Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ : https://www.facebook.com/thuvienluanvan01 HOẶC https://www.facebook.com/garmentspace/ https://www.facebook.com/thuvienluanvan01 https://www.facebook.com/thuvienluanvan01 tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh

1. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
NGÔ THỊ PHƢƠNG LIÊN
TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƢỢNG
CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2018

2. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
NGÔ THỊ PHƢƠNG LIÊN
TÌM HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƢỢNG
CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN HUY THẢO
HÀ NỘI, 2018

3. LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Nguyễn
Huy Thảo người đã giúp đỡ định hướng nghiên cứu, cung cấp cho tôi những
tài liệu quý báu, tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, tạo điều kiện tốt nhất trong quá
trình hoàn thành khoá luận tốt nghiệp.
Tiếp theo, tôi xin cảm ơn tất cả các thầy, các cô thuộc Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các thầy, các cô trong khoa Vật Lý nói riêng
đã giảng dạy , dìu dắt và cung cấp cho tôi những nền tảng khoa học từ kiến
thức cơ bản đến kiến thức chuyên sâu, cũng như kĩ năng thực hành, thực
nghiệm trong suốt bốn năm học qua.
Cuối cùng, tôi xin gửi những lời chúc tốt đẹp nhất đến bố mẹ, gia đình
và bạn bè đã luôn bên cạnh, kịp thời giúp đỡ và động viên tôi vượt qua những
khó khăn, hoàn thành khoá luận một cách tốt đẹp.
Là một sinh viên lần đầu tiên nghiên cứu khoa học nên khoá luận của tôi
chắc hẳn sẽ còn nhiều hạn chế, vì vậy tôi rất mong nhận được những đóng
góp ý kiến của thầy cô và bạn bè để khoá luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày.... tháng 05 năm 2018
Sinh Viên
Ngô Thị Phƣơng Liên

4. LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của
thầy giáo TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản
khóa luận tôi có tham khảo một số tài liệu của một số tác giả đã ghi trong
phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khoá luận hoàn toàn là
trung thực và chưa từng được công bố bởi bất kì nơi nào khác, mọi nguồn tài
liệu tham khảo đều được trích dẫn một cách rõ ràng.
Hà Nội, ngày.... tháng 05 năm 2018
Sinh Viên
Ngô Thị Phƣơng Liên

5. MỤC LỤC
MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu....................................................................................1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
6. Cấu trúc của khóa luận..................................................................................2
NỘI DUNG .......................................................................................................3
Chương 1. Phổ năng lượng của một số phân tử................................................3
1.1. Sự chuyển giữa các mức năng lượng của phân tử dao động của phân tử
CO-phân tử HCl. ...............................................................................................3
1.2. Rotator......................................................................................................16
1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử ...............16
1.2.2. Dạng đại số của momen xung lượng....................................................21
1.3. Phổ năng lượng của Rotator của phân tử hai nguyên tử..........................30
Chương 2. Một số bài toán về phổ năng lượng...............................................40
KẾT LUẬN CHUNG......................................................................................48
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................49

6. DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ, BẢNG
Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa ...............7
Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa.............................8
Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO..............................................9
Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ.......................................................................10
Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3]................................................11
Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động phi
điều hòa. ..........................................................................................................12
Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO. ..............................................13
Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7]. .....13
Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng thái
kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8]. ..................................14
Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử......................................................16
Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn không khả quy của
SU(2)...............................................................................................................26
Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2)........................27
Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn không khả quy của SU(2). ........28
Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn không khả quy
SO(3, l) hoặc E(3). ..........................................................................................31
Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền
vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3]......................33
Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại..............................36
Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator không bền vững[3].........................37

7. 1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý được xem như là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật
lý chi phối các ngành khoa học tự nhiên khác. Để giải thích một số hiện tượng
và hiệu ứng mới được phát hiện vào những năm cuối thế kỷ 19 mà vật lý học
cổ điển không thể giải thích được, các nhà vật lý lỗi lạc của thế kỷ 20 như
Max Planck, Albert Einstein và Niels Bohr đã lần lượt đề xuất những giả
thuyết lượng tử khác nhau mà tất cả đều thừa nhận tính chất gián đoạn của
năng lượng của một số loại hệ vi mô. Những giả thuyết đó đã trở thành cơ sở
của thuyết lượng tử bán cổ điển - giai đoạn quá độ chuyển từ vật lý học cổ
điển sang vật lý học lượng tử.
Khi nghiên cứu phổ năng lượng của một số hệ vi mô điển hình trong
vật lý lượng tử ta sẽ thấy rằng tuỳ theo dạng cụ thể của thế năng của trường
lực tác dụng lên hạt vi mô mà phổ năng lượng có thể chỉ gồm các giá trị gián
đoạn gọi là các mức năng lượng hoặc chỉ gồm các giá trị liên tục gọi là phổ
liên tục, hoặc là gồm một dãy các mức năng lượng gián đoạn và một vùng các
giá trị liên tục, hoặc là gồm một số vùng liên tục gọi là các vùng năng lượng
phân cách nhau bởi các vùng cấm bao gồm những giá trị mà năng lượng của
hạt vi mô không thể có. Vậy nên phổ năng lượng là một vấn đề tôi rất muốn
tìm hiểu và mở rộng kiến thức cho bản thân.Với lý do đó tôi chọn đề tài “TÌM
HIỂU VỀ PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT SỐ PHÂN TỬ ” làm đề tài khóa
luận tốt nghiệp .
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về phổ năng lượng của một số phân tử
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu về phổ năng lượng của phân tử.

8. 2
Tổng hợp một số lý thuyết cơ bản và bài tập về phổ năng lượng của
phân tử.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Cơ học lượng tử
Phạm vi nghiên cứu: Phổ năng lượng của phân tử
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp đọc và tra cứu tài liệu.
Phương pháp phân tích nội dung chương trình
Phương pháp thực hành giải bài tập.
6. Cấu trúc của khóa luận
Đề tài “ Tìm hiểu về phổ năng lượng của một số phân tử ” có kết cấu
gồm 3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận.
Phần nội dung được chia làm 2 chương:
Chương 1: Phổ năng lượng của một số phân tử
Chương 2: Một số bài toán về phổ năng lượng

9. 3
NỘI DUNG
Chƣơng 1. Phổ năng lƣợng của một số phân tử
1.1. Sự chuyển giữa các mức năng lƣợng của phân tử dao động của phân
tử CO-phân tử HCl.
Trong cơ học lượng tử, một cơ hệ lượng tử ở một trạng thái cố định bất
kỳ sẽ vẫn ở trạng thái đó nếu nó không bị tác động bởi ngoại lực. Trên thực tế
thì mọi hệ cơ học lượng tử đều chịu tác động bởi ngoại lực yếu, chúng có thể
làm cho trạng thái của hệ thay đổi (ví dụ như trường điện từ ngoài hay trường
điện từ trong sinh ra từ chuyển động của các trạng thái bên trong hệ ). Nếu hệ
là một tập hợp các trạng thái gián đoạn (ví dụ: các năng lượng riêng của hệ
dao động), thì với nhiễu loạn bên ngoài nhỏ sẽ không làm thay đổi các trạng
thái này hay nói một cách chính xác là nó làm thay đổi mức năng lượng một
lượng không đáng kể nhưng hệ vẫn có thể nhảy từ trạng thái này sang trạng
thái khác. Lý thuyết về sự chuyển các mức năng lượng có thể được phát triển
như là hệ quả của các tiên đề của cơ học lượng tử. Ở đây chúng ta sẽ chỉ đưa
ra một số luận cứ bán cổ điển và nêu ra kết quả mà chúng ta sẽ sử dụng để thu
được tần số chuyển tiếp các mức năng lượng và các quy tắc lọc lựa.[1]
Vậy nên dưới ảnh hưởng của toàn bộ các nhiễu loạn bên ngoài, hệ
lượng tử có thể chuyển từ một năng lượng riêng với năng lượng En đến năng
lượng riêng khác có năng lượng Em và phát ra hoặc hấp thụ một năng lượng
khác.
n m
E E

như là bức xạ điện từ dưới dạng một lượng tử ánh sáng hoặc photon tần số
.
2
n m n m
nm
E E E E
v
h 
 
  (1.1)
Nếu trường điện từ có tần số nm
v thì hệ cơ học lượng tử có thể hấp thụ
một photon của tần số nm
v và nhảy từ trạng thái năng lượng En sang trạng thái

10. 4
năng lượng cao hơn là Em. Mặt khác, nếu một hệ lượng tử đang trong trạng
thái kích thích En là trạng thái có năng lượng cao hơn trạng thái cơ bản thì hệ
có thể phát ra một photon có tần số nm
v và giảm xuống trạng thái năng lượng
thấp hơn là Em. Bên cạnh đó thì sự chuyển mức năng lượng giữa hai trạng thái
không thể xảy ra dưới ảnh hưởng của bức xạ điện từ nếu phần tử ma trận của
toán tử điện dịch D̂ của hệ biến mất giữa hai trạng thái. Ngoài ra, còn liên
quan đến xác suất chuyển các mức năng lượng, vì vậy cường độ của bức xạ
điện từ phát ra (hoặc hấp thụ), tỷ lệ thuận với bình phương modun của phần
tử ma trận này.
Xét phân tử lưỡng nguyên tử, nếu phân tử gồm các nguyên tử khác
nhau (ví dụ: CO) thì sẽ xuất hiện moment lưỡng cực điện, vì tâm của các điện
tích dương và âm là không trùng khớp. Do đó moment lưỡng cực là vector
hướng từ tâm của các điện tích âm đến tâm của các điện tích dương và được
tính bởi công thức
d,
D q

trong đó q là điện tích và d là khoảng cách giữa tâm của các điện tích.
Moment lưỡng cực không đổi 0
D của phân tử nằm dọc theo trục hạt nhân.
Và nếu khoảng cách giữa các điểm tương tác hoặc hạt nhân thay đổi, moment
lưỡng cực sẽ thay đổi. Do đó với một phép tính gần đúng ta có thể giả định
rằng moment lưỡng cực là một hàm tuyến tính:
0 x.
D D q
  (1.2)
Vì vậy, moment lưỡng cực sẽ thay đổi với tần số dao động cơ học.
Điện tích dao động sẽ phát xạ trong trường điện từ và trên cơ sở điện động lực
học cổ điển, ánh sáng phát ra phải có tần số bằng tần số của dao động, hay
,
2
v


 (1.3)
trong đó /
k m
  là tần số góc của dao động cổ điển.

