)
và phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K
và B = 20.97 T. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.1 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PSQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW đối với mô hình phonon
khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch
gạch) tại T = 300 K, Lz = 12 nm, B = 10 T. b) Sự phụ
thuộc của công suất hấp thụ PSQW ( ω) vào năng lượng
photon ω trong SQW tại đỉnh CR (đỉnh 1 của hình 4.1
a)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCR
SQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh CR đối với
mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị
13

18. khác nhau của T: T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K
(đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b)
Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào T:
mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam
giữ (đường gạch gạch). Ở đây, Lz = 12 nm, B = 10 T. . . 133
4.3 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCR
SQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh CR đối với mô
hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác
nhau của Lz: Lz = 12 nm (đường nét liền), Lz = 13 nm
(đường gạch gạch) và Lz = 14 nm (đường chấm chấm). b)
Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào Lz:
mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam
giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K và B = 10 T. . 134
4.4 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCR
SQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong SQW tại đỉnh CR đối với
mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị
khác nhau của từ trường B: B = 10 T (đường nét liền),
B = 11 T (đường gạch gạch) và B = 12 T (đường chấm
chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR
vào B: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon
giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K và Lz =
12 nm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.5 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PPQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW đối với mô hình phonon
khối (đường nét liền) và phonon giam giữ (đường gạch
gạch) tại T = 300 K, ωz = 0.5ωLO, B = 10 T. b) Sự phụ
thuộc của công suất hấp thụ PPQW ( ω) vào năng lượng
14

19. photon ω trong PQW tại đỉnh CR (đỉnh 1 của hình 4.5a)).138
4.6 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCR
PQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh CR đối với
mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị
khác nhau của T: T = 200 K (đường nét liền), T = 250 K
(đường gạch gạch) và T = 300 K (đường chấm chấm). b)
Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào T:
mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam
giữ (đường gạch gạch). Ở đây, ωz = 0.5ωLO, B = 10 T. . 140
4.7 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCR
PQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh CR đối với mô
hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị khác
nhau của ωz: ωz = 0.5ωLO (đường nét liền), ωz = 0.6ωLO
(đường gạch gạch) và ωz = 0.7ωLO (đường chấm chấm).
b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR vào
ωz: mô hình phonon khối (đường nét liền) và phonon giam
giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K, B = 10 T. . . 141
4.8 a) Sự phụ thuộc của công suất hấp thụ PCR
PQW ( ω) vào
năng lượng photon ω trong PQW tại đỉnh CR đối với
mô hình phonon khối và phonon giam giữ tại các giá trị
khác nhau của từ trường B: B = 10 T (đường nét liền),
B = 11 T (đường gạch gạch) và B = 12 T (đường chấm
chấm). b) Sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh CR
vào từ trường B: mô hình phonon khối (đường nét liền) và
phonon giam giữ (đường gạch gạch). Ở đây, T = 300 K,
ωz = 0.5ωLO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
15

20. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khoa học và Công nghệ nano là một ngành khoa học và công nghệ
mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ tác động mạnh mẽ đến tất cả các
lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng như đời sống - kinh tế xã
hội ở thế kỉ 21. Đây là lĩnh vực mang tính liên ngành cao, bao gồm vật
lí, hóa học, y dược - sinh học, công nghệ điện tử tin học, công nghệ môi
trường và nhiều công nghệ khác. Theo trung tâm đánh giá công nghệ
thế giới (World Technology Evaluation Centre), trong tương lai sẽ không
có ngành công nghiệp nào mà không ứng dụng công nghệ nano.
Khoa học và Công nghệ nano được định nghĩa là khoa học và công
nghệ nhằm tạo ra và nghiên cứu các vật liệu, các cấu trúc và các linh
kiện có kích thước trong khoảng từ 0.1 đến 100 nm, với rất nhiều tính
chất khác biệt so với vật liệu khối. Thật vậy, các nhà nghiên cứu đã chỉ
ra rằng khi kích thước của chất bán dẫn giảm xuống một cách đáng kể
theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều thì các tính chất vật lý như: tính
chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang thay đổi một cách đột ngột. Chính điều
đó đã làm cho các cấu trúc nano trở thành đối tượng của các nghiên cứu
cơ bản, cũng như các nghiên cứu ứng dụng. Các tính chất của các cấu
trúc nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hình dạng và kích
thước cỡ nanomet của chúng.
Khi kích thước của vật rắn theo một phương nào đó (chẳng hạn
như phương z) giảm xuống chỉ còn vào cỡ nanomet (nghĩa là cùng bậc
độ lớn với bước sóng de Broglie của hạt tải điện) thì các electron có thể
vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng (x, y), nhưng chuyển
16

21. động của chúng theo phương z sẽ bị giới hạn. Hệ electron như vậy gọi là
hệ electron chuẩn hai chiều và chất bán dẫn được gọi là bán dẫn chuẩn
2 chiều. Nếu kích thước của vật rắn theo phương y cũng giảm xuống chỉ
còn vào cỡ vài nanomet, khi đó các electron chỉ có thể chuyển động tự do
theo phương x, còn chuyển động của chúng theo các phương z và y đã
bị lượng tử hóa. Hệ electron như vậy gọi là hệ electron chuẩn một chiều
và chất bán dẫn như vậy gọi là bán dẫn chuẩn 1 chiều hay dây lượng tử.
Tương tự, nếu kích thước của vật rắn theo cả 3 phương đồng thời giảm
xuống chỉ còn vào cỡ vài nanomet thì chuyển động của các electron theo
cả 3 phương (x, y, z) đều bị giới hạn hay nói cách khác các electron bị
giam giữ theo cả 3 chiều, thì hệ được gọi là chấm lượng tử. Những vật
liệu có cấu trúc như trên gọi là vật liệu thấp chiều hay bán dẫn chuẩn
thấp chiều. Cấu trúc này có nhiều tính chất mới lạ so với cấu trúc thông
thường, cả về tính chất quang cũng như tính chất điện.
Việc chuyển từ hệ electron 3 chiều sang hệ electron chuẩn thấp chiều
đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiều
tính chất vật lý trong đó có tính chất quang, điện của vật liệu; đồng
thời cũng đã làm xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà hệ
electron 3 chiều không có. Sự giam giữ electron trong các cấu trúc thấp
chiều đã làm cho phản ứng của hệ đối với trường ngoài xảy ra khác biệt
so với trong hệ electron 3 chiều. Các vật liệu bán dẫn với cấu trúc như
trên đã tạo ra các linh kiện, thiết bị dựa trên những nguyên tắc hoàn
toàn mới, từ đó hình thành nên một công nghệ hiện đại có tính cách
mạng trong khoa học, kỹ thuật nói chung và trong lĩnh vực quang-điện
tử nói riêng. Đó là lý do tại sao bán dẫn có cấu trúc thấp chiều, trong đó
có cấu trúc chuẩn hai chiều đã, đang và sẽ được nhiều nhà vật lý quan
tâm nghiên cứu.
17

22. Cộng hưởng electron-phonon (EPR) xảy ra trong chất bán dẫn dưới
tác dụng của điện trường ngoài khi hiệu hai mức năng lượng của electron
bằng năng lượng phonon. Nếu quá trình hấp thụ photon kèm theo sự
hấp thụ hoặc phát xạ phonon thì ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởng electron-
phonon dò tìm bằng quang học (ODEPR). Việc nghiên cứu hiệu ứng
EPR/ODEPR trong các thiết bị lượng tử hiện đại đóng vai trò rất quan
trọng trong việc hiểu biết tính chất chuyển tải lượng tử của hạt tải điện
trong bán dẫn. Hiệu ứng này trong giếng lượng tử đã được quan tâm
nghiên cứu cả về lý thuyết [29, 27] lẫn thực nghiệm [46] với giả thiết
phonon là phonon khối.
Cộng hưởng từ-phonon (MPR) là sự tán xạ cộng hưởng electron
gây ra bởi sự hấp thụ hay phát xạ phonon khi khoảng cách giữa hai mức
Landau bằng năng lượng của phonon quang dọc. Hiệu ứng này đã và
đang được các nhà khoa học rất quan tâm vì nó là công cụ phổ mạnh
để khảo sát các tính chất như cơ cấu hồi phục hạt tải, sự tắt dần của
các dao động, đo khối lượng hiệu dụng, xác định khoảng cách giữa các
mức năng lượng kề nhau của các chất bán dẫn. Hiện tượng MPR có thể
được quan sát trực tiếp thông qua việc dò tìm cộng hưởng từ-phonon
bằng quang học (ODMPR). Hiệu ứng này trong giếng lượng tử đã được
quan tâm nghiên cứu cả về lý thuyết [18, 36, 32] lẫn thực nghiệm [11]
khi xét phonon khối.
Cộng hưởng cyclotron (CR) xảy ra trong bán dẫn khi có mặt cả
điện trường và từ trường, đồng thời tần số điện trường (tần số photon)
bằng tần số cyclotron hay nói cách khác năng lượng photon bằng năng
lượng cyclotron. Điều kiện và các đặc trưng của hiện tượng phụ thuộc
vào nhiệt độ, cường độ từ trường và tính chất của cơ chế tán xạ hạt tải.
Vì vậy, hiệu ứng này cho phép chúng ta thu thập được nhiều thông tin
18

23. hữu ích của hạt tải và phonon. Hiệu ứng CR đã được quan tâm nghiên
cứu cả về lý thuyết [22] lẫn thực nghiệm [30] trong bán dẫn khối, trong
giếng lượng tử [43, 45] về mặt lý thuyết và [20] về thực nghiệm cũng với
giả thiết phonon là phonon khối.
Việc nghiên cứu các hiệu ứng EPR/ODEPR, MPR/ODMPR, CR
trong các hệ electron chuẩn hai chiều đã và đang được các nhà khoa học
rất quan tâm. Sở dĩ như vậy là đối với những bán dẫn có độ thuần khiết
cao thì tương tác electron-phonon là loại tương tác chủ yếu. Nó sẽ góp
phần làm sáng tỏ các tính chất mới của khí electron hai chiều dưới tác
dụng của trường ngoài, từ đó cung cấp thông tin về tinh thể và tính chất
quang của hệ electron chuẩn hai chiều cho công nghệ chế tạo các linh
kiện quang điện tử và quang tử.
Ngày nay, đối với các bán dẫn thấp chiều nói chung và giếng lượng
tử nói riêng, các nhà vật lý thường quan tâm đến việc nghiên cứu nhằm
phát hiện thêm các hiệu ứng mới mà chưa đi sâu nghiên cứu để tìm thêm
các đặc tính mới trong các hiệu ứng quen thuộc do tương tác electron-
phonon gây ra dưới tác dụng của trường cao tần như hiệu ứng EPR,
MPR và CR khi xét đến phonon giam giữ.
Bên cạnh hệ electron bị giam giữ thì sự giam giữ phonon chắc chắn
sẽ làm gia tăng tốc độ tán xạ electron-phonon, từ đó có thể làm xuất hiện
thêm các đặc tính mới thú vị hơn. Vì vậy, các bài toán về EPR/ODEPR,
MPR/ODMPR, CR khi tính đến phonon bị giam giữ trong giếng lượng
tử đang còn bỏ ngỏ, chưa được nghiên cứu nhiều.
Chính vì vậy, “Nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon
lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác của electron-
phonon trong giếng lượng tử ” là cần thiết.
19

