Torsi

Fisika sekolah II
Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan
masalah
Memformulasikan hubungan antara konsep torsi, momentum sudut, dan momen inersia,
berdasarkan hukum II Newton serta penerapannya dalam masalah benda tegar.
Memformulasikan pengaruh torsi pada sebuah benda dalam kaitannya dengan gerak
rotasi benda tersebut
Mengungkapkan analogi hukum II Newton tentang gerak translasi rotasi
Menggunakan konsep momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar
Memformulasikan momen inersia untuk berbagai bentuk benda tegar
Memformulasikan hukum kekekalan momentum sudut pada gerak rotasi
Menganalisis masalah dinamika rotasi benda tegar dalam berbagai keadaan
Menganalisis gerak menggelinding tanpa slip
Menerapkan konsep titik berat benda dalam kehidupan sehari-hari
Page 1 of 26
BAB II
DINAMIKA ROTASI DAN BENDA TEGAR
1. Standar Kompetensi
2. Kompetensi Dasar
3. Indikator
4. Konsep Esensial
Momen Gaya
Momen Inersia
Benda Tegar
Percepatan Sudut
Gerak Translasi
Gerak Rotasi
Momentum Sudut
Kesetimbangan Partikel
Kesetimbangan Benda Tegar
Titik Berat
Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar

Fisika sekolah II
Page 2 of 26
Lengan Gaya
Momen Kopel
Pusat massa
5. Peta Konsep

Fisika sekolah II
Ketika kita akan membuka pintu manakah yang lebih mudah kita lakukan untuk
membukanya. Apakah kita membukanya dengan mendorong pintu dengan jarak yang
dekat dengan engsel? atau mendorong pintu dari jarak yang jauh dengan engsel?
Page 3 of 26
6. Uraian Materi
Dinamika Rotasi
6.1 Momen Gaya
r
r
a b
gambar 6.1 pemberian gaya pada pintu dengan
jarak r supaya pintu mudah dibuka dengan, a) jarak
r dekat dengan engsel, b) jarak r jauh dari engsel.
Dari peristiwa di atas maka kita dapat menyimpulkan bahwa kita lebih mudah membuka
pintu pada saat kita mendorong pintu dari jarak yang jauh dengan engsel (pada gambar
b). Kenapa hal itu terjadi? Pintu adalah sebuah benda tegar, dalam fisika jika sebuah
benda tegar diberi gaya pada jarak tertentu dari sumbu rotasi sehingga mengakibatkan
benda tersebut berotasi maka benda tersebut memiliki momen gaya atau torsi yang kita
simbolkan dengan "휏".
Besaran yang kita sebut sebagai momen gaya tadi dapat kita tulis dalam bentuk
sebuah persamaan untuk mengetahui besarnya. Dalam peristiwa membuka pintu tadi
momen gaya dipengaruhi oleh jarak (r) dan gaya yang diberikan (F), maka
persamaannya dapat kita tuliskan
휏⃗ = 푟⃗ ×퐹⃗= 퐹 푟 푠푖푛휃 ….. (6.1)
dengan:
τ = momen gaya (Nm)
d = lengan momen (m)
r = jarak sumbu rotasi ke titik tangkap gaya (m)

Fisika sekolah II
besar 휃 merupakan sudut yang terbentuk antara gaya yang diberikan dengan jarak dari
sumbu rotasi. Untuk lebih memahami mengenai pemberian gaya dengan besar sudut
tertentu perhatikan ilistrasi berikut.
Page 4 of 26
gambar 6.2 momen gaya menyebabkan
Panjang batang yang dinyatakan dengan r
dinamakan lengan momen. Lengan momen
adalah jarak tegak lurus garis kerja gaya
terhadap poros.
Garis gaya adalah garis khayal yang dibuat
secara berhimpit dengan arah kerja gaya
dapat diperpanjang ke depan atau belakang
arah gaya tersebut.
Dari ilustrasi diatas semoga Anda menjadi lebih paham mengenai momen gaya ini.
Apabila terdapat dua atau lebih gaya yang bekerja pada sebuah benda seperti
ilustrasi pada gambar disamping maka perlu diperhatikan arah dari gaya tersebut,
Momen gaya diberi tanda positif jika cenderung
memutar benda searah jarum jam.
Momen gaya diberi tanda negatif jika cenderung
memutar benda berlawanan arah jarum jam.
gerak rotasi benda
F
F
gambar 6.3 pemberian beberapa gaya pada
satu benda