11. 5
Nếu phân tử bao gồm hai nguyên tử giống(ví dụ: O2, N2..), thì moment
lưỡng cực sẽ là không, vì tâm của các điện tích dương và âm là trùng khớp và
dao động của phân tử về vị trí cân bằng của nó không làm tâm của các điện
tích dao động. Do đó mà điện tích dao động sẽ không phát xạ hoặc hấp thụ
bức xạ điện từ.
Theo lý thuyết lượng tử, sự phát xạ của bức xạ diễn ra là kết quả của sự
chuyển dao động từ trạng thái năng lượng cao hơn sang trạng thái năng lượng
thấp hơn, và sự hấp thụ sẽ diễn ra theo quá trình ngược lại. Khi đó tần số của
ánh sáng phát ra được cho bởi công thức
.
n m
nm
E E
v
h

 (1.1)
Cường độ phát xạ tỷ lệ thuận với giá trị trung bình theo thời gian (trong
một khoảng thời gian) của bình phương của moment lưỡng cực D mà trong lý
thuyết lượng tử cường độ phát xạ tỷ lệ với bình phương modun của các phần
tử ma trận của toán tử điện dịch
,
mn
m D n D
 (1.4)
trong đó D̂ là toán tử lưỡng cực thu được từ (1.2). Thay x bằng toán tử Q vào
(1.2) thu được:
0 .
D D qQ
  (1.5)
Khi đó xác suất chuyển các mức năng lượng trên mỗi đơn vị thời gian
nm
A đối với sự phát xạ lưỡng cực tự phát trong quá trình chuyển từ trạng thái
năng lượng có năng lượng n
E đến một trạng thái có năng lượng m
E được cho
bởi công thức:
2
3
2
4
,
3
nm nm mn
A D
c

 (1.6)

12. 6
Khi  / ,
nm n m
E E h
   c là vận tốc ánh sáng và ta có :
 
 
 
3 2
2
1 ,
1 1
. , , .
dim dim
mn n m i
i v
n n
D Tr D D m D n v



   
   
 (1.7)
Với 0
D D qQ
  , n
 là phép chiếu trên không gian năng lượng riêng
với trị riêng n
E , và  
dim n
  là số chiều của không gian năng lượng riêng
này.  vàv là cùng một loại chỉ số, chúng đánh dấu các vector khác nhau
trong các không gian năng lượng riêng m
  và n
 
Xét trong trường hợp đặc biệt của dao động một chiều khi thay thế các
vector lưỡng cực và vector vị trí bằng một lượng D và Q và (1.7) qua
2
.
m D n
Đối với nhiều hệ cơ lượng tử, đa số các phần tử ma trận của toán tử D
biến mất, nên có một giới hạn về khả năng chuyển các mức năng lượng. Các
quy tắc biểu thị giới hạn này được gọi là các quy tắc lọc lựa. Để xác định sự
chuyển mức năng lượng cụ thể nào có thể xảy ra trong dao động điều hòa,
chúng ta tính toán các phần tử ma trận
.
m D n q m Q n
 (1.8)
Các phần tử ma trận của toán tử vị trí giữa các năng lượng riêng được
tính xác định bởi công thức:
 
| 1 1 | 1 .
2
m Q n n m n n m n

     (1.9)
Từ đó thấy rằng xác suất chuyển các mức năng lượng và cường độ phát
xạ và hấp thụ của ánh sáng sẽ là 0 trừ khi số lượng tử n và m được phân biệt
bởi tính thống nhất. Như vậy, quy tắc lọc lựa cho dao động điều hòa sẽ là
1.
n m
   (1.10)

13. 7
Sự chuyển mức năng lượng trong dao động điều hòa chỉ có thể xảy ra
giữa các mức năng lượng liền kề. Tần số ánh sáng phát ra (đối với n m
E E
 )
hoặc hấp thụ (đối với m n
E E
 ) được xác định theo (1.1) và (1.10) là
1 1
.
2 2 2
n m
nm
E E
v n m
h h
 

  
   
     
   
 
   
 
(1.11)
Theo lý thuyết lượng tử tần số của ánh sáng phát xạ bằng tần số / 2
 
của dao động và độc lập với mức năng lượng n. Áp dụng tương tự cho sự hấp
thụ. Như vậy, đối với trường hợp cụ thể của hệ lượng tử trong dao động điều
hòa, tần số ánh sáng phát ra và hấp thụ tương tự như dao động cổ điển.
Từ sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa (Hình 1.2), chúng
ta có thể chỉ ra các bước chuyển mức năng lượng bằng các đường thẳng đứng
(xem Hình 1.1). Thấy rằng các mức năng lượng là cách đều nhau, do dó tất cả
những chuyển mức năng lượng này đều làm tăng tần số như nhau.
Hình 1.1 Các bước chuyển mức năng lượng của dao động điều hòa

14. 8
Hình 1.2 Sơ đồ về mức năng lượng của dao động điều hòa
Đối với phân tử hai nguyên tử bao gồm hai nguyên tử (ví dụ: O2), toán
tử moment lưỡng cực (1.5) là toán tử không do đó không có sự chuyển giữa
các mức năng lượng khác nhau xảy ra.
So sánh kết quả lý thuyết với thực nghiệm.
Để tìm tần số mong muốn, chúng ta bắt đầu từ phổ năng lượng của các
phân tử CO (Hình 1.3). Sự chênh lệch giữa các mức năng lượng khác nhau
trong dao động của phân tử CO là
0.265e .
E V
  (1.12a)
Nếu tính tần số theo (1.11) thu được:
13 1
16
0.265
6.4 10 sec
2 2 6.58 10 sec
E eV
v
eV
 



   
 
(1.12b)
Và
3
0.466 10 4.66
v
cm m
c
 

    (1.12c)
4 8 4
1 10 ;1 10 10 .
m cm cm m
 
  
 
   
 
 

15. 9
Hình 1.3 Sơ đồ phổ năng lượng của phân tử CO
Trong phổ học phân tử, thông thường tần số không ở đơn vị 1
sec
mà ở
đơn vị 1
cm
hay nói cách khác là thay tần số v bằng số sóng / 1/
v c 
 , biểu
thị số sóng trên mỗi cm và gọi tần số này là v. Các tần số trong 1
cm
hoặc số
sóng của bức xạ phát ra bởi sự chuyển giữa các mức dao động của CO là:
1
2140 .
v cm
 (1.12d)
Do đó, chúng ta mong đợi trong dao động của các phân tử CO phát ra
hoặc hấp thụ bức xạ điện từ chỉ với tần số cho bởi (1.12) hay nói cách khác là
chúng ta mong đợi một đường phổ ở gần vùng hồng ngoại từ phổ năng lượng
của phân tử CO.
Phổ điện từ

16. 10
Hình 1.4 Sơ đồ của phổ điện từ.
Nếu so sánh phổ năng lượng trên với phổ hấp thụ hoặc phát xạ, ta thấy
thực sự chính xác. Nếu phổ hấp thụ là sự hấp thụ ở một lớp khí mỏng, thì chỉ
tìm thấy một đường hấp thụ đơn cực (hay dải) trong vùng gần vùng hồng
ngoại với bước sóng khoảng 4.66 m
 
 . Đối với các phân tử hai nguyên tử
khác bao gồm các nguyên tử không giống nhau, điều tương tự cũng xảy ra. Ví
dụ: Đối với HCl, dải này nằm ở 2.46 m
 
 . Ta cũng thấy rằng các dải như
vậy không xuất hiện ở các phân tử gồm các nguyên tử giống nhau như: O2,
N2, H2.
Nếu sự hấp thụ được quan sát ở các lớp khí dày hơn, cường độ hấp thụ
của dải cơ bản sẽ tăng lên một cách tự nhiên và sẽ có một dải thứ hai tương tự
xuất hiện nhưng yếu hơn, vào khoảng một nửa bước sóng hoặc gấp đôi tần số
(số sóng). Nếu độ dày của lớp khí tiếp tục tăng lên, một phần ba hay thậm chí
một phần tư, một phần năm thì sẽ xuất hiện dải với bước sóng tương ứng là
1/3, 1/4 và 1/5 của dải đầu tiên hay nói cách khác là tần số của chúng lớn gấp

17. 11
ba, bốn và năm lần. Hình 1.5 cho thấy đầy đủ toàn bộ phổ hồng ngoại của
phân tử HC1. Trong hình, chiều dài của các đường thẳng đứng thể hiện
cường độ của các dải. Trên thực tế thì cường độ giảm gấp năm lần nhưng
không giảm nhanh như trong giản đồ.
Hình 1.5 Giản đồ phổ hồng ngoại của HCl[3].
Trong dao động điều hòa, lực khôi phục tăng vô hạn với khoảng cách
từ vị trí cân bằng ngày càng tăng. Tuy nhiên, trong một phân tử, khi các
nguyên tử ở khoảng cách rất xa nhau, lực hấp dẫn sẽ bằng không. Do đó, hệ
lượng tử dao động điều hòa chỉ là mô hình đơn giản hóa của phân tử dao động
và nếu muốn mô tả chi tiết hơn các phân tử dao động thì các lực phi điều hòa
cũng phải được tính đến. Các mức năng lượng của dao động phi điều hòa
không cách đều nhau như ở dao động điều hòa mà khoảng cách của chúng
giảm dần khi n tăng.
Các mức năng lượng và phổ hấp thụ với dao động tử phi điều hòa được
chỉ ra trong Hình 1.6. Quy tắc lọc lựa (1.10),
1,
n m
  
chỉ áp dụng cho dao động phi điều hòa và cho sự chuyển mức năng lượng
mạnh nhất.