24. 2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ
phonon lên hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon, cộng hưởng từ-phonon
và cộng hưởng cyclotron trong hai loại giếng lượng tử (giếng lượng tử
thế vuông góc sâu vô hạn và giếng lượng tử thế parabol) dưới tác dụng
của trường ngoài.
3. Nội dung nghiên cứu
Tính công suất hấp thụ trong hai loại giếng lượng tử nói trên dưới
tác dụng của điện trường và dưới tác dụng của cả điện trường và từ
trường trong hai trường hợp phonon không giam giữ và phonon giam
giữ.
Khảo sát sự phụ thuộc của độ rộng vạch phổ của đỉnh ODEPR,
ODMPR, CR vào nhiệt độ và các thông số của giếng khi tính đến sự
không giam giữ và giam giữ phonon.
So sánh kết quả vừa thu được về độ rộng vạch phổ của các đỉnh nêu
trên trong hai trường hợp phonon không giam giữ và phonon giam giữ
để đánh giá ảnh hưởng của sự giam giữ phonon.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đã có nhiều phương pháp khác nhau được đề xuất để nghiên cứu
các tính chất mới của electron trong bán dẫn thấp chiều như phương
pháp gần đúng tích phân đường của Feynmann, mô phỏng Monte-Carlo,
hàm Green, phương trình động lượng tử, chiếu toán tử, ... . Mỗi phương
pháp đều có những ưu, nhược điểm riêng, nên việc sử dụng phương pháp
nào là ưu việt hơn thì chỉ có thể được đánh giá tùy vào từng bài toán
20

25. cụ thể. Với bài toán tìm độ dẫn và công suất hấp thụ, chúng tôi sử
dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt trong vật
lý thống kê, trong đó tập trung nhiều vào phương pháp chiếu toán tử.
Phương pháp này cho phép đưa ra được biểu thức tường minh của độ
dẫn và công suất hấp thụ, trong đó chứa các thông tin về mô hình tương
tác và có thể tính toán giải tích đến mức độ cần thiết.
Với bài toán xác định độ rộng vạch phổ, chúng tôi sử dụng “phương
pháp profile”. Đây là phương pháp tính số cho phép xác định độ rộng
vạch phổ từ đồ thị mô tả sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào năng
lượng photon thông qua xác định profile của đường cong với sự hỗ trợ
của phần mềm tính toán Mathematica.
Phương pháp chiếu toán tử đã được nhiều tác giả trong và ngoài
nước sử dụng có hiệu quả vào nghiên cứu các tính chất quang và tính
chất chuyển tải trong bán dẫn. Phương pháp này có ưu điểm là trong
kết quả giải tích có chứa các hàm phân bố của electron, phonon nên dưới
tác dụng của điện trường và từ trường các quá trình dịch chuyển của
electron do hấp thụ hoặc phát xạ photon kèm theo hấp thụ hoặc phát
xạ phonon được thể hiện một cách trực quan.
Phương pháp profile được nhóm tác giả Trần Công Phong, Huỳnh
Vĩnh Phúc và cộng sự phát triển từ gợi ý của Cho Y. J. và cộng sự [15],
đã thu được độ rộng vạch phổ với độ chính xác cao và được công nhận
ở nhiều công trình, chẳng hạn như công trình [37, 39].
5. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ phonon
lên cộng hưởng electron-phonon, cộng hưởng từ-phonon, cộng hưởng
21

26. cyclotron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và thế parabol
với giả thiết tương tác electron-phonon là tương tác chủ yếu trong hệ và
chỉ xét đối với phonon quang dọc.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận án
Nội dung của luận án là nghiên cứu ảnh hưởng của sự giam giữ
phonon lên một số hiệu ứng cộng hưởng do tương tác electron-phonon
trong giếng lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài. Kết quả tính số
và vẽ đồ thị được giải thích và so sánh với các kết quả lý thuyết của các
công trình khác hoặc kết quả thực nghiệm đã công bố, từ đó khẳng định
tính đúng đắn của kết quả đang nghiên cứu.
Kết quả của luận án có thể cung cấp thêm các thông tin mới và
hữu ích về tính chất vật lý của hệ electron trong bán dẫn giếng lượng
tử khi xét đến phonon giam giữ dưới tác dụng của trường ngoài, nhằm
đóng góp một phần nhỏ vào sự phát triển của khoa học vật liệu bán dẫn
thấp chiều và công nghệ chế tạo các linh kiện điện tử và quang điện tử
hiện nay.
Ngoài ra, kết quả thu được của luận án góp phần khẳng định tính
đúng đắn của phương pháp chiếu toán tử và phương pháp profile trong
việc nghiên cứu các quá trình chuyển tải lượng tử trong bán dẫn thấp
chiều nói chung và giếng lượng tử nói riêng.
7. Cấu trúc của luận án
Ngoài phần mở đầu, phụ lục và tài liệu tham khảo, nội dung của
luận án gồm 04 chương, 17 mục, 02 hình vẽ, 26 đồ thị, 16 bảng, được bố
trí thành 04 chương, trong đó:
22

27. Chương 1, trình bày về hàm sóng và phổ năng lượng của electron
trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và thế parabol khi không
có và khi có từ trường, tương tác giữa electron với phonon khối và phonon
giam giữ dưới tác dụng của trường ngoài, phương pháp chiếu toán tử,
biểu thức tenxơ độ dẫn tuyến tính và phi tuyến khi không có từ trường,
biểu thức tenxơ độ dẫn tuyến tính khi có từ trường, độ rộng của vạch phổ
hấp thụ. Trong chương 2, trình bày ảnh hưởng của sự giam giữ phonon
lên hiệu ứng cộng hưởng electron-phonon trong giếng lượng tử thế vuông
góc sâu vô hạn và thế parabol trong cả hai trường hợp tuyến tính và
phi tuyến. Tiếp theo, ở chương 3, trình bày ảnh hưởng của sự giam giữ
phonon lên hiệu ứng cộng hưởng từ-phonon trong giếng lượng tử thế
vuông góc sâu vô hạn và thế parabol. Cuối cùng, chương 4, trình bày
ảnh hưởng của sự giam giữ phonon lên hiệu ứng cộng hưởng cyclotron
trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và thế parabol.
Các kết quả nghiên cứu của luận án đã được báo cáo tại Hội nghị
Vật lý lý thuyết toàn quốc và Hội thảo quốc tế lần thứ 39 (Buôn Ma
Thuột, 2014), 40 (Đà Lạt, 2015), 41 (Nha Trang, 2016) và 42 (Cần Thơ,
2017); đồng thời cũng đã được công bố trong 05 bài báo. Trong đó có
02 bài thuộc danh mục tạp chí ISI (một bài đăng ở tạp chí Physica E
năm 2015, một bài đăng ở tạp chí Superlattices and Microstructures năm
2016), 01 bài đăng ở tạp chí Đại học Huế năm 2017, 02 bài còn lại đăng
ở tạp chí Journal of Physics: Conference Series năm 2016 và 2017.
23

28. NỘI DUNG
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
Chương này trình bày về hàm sóng và phổ năng lượng của
electron trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn và thế
parabol khi không có và khi có từ trường, tương tác giữa electron
với phonon khối và phonon giam giữ dưới tác dụng của trường
ngoài, phương pháp chiếu toán tử, biểu thức tenxơ độ dẫn tuyến
tính và phi tuyến khi không có từ trường, biểu thức tenxơ độ
dẫn tuyến tính khi có từ trường, độ rộng của vạch phổ hấp thụ.
1.1. Giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn
1.1.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng
lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi không có từ
trường
Xét mô hình giếng lượng tử trong đó hệ electron có thể chuyển động
tự do trong mặt phẳng (x, y) và bị giam giữ theo phương z bởi thế vuông
góc sâu vô hạn, hàm sóng và năng lượng của một electron tương ứng ở
trạng thái |α⟩ trong giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn, lần lượt
được cho bởi [29]
|α⟩ =
1
√
LxLy
exp (i⃗kα
⊥⃗r⊥)ψnα
(z), (1.1)
Eα ≡ Enα
(kα
⊥) =
2
(kα
⊥)2
2m∗
+ n2
αε0, (1.2)
24

29. trong đó ⃗r⊥ = (x, y) và ⃗k⊥ = (kx, ky) lần lượt là vectơ vị trí và vectơ
sóng của electron trong mặt phẳng (x, y); m∗
là khối lượng hiệu dụng
của một electron và ε0 = π2 2
/(2m∗
L2
z) là năng lượng của mức nội vùng
con thấp nhất, nα = 1, 2, 3, · · · là chỉ số lượng tử mức nội vùng con; Lx,
Ly, và Lz lần lượt là kích thước của giếng theo phương x, y và z. Hàm
sóng ψnα
(z) của một electron chuyển động theo phương z được xác định
bởi thế năng giam giữ V (z) [13],
V (z) =



0 khi |z| < Lz/2,
∞ khi |z| > Lz/2.
(1.3)
Trong trường hợp này, ψnα
(z) được xác định bởi [12, 13]
ψnα
(z) =
√
2
Lz
sin(
nαπz
Lz
+
nαπ
2
). (1.4)
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng
lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn khi có từ trường
Xét mô hình giếng lượng tử, trong đó hệ electron có thể chuyển
động tự do trong mặt phẳng (x, y) và bị giam giữ theo phương z bởi thế
vuông góc sâu vô hạn. Giả sử có một từ trường tĩnh ⃗B = (0, 0, B) được
đặt vào giếng lượng tử dọc theo phương z. Sử dụng phép gần đúng khối
lượng hiệu dụng cho các electron bị giam giữ trong giếng, ta thu được
Hamiltonian một hạt he và hàm riêng, trị riêng ương ứng trong chuẩn
Landau của thế véctơ ⃗A = (0, Bx, 0) ở trạng thái |α⟩ trong giếng lượng
tử thế vuông góc sâu vô hạn, như sau [13, 25, 32]
he =
1
2m∗
(⃗p + e ⃗A)2
+ V (z), (1.5)
|α⟩ =
1
√
Ly
ΨNα
(x − x0) exp(ikyy)ψnα
(z), (1.6)
25