Fisika sekolah II
Berdasarkan perjanjian diatas dapat ditulis momen gaya total yang bekerja pada benda
tersebut maka ditulis dalam persamaan
Contoh soal 6.1
Seorang bayi yang sangat superaktif sedang merangkak di dekat pintu, lalu mendorong
tepi pintu dengan gaya sebesar 2 N. Jika lebar pintu 1 meter dan arah dorongan si bayi
yang nakal itu membentuk sudut 60o terhadap pintu, tentukan torsi yang dikerjakan bayi
(amati gambar di bawah).
Momen gaya dan percepatan sudut merupakan analogi dari gaya dan percepatan
pada gerak linear. Untuk mengembangkan analogi dari hukum II Newton untuk gerak
rotasi maka kita perlu mencari analogi dari massa. Massa dalam gerak linear merupakan
Page 5 of 26
Σ 휏 = 푟1 + 푟2 + 푟3 + ⋯ + 푟푛 ………………. (6.2)
Jawab :
Sekarang kita hitung Torsi yang dikerjakan bayi
6.2 Momen Inersia

Fisika sekolah II
kecenderungan benda untuk tidak mengalami perubahan gerak. Dalam gerak rotasi
kesulitan benda untuk berotasi selain ditentukan oleh massa juga dipengaruhi oleh pola
distribusi massa terhadap sumbu putar yang disebut momen inersia. Jadi analogi massa
pada gerak linear adalah momen inersia pada gerak rotasi.
Apabila sistem yang berotasi merupakan sebuah partikel yang bermassa m dan
berada pada jarak r dari pusat rotasi (poros).
F
r m
gambar 6.4 momen inersia partikel
terhadap sumbu rotasi
Maka momen inersia didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel dengan kuadrat
jarak dari pusat rotasi, secara matematis ditulis
Jika terdapat sejumlah partikel yang melakukan gerak rotasi, maka momen inersia
total merupakan jumlah dari setiap momen inersia partikel
Page 6 of 26
6.2.1 Momen Inersia Partikel
퐼 = 푚푟2 ……………… (6.3)
2 = 푚1푟1
퐼 = Σ 푚푖 푟푖
2 + 푚2푟2
2 + ⋯ + 푚푛푟푛
2
푖 …………… (6.4)
6.2.2 Momen Inersia Benda Tegar
Apabila benda yang berotasi terdiri dari partikel yang kontinu maka benda
dianggap terdiri dari sejumlah elemen massa dm yang tersebar merata diseluruh
benda, sehingga momen inersia merupakan jumlah dari momen inersia semua
elemen massa tersebut yang di tulis dalam bentuk integral dengan batas-batas
integral mencakup seluruh benda

Fisika sekolah II
퐼 = ∫ 푟2 푑푚 …………...... (6.5)
.
Beberapa bentuk umum momen inersia dalam benda tegar dirangkum dalam tabel
6.1
Perhatikan bahwa suatu bentuk tertentu memiliki lebih dari satu momen inersia
karena momen inersia bergantung pada sumbu rotasi.
Page 7 of 26

Fisika sekolah II
Jika momen inersia benda terhadap pusat massa Ipm diketahui maka momen
inersia benda terhadap sumbu sembarang yang parallel dengan pusat massa dapat
diketahui dengan menggunakan teorema parallel yang menyatakan
퐼 = 퐼푝푚 + 푀푑2 …………………….. (6.6)
Dengan d adalah jarak dari pusat massa ke sumbu parallel dan M massa benda.
Supaya lebih jelas simak contoh soal berikut
Contoh soal 6.2
Jika sebuah piringan bermasa M dirotasikan dengan poros melalui pusat massa O
dan tegak lurus pada piringan, momen inersia pusat massanya adalah 퐼푝푚 = 1
Page 8 of 26
6.2.3 Teori Sumbu Paralel
2
푀푅2
dengan R adalah jari-jari piringan. Tentukan momen inersia piringan jika poros
digeser ke sisi piringan di titik S sejajar poros semula.
R s
Jawab:
Karena sumbu putar di geser sejajar dengan poros semula sejauh d = R dari pusat
massa, maka dengan teorema sumbu sejajar momen inersia piringan adalah
퐼푠 = 퐼푝푚 + 푀푑2
=
1
2
푀푅2 + 푀푅2 =
3
2
푀푅2
M