18. 12
Hình 1.6 Các mức năng lượng và sự chuyển tiếp hồng ngoại của dao động
phi điều hòa.
Phổ hấp thụ được đưa ra dưới dạng sơ đồ bên dưới.
Chuyển tiếp ứng với 2, 3,..,
n m
    cũng có thể xuất hiện khi cường
độ giảm nhanh. Tất cả các kết quả này có thể được tính toán bằng cách sử
dụng lý thuyết nhiễu loạn. Từ tất cả những điều trên chúng ta có thể chứng
minh rằng các mô hình cơ lượng tử đơn giản như dao động điều hòa chỉ mô tả
cấu trúc chính của một hệ vi mô trong tự nhiên mà không thể mô tả hết tất cả
các chi tiết. Đây không phải là sự thiếu hụt của mô hình dao động điều hòa
mà là một tính chất chung của vật lý lý thuyết. Các mô hình chỉ là sự lý tưởng
hoá và không thể dự đoán chính xác các kết quả thực nghiệm. Giải thích về
một hàng chữ số thập phân mới trong một số thực nghiệm thường đòi hỏi một
mô hình mới và có thể là một lý thuyết hoàn toàn mới.
Ta có thể thấy điều này ngay sau khi chúng ta khảo sát chi tiết hơn các
tần số chuyển các mức năng lượng ở vùng gần vùng hồng ngoại như những gì
thu được ở một phổ kế có độ phân giải đủ cao. Các đường phổ rộng của phân
tử CO quanh khu vực có tần số 1
2140
v cm
 được phân chia thành một số

19. 13
đường hẹp riêng, như thể hiện trong Hình 1.7 hay nói cách khác là xung
quanh khu vực có tần số 1
2140
v cm
 không có đường riêng mà chỉ có dải.
Từ hình ảnh có thể thấy, dải này bao gồm một tập hợp các đường thẳng cách
đều nhau, với một đường đứt quãng ở giữa dải. Đi ra khỏi chỗ đứt quãng có
hai nhánh được gọi là nhánh P (hướng tới các bước sóng dài hơn) và nhánh R
(ứng với các bước sóng nhỏ hơn). Hình 1.8 cho thấy cùng một hiệu ứng cho
vạch 1
n  ở Hình 1.5 của phân tử HC1.
Hình 1.7 Dải phổ năng lượng của phân tử CO.
Hình 1.8 Dải hấp thụ cơ bản của phân tử HC1 dưới độ phân giải cao[7].
Với kỳ vọng cấu trúc chính xác như vậy trong phổ hấp thụ hoặc phát xạ
đặc trưng của bức xạ điện từ của phân tử CO khi các mức năng lượng của

20. 14
phân tử dao động ở Hình 1.1 được tách thành một dãy các cấp nhỏ hơn như
thể hiện trong Hình 1.9, thì chỉ cho thấy có hai mức năng lượng liền kề của
phổ năng lượng của phân tử dao động như đã cho trong Hình 1.1.
Mô tả của sự phân chia như vậy nằm ngoài khả năng của một mô hình
dao động. Nó chỉ có thể có một trạng thái được đặc trưng bởi số lượng tử n
không phải là trạng thái thuần túy mà chính xác là một hỗn hợp của các trạng
thái có năng lượng khác nhau. Tuy nhiên, trong dao động trạng thái được đặc
trưng bởi số lượng tử n là trạng thái thuần túy được mô tả bởi một phép chiếu
n
 trên không gian mở một chiều được kéo dài bởi n
 cụ thể là không gian
n
  . Trạng thái của phân tử hai nguyên tử được đặc trưng bởi số lượng tử n
phải có số chiều nhiều như là số mức năng lượng (khi số mức năng lượng
bằng với số chiều thì bất kỳ giá trị năng lượng nào cũng thuộc một không
gian hoặc một phép chiếu trên một trục của không gian con). Do đó mô hình
dao động chỉ mô tả một phần các thuộc tính của một phân tử hai nguyên tử.
Để mô tả chi tiết hơn về phổ, cần phải kết hợp mô hình dao động với một mô
hình mô tả chi tiết hơn và phản ánh thêm các đặc điểm của phân tử hai
nguyên tử chưa đề cập đến. Mô hình mới này là mô hình Rotator.
Hình 1.9 Sơ đồ các mức năng lượng ở trạng thái cơ bản cho đến các trạng
thái kích thích của trạng thái dao động của phân tử CO[8].

21. 15
Các nhánh P và R được hiển thị ở bên trái và bên phải theo thứ tự trên
phổ kế đã vẽ của dải hấp thụ CO cơ bản ở 2144 cm-1
. Nhánh Q (đường nét
đứt) là khuyết. Các mức năng lượng được hiển thị theo thang đo, ngoại trừ
khoảng cách giữa các trạng thái dao động trên và dưới (2144 cm-1
) có thể gấp
khoảng năm lần so với hình vẽ.
Xét phân tử CO gồm hai nguyên tử có nguyên tử khối là m1 và m2 cách
nhau một khoảng x, thấy rằng phân tử này không chỉ dao động theo trục x mà
còn có thể quay xung quanh tâm của nó trong không gian ba chiều. Nếu nó
nằm trong trạng thái dao động và có năng lượng nhỏ hơn 0,26 eV thì nó sẽ là
một Rotator bền vững hay nói cách khác nó có thể được coi là hai khối giống
như điểm m1, m2 được gắn vào hai đầu của thanh sắt không trọng lượng có
chiều dài x. Do đó, trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình Rotator bền
vững.

22. 16
1.2. Rotator
1.2.1. Rotator bền vững (Rotator Rigd) của phân tử hai nguyên tử
Xét Rotator cổ điển, khi thay ba tọa độ của xung lượng i
P và ba tọa độ
vị trí i
x trong tất cả các đại lượng có trong biểu thức với các toán tử ˆ
i
P và ˆ
i
Q
thỏa mãn hệ thức giao hoán chính tắc
ij
ˆ
ˆ ˆ
[ , ] ,
i i
P Q I
i


ˆ ˆ
[ , ] 0,
i j
Q Q 
ˆ ˆ
[ , ] 0
i j
P P 
(1.13)
( ij 1
  với i j
 và ij 0
  cho i j
 và 1,2,3
j  ).
Trong cơ học cổ điển, năng lượng quay E của một vật rắn được cho bởi
2
1
.
2
E I
 (1.14)
Trong đó  là tốc độ góc và I là moment quán tính của hệ trục quay. Tốc độ
góc liên quan đến số lần quay trên mỗi giây với tần số quay rot
v là:
2 .
rot
 
 (1.15)
Moment xung lượng của hệ được cho bởi .
I 
  . Thay vào (1.14) được năng
lượng:
2
.
2
E
I

 (1.16)
Hình 1.10 Mô hình phân tử hai nguyên tử.

23. 17
Moment quán tính của trục quay của mô hình Rotator được cho bởi công thức
2 2
1 1 2 2
2 ,
I m r m r
 
Với
2
1
1 2
m
r x
m m


và 1
2
1 2
m
r x
m m


(1.17)
là khoảng cách tương ứng từ 1
m và 2
m đến tâm của khối C và x là khoảng
cách giữa hai điểm khối 1
m và 2
m (xem Hình 1.10). Ta được :
2
1 2
1 2
,
m m
I x
m m


(1.18)
Với  được gọi là khối lượng rút gọn của phân tử.
1 2
1 2
m m
m m
 

(1.19)
Do đó, thay vì xét sự quay của Rotator bền vững, có thể cân nhắc đến
việc quay một chất điểm có khối lượng rút gọn  với tọa độ i
x nơi có vector
 
1 2 3
, ,
x x x

x là vectơ vị trí. Nếu ta biểu diễn xung lượng của chất điểm có
khối lượng rút gọn  trong hệ toạ độ này bởi 1 2 3
( , , )
p p p

p thì moment
xung lượng được cho bởi:
,
 
I x p (1.20)
nên các phần tử của nó được xác định bởi:
,
.
i ijk j k ijk j k
j k
l x p x p
 
 (1.21)
Trong phương trình này ij 1
k   khi  
ij 123
k  và mọi hoán vị chẵn của nó,
ij 1
k   khi  
ijk là một phép hoán vị lẻ của (123) còn lại là ij 0
k  .
Theo điều kiện tổng quát (1.13) khi thay i
x , i
P bằng ˆ
j
Q , ˆ
i
P thì toán tử
moment xung lượng L̂ được xác định bởi công thức

24. 18
ˆ
ˆ ˆ ,
L P Q
 
hoặc
ˆ
ˆ ˆ ,
i ijk j k
L Q P
 (1.22)
và toán tử năng lượng tương ứng (1.16) được xác định bởi
3
2
1
1 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .
2 2 2
i i i i
i
H L L L L L

  
  
 (1.23)
ˆ
j
Q và ˆ
k
P là các toán tử Hermitian, nên ˆ
i
L vàĤ cũng Hermitian:
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .
i ijk k j ijk k j ijk j k i
L P Q P Q Q P L
  