30. Eα ≡ ENαnα
= (Nα + 1/2) ωc + n2
αε0, (1.7)
trong đó Nα = 0, 1, 2, · · · là chỉ số lượng tử mức Landau; ⃗p là toán tử
xung lượng của electron; ΨNα
(x − x0) biểu diễn hàm sóng dao động điều
hòa xung quanh vị trí cân bằng x0 = −a2
cky với ac = ( c/eB)1/2
là bán
kính quỹ đạo cyclotron trong mặt phẳng (x, y); Ly và ky lần lượt là bề
rộng của giếng và vectơ sóng của electron theo trục y; ωc = eB/m∗
là tần
số cyclotron; ψnα
(z) là hàm sóng của electron chuyển động theo phương
z cũng được xác định bởi thế năng giam giữ V (z) ở biểu thức (1.3) và
có dạng như phương trình (1.4).
1.2. Giếng lượng tử thế parabol
1.2.1. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng
lượng tử thế parabol khi không có từ trường
Xét mô hình giếng lượng tử, trong đó hệ electron có thể chuyển
động tự do trong mặt phẳng (x, y) và bị giam giữ theo phương z bởi thế
năng V (z), hàm sóng và phổ năng lượng tương ứng của một electron ở
trạng thái |α⟩, trong giếng lượng tử thế parabol, lần lượt được cho bởi
[29]
|α⟩ =
1
√
LxLy
exp(i⃗kα
⊥⃗r⊥)ψnα
(z), (1.8)
Eα ≡ Enα
(kα
⊥) =
2
(kα
⊥)2
2m∗
+ (nα +
1
2
) ωz, (1.9)
trong đó ωz là tần số của thế giam giữ của giếng. Hàm sóng ψnα
(z) của
một electron chuyển động theo phương z được xác định bởi thế năng
giam giữ V (z),
V (z) = m∗
ω2
zz2
/2. (1.10)
26

31. Trong trường hợp này, ψnα
(z) được xác định bởi [29]
ψnα
(z) =
1
√
2nαnα!
√
πaz
exp(−
z2
2a2
z
)Hnα
(
z
az
), (1.11)
với az = ( /(m∗
ωz))1/2
và Hnα
là đa thức Hermite bậc nα.
1.2.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của electron trong giếng
lượng tử thế parabol khi có từ trường
Xét mô hình giếng lượng tử, trong đó hệ electron có thể chuyển động
tự do trong mặt phẳng (x, y) và bị giam giữ theo phương z bởi thế năng
V (z). Giả sử có một từ trường tĩnh ⃗B = (0, 0, B) được đặt vào giếng
lượng tử dọc theo phương z. Sử dụng phép gần đúng khối lượng hiệu
dụng cho các electron bị giam giữ trong giếng, ta thu được Hamiltonian
một hạt he và hàm riêng, trị riêng ở trạng thái |α⟩ trong chuẩn Landau
của thế véctơ ⃗A = (0, Bx, 0) trong giếng lượng tử thế parabol, như sau
[25, 32]
he =
1
2me
(⃗p + e ⃗A)2
+ V (z), (1.12)
|α⟩ =
1
√
Ly
ΨNα
(x − x0) exp(ikyy)ψnα
(z), (1.13)
Eα ≡ ENαnα
= (Nα + 1/2) ωc + (nα + 1/2) ωz, (1.14)
trong đó ψnα
(z) là hàm sóng của electron chuyển động theo phương z
được xác định bởi thế năng giam giữ V (z) ở biểu thức (1.10) và có dạng
như phương trình (1.11).
1.3. Tương tác electron-phonon quang khối trong
giếng lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài
Xét hệ electron và phonon trong bán dẫn giếng lượng tử, trong đó
các electron không tương tác với nhau mà chỉ tương tác với phonon trong
27

32. hệ, khi hệ chịu tác dụng đồng thời của từ trường ngoài tĩnh ⃗B đặt dọc
theo trục z của giếng và điện trường ngoài biến thiên theo thời gian
⃗E(t) =
∑
ℓ
E0ℓe−iωt
⃗eℓ,
với ⃗eℓ, E0ℓ và ω lần lượt là vectơ đơn vị, biên độ và tần số của điện trường
ngoài theo phương ℓ(= x, y, z). Hamiltonian toàn phần của hệ eletron -
phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu
thức [27]
H(t) = Heq + Hint(t), (1.15)
với Heq và Hint(t) tương ứng là thành phần cân bằng và không cân bằng
của Hamiltonian
Heq = Hd + V = He + Hp + V, (1.16)
trong đó
He =
∑
α
Eαa+
α aα, (1.17)
Hp =
∑
⃗q
ω⃗qb+
⃗q b⃗q, (1.18)
V =
∑
⃗q
∑
α,η
Cαη(⃗q)a+
α aη(b⃗q + b+
−⃗q). (1.19)
Trong các biểu thức trên, He và Hp là các Hamitonian của hệ elec-
tron và hệ phonon tự do; a+
α (aα) là toán tử sinh (hủy) của electron
ở trạng thái |α⟩ có năng lượng Eα = ⟨α|he|α⟩, với he là Hamiltonian
một hạt electron; b+
⃗q (b⃗q) là toán tử sinh (hủy) của phonon ở trạng thái
|q⟩ ≡ |⃗q, s⟩, với ⃗q là vectơ sóng của phonon, s là chỉ số phân cực; ω⃗q là
năng lượng phonon; Cαη(⃗q) là yếu tố ma trận tương tác electron-phonon
được cho bởi [24, 25, 34, 47]
|Cαη(⃗q)|2
= |Vq⟨α| exp (i⃗q.⃗r)|η⟩|2
= |Vq|2
|Inαnη
(qz)|2
|JNαNη
(u)|2
δkα
⊥,kη
⊥+q⊥
,
(1.20)
28

33. trong đó
|Vq|2
=
e2
ωLOχ∗
2ϵ0V0
1
q2
⊥ + q2
z
, (1.21)
Inαnη
(qz) =
∫
ψnα
(z) exp (iqzz)ψnη
(z)dz, (1.22)
|JNαNη
(u)|2
=
N2!
N1!
e−u
uN1−N2
[LN1−N2
N2
(u)]2
. (1.23)
Trong các biểu thức trên χ∗
= (χ−1
∞ −χ−1
0 ), với χ∞ và χ0 lần lượt là hằng
số điện môi cao tần và hằng số điện môi tĩnh; ϵ0 là hằng số điện môi
trong chân không; V0 = LxLyLz là thể tích của giếng; ⃗r là vectơ vị trí của
electron; Vq là thừa số kết cặp, phụ thuộc vào mode phonon; Inαnη
(qz) là
thừa số dạng, phụ thuộc vào loại giếng; u = a2
cq2
⊥/2, N1 = max{Nα, Nη},
N2 = min{Nα, Nη}, và LN1−N2
N2
(u) là đa thức Laguerre.
Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theo
thời gian được cho bởi [28]
Hint(t) = −
i
ω
⃗E(t) ⃗J, (1.24)
trong đó ⃗J là toán tử mật độ dòng điện của hệ.
Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, biểu thức Hamiltonian tương tác có
thêm thừa số e∆t
, với ∆ → 0+
. Lúc đó (1.24) trở thành
Hint(t) = −
i
ω
lim
∆→0+
∑
ℓ
E0ℓe−i¯ωt
Jℓ, (1.25)
trong đó ¯ω = ω−i∆, Jℓ là toán tử mật độ dòng điện của hệ theo phương
ℓ(= x, y, z).
29

34. 1.3.1. Đối với giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn
Thừa số dạng Inαnη
(qz) ở phương trình (1.22) có dạng
Inαnη
(qz) = ⟨nα|eiqzz
|nη⟩ =
∫
ψnα
(z) exp (iqzz)ψnη
(z)dz
=
2
Lz
∫ Lz/2
−Lz/2
dz sin(
nαπz
Lz
+
nαπ
2
) exp (iqzz) sin(
nηπz
Lz
+
nηπ
2
).
(1.26)
Theo Phụ lục 1, ta được
I =
∫ ∞
−∞
dqz|Inαnη
(qz)|2
=
π
Lz
(2 + δnα,nη
). (1.27)
1.3.2. Đối với giếng lượng tử thế parabol
Thừa số dạng ở phương trình (1.22) có dạng
Inα,nη
(qz) = ⟨nα|eiqzz
|nη⟩ =
∫
ψnα
(z) exp (iqzz)ψnη
(z)dz
=
(
1
2nαnα!
√
πaz
)1/2(
1
2nη nη!
√
πaz
)1/2
×
∫ ∞
−∞
exp(−
z2
a2
z
+ iqzz)Hnα
(
z
az
)Hnη
(
z
az
)dz.
(1.28)
Theo Phụ lục 2, ta được
I =
∫ ∞
−∞
dqz|Inαnη
(qz)|2
=
√
2
az
nα!
nη!
(1 + ∆nηα)nα
(2∆nηα + 3/2)nα
Γ(∆nηα + 1/2)
(nα!)2
×3 F2(−nα, ∆nηα + 1/2, 1/2; ∆nηα + 1, 1/2 − nα; 1),
(1.29)
trong đó 3F2 là hàm siêu bội suy rộng và ∆nηα = nη − nα.
30

35. 1.4. Tương tác electron-phonon quang giam giữ trong
giếng lượng tử dưới tác dụng của trường ngoài
Yếu tố ma trận tương tác electron-phonon giam giữ trong giếng
lượng tử có dạng [12]
|Cαη(⃗q)|2
= |Vmϕ(q⊥)|2
|Gmϕ
nαnη
|2
|JNαNη
(u)|2
δkα
⊥,kη
⊥+q⊥
, (1.30)
trong đó
|Vmϕ(q⊥)|2
=
e2
ωm,q⊥
LO χ∗
2ϵ0V0
1
amϕq2
⊥ + bmϕ/L2
z
, (1.31)
Gmϕ
nαnη
là hàm đặc trưng cho tương tác electron-phonon giam giữ, nó phụ
thuộc vào loại cấu trúc và mô hình phonon giam giữ, có dạng
Gmϕ
nαnη
=
∫
ψ∗
nη
(z)umϕ(z)ψnα
(z)dz, (1.32)
với ωm,q⊥
LO = [ω2
LO − v2
0(q2
⊥ + q2
m)]1/2
là năng lượng phonon quang dọc
giam giữ, ωLO là tần số của phonon quang dọc khối, v0 là tham số vận
tốc; ⃗q⊥ = (qx, qy) là vectơ sóng của phonon trong mặt phẳng (x, y);
qm = mπ/Lz; umϕ(z) là thành phần song song của vectơ độ dời của
mode phonon thứ m theo hướng của không gian giam giữ; ϕ lấy dấu (-)
nếu mode phonon giam giữ là chẵn và lấy dấu (+) nếu mode phonon
giam giữ là lẻ.
Đối với mô hình Huang-Zhu, umϕ(z) được cho bởi [19]
um+(z) = sin
(µmπz
Lz
)
+
cmz
Lz
, m = 3, 5, 7, · · · , (1.33)
um−(z) = cos
(µmπz
Lz
)
− (−1)m/2
, m = 2, 4, 6, · · · , (1.34)
với µm là đại lượng thỏa mãn phương trình
tan(
µmπ
2
) =
µmπ
2
, m − 1 < µm < m, (1.35)
31