Fisika sekolah II
Page 9 of 26
6.3 Hubungan Momen Gaya dengan Percepatan Sudut
F
Perhatikan partikel bermassa m yang berotasi
pada lingkaran berjari-jari r seperti pada gambar
disampingpartikel yang bermassa m berotasi membentuk
lingkaran dipengaruhi oleh gaya tangensial yang
menibulkan percepatan tangensial sesuai hukum II
Newton.
퐹 = 푚푎푡 jika kedua ruas dikalikan r maka 푟퐹 = 푟푚푎푡 karena momen gaya 휏 = 푟 × 퐹
dan percepatan tangensial 푎푡 = 푟훼 maka 푟퐹 = 푟푚푟훼
휏 = 푚푟2 훼
dengan menggunakan 퐼 = 푚푟2 sehingga
휏 = 퐼훼 ………………….. (6.7)
dengan:
τ = momen gaya (Nm)
I = momen inersia (kg.푚2 )
훼 = kecepatan sudut (rad/푠2)
Perhatikan bahwa 휏 = 퐼훼 untuk gerak rotasi merupakan analogi dari 퐹 = 푚푎 untuk gerak
linear.
6.4 Energi dan Usaha Gerak Rotasi
6.4.1 Energi Kinetik Rotasi
Sebuah benda yang berotasi tetap memiliki energi kinetik meskipun benda
tersebut tidak bergrak secara translasi energi kinetik tersebut dinamakan energi
kinetik rotasi. Energi kinetik rotasi dapat diturunkan dari persamaan ebergi
kinetik translasi sebagai berikut
퐸퐾 =
1
2
푚푣2
r m
gambar 6.5 sebuah partikel
berotasi dibawah pengaruh
gaya tangensial F

Fisika sekolah II
Page 10 of 26
Mengingat 푣 = 푟휔, maka
퐸퐾 =
1
2
푚(푟휔)2
퐸퐾 =
1
2
(푚푟2 )휔2
Karena 푚푟2 adalah momen inersia 퐼 maka bentuk di atas menjadi
퐸퐾 = 1
2
퐼휔2 ………….. (6.8)
6.4.2 Energi kinetik rotasi dan translasi
Sebuah benda akan memiliki energi kinetik dan rotasi sekaligus ketika
benda bergerak menggelinding. Saat benda menggelinding benda memiliki
kecepatan sudut 휔 dan kecepatan linear 푣 karena melakukan rotasi dan translasi
sekaligus. Dengan demikian benda memiliki energi kinetik translasi dan energi
kinetik rotasi sebagai berikut
퐸퐾 = 퐸퐾푡푟푎푛푠푙푎푠푖 + 퐸퐾푟표푡푎푠푖
퐸퐾 = 1
2
푚푣2 + 1
2
퐼휔2 ………… (6.9)
Contoh soal 6.3
Sebuah roda mobil memiliki massa 20 kg melaju dijalan dengan kecepatan 10
m/s. Jika roda mobil dianggap silinder pejal. Berapakah energi kinetik ketika
roda tersebut menggelinding?
Jawab:
퐸퐾 =
1
2
푚푣2 +
1
2
퐼휔2
dengan 푣 = 푟휔 maka
퐸퐾 =
1
2
푚푣2 +
1
2
퐼
푣
푟2
2