    (1.23a)
Từ hệ thức giao hoán Heisenberg (1.13), ta thu được hệ thức giao hoán của
các toán tử ˆ
i
L biểu diễn các phần tử của moment xung lượng. Đó là:
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
[ , ] [ , ]
i l ijk lmn j k m n
L L Q P Q P

ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( [ , ] [ , ] )
ijk lmn j k m n j m n k
Q P Q P Q Q P P
 
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
( {[ , ] [ , ]}
ijk lmn j k m n m k n
Q P Q P Q P P
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
{[ , ] [ , ]} )
j m n m j n k
Q Q P Q Q P P
 
ˆ ˆ
ˆ ˆ
( ).
ijk lmn j n km m k jn
Q P Q P
i i
 
 
Bằng cách thay đổi thành phép tổng các chỉ số biểu thức trên có thể viết lại
như sau:
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
( ) ( ) .
imk lkn m n ikn lmk m k imk knl ink klm m n
Q P Q P Q P
i i
    (1.24)
Theo tính chất của tenxơ imk dễ dàng chứng minh:
.
imk knl in ml mn il
   
  (1.25)
Từ đó suy ra:
,
ink klm il nm mn nl
   
 

25. 19
và thay vào (1.25) thu được:
.
imk knl ink klm in ml im nl ilk kmn
   
    
Thế biểu thức trên vào (1.24) thu được
ˆ
ˆ ˆ ˆ
[ , ] .
i l ilk kmn m n
L L i Q P

Kết hợp với (1.22) thu được hệ thức giao hoán của toán tử moment
xung lượng ˆ
i
L :
ˆ ˆ ˆ
[ , ] .
i l ilk k
L L i L
 (1.26)
Biểu thức của toán tử năng lượng (1.23) không chứa ˆ
i
P và ˆ ,
i
Q điều này
đúng với tất cả các đại lượng vật lý của Rotator. Trên thực tế, các toán tử ˆ
i
P
và ˆ
i
Q là những đại lượng phi vật lý trong cơ học lượng tử Rotator. Do đó, đối
với Rotator toán tử ˆ
i
L tuân theo hệ thức giao hoán (1.26) là những đại lượng
vật lý cơ bản. Trên thực tế, các toán tử ˆ
i
L được xác định bởi (1.22) hoặc số
lượng tử i
l được xác định bởi (1.21) là một trường hợp đặc biệt của các đại
lượng có liên quan đến bậc tự do mới của các hệ vật lý trong không gian ba
chiều.
Một hệ vật lý trong không gian vật lý ba chiều có sáu bậc tự do: ba bậc
tự do được mô tả bởi ba tọa độ i
x và ba bậc tự do quay, được mô tả bởi phép
quay  
, ,
R    phụ thuộc vào ba góc , ,
   (ví dụ, ba góc Euler hoặc ba
góc xoay quanh ba trục tọa độ cố định). Xung lượng i
P là biến số chính tắc
liên hợp với tọa độ i
x còn biến số chính tắc liên hợp với tọa độ góc i
 là
moment xung lượng i
l .
Tổng quát, một hạt trong không gian vật lý ba chiều có các biến số là
xung lượng i
P và spin i
s ứng với các tọa độ tuyến tính i
x và các tọa độ góc

26. 20
i
 . Đối với một hạt, xung lượng được biểu diễn bởi toán tử ˆ
i
P và spin được
biểu diễn bởi toán tử ˆ
i
S . Do đó dễ dàng xác định được hệ thức giao hoán của
toán tử Spin ˆ
i
S là:
ˆ ˆ ˆ
[ , ] .
i j ijk k
S S i S
 (1.27)
Phương trình (1.27) cũng có thể được suy ra từ các tính chất của nhóm
quay[4], nếu giả thuyết rằng phép quay R (α, β, γ ) của một hạt được biểu
diễn bởi một toán tử (đơn vị) U (α, β, γ ) trong không gian của trạng thái vật
lý của hạt này. Trên thực tế phép quay là phép biến đổi đối xứng và nhóm
quay là một nhóm đối xứng của hệ vật lý (Định lý Wigner). Bắt đầu từ dạng
đại số của đại lượng được xác định bởi hệ thức giao hoán (1.27) .
Tiếp theo khảo sát tính chất đại số của các toán tử được tạo thành từ toán tử
ˆ
j
J khi áp dụng các hệ thức giao hoán
ˆ ˆ ˆ
[ , ]
i k ikl l
J J i J
 ( , , 1,2,3),
i k l  (1.28)
trong đó toán tử ˆ
j
J tương đương với toán tử ˆ
i
L trong (1.22) hoặc toán tử ˆ .
i
S
Từ đó có được tính chất của tất cả các toán tử ˆ
j
J là các toán tử Hermit
tuyến tính trong một không gian tuyến tính. Hay có được tập hợp tất cả các
toán tử ˆ
j
J là nhiều hơn tập hợp của toán tử ˆ
i
L cho bởi (1.22). Dạng đại số
được tạo thành từ toán tử ˆ
j
J được gọi là đại số bao của nhóm SU(2) và được
kí hiệu là: E(SU(2)).

27. 21
1.2.2. Dạng đại số của momen xung lượng
Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra tất cả các nghiệm có thể của hệ thức giao
hoán (1.28) để chứng minh được ˆ ˆ
i i
J J

 Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ xây
dựng tất cả các không gian tuyến tính trong đó ˆ
i
J thỏa mãn (1.28) hoạt động
như các toán tử Hermit tuyến tính. Giả sử tồn tại ít nhất một vector riêng của
3
Ĵ trong những không gian này. Thay vì sử dụng ˆ
i
J với  
1,2,3
i  thì dựa
theo tổ hợp tuyến tính sau:
1
3 3
ˆ ˆ ,
H J

  
1
1 2
ˆ ˆ ˆ ,
H J iJ

    
1
1 2
ˆ ˆ ,
H J iJ

   (1.29)
Điều kiện Hermiteity ˆ ˆ
i i
J J

 được biểu diễn
3
ˆ ˆ ,
H H

 ˆ ˆ ,
H H

 
 ˆ ˆ .
H H

 
 (1.30)
Từ (1.28) và (1.30) thu được
3
ˆ ˆ ˆ
,
H H H
 
   
  3
ˆ ˆ ˆ
, 2 .
H H H
 
  
 
(1.31)
Toán tử 2
Ĵ có thể được viết
2 2 2
ˆ ˆ
J H
 (1.32)
Với
2 2 2
3 3 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ .
H H H H H H H H H
   
      (1.33)
Bởi vậy
2
3
ˆ ˆ
, 0,
H H
  
 
2
ˆ ˆ
, 0,
H H
  
  (1.34a)
hay tổng quát
2 ˆ
ˆ , 0,
H A
  
  (1.34b)
trong đó Â là

28. 22
ij ij
...,
i k
i i j i j k
A aI a J a J J a J J J
     (1.35)
với ij ij
, , , ,...
i k
a a a a là những số phức. Do tính chất (1.34), 2
Ĥ và 2
Ĵ được gọi
là toán tử bất biến của đại số bao E(SU(2)).
Ta sẽ thấy thang biểu diễn của E(SU(2)) hay nói cách khác là tất cả các
nghiệm của hệ thức giao hoán (1.28) bởi các toán tử tuyến tính trong không
gian tuyến tính thu được bằng cách áp dụng toàn bộ đại số bao E(SU(2)) cho
một vector riêng của toán tử 3
Ĥ . (Giả sử tồn tại một vector riêng).
Chọn vector c
f f
 là vector riêng của toán tử 2
Ĥ với trị riêng c:
2
Ĥ f cf
 (1.36)
Khi toán tử 2
Ĥ giao hoán với mỗi  của biểu thức (1.35), Af là một
vector riêng của toán tử 2
Ĥ với giá trị riêng c.
Chọn f là một vector riêng của toán tử 3
Ĥ và gọi m là trị riêng. Với
vector riêng chuẩn hóa kí hiệu là c
m m
f f
 :
3
ˆ ,
m m
H f mf
  
, 1.
m m
f f  (1.36’)
( m
f được gọi là vectơ Weight, m được gọi là Weight)[5,6].
Nếu hai toán tử giao hoán thì có thể chọn một vector đồng thời là
vector riêng của cả hai toán tử, vì
2 2
3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ
m m
H H f H H f

nên (1.36) và (1.36’) trở thành đồng nhất thức. Nếu hai toán tử không giao
hoán sẽ không có cùng một vector riêng.
Ta có
ˆ
m m
f H f
 

kết hợp với (1.31) thu được

29. 23
 
3 3 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
m m m
H f H H f H H H f
   
  
   
ˆ ˆ ˆ
1
m m
H m H f m H f
  
   
 
1 .
m
m f 
 
(1.37)
Do đó (nếu 0
m
f   )thì m
f  là một vector riêng của toán tử 3
Ĥ với giá
trị riêng 1
m 
m
f có một vài tính chất cần lưu ý đó là:
1. Số c là không âm.
2. Bất kỳ giá trị riêng m nào của 3
Ĥ cũng thỏa mãn
2
m c
 (1.38)
Nếu bắt đầu với một vectơ riêng c
mo
f bất kỳ của toán tử 3
Ĥ và 2
Ĥ và tác
dụng liên tiếp toán tử sinh Ĥ thì sẽ thu được các vector riêng c
m
f mới của 3
Ĥ
với các giá trị riêng ngày càng tăng. Sau một số hữu hạn các bước phải đạt tới
vector riêng c
m
f với giá trị riêng lớn nhất của 3
Ĥ là l, vì 2
,
m c
 hay
ˆ 0.
c c
l l
f H f
 
  (1.39)
Từ (1.33) và (1.39) thu được
   
2 2
3 3
ˆ ˆ ˆ 1 .
c c c
l l l
H f H H f l l f
    (1.40)
Do đó giá trị riêng c của 2
Ĥ và giá trị riêng lớn nhất l của 3
Ĥ liên hệ với nhau
bởi công thức:
 
1
c l l
 
Thay vì mô tả các vec tơ riêng của 2
Ĥ và 3
Ĥ bởi c và m có thể mô tả bằng l và
m.