36. và cm được cho bởi
cm = −2 sin(
µmπ
2
); (1.36)
trong phương trình (1.31), đại lượng amϕ và bmϕ được cho bởi
am+ = 1 + c2
m(
1
6
−
1
µ2
mπ2
), bm+ = µ2
mπ2
− c2
m, m = 3, 5, 7, · · · , (1.37)
am− = 3, bm− = m2
π2
, m = 2, 4, 6, · · · . (1.38)
1.4.1. Đối với giếng lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn
Biểu thức của Gmϕ
nαnη
ở phương trình (1.32) có dạng
Gmϕ
nαnη
=
∫ Lz/2
−Lz/2
ψ∗
nη
(z)umϕ(z)ψnα
(z)dz. (1.39)
Theo Phụ lục 3, ta có các kết quả như sau:
Gm+
11 = 0, m = 3, 5, 7, · · · ,
Gm−
11 =
3
2
δm,2 − (−1)m/2
(1 − δm,2), m = 2, 4, 6, · · · ,
Gm+
12 = −
2cm
π2
{
8
9
+
[
1
µ2
m − 1
−
1
µ2
m − 9
]}
, m = 3, 5, 7, · · · ,
Gm−
12 = 0, m = 2, 4, 6, · · · .
(1.40)
Từ kết quả trên, cho thấy rằng chỉ có các mode chẵn mới cho đóng góp
trong sự dịch chuyển nội vùng con và các mode lẻ mới cho đóng góp
trong sự dịch chuyển liên vùng con.
1.4.2. Đối với giếng lượng tử thế parabol
Biểu thức của Gmϕ
nαnη
ở phương trình (1.32) có dạng
Gmϕ
nαnη
=
∫ ∞
−∞
φ∗
nη
(z)umϕ(z)φnα
(z)dz. (1.41)
32

37. Theo Phụ lục 4, ta có các kết quả như sau:
Gm+
00 = 0, m = 3, 5, 7, · · · ,
Gm+
01 =
1
√
2
[
µmπaz
Lz
exp(−
µ2
mπ2
a2
z
4L2
z
)L1
0(
µ2
mπ2
a2
z
2L2
z
) +
cmaz
Lz
]
, m = 3, 5, 7, · · · ,
Gm−
00 = exp(−
m2
π2
a2
z
4L2
z
)L0
n(
m2
π2
a2
z
2L2
z
) − (−1)m/2
, m = 2, 4, 6, · · · ,
Gm−
01 = 0, m = 2, 4, 6, · · · . (1.42)
Từ kết quả trên, cho thấy rằng chỉ có các mode chẵn mới cho đóng góp
trong sự dịch chuyển nội vùng con và các mode lẻ mới cho đóng góp
trong sự dịch chuyển liên vùng con. Điều này là tương tự đối với giếng
lượng tử thế vuông góc sâu vô hạn.
1.5. Phương pháp chiếu toán tử
Phép chiếu toán tử lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra vào năm
1965 khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt [35], gọi là phép
chiếu toán tử Mori. Qua quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử Mori
được phát triển với nhiều cách định nghĩa toán tử chiếu khác nhau tùy
vào mục đích tính toán. Chẳng hạn, để khai triển biểu thức của tenxơ
độ dẫn được cho bởi
σkℓ(ω) =
i
ω
∑
µ,ν
⟨...Jk⟩µν, (1.43)
trong đó Jk là thành phần thứ k = x, y, z của toán tử mật độ dòng điện,
trên cơ sở định nghĩa toán tử chiếu của Argyres và Sigel [7, 8, 9], nhóm
tác giả Suzuki A. và Ashikawa M. đã đưa ra hai toán tử chiếu như sau
[44]
P... ≡
⟨...⟩µν
⟨Jk⟩µν
Jk, Q ≡ 1 − P, (1.44)
33

38. với ⟨...⟩µν = TR{ρeq(H0)(a+
µ aν)...}; trong dấu “...” là toán tử nào đó; ⟨..⟩ là
kí hiệu trung bình thống kê; ρeq(H0) là toán tử mật độ cân bằng của hệ;
H0 là Hamiltonian của hệ electron-phonon; a+
µ (aν) là toán tử sinh (hủy)
electron ở trạng thái µ(ν); TR là phép lấy vết nhiều hạt (many-body
trace) [31].
Nếu toán tử mật độ dòng điện một chiều của hệ nhiều electron Jk
được khai triển theo các toán tử mật độ dòng điện một chiều của một
electron jk, dưới dạng
Jk =
∑
α,β
jαβ
k a+
α aβ. (1.45)
Thay (1.45) vào (1.43), ta được
σkℓ(ω) =
i
ω
∑
α,β
∑
µ,ν
jαβ
k ⟨...a+
α aβ⟩µν. (1.46)
Khi đó, toán tử chiếu có thể được định nghĩa theo cách khác như sau
P... ≡
⟨...⟩µν
⟨a+
α aβ⟩µν
a+
α aβ, Q ≡ 1 − P. (1.47)
Như vậy, phương chiếu được chọn sao cho toán tử P luôn là phương của
toán tử chứa trong biểu thức cần khai triển, phương còn lại vuông góc
với phương chiếu của P, là Q = 1 − P. Do đó P tác dụng lên toán tử
chọn làm phương chiếu A thì bằng chính toán tử A, Q tác dụng lên toán
tử A bằng không và tích hai toán tử chiếu bằng không. Chẳng hạn, với
các toán tử chiếu của Suzuki A. và Ashikawa M. thì
PJk =
⟨Jk⟩µν
⟨Jk⟩µν
Jk = Jk, QJk = (1 − P)Jk = 0, PQ = QP = 0. (1.48)
Qua ví dụ trên, ta thấy rằng phép chiếu thứ nhất chọn phương chiếu
là toán tử mật độ dòng điện Jk, không phụ thuộc trạng thái nên gọi là
phép chiếu toán tử độc lập trạng thái. Trong khi đó, phép chiếu thứ hai
chọn phương chiếu là tích của hai toán tử a+
α aβ, phụ thuộc vào hai trạng
34

39. thái |α⟩ và β⟩ nên gọi là phép chiếu toán tử phụ thuộc trạng thái. Đây
là hai kỹ thuật chiếu được sử dụng khá phổ biến khi nghiên cứu độ dẫn.
Ngoài ra, dựa trên hình thức luận Mori, các nhà vật lý còn đưa ra các
phép chiếu khác như kỹ thuật chiếu cô lập, kỹ thuật chiếu mật độ cân
bằng, ... tùy thuộc vào từng bài toán.
Trong nhiều công trình, tác giả Choi S. D. [22] và Kang N. L. [27]
sử dụng kỹ thuật chiếu phụ thuộc trạng thái đã thu được biểu thức của
tenxơ độ dẫn và hàm suy giảm với dạng tổng quát, từ đó có thể giải
thích được quá trình chuyển mức năng lượng của electron kèm theo sự
phát xạ hoặc hấp thụ phonon khi điều kiện bảo toàn năng lượng được
thỏa mãn.
Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng kỹ thuật chiếu phụ thuộc
trạng thái để tìm biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến tính và phi tuyến
dưới tác dụng của trường ngoài.
1.6. Biểu thức của tenxơ độ dẫn khi không có từ
trường
Khi hệ electron-phonon trong bán dẫn được đặt trong điện trường
biến thiên theo thời gian thì trong hệ sẽ xuất hiện độ dẫn quang. Giả sử
độ dẫn suy ra từ mật độ dòng điện được viết theo khai triển của toán
tử mật độ thành tổng các số hạng từ bậc một đến bậc n. Bây giờ ta tìm
khai triển của toán tử mật độ dòng điện ⃗J.
Giá trị trung bình của một đại lượng bất kỳ theo phương pháp thống
kê lượng tử bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng này với toán tử mật
độ. Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, toán tử mật độ
cân bằng của hệ lúc này là ρeq. Khi có mặt trường ngoài phụ thuộc thời
35

40. gian, toán tử mật độ thay đổi theo thời gian và có thể khai triển thành
ρ(t) = ρeq + ρint(t), (1.49)
trong đó ρint(t) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn. Phương trình Liou-
ville cho toán tử mật độ có dạng
i
∂ρ(t)
∂t
= [H(t), ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t), (1.50)
L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡ [H(t), X],
với X là toán tử tuyến tính bất kỳ, kí hiệu [A, B] ([A, B]+) chỉ giao hoán
tử (phản giao hoán tử) của hai toán tử A và B. Toán tử Liouville cũng
có thể phân tích thành hai thành phần, L(t) = Leq + Lint(t), tương ứng
với các thành phần Heq và Hint(t).
Thay biểu thức của H(t) và ρ(t) trong (1.15) và (1.49) vào phương trình
(1.50) ta được
i
∂ρeq
∂t
+i
∂ρint(t)
∂t
= [Heq, ρeq]+[Heq, ρint(t)]+[Hint(t), ρeq]+[Hint(t), ρint(t)].
Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian nên
i
∂ρeq
∂t
= [Heq, ρeq] = 0, (1.51)
vì vậy phương trình Liouville trở thành
i
∂ρint(t)
∂t
= [Heq, ρint(t)] + [Hint(t), ρeq] + [Hint(t), ρint(t)]. (1.52)
Để tìm ρint(t), ta định nghĩa toán tử mật độ trong biểu diễn Dirac [31]
ρD
int(t) = eiHeqt/
ρint(t)e−iHeqt/
. (1.53)
Lấy đạo hàm hai vế biểu thức (1.53) theo thời gian
i
∂ρD
int(t)
∂t
= i eiHeqt/
(
i
Heq)ρint(t)e−iHeqt/
+ i eiHeqt/ ∂ρint(t)
∂t
e−iHeqt/
+ i eiHeqt/
ρint(t)(−
i
Heq)e−iHeqt/
= −eiHeqt/
[Heq, ρint(t)]e−iHeqt/
+ i eiHeqt/ ∂ρint(t)
∂t
e−iHeqt/
.
(1.54)
36

41. Thay biểu thức (1.52) vào số hạng thứ hai ở vế phải của (1.54) và rút
gọn, ta được
i
∂ρD
int(t)
∂t
= eiHeqt/
[Hint(t), ρeq]e−iHeqt/
+eiHeqt/
[Hint(t), ρint(t)]e−iHeqt/
.
(1.55)
Mặt khác, ta có đẳng thức (Phụ lục 5)
eiHeqt/
Ae−iHeqt/
= eiLeqt/
A,
nên biểu thức (1.55) có thể viết lại thành
i
∂ρD
int(t)
∂t
= eiLeqt/
Lint(t)ρeq + eiLeqt/
Lint(t)ρint(t).
Tích phân hai vế của biểu thức này từ −∞ đến t với điều kiện ban đầu
ρD
int|t→−∞ = 0, ta được
i ρD
int(t) =
∫ t
−∞
dueiLequ/
Lint(u)ρeq +
∫ t
−∞
dueiLequ/
Lint(u)ρint(u).
(1.56)
Từ Phụ lục 5, ρD
int(t) = eiLeqt/
ρint(t). Thay vào vế trái của (1.56) rồi
nhân bên trái của hai vế với e−iLeqt/
, viết gọn lại ta được
i ρint(t) =
∫ t
−∞
dueiLeq(u−t)/
Lint(u)ρeq +
∫ t
−∞
dueiLeq(u−t)/
Lint(u)ρint(u).
(1.57)
Đổi biến tích phân t1 = t − u, ta suy ra
ρint(t) =
1
i
∫ ∞
0
dt1e−iLeqt1/
Lint(t − t1)ρeq
+
1
i
∫ ∞
0
dt1e−iLeqt1/
Lint(t − t1)ρint(t − t1).
Đây là biểu thức của toán tử mật độ nhiễu loạn khi có trường ngoài tại
thời điểm t. Toán tử mật độ lúc này được phân tích thành tổng của hai
thành phần, một thành phần chứa toán tử mật độ trung bình và thành
phần kia chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm t − t1. Viết biểu
37