Fisika sekolah II
2 ………………(6.11)
Page 11 of 26
퐸퐾 =
1
2
푚푣2 +
1
2
.
2
5
푚푟2 푣
푟2
2
퐸퐾 =
1
2
푚푣2 +
1
5
푚푣2
퐸퐾 =
7
10
푚푣2
퐸퐾 =
7
10
20(10)2 = 1400 퐽
6.5 Usaha dalam gerak rotasi
Sebuah roda berotasi pada sumbu tetap dalam selang waktu Δt, sebuah titik pada
roda tersebut menempuh lintasan sejauh 푑휃. Usaha yang dilakukan gaya F diperoleh
dari rumus gerak linear sebagai berikut
푊 = 퐹푠 = 퐹푟휃
푊 = 휏휃 ……………….(6.10)
Gaya yang bekerja pada satu dimensi melakukan kerja pada benda juga mengubah
energi kinetik benda. Demikian juga dalam gerak rotasi, sebuah momen gaya melakukan
kerja pada benda dan mengubah energi kinetiknya rotasinya sesuai dengan hubungan
푊 = 휏휃 = 퐸퐾 = 퐸퐾푟표푡2 − 퐸퐾푟표푡1 = 1
2
2 + 1
퐼휔2
2
퐼휔1
Sebagaimana untuk gerak linear, maka dalam gerak rotasi pun terdapat hukuk
kekekalan energi mekanik jika resultan gaya yang bekerja pada benda adalah nol.

Fisika sekolah II
퐸푃1 + 퐸퐾푡푟푎푛푠1 + 퐸퐾푟표푡1 = 퐸푃2 + 퐸퐾푡푟푎푛푠2 + 퐸퐾푟표푡2 ………………(6.12)
atau
Pada bahasan sebelumnya kita telah mengenal adanya momentum linear 푝 = 푚푣.
Dalam gerak rotasi besaran yang analog dengan momentum linear yakni momentum
sudut. Mengingat massa analog dengan momen inersia 퐼 dan kecepatan linear analog
dengan kecepatan sudut 휔 maka persamaan untuk momentum sudut 퐿
Page 12 of 26
Δ퐸푃 + Δ퐸퐾푡푟푎푛푠 + Δ퐸퐾푟표푡 = 0
dengan:
Δ퐸푃 = perubahan energi potensial
Δ퐸퐾푡푟푎푛푠 = perubahan energi kinetik translasi
Δ퐸퐾푟표푡 = perubahan energi kinetik rotasi
6.6 Momentum Sudut
L
arah rotasi
퐿 = 퐼휔
Momentum sudut merupakan besaran vector. Arah momentum
sudut mengikuti aturan kaidah tangan kanan yakni arah ibu jari
menunjukkan arah momentum sudut dan empat jari yang lain
arah rotasi benda.
Hubungan momentum sudut dengan momen gaya
Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari bahwa impuls merupakan perubahan
momentum dari benda 퐹 푑푡 = 푑푝 pada gerak linear maka secara analogi untuk gerak
rotasi
휏 푑푡 = 푑퐿
휏 = 푑퐿
푑푡
………………………. (6.13)
dengan:
휏 = momen gaya
푑퐿
푑푡
= perubahan momentum sudut terhadap waktu

Fisika sekolah II
Dari persamaan 5.1 kita peroleh jika tidak ada gaya luar yang bekerja maka
Σ 휏 = 0 maka momentum sudut konstan. Ini merupakan prinsip kekekalan momentum
sudut. Pertama kali kita terapkan pada benda tegar yang berotasi terhadap sumbu tetap
dengan momentum sudut 퐿 = 퐼휔 . Secara matematis kekekalan momentum sudut dapat
ditulis
gambar 6.6 dua orang penari yang mengaplikasikan kekelan momentum sudut .
Page 13 of 26
Kekekalan momentum sudut
퐿1 = 퐿 2
퐼1휔1 = 퐼2휔2
Peristiwa yang menerapkan momentum sudut seperti pada penari balet ketika
melakukan gerakan memutar. Perhatikan gambar
Seorang penari menari dengan tangan terentang. Saat penari menarik tangannya lebih
dekat ke tubuh penari itu berputar lebih cepat tanpa ada energi tambahan. Semakin dekat
tangannya dengan tubuh semakin cepat putaran penari itu.
6.7 Kesetimbangan Benda Tegar
Sebuah benda yang dapat dipandang sebagai partikel berada dalam keadaan
seimbang jika jumlah vector gaya yang bekerja pada benda tersebut sama dengan nol.
Akan tetapi, untuk beberapa contoh benda seimbang seperti gedung bertingkat, jembatan
gantung, tangga yang disandarkan pada tembok, dan lampu penerangan jalan yang