30. 24
Nếu tác dụng liên tiếp toán tử hủy Ĥ thu được vector riêng l
m
f thì sau
một số hữu hạn các bước phải đạt đến vector l
f với trị riêng thấp nhất của 3
Ĥ
là  vì 2
,
m c
 hay nói cách khác
ˆ 0.
l l
f H f
 
 
  (1.41)
Theo đó kết hợp với (1.33) thu được
   
2 2
3 3
ˆ ˆ ˆ 1 .
l l l
H f H H f f
  
 
    (1.42)
So sánh (1.42) với (1.40) thấy rằng
   
1 1 ,
l l  
  
và nghiệm duy nhất của phương trình này cho  thỏa mãn 2
,
m c
 là
.
l
   (1.43)
Vì vậy, nếu bắt đầu với vector l
l
f , tác dụng liên tiếp toán tử hủy Ĥ và chuẩn
hóa sẽ có được chuỗi các vector
 
1
1
ˆ ,
l l
l l l
f H f


 

 
1
2 1 1
ˆ ,
l l
l l l
f H f


   

.
.
.
 
1
1
ˆ ,
l l
m m m
f H f


 

(1.44)
tại m
 là
 
ˆ ˆ
, .
l l
m m m
H f H f
  

Từ đó thu được

31. 25
 
1
1 1
ˆ
l l
f H f
  


  

Do l
   nên sẽ có 2 1
l  vector trong chuỗi (1.44).
l
m
f
, 1, 2,..., 1, ,
m l l l l l
     
(1.45)
thỏa mãn
 
' '
, .
l l
m m mm
f f 
 (1.46)
Vì 2 1
l  là số vector và phải là một số nguyên nên do đó l chỉ có thể là một
trong những con số sau:
1 3
0, ,1, ,..
2 2
l  (1.47)
Như vậy với mỗi số l sẽ có 2 1
l  vector l
m
f là trực giao và mở ra một
không gian gọi là không gian l
 :
: .
l
l m m
l
m l
f f a f


 
  
 
 
 (1.48)
Hằng số chuẩn hóa m
 :
   
ˆ ˆ ˆ ˆ
, ,
m m m m m m
H f H f f H H f
     
 
 
   
2 2 2
3 3
ˆ ˆ ˆ
, 1 .
m m
f H H H f l l m m
      
Do đó, ngoại trừ hằng số pha chưa xác định thì
    
2
1 1 ,
m l l m m l m l m
         (1.49)
và
   1 1
ˆ 1 .
l l l
m m m m
H f l m l m f f

  
     (1.50)
Bây giờ xác định ˆ
m
H f
 . Đã biết 1
ˆ l l
m m
H f f
 
 nên ta thiết lập 1
ˆ l l
m m m
H f f

 

và tính toán được

32. 26
       
1 1 1 1 1
ˆ ˆ
, , , , .
l l l l l l l l
m m m m m m m m m m
f f H f f f H f f f
 
      
  
Hình 1.11 Ví dụ về sơ đồ Weight của phép biểu diễn không khả quy của
SU(2)
vì thế
  
1 1 ,
m m m
l m l m
  

     
và
   1 1 1
ˆ 1 .
l l l
m m m m
H f l m l m f f

   
     (1.51)
Như vậy: Với mỗi giá trị l nguyên hoặc bán nguyên có một không gian
l
 kéo dài bởi 2 1
l  vectơ trực giao  
,...,
l
m
f m l l
  . Trong không gian l

các toán tử 3
ˆ ˆ ˆ
, ,
H H H
  được cho bởi (1.36’), (1.50), (1.51) do đó tác dụng của
bất kỳ phần tử A∈ E(SU(2)) được cho bởi (1.35) trên bất kỳ vector l
f 
nào được cho bởi (1.48) là được xác định. Để chỉ ra rằng với mỗi l thu được
một toán tử khác nhau, có thể viết      
3
ˆ ˆ ˆ
, ,
l l l
H H H
  cho các toán tử trong (1.36’),
(1.50), (1.51). Không gian l
 được gọi là không gian biểu diễn không khả
quy của E(SU(2)). Trong không gian này, các phần tử 3
ˆ ˆ ˆ
, ,
H H H
  xác định từ
(1.31) được biểu diễn bởi các toán tử được đưa ra trong (1.36’), (1.50), (1.51).
Các toán tử này được gọi là 2 1
l  -chiều biểu diễn không khả quy của các
toán tử 3
ˆ ˆ ˆ
, ,
H H H
  . Có thể thấy chúng phụ thuộc vào l với mỗi
1
0, ,1,..
2
l  có
một tập hợp các toán tử khác. Tất cả các vectơ trong l
 là vec tơ riêng của

33. 27
2
Ĥ với cùng một giá trị riêng và l
 là bất biến dưới tất cả các A∈ E(SU(2)).
Đặc biệt, l
 vẫn bất biến dưới ảnh hưởng của  
ˆ 1,2,3
i
J i  và 3
ˆ ˆ
,
H H
 . Nếu
biểu diễn được các giá trị có thể có của m trong một biểu diễn không khả quy
dọc theo một đường thẳng thì ta có được sơ đồ Weight của phép biểu diễn
được đặc trưng bởi giá trị riêng l của SU(2). Với l = 2 cũng được thể hiện
trong Hình 1.11. Mỗi điểm tương ứng với một vector cơ sở l
m
f trong không
gian biểu diễn l
 hoặc tương tự có một chiều của không gian con tương ứng
được kéo dài bởi l
m
f . Mỗi không gian con như vậy (hoặc vector cơ sở) biểu
thị cho một trạng thái vật lý thuần túy. Do đó mỗi điểm trên sơ đồ Weight
tương ứng với một trạng thái vật lý thuần túy.
Không gian con nhỏ nhất là 0
 , là không gian một chiều, biểu thị trong Hình
1.12.
Hình 1.12 Sơ đồ Weight của biểu diễn một chiều của SU(2).

34. 28
Hình 1.13 Sơ đồ Weight của các biểu diễn không khả quy của SU(2).
Vậy có một sơ đồ Weight cho mỗi biểu diễn và tác dụng của các toán
tử ˆ ˆ
,
H H
  có thể được biểu diễn trong sơ đồ này, như biểu diễn trong Hình
1.13. Đối với mỗi sơ đồ Weight, có một không gian l
 và với mỗi không
gian l
 có thể có một trạng thái (hoặc tập hợp các trạng thái) của hệ cơ lượng
tử được mô tả bởi giá trị l.
Vì sự tương ứng giữa toán tử L̂ ở (1.22) và moment xung lượng cổ
điển I ở (1.20), số l được gọi là số lượng tử moment xung lượng:
 
2 2
ˆ 1 .
l l
L f l l f
 
Do đó moment xung lượng trong cơ lượng tử chỉ có thể là một giá trị
rời rạc. Trạng thái vật lý tương ứng với một không gian l
 xác định và được
mô tả bởi toán tử thống kê    
1 1
Ŵ dim 2 1
l l l
l
 
      tại l
 là phép
chiếu trên không gian l
 có một moment xung lượng xác định l. Ngoại trừ l=
0 thì trạng thái như trên không phải là trạng thái thuần túy mà là một trạng
thái hỗn hợp. Để có một trạng thái thuần túy đòi hỏi không chỉ một phép đo
của 2
L mà còn cả một phép đo của 3
L hay bất kỳ phần tử nào khác của vector

35. 29
L. Nếu giá trị của 3
L luôn là m thì trạng thái của không gian này sẽ là trạng thái
thuần túy được biểu thị bởi phép chiếu l l l
m m m
f f
  trên không gian con
một chiều l
m
 .
Không gian l
 là tổng trực tiếp các không gian con một chiều l
m
 ,
,
l
l l
m
m l


  
 (1.52)
và mỗi không gian l
m
 được kéo dài bởi l
m
f vector.
Không phải tất cả các toán tử tuyến tính  
ˆ 1,2,3
i
J i  thỏa mãn (1.28)
có thể được đưa ra bởi (1.22). Nên có thể chứng minh rằng các toán tử ˆ
i
L cho
bởi (1.22) chỉ có thể được biểu diễn bởi các toán tử trong không gian l
 với
0,1,2,..
l  Như vậy đối với các toán tử được cho bởi (1.22) có một số đếm
được các biểu diễn của  
ˆ l
i
L trong không gian l
 , còn lại là bất biến dưới tác
dụng của  
ˆ l
i
L . Tuy nhiên các không gian l
 trên là không bất biến dưới tác
dụng của các toán tử ˆ
j
Q và ˆ .
j
P Áp dụng (1.13) và định nghĩa (1.22), tính toán
trực tiếp ta có
ˆ ˆ
ˆ , ,
ˆ ˆ ˆ
, .
i j ikl k
i j ikl k
L Q i Q
L P i P
  
 
  
 
(1.53)
Các toán tử như P̂ và Q̂ thỏa mãn các hệ thức giao hoán với ˆ,
L được
gọi là toán tử vector. Từ (1.53) thu được
 
2 ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, 0,
j ikl i k k i
L Q i LQ Q L
    
 