42. thức này cho ρint(t − t1) bằng cách thay t bởi (t − t1), sau đó thay biểu
thức thu được vào biểu thức của ρint(t), ta được
ρint(t) =
1
i
∫ ∞
0
dt1e−iLeqt1/
Lint(t − t1)ρeq
+
1
(i )2
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2e−iLeqt1/
Lint(t − t1)e−iLeqt2/
Lint(t − t1 − t2)ρeq
+
1
(i )2
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2e−iLeqt1/
Lint(t − t1)e−iLeqt2/
× Lint(t − t1 − t2)ρint(t − t1 − t2).
Tiếp tục thay biểu thức của ρint(t−t1−t2) . . . cho đến ρint(t−t1−. . .−tn),
ta được biểu thức khai triển của toán tử mật độ đến số hạng thứ n,
ρint(t) =
∞∑
n=1
1
(i )n
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2 · · ·
∫ ∞
0
dtne−iLeqt1/
Lint(t − t1)
× e−iLeqt2/
Lint(t − t1 − t2) · · · e−iLeqtn/
Lint(t − t1 − · · · − tn)ρeq
≡ ρ(1)
(t) + ρ(2)
(t) + · · · + ρ(n)
(t),
(1.58)
trong đó ρ(i)
(t), với i = 1, . . . , n, là ma trận thứ i trong khai triển.
Từ khai triển của toán tử mật độ, ta có thể tìm giá trị trung bình
của một đại lượng động lực bất kỳ một cách chính xác (khai triển đến
bậc n). Ở đây ta quan tâm đến độ dẫn của hệ. Trung bình theo tập hợp
thống kê (emsemble average) của thành phần thứ k = x, y, z của toán
tử mật độ dòng điện ⃗J được cho bởi [26]
⟨Jk⟩ens =
∞∑
n=1
⟨J
(n)
k ⟩ =
∞∑
n=1
TR{Jkρ(n)
(t)}, (1.59)
trong đó TR là phép lấy vết nhiều hạt, ⟨..⟩ là kí hiệu trung bình thống
kê và toán tử mật độ dòng điện của hệ nhiều electron Jk được viết dưới
dạng khai triển theo các toán tử mật độ dòng điện của một electron jk
38

43. như sau
Jk =
∑
γ,δ
jγδ
k a+
γ aδ, Jℓ =
∑
α,β
jαβ
ℓ a+
α aβ, (1.60)
với jγδ
k = ⟨γ | jk | δ⟩, jαβ
ℓ = ⟨α | jℓ | β⟩.
Từ đó ta tìm được số hạng trung bình bậc 1 của toán tử mật độ dòng
⟨J
(1)
k ⟩ens = TR{Jkρ(1)
(t)} =
1
i
TR
{
Jk
∞∫
0
dt1e−iLeq
t1
Lint(t − t1)ρeq
}
.
(1.61)
Để ý rằng Lint(t − t1)ρeq = [Hint(t − t1), ρeq]. Thay t bởi (t − t1) ở biểu
thức của Hint(t) trong (1.25) ta thu được biểu thức của Hint(t − t1), sau
đó thay biểu thức của Hint(t − t1) vào biểu thức của ⟨J
(1)
k ⟩ens, ta được
⟨J
(1)
k ⟩ens =
1
i
lim
∆→0+
∑
ℓ
TR
{
Jk
∞∫
0
dt1e−
iLeq
t1
[
−
i
ω
∑
ℓ
E0ℓe−i¯ω(t−t1)
Jℓ, ρeq
]}
= −
1
ω
lim
∆→0+
∑
ℓ
TR
{ ∞∫
0
dt1e(−
iLeq
+i¯ω)t1
E0ℓe−i¯ωt
Jk[Jℓ, ρeq]
}
= −
1
ω
lim
∆→0+
∑
ℓ
TR
{
E0ℓe−i¯ωt
e−i(
Leq− ¯ω
)t1
|∞
0
−i(Leq − ¯ω)
Jk[Jℓ, ρeq]
}
=
i
ω
lim
∆→0+
∑
ℓ
TR{E0ℓe−i¯ωt
( ¯ω − Leq)−1
Jk[Jℓ, ρeq]}. (1.62)
Áp dụng TR{A, [B, C]} = TR{C[A, B]}, ta viết lại (1.62) như sau
⟨J
(1)
k ⟩ens =
i
ω
lim
∆→0+
∑
ℓ
TR{ρeq[( ¯ω − Leq)−1
Jk, Jℓ]E0ℓe−i¯ωt
}. (1.63)
Ta đặt
Eℓ(¯ω) = E0ℓe−i¯ωt
,
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
TR{ρeq[( ¯ω − Leq)−1
Jk, Jℓ]}. (1.64)
Thay (1.60) vào (1.64) ta được
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
jαβ
ℓ jγδ
k TR{ρeq[( ¯ω − Leq)−1
a+
γ aδ, a+
α aβ]}. (1.65)
39

44. Để thấy được biểu thức tenxơ độ dẫn tuyến tính, ta đặt
Λαβ(¯ω) = TR{ρeq[( ¯ω − Leq)−1
a+
γ aδ, a+
α aβ]}, (1.66)
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
jαβ
ℓ jγδ
k Λαβ(¯ω), (1.67)
lúc này (1.63) trở thành
⟨J
(1)
k ⟩ens =
∑
ℓ
σkℓ(ω)Eℓ(¯ω). (1.68)
σkℓ(ω) được gọi là độ dẫn tuyến tính ứng với thành phần ⟨J
(1)
k ⟩ens của
mật độ dòng điện trung bình.
Tương tự như vậy, ta tìm biểu thức của ⟨J
(2)
k ⟩ens. Điều này có nghĩa
là xem xét độ dẫn bậc hai (độ dẫn phi tuyến bậc thấp nhất (bậc một)).
Với mục đích đó ta xét tương tác của hệ với hai photon có tần số tương
ứng là ω1 và ω2. Từ (1.58) và (1.59), ta có
⟨J
(2)
k ⟩ens = TR
{
Jkρ(2)
(t)} =
1
(i )2
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2
× TR
{
Jke−iLeqt1/
Lint(t − t1)e−iLeqt2/
Lint(t − t1 − t2)ρeq}
= −
1
2
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2
× TR
{
e−iLeqt1/
Jk[Hint(t − t1), [Hint(t − t1 − t2), ρeq]e−iLeqt2/
]}
(1.69)
Sử dụng tính chất hoán vị vòng của vết ta có (Phụ lục 6)
TR{A[B, [C, D]f]} = TR{D[f[A, B], C]}, (1.70)
do đó ⟨J
(2)
k ⟩ens được viết lại thành
⟨J
(2)
k ⟩ens = −
1
2
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2
× TR
{
ρeq[e−iLeqt2/
[e−iLeqt1/
Jk, Hint(t − t1)], Hint(t − t1 − t2)]}.
(1.71)
40

45. Biểu thức (1.71) chứa hai toán tử Hamiltonian nhiễu loạn phụ thuộc
thời gian tại hai thời điểm khác nhau nên về cơ bản là chúng khác nhau.
Tần số trong các Hamiltonian lần lượt là ω1 và ω2. Thay t bởi (t − t1) và
t bởi (t − t1 − t2) ở biểu thức của Hint(t) trong (1.25) ta thu được biểu
thức của Hint(t − t1) và Hint(t − t1 − t2), sau đó thay hai biểu thức này
vào biểu thức (1.71) và viết gọn lại, ta nhận được
⟨J
(2)
k ⟩ens = −
1
2
lim
∆→0+
∫ ∞
0
dt1
∫ ∞
0
dt2TR
{
ρeq[e−iLeqt2/
[e−iLeqt1/
Jk,
−
i
ω1
∑
ℓ
E0ℓe−i¯ω1(t−t1)
Jℓ], −
i
ω2
∑
p
E0pe−i¯ω2(t−t1−t2)
Jp]}.
Lấy tích phân theo t1 và t2, ta được (Phụ lục 7)
⟨J
(2)
k ⟩ens = −
1
ω1ω2
lim
∆→0+
∑
ℓ,p
TR
{
ρeq
[
( ¯ω2 − Leq)−1
×
[
( ¯ω12 − Leq)−1
Jk, Jℓ
]
, Jp
]
}Eℓ(¯ω1)Ep(¯ω2).
(1.72)
Thay (1.60) vào (1.72) ta được
⟨J
(2)
k ⟩ens = −
1
ω1ω2
lim
∆→0+
∑
ℓ,p
∑
α,β
∑
γ,δ
∑
ξ,ϵ
jαβ
ℓ jγδ
p jξϵ
k TR
{
ρeq
[
( ¯ω2 − Leq)−1
×
[
( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ, a+
γ aδ
]
, a+
α aβ
]
}Eℓ(¯ω1)Ep(¯ω2), (1.73)
với Eℓ(¯ω1) = E0ℓe−i¯ω1t
, Ep(¯ω2) = E0pe−i¯ω2t
, ¯ω1(2) = ω1(2) − i∆ (∆ → 0+
)
và ω12 = ω1 + ω2.
Để thấy được biểu thức tenxơ độ dẫn phi tuyến, ta đặt
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) = TR
{
ρeq[( ¯ω2 − Leq)−1
[( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}
(1.74)
σkℓp(ω1, ω2) = −
1
ω1ω2
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
∑
ξ,ϵ
jαβ
ℓ jγδ
p jξϵ
k Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2), (1.75)
lúc này biểu thức của ⟨J
(2)
k ⟩ens được viết lại thành
⟨J
(2)
k ⟩ens =
∑
ℓ,p
σkℓp(ω1, ω2)Eℓ(¯ω1)Ep(¯ω2). (1.76)
41

46. Như vậy, biểu thức khai triển của trung bình thống kê thành phần thứ
k của toán tử mật độ dòng điện có dạng
⟨Jk⟩ens =
∑
ℓ
σkℓ(ω)Eℓ(¯ω) +
∑
ℓ,p
σkℓp(ω1, ω2)Eℓ(¯ω1)Ep(¯ω2) + · · · . (1.77)
Dấu “· · · ” chỉ các số hạng khai triển bậc ba trở lên. Các σkℓ(ω) và
σkℓp(ω1, ω2) lần lượt là tenxơ độ dẫn bậc một (tuyến tính) ứng với sóng
tới tần số ω và tenxơ độ dẫn bậc hai (phi tuyến bậc một) ứng với các
sóng tới tần số ω1, ω2. Trong mục tiếp theo chúng tôi tính toán biểu thức
tường minh của thành phần tuyến tính và phi tuyến của tenxơ độ dẫn
1.6.1. Biểu thức của độ dẫn tuyến tính
Trong phần trên, biểu thức của độ dẫn tuyến tính có dạng
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
jαβ
ℓ jγδ
k Λαβ(¯ω), (1.78)
bây giờ ta tìm biểu thức cụ thể của
Λαβ(¯ω) = TR{ρeq[( ¯ω − Leq)−1
a+
γ aδ, a+
α aβ]} = ⟨( ¯ω − Leq)−1
a+
γ aδ⟩αβ,
(1.79)
tức là tính vết của các toán tử sau khi thực hiện các giao hoán tử. Để
thực hiện điều đó, ta định nghĩa hai toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái
P0 và Q0 như sau [26]
P0X ≡
⟨X⟩αβ
⟨a+
γ aδ⟩αβ
a+
γ aδ, (1.80)
Q0 ≡ 1 − P0, (1.81)
trong đó ⟨X⟩αβ được định nghĩa bởi
⟨X⟩αβ ≡ TR{ρeq[X, a+
α aβ]},
42