Fisika sekolah II
digantung dengan menggunakan kawat, jumlah vector gaya sama dengan nol ternyata
tidak cukup. Jika gaya-gaya itu bekerja pada benda pada titik yang berbeda, maka gaya-gaya
itu harus menjamin bahwa benda itu tidak akan berotasi, yaitu jumlah momen gaya
terhadap sembarang titik harus sama dengan nol. Hal itu didasarkan pada prinsip
dinamika rotasi.
Pada umumnya sebuah gaya yang bekerja pada benda akan mengakibatkan
perubahan gerak, baik gerak translasi maupun gerak rotasi. Bila pada benda itu
bekerja beberapa gaya, mungkin saja gaya-gaya itu dapat saling meniadakan
sehingga tidak menghasilkan perubahan gerak translasi maupun rotasi. Jika hal ini
terjadi, benda dikatakan berada dalam kesetimbangan. Artinya, (1) benda itu diam
atau bergerak lurus dengan kecepatan tetap, dan (2) benda itu tidak berotasi atau
berotasi dengan kelajuan konstan.
Gambar 6.7.1(i) menunjukkan sebuah benda tegar yang tipis bentuknya
yang terletak pada permukaan datar tanpa gesekan. Jika pada benda itu bekerja
gaya F1, seperti pada Gambar 6.7.1(i)(a), dan benda itu mula-mula diam, maka
benda tersebut akan mulai bergerak. Apabila benda tersebut sebelumnya sudah
bergerak, maka gaya itu dapat mengubah besar atau arah (bahkan kedua-duanya)
gerak tranlasinya, dan menambah atau mengurangi gerak rotasinya. Jadi,
akibat gaya itu menyebabkan benda sudah tidak berada dalam keadaan seimbang
lagi.
F1 F1 F1
A
C
Page 14 of 26
6.7.1 Kesetimbangan Partikel
A
A
B
F2 F2
(a) (b) (c)
Gambar 6.7(i) Jika kedua gaya bekerja pada benda tegar, benda ini tetap berada dalam
keadaan seimbang asal kedua gaya ini sama besar, berlawanan arah, dan garis kerjanya sama,
sperti pada (b)

Fisika sekolah II
Kesetimbangan benda pada Gambar 6.7.1(i)(a) dapat dipertahankan dengan
mengerjakan gaya F2 seperti pada Gambar 6.7.1(i)(b) yang besarnya sama dengan
F1 tetapi arahnya berlawanan dan mempunyai garis kerja yang sama dengan F1.
Dengan demikian, jumlah gaya F1 dan F2 sama dengan nol. Jika garis kerja kedua
gaya ini tidak sama, seperti Gambar 6.7.1(i)(c), maka benda itu berada dalam
kesetimbangan translasi tetapi tidak berada dalam kesetimbangan rotasi.
Page 15 of 26
F2 F2
F1
F1
F3 R F3
(a) (b)
Gambar 6.8 Jika pada benda tegar bekerja tiga gaya yang tidak sejajar tapi sebidang dan
benda itu berada dalam kesetimbangan, maka garis kerja ketiga gaya itu harus berpotongan di
satu titik.
Gambar 6.7.1(ii) menunjukkan tiga gaya F1, F2, dan F3 yang tidak sejajar
tetapi sebidang yang bekerja pada sebuah benda. Setiap gaya yang bekerja pada
sebuah benda tegar dapat dianggap mempunyai titik tangkap pada sembarang titik
sepanjang garis kerjanya. Oleh karena itu, ambillah dua vektor gaya, misalnya F1
dan F2, dan geserlah kedua vektor itu ke titik perpotongan garis kerjanya. Jumlah
kedua gaya ini adalah R, sebagaiman ditunjukkan pada Gambar 6.7.1(ii)(b).
Sekarang tinggal dua gaya, yaitu R dan F3. Supaya benda berada dalam keadaan
seimbang, maka (1) kedua gaya ini harus sama besar, (2) arahnya harus
berlawanan, dan (3) garis kerjanya harus ama. Berdasarkan dua syarat yang
pertama, maka jumlaah ketiga gaya ini sama dengan nol. Syarat ketiga dapat
dipenuhi hanya jika garis kerja gaya F3 melalui titik potong garis-garis kerja F1
dan F3. Dengan kata lain ketiga gaya itu harus konkruen atau berpotongan di
satu titik.