36. 30
do đó ˆ
j
Q sẽ thay đổi trị riêng  
1
l l  của 2
L̂ . Hay nói cách khác là ˆ
j
Q có thể
biến đổi từ không gian l
 sang '
l
 với '.
l l
 Các toán tử ˆ
i
L trong không gian
l
 với
1 3 5
, , ,..
2 2 2
l  hoặc bất kỳ tổng trực tiếp nào của chúng,
l
l


không thể được biểu thị dưới dạng hàm số của các toán tử ˆ
i
Q và ˆ.
i
P Đối với
1
2
l  các toán tử  
1/2
ˆ l
i
L

được gọi là toán tử spin. Ma trận vuông i
 với các
phần tử ma trận  
1/2 1/2
'
ˆ
2 ,L
l l
m i m
f f
 
được gọi là ma trận Pauli.
1.3. Phổ năng lƣợng của Rotator của phân tử hai nguyên tử
Đại số bao E(SU(2)) không chứa các toán tử biến đổi trong một không
gian l
 xác định. Tuy nhiên trong cơ học lượng tử, dạng đại số của các đại
lượng của Rotator là lớn hơn E(SU(2)) , các phần tử bổ sung có thể được hình
thành, ví dụ: các hàm số của i
J và i
P hoặc của i
J và i
Q .
Ví dụ: đại lượng i
Q có tính chất biến đổi từ l
 đến lân cận 1
l
 và 1
l
 :
1 1
: ,
l l l
i
Q  
   (1.54)
nhưng không thể có l n

 với n > 1. Không gian  là tổng trực tiếp của các
không gian l
 :
0
.
l
l


  
 (1.55)
Ta có  không phải là một không gian biểu diễn không khả quy của
nhóm bao E(SU(3)).  được gọi là không gian biểu diễn khả quy. Các toán
tử 3
ˆ ˆ ˆ
, ,
H H H
  là các toán tử trong không gian lớn và không gian con l
 của

37. 31
không gian  là bất biến với 3
ˆ ˆ ˆ
, ,
H H H
  và với mọi A∈ E(SU(2)). Nên sẽ có
 
1
l l  phổ không tầm thường trong không gian , cụ thể là phổ:
 
 
2
1 , 1,2,3,..
H l l l
   (1.56)
Sơ đồ Weight đối với biểu diễn trong không gian  được thể hiện trong Hình
1.14.
Chứng minh phát biểu (1.55). Giả thuyết rằng i
J là moment xung lượng
i ikl j k
L Q P
 thì chỉ các giá trị nguyên của l là thỏa mãn hay nói cách khác
không gian  chỉ chứa không gian con l
 khi 0,1,2,..
l  và theo (1.54) các
đại lượng của Rotator (ví dụ, các toán tử i
Q ) biến đổi từ không gian l
 đến
lân cận 1
l
 và 1
l
 . Mỗi không gian  chỉ xuất hiện một lần và thực tế thì
không cần thêm số lượng tử đối với Rotator. Nếu một 0
l
 xuất hiện hai lần trở
lên thì sẽ có hai hoặc nhiều vector    
0 0
1 , 2 ,..
l l
m m
f f với các số lượng tử l, m và
số lượng tử mới cần thiết để phân biệt giữa hai hay nhiều vector. Nhưng
Rotator chỉ là mô hình mà không có đại lượng chéo nào khác ngoài moment
xung lượng ( 2
L và 3
L ). Rotator chỉ là một mô hình gần đúng.
Hình 1.14 Tập hợp sơ đồ Weight của SO(3) thuộc biểu diễn không khả quy
SO(3, l) hoặc E(3).

38. 32
Như vậy sự chứng minh của (1.55) là về bản chất của các hệ vật lý mà
trạng thái vật lý (đến một giới hạn nhất định) được mô tả bởi không gian 
Mỗi dấu chấm trên sơ đồ Weight của không gian  đại diện cho trạng
thái thuần túy được mô tả bởi một không gian con l
m
 (l, m cố định) được
kéo dài bởi l
m
f . Các toán tử thống kê cho trạng thái thuần túy Ŵ l
m
  tại l
m

là phép chiếu trên không gian l
m
 biểu diễn một hệ cơ lượng tử mà moment
xung lượng có giá trị xác định l và phần tử của moment xung lượng là 3
Ĥ có
giá trị xác định m. Vì không gian là đẳng hướng và hệ tọa độ được chọn là tùy
ý nên 3
Ĥ được chọn để biểu thị cho moment xung lượng theo hướng bất kỳ và
được gọi là đường xoắn ốc.
Các giá trị của toán tử năng lượng trong không gian được hiểu là phổ
năng lượng của Rotator thu được từ (1.23) như phổ
 
2
1
1 .
2
l
H E l l
I
   (1.57)
Vậy các mức năng lượng phụ thuộc vào l như thể hiện trong sơ đồ Hình
1.15. Nếu so sánh với Hình 1.9 thấy rằng Rotator là phổ năng lượng cần thiết
để giải thích phổ hồng ngoại của các phân tử hai nguyên tử.

39. 33
Hình 1.15 Mức năng lượng và bước chuyển tiếp hồng ngoại của Rotator bền
vững: (a) Sơ đồ mức năng lượng, (b) phổ kết quả (giản đồ)[3].
Trái ngược với dao động, các không gian năng lượng riêng (hay là
không gian của các vector có cùng giá trị năng lượng riêng) của Rotator
không phải là không gian một chiều, trừ không gian ứng với l = 0. Vì vậy
trạng thái của Rotator có giá trị năng lượng xác định  
0 0 0
l
E l  không nhất
thiết phải là trạng thái thuần túy. Nếu phép đo năng lượng chỉ được dùng với
kết quả 0
l
E thì toán tử thống kê được cho bởi: (chưa chuẩn hóa)
0
Ŵ l
  (1.58)
Hay (đã chuẩn hóa)
   
0 0
1 1
0
Ŵ 2 1
l l
Tr l
 
     (1.58’)
trong đó 0
l
 là phép chiếu trên không gian  
0
2 1
l  chiều. Chỉ bằng phép đo
năng lượng không thể có trạng thái thuần túy của Rotator. Với điều kiện bổ

40. 34
sung nếu một hướng trong không gian được xác định (ví dụ: bằng từ trường
bên ngoài) thì có thể có một trạng thái xác định có tính xoắn ốc hay nói cách
khác chính là trạng thái thuần túy 0
0
.
l
m

0 0 0 0 0
0 0 0
1
Ŵ ... ..
l l l l l
l l m l
  
            (1.59)
Để tính toán tần số có thể được phát ra và hấp thụ bởi Rotator, chúng ta
phải biết các quy tắc lọc lựa. Ta có moment lưỡng cực quay D với
ons ,
D c tQ
 (1.60)
trong đó Q là vector khoảng cách giữa tâm của các điện tích dương và âm.
Bức xạ là kết quả của việc xoay moment lưỡng cực điện. Trong cơ lượng tử,
cường độ của bức xạ hấp thụ hoặc phát ra tỷ lệ thuận với bình phương modun
của phần tử ma trận của toán tửD̂
2
'
' .
l l
m i m
f Q f (1.61)
Do đó, bức xạ lưỡng cực sẽ chỉ thu được khi chuyển từ trạng thái '
'
l
m
f đến l
m
f
phần tử ma trận (1.61) là khác không (tứ cực và bức xạ bậc cao là không đáng
kể).
Nên
'
' 0
l l
m i m
f Q f  (1.62)
trừ khi ' 1
l l
  .
Vậy quy tắc lọc lựa đối với bức xạ lưỡng cực của Rotator là
' 1.
l l l
     (1.63)
Nếu so sánh kết quả trên với kết quả thực nghiệm của CO được mô tả
trong Hình 1.9 sẽ thấy hoàn toàn phù hợp. Hình 1.9 cho thấy sự chuyển giữa
các trạng thái không chỉ với các giá trị khác nhau của moment xung lượng l
mà còn với các giá trị khác nhau của số lượng tử dao động n.

41. 35
Kỳ vọng rằng bức xạ từ các quá trình chuyển giữa các trạng thái
Rotator khác nhau của phân tử hai nguyên tử thuộc cùng một trạng thái dao
động ứng với n = 0. Những chuyển tiếp hồng ngoại được biểu diễn bằng ký
hiệu trong Hình 1.15. Tần số bức xạ hồng ngoại được cho trong các đơn vị
của số sóng cm-1
thu được bằng cách chia (1.1) cho c, là
'
' .
2
l l
l l
E E
v
c



Từ (1.57) và (1.63) thu được
    
2
1,
1 2 1
2 2
l l
l l l l
v
I c


   

   
2 1 2 1 ,
4
l B l
cI

   
(1.64)
tại
2
8
h
B
cI


Do đó, phổ của một Rotator bền vững đơn giản gồm một tập hợp các đường
thẳng cách đều như được vẽ trong sơ đồ ở cuối Hình 1.15.
Mong đợi rằng tần số quay chuyển đổi thuần túy sẽ nhỏ hơn nhiều tần
số rung vì khoảng cách giữa các mức năng lượng quay thấp hơn nhiều khoảng
cách giữa các mức năng lượng rung như trong Hình 1.9. Phổ quay thuần túy
nằm xa vùng hồng ngoại.
Kết quả đo thực nghiệm của phổ hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng
ngoại được đưa ra trong cột thứ hai của Bảng 1. Từ (1.64) mong đợi rằng các
tần số sẽ là những khoảng cách đều. Vì vậy trong phần cột thứ ba của bảng,
hiệu số giữa các tần số liên tiếp là xác định. Theo (1.64) hiệu số giữa các tần
số liên tiếp được xác định
1, , 1 2 .
l l l l
v v v B
 
    (1.65)

42. 36
Thay giá trị của mười một tần số đầu tiên có khoảng cách gần bằng nhau vào
(1.64) thu được
1
2
10.35 .
8
HCl
HCl
h
B cm
cI


  (1.66)
Ở cột thứ tư của bảng là các giá trị được tính từ (1.64) với giá trị (1.66).
Ta thấy khá phù hợp giữa các giá trị tính toán được và các giá trị quan sát
được nếu chỉ so sánh 11 tần số đầu tiên trong cột hai với cột bốn. Hiệu số
giữa các tần số liên tiếp ngày càng giảm khi mức giá trị của l tăng. Các tần số
là không cách đều nhau nên có thể thay đổi (1.64) để có được hiệu số tốt hơn
ở các giá trị cao hơn của l. Cột cuối cùng của bảng phù hợp với
   
3
1, 2 1 4d 1
l l
v b l l
     (1.67)
Bảng 1 Tần suất hấp thụ của HC1 ở xa vùng hồng ngoại.