47. có giá trị phụ thuộc vào hai trạng thái |α⟩ và |β⟩. Toán tử X qua phép
chiếu với các toán tử chiếu trên được phân tích thành hai thành phần
vuông góc nhau, X = (P0X, Q0X), và tổng của hai thành phần đó lai
bằng X: P0X + Q0X = X. Phép chiếu này được gọi là phép chiếu phụ
thuộc trạng thái (ở đây chính là trạng thái |γ⟩ và |δ⟩) vì toán tử P0 tác
dụng lên toán tử X bất kì sẽ chiếu toán tử đó lên “phương” của tích hai
toán tử a+
γ aδ. Từ định nghĩa toán tử chiếu trên, ta có các hệ thức sau
(Phụ lục 8)
P2
0 = P0, Q2
0 = Q0, P0Q0 = 0, Q0P0 = 0.
Ngoài ra, khi X = a+
γ aδ, ta có
P0a+
γ aδ = a+
γ aδ, Q0a+
γ aδ = 0. (1.82)
Trước hết, ta tính ⟨( ¯ω − Leq)−1
a+
γ aδ⟩αβ của Aαβ(¯ω).
Từ Phụ lục 11, ta được
⟨( ¯ω − Leq)−1
a+
γ aδ⟩αβ =
⟨a+
γ aδ⟩αβ
¯ω − Eγδ − Ωαβ − Γαβ
0 (¯ω)
, (1.83)
trong đó, ta đã đặt
Ωαβ =
⟨Lva+
γ aδ⟩αβ
⟨a+
γ aδ⟩αβ
, (1.84)
Γαβ
0 (¯ω) =
⟨LeqQ0( ¯ω − LeqQ0)−1
Lva+
γ aδ⟩αβ
⟨a+
γ aδ⟩αβ
= TR{ρeq[LeqQ0( ¯ω − LeqQ0)−1
Lva+
γ aδ, a+
α aβ]}/ ⟨a+
γ aδ⟩αβ.
(1.85)
Thay (1.83) vào Aαβ(¯ω), ta suy ra
Λαβ(¯ω) =
⟨a+
γ aδ⟩αβ
¯ω − Eγδ − Ωαβ − Γαβ
0 (¯ω)
. (1.86)
Thay (1.86) vào (1.78) ta có biểu thức tenxơ độ dẫn
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
jαβ
ℓ jγδ
k
⟨a+
γ aδ⟩αβ
¯ω − Eγδ − Ωαβ − Γαβ
0 (¯ω)
, (1.87)
43

48. trong đó Ωαβ và Γαβ
0 (¯ω) được gọi là các hàm suy giảm (damping function)
cho trường hợp tuyến tính. Ta có thể chứng minh được Ωαβ = 0 (Phụ
lục 12), nên (1.86) và (1.87) được viết lại như sau
Λαβ(¯ω) =
⟨a+
γ aδ⟩αβ
¯ω − Eγδ − Γαβ
0 (¯ω)
. (1.88)
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
jαβ
ℓ jγδ
k
⟨a+
γ aδ⟩αβ
¯ω − Eγδ − Γαβ
0 (¯ω)
. (1.89)
Từ Phụ lục 14, ta được
Γαβ
0 (¯ω) = TR
{
ρd[Lva+
α aβ, ( ¯ω − Ld)−1
Lva+
γ aδ]
}
/ ⟨a+
γ aδ⟩αβ. (1.90)
Với toán tử sinh hủy electron, ta có
TR
{
ρda+
α aβ
}
= fαδα,β,
TR
{
ρdaβa+
α
}
= TR
{
ρd([aβ, a+
α ]+ − a+
α aβ)
}
= (1 − fα)δα,β.
Với toán tử sinh hủy phonon, ta có
TR
{
ρdb+
⃗q b⃗q′
}
= N⃗qδ⃗q,⃗q′ ,
TR
{
ρdb⃗q′ b+
⃗q
}
= TR
{
ρd([b⃗q′ , b+
⃗q ] + b+
⃗q b⃗q′ )
}
= (1 + N⃗q)δ⃗q,⃗q′ ,
trong đó fα = [1 + exp(Eα−EF
kBT )]−1
là hàm phân bố Fermi-Dirac của
electron ở trạng thái |α⟩; EF là năng lượng Fermi ở nhiệt độ T;
N⃗q = [exp(
ω⃗q
kBT )−1]−1
là hàm phân bố Bose-Einstein của phonon có năng
lượng ω⃗q.
Biểu thức hàm suy giảm (1.90) có thể tính cụ thể từ khai triển các
số hạng và tính trung bình thống kê theo toán tử mật độ.
Thay các Hamiltonian tương ứng cùng toán tử Liouville vào, ta có
(Phụ lục 15)
⟨a+
γ aδ⟩αβ = TR
{
ρd[a+
γ aδ, a+
α aβ]
}
= (fβ − fα)δα,δδγ,β. (1.91)
44

49. Thay (1.91) vào (1.89), sau đó lấy tổng theo γ và δ, ta được
σkℓ(ω) =
i
ω
lim
∆→0+
∑
α,β
jαβ
ℓ jβα
k
fβ − fα
¯ω − Eβα − Γαβ
0 (¯ω)
. (1.92)
1.6.2. Biểu thức của hàm suy giảm tuyến tính
Theo Phụ lục 20, ta được
Γαβ
0 (¯ω) =
1
(fβ − fα)
×
{ ∑
⃗q,µ
|Cαµ(⃗q)|2
[
(1 + N⃗q)fβ(1 − fµ)
¯ω − Eβµ + ω⃗q
−
N⃗qfµ(1 − fβ)
¯ω − Eβµ + ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fµ(1 − fβ)
¯ω − Eβµ − ω⃗q
+
N⃗qfβ(1 − fµ)
¯ω − Eβµ − ω⃗q
]
+
∑
⃗q,η
|Cηβ(⃗q)|2
[
(1 + N⃗q)fη(1 − fα)
¯ω − Eηα + ω⃗q
−
N⃗qfα(1 − fη)
¯ω − Eηα + ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fα(1 − fη)
¯ω − Eηα − ω⃗q
+
N⃗qfη(1 − fα)
¯ω − Eηα − ω⃗q
]
}
.
(1.93)
Biểu thức (1.93) là biểu thức của hàm suy giảm theo các hàm phân
bố electron và phonon. Dưới tác dụng của điện trường ngoài, các electron
chuyển mức kèm theo sự hấp thụ hoặc phát xạ phonon. Mỗi số hạng
trong (1.93) thể hiện một quá trình tương tác giữa các hạt và sự dịch
chuyển electron giữa các mức. Chẳng hạn, với số hạng thứ ba, fµ(1−fβ)
thể hiện quá trình một electron ở trạng thái trung gian µ chuyển về
trạng thái cơ bản β. Quá trình dịch chuyển này kèm theo phát xạ một
phonon năng lượng ω⃗q và hấp thụ một photon năng lượng ¯ω, trong
đó 1 + N⃗q xuất hiện như là điều kiện phát xạ phonon. Mẫu số thể hiện
quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo toàn năng lượng, nghĩa
là Eβ = Eµ − ω⃗q + ¯ω. |Cα,µ(⃗q)|2
thể hiện trạng thái trung gian η bị
nhiễu loạn bởi tương tác với các phonon [24, 26, 27, 31]. Các số hạng
còn lại cũng có thể giải thích hoàn toàn tương tự. Nghĩa là các electron
45

50. hấp thụ hoặc phát xạ một photon có năng lượng ¯ω rồi dịch chuyển giữa
các mức cơ bản α, β và mức trung gian η kèm theo hấp thụ hoặc phát
xạ một phonon có năng lượng ω⃗q. Ta có thể lập bảng và vẽ sơ đồ các
quá trình chuyển mức giữa các trạng thái như sau:
SH Chuyển mức Định luật BTNL Phonon ωq Photon ω
1 β → µ Eβ − ωq − ω = Eµ phát xạ phát xạ
2 µ → β Eµ + ωq + ω = Eβ hấp thụ hấp thụ
3 µ → β Eµ − ωq + ω = Eβ phát xạ hấp thụ
4 β → µ Eβ + ωq − ω = Eµ hấp thụ phát xạ
5 η → α Eη − ωq − ω = Eα phát xạ phát xạ
6 α → η Eα + ωq + ω = Eη hấp thụ hấp thụ
7 α → η Eα − ωq + ω = Eη phát xạ hấp thụ
8 η → α Eη + ωq − ω = Eα hấp thụ phát xạ
Hình 1.1: Sơ đồ chuyển mức của electron giữa trạng thái trung gian η và các trạng thái
cơ bản α và β.
Trong hình 2.1, các dấu mũi tên thẳng nằm ngang chỉ phonon năng lượng
ωq và mũi tên lượn sóng chỉ photon năng lượng ω. Mũi tên nằm trước
quá trình chuyển mức chỉ sự hấp thụ và nằm sau chỉ sự phát xạ. Các
con số chỉ thứ tự các số hạng trong biểu thức tính hàm suy giảm.
46

51. 1.6.3. Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính
Hàm suy giảm tuyến tính Γαβ
0 (¯ω) thu được ở phương trình (1.93) là
một biểu thức phức do có chứa ¯ω = ω − i△, nên có thể phân tích thành
Γαβ
0 (¯ω) = Aαβ
0 (ω) + iBαβ
0 (ω), (1.94)
trong đó Aαβ
0 (ω) = Re{Γαβ
0 (¯ω)} và Bαβ
0 (ω) = Im{Γαβ
0 (¯ω)} lần lượt được
gọi là độ dịch vạch phổ và tốc độ hồi phục trong độ dẫn tuyến tính. Để
tìm các đại lượng này ta áp dụng đồng nhất thức Dirac [24]
lim
s→0+
(x − is)−1
= P(1/x) + iπδ(x), (1.95)
trong đó P(1/x) là giá trị chính Cauchy của 1/x và δ(x) là hàm delta-
Dirac. Đặt ký hiệu cho biểu thức ở mẫu số các số hạng
M1(±) ≡ ω − Eβη ± ω⃗q, M2(±) ≡ ω − Eηα ± ω⃗q. (1.96)
Biểu thức độ dịch vạch phổ tuyến tính ứng với Γαβ
0 (¯ω)
Aαβ
0 (ω) =
1
(fβ − fα)
∑
⃗q,η
|Cαη(⃗q)|2
×
{
[(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]P
(
M−1
1(+)
)
+ [N⃗qfβ(1 − fη) − (1 + N⃗q)fη(1 − fβ)]P
(
M−1
1(−)
)}
+
1
(fβ − fα)
∑
⃗q,η
|Cβη(⃗q)|2
×
{
[(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]P
(
M−1
2(+)
)
+ [N⃗qfη(1 − fα) − (1 + N⃗q)fα(1 − fη)]P
(
M−1
2(−)
)}
.
(1.97)
Biểu thức tốc độ hồi phục tuyến tính ứng với Γαβ
0 (¯ω)
Bαβ
0 (ω) =
π
(fβ − fα)
∑
⃗q,η
|Cαη(⃗q)|2
×
{
[(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]δ
(
M1(+)
)
+ [N⃗qfβ(1 − fη) − (1 + N⃗q)fη(1 − fβ)]δ
(
M1(−)
)}
47