Fisika sekolah II
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa apabila sebuah benda berada
dalam kesetimbangan, maka jumlah dari semua gaya yang bekerja pda benda itu
harus sama dengan nol. Secara matematis, untuk benda dalam keadaan
seimbangan berlaku
Persamaan ini dikenal sebagai syarat pertama kesetimbangan. Sedangkan syarat
kedua kesetimbangan, yaitu persyaratan yang berkaitan dengan konsep momen
gaya.
Dari uraian di ats, kita dapat menyatakan dua hal berikut. Pertama, apabila
sebuah benda tegar berada dalam kesetimbangan yang disebabkan oleh dua gaya
maka kedua gaya itu harus mempunyai garis kerja yang sama (Gambar
6.7.1(i)(b)). Kedua, Apabila sebuah benda tegar berada dalam kesetimbangan
yang disebabkan oleh tiga gaya maka ketiga gaya itu harus berpotongan di satu
titik (Gambar 6.7.1(ii)).
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jika pada benda tegar bekerja
sejumlah gaya yang sebidang maka gaya-gaya itu dapat dikurangi sehingga
tinggal dua saja, seperti pada Gambar 3. Jika benda itu dalm keadaan seimbang,
maka gaya-gaya tersebut harus (a) sama besar dan berlawanan arah dan (b)
mempunyai garis kerja yang sama.
Syarat (a) sudah dipenuhi oleh syarat pertama kesetimbangan, yaitu
Sedangkan syarat (b) dengan mudah dapat dijelasakaan berdasarkan konsep
momen gaya. Gambar 3 menunjukkan dua buah gaya F1 dan F2 yang bekerja
pada sebuah benda. Jika benda itu berada dalam keadaan seimbang, F1 dan F2
harus sama besar dan harus mempunyai garis kerja yang sama. Jadi, kedua gaya
itu mempunyai lengan momen OA = ℓ yang sama terhadap sumbu tegak lurus
pada bidang benda dan melalui sembarang titik O. Akibatnya, momen gaya
terhadap sumbu tersebut sama besar dan berlawanan tandanya sehingga
jumlahnya sama dengan nol. Dengan kata lain, syarat perlu dan syarat cukup
Page 16 of 26
ΣF = 0, atau ΣFx = 0 dan ΣFy = 0
6.7.2 Syarat Kedua Kesetimbangan
ΣFx = 0 dan ΣFy = 0,

Fisika sekolah II
supaya dua gaya yang sama besar, berlawanan arah, serta mempunyai garis kerja
yang sama adalah jumlash momen gayanya terhadap sembarang sumbu harus
sama dengan nol. Hal ini dikenal sebagai syarat kedua kesetimbangan yang secara
matematis dapat dituliskan sebagai
Page 17 of 26
Σ휏 = 0
Jadi, apabila suatu benda berada dalam kesetimbangan karena pengruh gaya-gaya
sebidang, mak jumlah momen gayanya terhadap sembarang sumbu sama dengan
nol.
Perlu diketahui, jika syarat pertama kesetimbangan terpenuhi, yaitu ΣF = 0,
maka benda berada dalam kesetimbangan translasi. Jika syarat kedua
kesetimbangan terpenuhi, yaitu Σ휏 = 0, maka benda berada dalam kesetimbangan
rotasi. Sebuah benda berada dalam kesetimbangan lengkap, baik kesetimbangan
translasi maupun kesetimbangan rotasi, jika kedua syarat di atas terpenuhi. Jadi,
suatu benda tegar berada dalam kesetimbangan statik bilajumlah gaya yang
bekerja pada benda dan jumlah momen gaya terhadap sembarang titik sama
dengan nol.
6.7.3 Titik Tangkap Resultan Kedua Gaya Sejajar
Arah resultan gaya dari sekumpulan gaya sejajar selalu searah dengan
semua gaya itu dan besarnya sama dengan penjumlahan besarnya masing-masing
gaya. Garis kerja resultan gaya tersebut dapat ditentukan berdasarkan kenyataan
bahwa resultan momen gaya melalui sembarang sumbu putar harus sama dengan
penjumlahan masing-masing momen gaya.
Gambar 4 menunjukkan dua gaya sejajar, yaitu F1 dan F2. Titik O
merupakan titik sembarang dan sumbu-x diambil tegak lurus terhadap arah kedua
gaya. Kedua gaya ini tidak mempunyai komponen ke arah sumbu-x, sehingga
besarnya resultan gaya adalah
R = ΣFy = F1 + F2.
Jika x1 dan x2 berturut-turut menunjukkan jarak tegak lurus dari titik O ke garis
kerja F1 dan F2. Maka resultan momen gaya terhadap sumbu yang lewat O
adalah