43. 37
(b, d là hằng số). So sánh cột cuối với các giá trị trong cột thứ hai thấy rằng
hiệu số (1.67) phù hợp với dữ liệu thực nghiệm hơn (1.64). Phổ năng lượng
tương ứng với (1.67) được cho bởi
   
2
2
1 1 2
t
E bl l dl l c

 
   
  (1.68)
(b, d là hằng số). Mức năng lượng (1.68) đã được rút ra trong Hình 1.16 với
giá trị phóng đại là d.
Hình 1.16 Mức năng lượng của Rotator không bền vững[3].
Để so sánh, mức năng lượng của rotator bền vững tương ứng được chỉ
ra bởi các đường nét đứt (đối với J <6 không thể được vẽ riêng).
Giải thích cho sự phù hợp hơn của (1.68) với các giá trị thực nghiệm là
phân tử hai nguyên tử HC1 không phải là một Rotator bền vững. Các liên kết
giữa các nguyên tử không bền vững và khoảng cách giữa các nguyên tử biến
thiên với tốc độ góc dẫn đến sự biến dạng ly tâm. Phương trình (1.68) có thể
thu được nếu xét trong đó phân tử được coi là hai quả cầu rắn(nguyên tử) nối
với nhau bởi một lò xo. Nếu phân tử xoay quanh một trục vuông góc với lò xo

44. 38
này thì ở trạng thái cân bằng, lực ly tâm 2 3
/ x

 cân bằng với lực hướng tâm
 
e
k x x
 trong đó k là hằng số lò xo và xe là khoảng cách giữa các nguyên tử
của phân tử tĩnh. Như vậy
 
2
3
.
e
k x x
x


  (1.69)
Năng lượng của hệ là
 
2
2
2
1
.
2 2
e
E k x x
x


   (1.70)
Mà
2 2
1 2 ...
e
e
e
x x
x x
x
 

  
 
 
(1.71)
Do đó thu được năng lượng E
2 2 2 2 3
2 2 6
1 1
( ) (( ) ).
2 2
e e
E O
x x
 
      (1.72)
Số hạng đầu tiên là năng lượng của Rotator bền vững và số hạng thứ hai là
lực ly tâm. Thế 2
 với toán tử 2
L̂ sẽ thu được toán tử năng lượng
2 2 2
2 2 6
1 1
ˆ ˆ ˆ
( ) ,
2 2
e e
H L L
x x
 
  (1.73)
thấy rằng :
1
1
10.438 ,
0.00046 .
HCl
HCl
b cm
d cm




(1.74)
Điều này cho thấy Rotator bền vững là một mô hình phù hợp của phân
tử hai nguyên tử quay. Và khoảng cách giữa các bậc của phân tử CO quay là
nhỏ hơn đáng kể so với phân tử HC1. Do đó phổ quay thuần túy của CO nằm
ở vùng có bước sóng dài hơn đáng kể.
Từ giá trị (1.66) có moment quán tính của HC1là:

45. 39
40 2
2.71 10 .
HCl
I cm

 
Với
23
23
35.45
6.0 10 ,
1.008
0.167 10 ,
Cl
A
H
A
m g
N
m g
N


  
  
kết hợp với (1.19) có được
24
1.63 10
Cl H
HCl
Cl H
m m
g
m m
 
  

Từ (1.18) có thể tính toán khoảng cách giữa các hạt của các phân tử HC1 sử
dụng các giá trị HCl
I và HCl
 :
8
1.29 10
HCl
x cm

 
Như vậy, chúng ta đã tính toán theo phổ hấp thụ hồng ngoại kích thước
của phân tử là bậc của 8
10 .
cm

Bậc của độ phóng đại phù hợp với các giá trị
của bán kính nguyên tử và phân tử thu được từ những khảo sát cổ điển. Và x
là giá trị cho hình ảnh cổ điển của hệ cơ lượng tử và không phải là giá trị kỳ
vọng của một đại lượng trong hệ cơ lượng tử.

46. 40
Chƣơng 2. Một số bài toán về phổ năng lƣợng
Bài toán 1. Xét một hạt có khối lượng m = 0.51 MeV/c2
trong một hố thế [2]:
0
( )
,
.
0
x
x a
V
V
x a


 


0 6
V  eV, 1.4
a  Å
a) Có bao nhiêu trạng thái liên kết và số tính số năng lượng của các trạng thái
đó. Cho biết thế nhiễu loạn được xác định bởi:
( ) ( ), 0, .
V x x b a b a
 
      
b) Giả sử giá trị b của hiệu chỉnh bậc nhất (1)
0
E
 theo năng lượng của trạng
thái cơ bản là cực đại và 1
  eVÅ. Với giá trị nào của thì kết quả là chấp
nhận được?
Lời giải
a) Biết rằng, một hố thế hình chữ nhật có chiều sâu 0
V và chiều rộng 2a có
một số trạng thái liên kết bằng số nguyên thấp nhất lớn hơn hoặc bằng:
     
2
2 2 2
0 0 0
2 3.1 2 1.1 2 2
B B
mV a mV a a a V e a

 
  
 
 
.
Vì vậy hệ có hai trạng thái liên kết mà năng lượng thu được bằng số nghiệm
của phương trình tương ứng với trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu
tiên:  
2 2 2 2 2
0 0
tan 2 , tan (2 )
mV a mV a
     
    
Tại 2 2
0
2 ( ) .
ka ma V E
   
Ta thấy 0 0.97
  và 1 1.71
 
Vậy:
 
2
2 2
2 2
0 0 0 0 0
2
tan ( tan ) 4
2 2
B
B
a e
E
ma a a
   
 
     
 
 
eV;

47. 41
 
2
2
1 1 1 2
tan 0.11
2
E
ma
 
   eV.
b) Nếu 0 ( )
x
 là hàm sóng đã chuẩn hóa của trạng thái cơ bản không nhiễu
loạn, ta có
2
(1)
0 0 ( )
E b
 
  là một cực đại cho 0
b  .
Ta lại có:
0
0 0
0
0
cos( )
( ) ( )
cos( )
x a
k x
x x A
x a
k a
 
  
   


Với 0 0
k a 
 và 2 2 2
0 0 0
( ) 2
k a mV a
   , Vậy:
1
2
2 0 0
0 0
cos ( ) sin(2 )
1 0.42
2
k a k a
A a
k a k a

 
 
  
 
 
 
 
Å-1 2
(1)
0 0.42
E A

   eV.
Ta được kết quả của hiệu chỉnh bậc nhất là chấp nhận được
(1)
0 1 2 3.9
E E E
  eV 9.3

 eVÅ.
Bài toán 2. Hàm Hamiltonian của hạt trong dao động một chiều là:
2
2 2 2
0
1 1 1
q q
2 2 2 2
p
H kq k H k
m
 
     , 0
k 
Coi số hạng 2
1
2
k q
 (đối với các giá tri thích hợp của k) như một nhiễu loạn
theo 0
H [2].
a) Tính hiệu chỉnh bậc nhất
 
1
n
E
 theo giá trị riêng
 
0
n
E
 của 0
H .
b) Tính hiệu chỉnh bậc hai
 
2
0
E
 theo năng lượng của trạng thái cơ bản.
Lời giải
a) Ta có (1) 2
1
2
n
E k n q n

  .
Số hạng 2
n q n có thể được tính theo nhiều cách

48. 42
Mà 2 (0)
1 1
2 2
n
n kq n E
  (1) (0)
1
( ) .
2
n n
k
E E
k

 
b) Công thức tính hiệu chỉnh bậc hai là:
2
2 2
2
0 (0) (0)
0 0
1
0 0 2
2
4 2
s s
k q s q
k
E
E E 

 
    


2 2
2 † 2
( ) 0 ( ) 2
8 2
k
m
 
 

  
2
2 2 2 (0)
0
1 1
( ) 0 2 ( )
32 8
k k
E
k k
 
 
   
Với ( /
k m
  )
Bài toán 3. Hàm Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều với ngoại
lực F không đổi là [2]
2
2 2
0
1
2 2
p
H m q Fq H Fq
m

    
a) Tìm hàm riêng và trị riêng của hàm Hamiltonian H .
Coi số hạng -Fq như là một nhiễu loạn, tính tác dụng của nó trên mức không
nhiễu loạn của dao động bằng lý thuyết nhiễu loạn.
b) Tính bậc của lý thuyết nhiễu loạn tại thời điểm mức năng lượng chung
nhận đóng góp từ nhiễu loạn.
c) Các biểu thức của hiệu chỉnh bậc 3 và bậc 4 theo mức năng lượng không
suy biến En do nhiễu loạn V là, nếu
 
1
0
n
E
 
 
  
3
,
na ab bn
n
a b n a n b n
V V V
E
E E E E

 
 

 
   
 
 
2
4 2
2
, ,
na
na ab bc cn
n n
a b c n a n
a n b n c n a n
V
V V V V
E E
E E E E E E E E
 
     
   
 

49. 43
Chứng minh rằng hiêụ chỉnh bậc ba và bậc bốn theo năng lượng của trạng thái
cơ bản do nhiễu loạn -Fq, là đang biến mất.
Lời giải
a) Các giá trị riêng của H là:
2
2
1 1
( ) .
2 2
n
F
E n
m


  
Các hàm riêng của H thu được bằng cách tịnh tiến những 0
H bằng
2 2
:
F m x x F m
 
  .
b) Khi hiệu chỉnh theo giá trị riêng không nhiễu loạn là tỷ lệ với 2
,
F ta có:
2
(2) 2
n
s n s n
n q n
E F
E E

  


2 2 2
1
F
n q n z n q n

 
    
 
 
và
 
, 1 1 2 ,
n n
q i n m
   , 1 2 ,
n n
q i n m
  
Vậy (2) 2 2
2 .
n
E F m
  
c) Có (1)
0 0.
E
  giống như , 1,
n n
q  chỉ các phần tử ma trận bất biến của q , là
biến mất (đi từ 0 đến 0 bởi bậc của 1
 , số bậc là chẵn).
   