52. +
π
(fβ − fα)
∑
⃗q,η
|Cβη(⃗q)|2
×
{
[(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]δ
(
M2(+)
)
+ [N⃗qfη(1 − fα) − (1 + N⃗q)fα(1 − fη)]δ
(
M2(−)
)}
.
(1.98)
1.6.4. Biểu thức của độ dẫn phi tuyến
Biểu thức của độ dẫn phi tuyến được cho bởi (1.75)
σkℓp(ω1, ω2) = −
1
ω1ω2
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
∑
ξ,ϵ
jαβ
ℓ jγδ
p jξϵ
k Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2),
với Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) trong (1.74) có dạng
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) = TR
{
ρeq[( ¯ω2 − Leq)−1
[( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}.
Để tìm biểu thức của độ dẫn phi tuyến ta sử dụng phương pháp chiếu
toán tử phụ thuộc trạng thái, trong đó các toán tử chiếu được định nghĩa
như sau [26]
P1X ≡
⟨X⟩γδ
αβ
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
a+
ξ aϵ, (1.99)
Q1 ≡ 1 − P1, (1.100)
trong đó ⟨X⟩γδ
αβ được định nghĩa bởi
⟨X⟩γδ
αβ ≡ TR{ρeq[( ¯ω2 − Leq)−1
[X, a+
γ aδ], a+
α aβ]}. (1.101)
Với định nghĩa toán tử chiếu như vậy, ta có
⟨( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ = Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2). (1.102)
Trị trung bình của toán tử phụ thuộc vào bốn trạng thái |α⟩, |β⟩, |γ⟩ và
|δ⟩. Toán tử P1 chiếu toán tử X bất kỳ lên phương a+
ξ aϵ, tức là luôn phụ
thuộc vào hai trạng thái |ξ⟩ và |ϵ⟩.
Bây giờ ta tính Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2).
48

53. Thay P1 + Q1 = 1 và áp dụng đẳng thức (AB) cho ( ¯ω12 − Leq)−1
rồi
cho ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
, ta được
( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ =
a+
ξ aϵ
¯ω12
+
LeqQ1( ¯ω12 − LeqQ1)−1
a+
ξ aϵ
¯ω12
+ ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Leqa+
ξ aϵ
⟨( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
= SH1(1.103) + SH2(1.103) + SH3(1.103).
(1.103)
Số hạng SH2(1.103) bằng 0 do Q1a+
ξ aϵ = 0. Thay biểu thức của
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) trong (1.102) và Leq = Lv + Ld, số hạng SH3(1.103) được
viết lại
SH3(1.103) = ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lda+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
+ ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
= SHa + SHb.
(1.104)
Từ Phụ lục 10 và đẳng thức (AB), ta tìm được SHa trong (1.105):
SHa = ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Eξϵa+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
= Eξϵa+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
¯ω12⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
+ EξϵLeqQ1( ¯ω12 − LeqQ1)−1
a+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
¯ω12⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
= Eξϵa+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
¯ω12⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ (1.105)
do Q1a+
ξ aϵ = 0. Số hạng SHb giữ nguyên không biến đổi. Biểu thức
(1.103) trở thành
( ¯ω12 − Leq)−1
a+
ξ aϵ =
a+
ξ aϵ
¯ω12
+ Eξϵa+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
¯ω12⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
+ ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
.
49

54. Lấy trung bình hai vế biểu thức này theo định nghĩa ở (1.101) và viết
gọn lại
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) =
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
¯ω12 − ¯ω12Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)/⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
, (1.106)
trong đó ta đã đặt
Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) ≡
Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
¯ω12
+ TR{ρeq[( ¯ω2 − Leq)−1
[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}.
(1.107)
Tính số hạng thứ hai ở vế phải (1.107). Sử dụng đẳng thức (AB) để khai
triển ( ¯ω2 − Leq)−1
, ta được
SH2(1.107) = TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω2
+ TR{ρeq[Leq( ¯ω2 − Leq)−1
[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ],
a+
α aβ]}/ ¯ω2
= SH2.1 + SH2.2.
Thay Leq = Lv + Ld, sử dụng hệ thức
TR{ρeq(Heq)[LeqA, B]} = TR{ρeq(Heq)[LeqB, A]},
ta thu được số hạng SH2.2 như sau:
SH2.2 =
− TR{ρeq[( ¯ω2 − Leq)−1
[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], Lva+
α aβ]}/ ¯ω2
− TR{ρeq[( ¯ω2 − Leq)−1
[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], Lda+
α aβ]}/ ¯ω2
= −Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2)/ ¯ω2 − Eαβ[Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) − Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ/ ¯ω12]/ ¯ω2,
trong đó ta đã sử dụng Lda+
α aβ = Eαβa+
α aβ (Phụ lục 10), biểu thức của
Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) trong (1.107) và đặt
Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2) ≡ TR{ρeq[( ¯ω2−Leq)−1
[( ¯ω12−LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], Lva+
α aβ]}.
(1.108)
50

55. Ngoài ra, nếu đặt
Mαβ
2 (¯ω12) ≡ TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], Lva+
α aβ]}, (1.109)
thì
SH2.1 = Mαβ
2 (¯ω12)/ ¯ω2.
Cuối cùng biểu thức (1.107) được viết lại
Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) = Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ/ ¯ω2 + [Mαβ
2 (¯ω12) − Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2)]/ ¯ω2
− Eαβ[Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) − Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ/ ¯ω12]/ ¯ω2. (1.110)
Bây giờ ta khai triển cụ thể hơn biểu thức của Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2).
Trong biểu thức (1.106) và (1.110), số hạng ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ được tính bằng
(Phụ lục 21)
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ =
(fβ − fα)δξβδδαδϵγ
¯ω2 − Eβα − Γαβ
0 (¯ω2)
−
(fβ − fα)δγβδϵαδξδ
¯ω2 − Eβα − Γαβ
0 (¯ω2)
, (1.111)
với
Γαβ
0 (¯ω2) = TR{ρeq[Lva+
α aβ, ( ω2 − Ld)−1
Lva+
β aα]}/ (fβ − fα) (1.112)
có giá trị cho bởi (1.93) trong đó thay ¯ω bởi ¯ω2.
Sử dụng đẳng thức (AB) cho ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
trong Mαβ
2 (¯ω12), ta thu
được
Mαβ
2 (¯ω12) = TR{ρeq[[Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω12
+ TR{ρeq[[LeqQ1( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω12
= SH1(1.113) + SH2(1.113). (1.113)
Bây giờ ta lần lượt tính các số hạng trong (1.113).
Để tính số hạng SH1(1.113), từ phụ lục 16 ta có
Lva+
ξ aϵ =
∑
q
∑
η
(b⃗q + b+
−⃗q)(Cηξ(⃗q)a+
η aϵ − Cϵη(⃗q)a+
ξ aη. (1.114)
51

56. Khi khai triển ra ta được bốn số hạng, mỗi số hạng chứa số toán tử sinh
electron bằng số toán tử hủy electron nhưng chứa chỉ một toán tử sinh
hoặc một toán tử hủy phonon nên khi lấy trung bình sẽ bằng không, do
đó SH1(1.113) = 0.
Đối với SH2(1.113), thay Q1 = 1 − P1, ta được
SH2(1.113) = TR{ρeq[[Leq( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω12
− TR{ρeq[[LeqP1( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω12
= SH21(1.115) + SH22(1.115). (1.115)
Số hạng SH21(1.115): Sử dụng đẳng thức (phụ lục 22)
TR{ρeq(Heq)[[LeqX, A], B]} = TR{ρeq(Heq)[[LeqA, X], B]}
+ TR{ρeq(Heq)[LeqB, [X, A]]},
với
X = ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, A = a+
γ aδ, B = a+
α aβ,
ta được
SH21(1.115) = TR{ρeq[[Leqa+
γ aδ, ( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
α aβ]}/ ¯ω12
+ TR{ρeq[Leqa+
α aβ, [( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ]]}/ ¯ω12
= −TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, Lva+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω12
− TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], Lva+
α aβ]}/ ¯ω12
= −(Eγδ + Eαβ)TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}/ ¯ω12.
(1.116)
Trong biểu thức trên ta đã đổi vị trí các toán tử trong giao hoán tử,
thay Leq = Lv + Ld, Lda+
η aν = Eηνa+
η aνa+
η aν và sắp xếp lại vị trí của các
số hạng. Để ý biểu thức của Mαβ
2 (¯ω12) và đặt
Vαβ(¯ω12) ≡ TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, Lva+
γ aδ], a+
α aβ]}
+ TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, a+
γ aδ], Lva+
α aβ]},
(1.117)
52

57. biểu thức (1.116) được viết gọn lại thành
SH21(1.115) = −Vαβ(¯ω12)/ ¯ω12 − (Eγδ + Eαβ)Mαβ
2 (¯ω12)/ ¯ω12. (1.118)
Số hạng SH22(1.115): tác dụng toán tử P1 lên biểu thức toán tử bên
trái nó và thay Leq = Lv + Ld, ta được
SH22(1.115) = −
⟨( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
¯ω12⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
× TR{ρeq[[(Lv + Ld)a+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]}.
Biến đổi các biểu thức trong SH22(1.115) và chú ý đến (1.107), ta được
⟨( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ⟩γδ
αβ = Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) −
Eξϵ
¯ω12
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ,
tương tự như lập luận SH1(1.113) = 0, ta có
TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
ξ aϵ, Lva+
γ aδ], a+
α aβ] = 0,
TR{ρeq[[Lda+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]} = EξϵTR{ρeq[[a+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
α aβ]} = Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩0,
trong đó
⟨a+
ξ aϵ⟩0 ≡ TR{ρeq[[a+
ξ aϵ, a+
γ aδ], a+
γ aδ]}.
Thay các kết quả vừa tính được vào biểu thức của SH22(1.115), ta nhận
được
SH22(1.115) = −
Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) −
Eξϵ
¯ω12
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
¯ω12⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩0. (1.119)
Thay tất cả các số hạng vào (1.115) và biến đổi gọn lại, ta được
Mαβ
2 (¯ω2) =
−1
¯ω12 + Eγδ + Eαβ
[
Vαβ( ¯ω12) +
Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2)Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩0
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
−
E2
ξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩0
¯ω12
]
.
Trong biểu thức (1.110) của Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2), nếu chỉ xét nghiệm ở gần miền
cộng hưởng, tức là những chuyển mức thỏa mãn ¯ω2 = Eβ − Eα thì một
53