2 2 2
01 12 01 01
(4) 4
0 3 2
0.
2
q q q q
E F

 
 
 
     
 
 
Bài toán 4. Xét dao động điều hòa một chiều của khối lượng m và tần số góc
 nhiễu loạn bởi thế [2]:
4 2 2
( )
V x gx e x b
 

50. 44
Tại b a m
 . Trạng thái trong đó nhiễu loạn 4
gx nằm trong vùng lớn
hơn nhiều chiều dài đặc trưng a của dao động và tiến dần đến 0 khi x  .
a) Tính hiệu chỉnh bậc nhất của nhiễu loạn lên trạng thái cơ bản của dao
động. Điều kiện: nằm trong giới hạn áp dụng của lý thuyết nhiễu loạn
 
g  , kết quả là có nghĩa cho cả 0
g  và 0
g  .
b)
 
4
4
1
1
( ) , ( )
1
1
V x gx f x b f




 
  


Do đó ( )
V x là hằng số cho x b
 (bỏ qua lực tương tác).
Chứng minh rằng khi b hiệu chỉnh bậc nhất theo năng lượng của trạng
thái cơ bản của dao động đồng quy liên quan đến nhiễu loạn 4
gx .
Lời giải
a) Áp dụng biểu diễn Şchrödinger:
2 2 2
5 2
(1) 4 (1 1 )
0 2 2
3 1 1
4
x a b
g g
E x e dx
a a b
a



 

 
   
 
 

4 5
2 2 5 2
3
4 ( )
a b
g
a b


Trong trường hợp, cho 2 3
g m  , kết quả là có nghĩa.
Thật vậy, độc lập với các dấu hiệu của g , hàm Hamiltonian chỉ có trạng thái
cơ bản, nên nó là nhiễuloạn (và nó là đúng) mà một dãy nhiễu loạn có bán
kính bất biến của đồng quy.
b) Ta có:
(1) 4 2 2
0 0
2 ( )
x a
g
E x e f x b dx
a



  

51. 45
Vậy, khi ( ) 1
f x b  đòi hỏi giới hạn b  có thể được thực hiện trước khi
lấy tích phân luận đề sau. Nó có thể đưa ra ước tính tốc độ đồng quy:
 
2 2 4
2 2 4 4 4
2
2 2
(1 ( ) ) (1 )
2
x a x a
b b
g
g x
e x b x dx e x b x dx
b
a a
 
 
 
  
 
2 2 2
2
4 2 2
2 4
( ) y a b a
b
g g a a b
y b e dy e
ab
ab
 

 

  

Cho 10
b a
 bằng phép tính gần đúng 4 43
( ) 3.8 10 .
g a  
 
Bài toán 5. Xét các dao động điều hòa một chiều mà hàm Hamiltonian không
nhiễu loạn là 0
H và:
2 2
2 3
0
2 2
p m
H q gq H H
m


    
a) Tìm thứ nguyên của hằng số ngẫu hợp g và viết Htheo hình thức
3
...
H q

  (không có thừa số vô ích) đê hằng số ngẫu hợp  là không thứ
nguyên.
b) Tìm hiệu chỉnh bậc nhất của nhiễu loạn Htrên mức năng lượng không
nhiễu loạn.
c) Tính hiệu chỉnh bậc hai
 
2
0
E
 theo năng lượng của trạng thái cơ bản.[2]
Lời giải
a) Thứ nguyên của hằng số ngẫu hợp g là năng lượng/(chiều dài)3.
Giống như m là chiều dài đặc trưng của dao động điều hòa , đặt
 
3 2
,
g m
  
  là không thứ nguyên và:
2 3
.
m
H m q

 
 

52. 46
b) Đối với bậc một (1) 3
0
n
E n q n
 
 , do các quy tắc lựa chọn về tính chẵn
lẻ ( 3
q là một toán tử lẻ).
c) Đối với bậc hai:
2
2 3
3 2 2
(2) 2 3
0 (0) (0)
0 0
0 3
0
0 1 .
3
s s
q
q s g
E g q
E E 

 
 
     
 
  
 

Phần tử ma trận 3
0 1
q và 3
0 3
q có thể tính được bằng nhiều cách, do
đó thu được :
 
3 2
3 3
0 ( ) 3! 3 3 1
2
q i
m
 
  
 
 
Từ:
3
2
(2) 2
0
11 11
8 2 8
g
E
m
 
 
 
    
 
 
Bài toán 6. Xét ion C6
gồm các hạt nhân của nguyên tử cacbon (Z = 6) và chỉ
có một electron (C2
, C3
, · · · tương ứng là các nguyên tử cacbon đã được ion
hóa một lần, hai lần, · · ·). Giả sử rằng hạt nhân là một quả cầu tích điện đều
có bán kính 13
2.5 10
R 
 cm (kích thước hạt nhân là hữu hạn)[2].
a) Vẽ đồ thị của thế năng  
U r của electron và viết hàm Hamiltonian của hệ
theo hình thức  
0
H H V r
  , tại  
V r là hiệu số giữa  
U r và thế năng của
electron trong trường hạt nhân giả định pointlike.
b) Xét  
V r như một nhiễu loạn, tính hiệu chỉnh bậc nhất
   
1 1
1s 2s
,
E E
  và  
1
2 p
E

: nó là đủ để giữ cho bậc bất biến trong 5
/ 4.7 10
B
R a 
 . Hiệu chỉnh một
phần với năng lượng ion hóa của C6
là gì?
Lời giải

53. 47
a) Thế được tạo thành bởi điện tích phân bố đều trong một quả cầu , với
r R
 thế năng là 2
.
Z e r
 Ta có:
0 ( );
r
H H V
 
2 2
0
2 e
p Ze
H
m r

 
2 2 2
2
( )
1 3
2 2
0
r
Ze Ze r
V r R R
  
 
  
   


.
r R
r R


b)
2 2 2
(1) 2 2
1 1,0 2
0
1 3
( )
2 2
R
s
Ze Ze r
E R r r dr
r R R
 
 
   
 
 
 
 

2
3 2 2 2 4 2
2
3 2
0
1 3 2
4
2 2 5
R
B B B
Z Ze Ze r Z e R
r dr
a r R R a a
   
 
  
   
 
   
 

5
3.1 10
  eV.
Năng lượng ion hóa của 6
C là 2
13.6 490
Z  eV, vì vậy 8
6 10
E E 
  .
2
3 2 2 2 4 2
(1) 2
2 3 2
0
1 1 3
2 2 2 20
R
s
B B B
Z Ze Ze r Z e R
E r dr
a r R R a a
   
 
   
   
 
   
 

6
3.9 10
  eV.
4
5 2 2 2 4 2
(1) 2
2 5 2
0
1 1 3
24 2 2 1120
R
p
B B B
Z Ze Ze r Z e R
E r dr
a r R R a a
   
 
   
   
 
   
 

15
5.6 10
  eV.

54. 48
KẾT LUẬN CHUNG
Về cơ bản khóa luận đã hoàn thành những nhiệm vụ nghiên cứu đề ra,
những kết quả chính của khóa luận là:
Khóa luận đã giới thiệu và tổng hợp được một số lý thuyết cơ bản về
phổ năng lượng của một số phân tử như CO và HCl, sự chuyển mức năng
lượng, Rotator bền vững, dạng đại số của moment xung lượng và phổ năng
lượng của Rotator.
Khóa luận đã trình bày một số bài toán về phổ năng lượng của các
nguyên tử.
Do thời gian tìm hiểu còn hạn chế và gặp phải một vài khó khăn trong
việc xử lý tài liệu tiếng anh nên khóa luận sẽ hoàn thiện hơn khi bổ sung được
một số lý thuyết về phổ năng lượng của một số phân tử khác và bổ sung được
nhiều bài tập hơn về phổ năng lượng.

55. 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Arno Bohm (1993), Quantum Mechanics: Foundations and Applications,
New York.
[2] Emilio d'Emilio, Luigi E. Picasso(2017), Problems in Quantum
Mechanics_ with Solutions, New York.
[3] G. Herzberg(1966), Molecular Spectra and Molecular structure, D. van
Nostrand, New York.
[4] I. M. Gelfand, R. A. Minlos, Z. Ja. Shapiro(1963), Representation of the
Rotation Group and of the Lorentz Group, Pergamon Pres, New York.
[5] L. C. Biedenharn, J. D. Louck(1979), Angular Momentum in Quantum
Physics, Addison-Wesley, Reading, Mass.
[6] M. Hamermesh(1962), Group Theory, Addison-Wesley, Reading, Mass.
[7] N. L. Alpert, W. E. Keiser, H. A. Szymanski(1970), Theory and Practice
of Inrared Spectroscopy, Wiley, New York.
[8] R. P. Bauman(1962), Absorption Spectroscopy, Wiley, New York.