58. số số hạng triệt tiêu nhau (Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ/ ¯ω2, Eξϵ⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ/ ¯ω12) và cuối
cùng còn lại
Mαβ
2 (¯ω2) − Mαβ
1 (¯ω2) = 0. (1.120)
Thay kết quả tính Mαβ
2 (¯ω2) ở trên và biến đổi, ta suy ra
Wγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) =
−
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
⟨a+
ξ aϵ⟩0Eξϵ
[( ¯ω12 + Eγδ + Eαβ)Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2) + Vαβ(¯ω12)] + Eξϵ
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
¯ω12
.
(1.121)
Thay (1.121) vào (1.106), ta được
Uγδ
αβ(¯ω1, ¯ω2) =
⟨a+
ξ aϵ⟩γδ
αβ
¯ω12 − Eξϵ + ¯ω12
⟨a+
ξ aϵ⟩0
1
Eξϵ
[( ¯ω12 + Eγδ + Eαβ)Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2) + Vαβ(¯ω12)]
.
(1.122)
Từ biểu thức trị trung bình phụ thuộc vào bốn trạng thái (1.111), do có
các hàm delta-Dirac nên các chỉ số trong các biểu thức được thay thế
khi lấy tổng. Thay (1.122) vào biểu thức định nghĩa của tenxơ độ dẫn
phi tuyến bậc một, ta có kết quả
σkℓp(ω1, ω2) =
−1
ω1ω2
lim
∆→0+
∑
α,β
∑
γ,δ
∑
ξ,ϵ
jαβ
ℓ jγδ
p jξϵ
k
(fβ − fα)
¯ω2 − Eβα − Γαβ
0 (¯ω2)
×
[
δξβδδαδϵγ
¯ω12 − Eβγ − Γαβγ
1 (¯ω12)
−
δγβδϵαδξδ
¯ω12 − Eδα − Γαβδ
2 (¯ω12)
]
,
(1.123)
trong đó Γαβγ
1 (¯ω12) và Γαβδ
2 (¯ω12) là các hàm suy giảm (damping terms),
đối với tenxơ độ dẫn phi tuyến, có dạng
Γαβγ
1 (¯ω12) ≡ −
¯ω12
⟨a+
ξ aϵ⟩0
1
Eβγ
[( ¯ω12 + Eγα + Eαβ)Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2) + Vαβ(¯ω12)],
Γαβδ
2 (¯ω12) ≡ −
¯ω12
⟨a+
ξ aϵ⟩0
1
Eδα
[( ¯ω12 + Eβδ + Eαβ)Mαβ
1 (¯ω1, ¯ω2) + Vαβ(¯ω12)].
54

59. Nhận xét:
Biểu thức của σijk(ω1, ω2) có hai số hạng trong đó mỗi số hạng chứa
một hàm suy giảm phi tuyến. Số hạng thứ nhất thể hiện các quá trình
chuyển mức khác nhau giữa ba trạng thái α, β, γ và số hạng thứ hai
thể hiện các quá trình chuyển mức giữa các trạng thái α, β, δ. Trường
điện từ tương tác với bán dẫn gồm hai sóng có các tần số lần lượt là
ω1 và ω2, ở trên ta đã giới hạn chỉ xét các quá trình chuyển mức giữa
hai trạng thái α và β gần miền cộng hưởng, tức là ¯ω12 ≈ Eβ − Eα.
Đối với các quá trình chuyển mức khác ta cũng đưa thêm vào giới hạn
xét gần các miền cộng hưởng sao cho ¯ω12 ≈ Eβ − Eγ trong số hạng
thứ nhất và ¯ω12 ≈ Eδ − Eα trong số hạng thứ hai. Với điều kiện đó,
¯ω12 + Eγα + Eαβ = 0 trong Γαβγ
1 (¯ω12) và ¯ω12 + Eβδ + Eαβ = 0 trong
Γαβδ
2 (¯ω12). Như vậy các hàm suy giảm phi tuyến chỉ còn lại
Γαβγ
1 (¯ω12) = V1αβ(¯ω12)/ (fβ − fα),
Γαβδ
2 (¯ω12) = V2αβ(¯ω12)/ (fβ − fα),
(1.124)
trong đó từ (1.117), ta có
V1αβ(¯ω12) = TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
β aγ, Lva+
γ aα], a+
α aβ]}
+ TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
β aγ, a+
γ aα], Lva+
α aβ]},
V2αβ(¯ω12) = TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
δ aα, Lva+
β aδ], a+
α aβ]}
+ TR{ρeq[[( ¯ω12 − LeqQ1)−1
Lva+
δ aα, a+
β aδ], Lva+
α aβ]}.
(1.125)
Như vậy trong phần này ta đã tìm được biểu thức của độ dẫn phi
tuyến bậc một có dạng cho bởi (1.123), trong đó có chứa hàm suy giảm
tuyến tính Γαβ
0 (¯ω12) có biểu thức được cho bởi (1.93), các hàm suy giảm
phi tuyến Γαβγ
1 (¯ω12) và Γαβδ
2 (¯ω12).
55

60. 1.6.5. Biểu thức của các hàm suy giảm phi tuyến
Theo Phụ lục 25, ta được
Γαβγ
1 (¯ω12) =
∑
⃗q
∑
η
Cγη(⃗q)Cηγ(−⃗q)
(fβ − fα)
×
{
(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)
¯ω12 − Eβη + ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)
¯ω12 − Eβη + ω⃗q
+
(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)
¯ω12 − Eβη − ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)
¯ω12 − Eβη − ω⃗q
}
−
∑
⃗q
∑
η
Cηβ(⃗q)Cβη(−⃗q)
(fβ − fα)
×
{
(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)
¯ω12 − Eηγ − ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)
¯ω12 − Eηγ + ω⃗q
}
.
(1.126)
Γαβδ
2 (¯ω12) =
∑
⃗q
∑
η
Cηδ(⃗q)Cδη(−⃗q)
(fβ − fα)
×
{
(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)
¯ω12 − Eηα + ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)
¯ω12 − Eηα + ω⃗q
+
(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)
¯ω12 − Eηα − ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)
¯ω12 − Eηα − ω⃗q
}
+
∑
⃗q
∑
η
Cαη(⃗q)Cηα(−⃗q)
(fβ − fα)
×
{
(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)
¯ω12 − Eδη − ω⃗q
−
(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)
¯ω12 − Eδη + ω⃗q
}
.
(1.127)
Như vậy ta đã thiết lập đầy đủ biểu thức của tenxơ độ dẫn tuyến
tính và tenxơ độ dẫn phi tuyến bậc một. Những biểu thức này chứa các
hàm suy giảm dạng phức nên có thể phân tích thành hai thành phần
nhờ đồng nhất thức Dirac. Tương tự như đã làm trong phần tuyến tính,
phần thực của khai triển tương ứng với hàm dịch chuyển phổ còn phần
ảo tương ứng với hàm độ rộng phổ. Từ đây ta cũng có thể tính phần
56

61. thực của tenxơ độ dẫn để tìm công suất hấp thụ cũng như các đại lượng
khác mà các đại lượng này có thể xác định bằng thực nghiệm, cho phép
so sánh với các kết quả thực nghiệm và giải thích nhiều hiệu ứng thú vị
trong bán dẫn khi có điện (từ) trường mạnh chiếu vào.
Các hàm suy giảm (1.126) và (1.127) chứa các hàm phân bố thể
hiện tất cả các quá trình dịch chuyển có thể có của electron giữa các
mức năng lượng và mỗi số hạng ứng với một quá trình chuyển mức. ý
nghĩa vật lý của các số hạng có thể được giải thích như phần tuyến tính.
Chẳng hạn với số hạng đầu tiên trong (1.126), ta có quá trình electron
chuyển từ mức β sang mức trung gian η kèm theo phát xạ một photon
và một phonon. Các quá trình chuyển mức tuân theo định luật bảo toàn
năng-xung lượng được thể hiện ở mẫu số.
Mặc dù các số hạng có thể rút gọn lại được nhưng ta không làm
như vậy vì lúc đó sẽ không thấy rõ các quá trình xảy ra trong vật chất
và ý nghĩa vật lý của các đại lượng. Đây chính là ưu điểm của phương
pháp nghiên cứu được chọn mà các phương pháp tính toán khác không
thể có được.
Trong chương sau ta sẽ đi sâu hơn những tính toán từ các hàm suy
giảm thu được và áp dụng để tính giá trị cụ thể cho mô hình giếng lượng
tử.
1.6.6. Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến
Biểu thức của hàm suy giảm phi tuyến Γαβγ
1 (¯ω12) và Γαβδ
2 (¯ω12) trong
(1.126) và (1.127) cũng có dạng tương tự như Γαβ
0 (¯ω) của trường hợp
tuyến tính nên quá trình tính toán thực hiện hoàn toàn tương tự như
57

62. phần trên. Đặt ký hiệu cho biểu thức ở mẫu số các số hạng
M3(±) ≡ ω12 − Eβη ± ω⃗q, M4(±) ≡ ω12 − Eηγ ± ω⃗q,
M5(±) ≡ ω12 − Eηα ± ω⃗q, M6(±) ≡ ω12 − Eδη ± ω⃗q.
(1.128)
Sử dụng đồng nhất thức Dirac, ta tìm được phần thực và phần ảo của
các hàm suy giảm.
Biểu thức độ dịch vạch phổ phi tuyến ứng với Γαβγ
1 (¯ω12)
Aαβγ
1 (ω12) =
1
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cγη(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]P(M−1
3(+))
− [(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)]P(M−1
3(+))
+ [(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]P(M−1
3(−))
− [(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)]P(M−1
3(−))}
−
1
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cηβ(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)]P(M−1
4(−))
− [(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]P(M−1
4(+))}.
(1.129)
Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến ứng với Γαβγ
1 (¯ω12)
Bαβγ
1 (ω12) =
π
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cγη(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]δ(M3(+))
− [(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)]P(M−1
3(+))
+ [(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]P(M−1
3(−))
− [(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)]P(M−1
3(−))}
58

63. −
π
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cηβ(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)]P(M−1
4(−))
− [(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]P(M−1
4(+))}.
(1.130)
Biểu thức độ dịch vạch phổ phi tuyến ứng với Γαβδ
2 (¯ω12)
Aαβδ
2 (ω12) =
1
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cηδ(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)]P(M−1
5(+))
− [(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]P(M−1
5(+))
+ [(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)]P(M−1
5(−))
− [(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]P(M−1
5(−))}
+
1
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cαη(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)]P(M−1
6(−))
− [(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]P(M−1
6(+))}.
(1.131)
Biểu thức tốc độ hồi phục phi tuyến ứng với Γαβδ
2 (¯ω12)
Bαβδ
2 (ω12) =
π
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cηδ(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)]δ(M5(+))
− [(1 + N⃗q)fη(1 − fα) − N⃗qfα(1 − fη)]δ(M5(+))
+ [(1 + N⃗q)fα(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fα)]δ(M5(−))
− [(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]δ(M5(−))}
+
π
(fβ − fα)
∑
⃗q
∑
η
|Cαη(⃗q)|2
× {[(1 + N⃗q)fη(1 − fβ) − N⃗qfβ(1 − fη)]δ(M6(−))
− [(1 + N⃗q)fβ(1 − fη) − N⃗qfη(1 − fβ)]δ(M6(+))}.
(1.132)
59