Fisika sekolah II
Page 18 of 26
푛
푛푖
Σ휏o = X1F1 + X2F2.
Diandaikan 푋̅ merupakan jarak tegak lurus dari titik O ke garis kerja resultan
gaya. Momen gaya dari resultan gaya ini adalah
R 푿̅
=( F1 + F2.) 푿̅
Karena hasil ini harus sama dengan resultan momen gaya, maka
( F1 + F2.) 푿̅
= X1F1 + X2F2.
atau
푿̅
=
퐱ퟏ 퐅ퟏ + 퐗ퟐ 퐅ퟐ
퐅ퟏ + 퐅ퟐ
Secara umum, besarnya resultan gaya dari n buah gaya sejajar adalah
푅 = Σ 퐹푖 = 퐹1 + 퐹2 + 퐹3 + ⋯ + 퐹푛
푖 =1
Jika gaya-gaya itu sejajar dengan sumbu-y, maka garis kerja resultan gaya ini
dapat ditentukan berdasarkan persamaan
푿̅
=
Σ 퐹푖푋푖
= 1
Σ 퐹푖
푛
푖 =1
=
퐹1 푋1 + 퐹2 푋2 + 퐹3 푋3 + ⋯ + 퐹푛푋푛
푅
6.7.4 Titik Berat
Sebuah benda terdiri atas partikel-partikel. Partikel-partikel penyusun
benda ini selalu mengalami gaya tarik bumi. Besaran berat benda yang selama
ini kita kenal sebenarnya merupakan resultan semua gaya tarik bumi yang
dialami oleh partikel-partikel penyusun benda tersebut. Arah gaya tarik bumi
setiap partikel selalu menuju pusat bumi. Karena jaraknya ke pusat bumi sangat
jauh, sehingga gaya-gaya itu boleh dianggap sejajar satu sama lain. Jadi, berat
benda merupakan resultan dari sejumlah besar gaya-gaya yang sejajar.
Gambar 6.7.4 menunjukkan sebuah benda berbentuk pelat tipis yang
terletak pada bidang xy. Diandaikan benda itu dapat dibagi-bagi menjadi
sejumlah partikel yang besarnya W1, W2, W3, dan seterusnya, dengan koordinat
partikel-partikel berturut-turut adalah (X1,Y1), (X2,Y2), (X3,Y3), dan seterusnya.

Fisika sekolah II
Y
X2,Y2 , W2
X
X1,Y1
풀̅
Y
X
X1,Y
1
X2,Y2
푿̅
X2
X1
W1
푾
,
W2
W1
Y1
, 풀̅
Y2
p.b
푿̅
Gambar 6.9. Berat Benda w merupakan resultan semua gaya-gaya yang sejajar. Garis kerja
w selalu melalui titik berat.
Page 19 of 26
(a) (b)
Berat benda w adalah
W = w1 + w2 + w3 +… =Σ 풘ퟏ
풏풊= ퟏ
Garis kerja W terletak pada kedudukan X ̅ , yaitu
푿̅
= 풘ퟏ풙ퟏ+풘ퟐ풙ퟐ+풘ퟑ풙ퟑ+⋯
풘ퟏ+풘ퟐ+풘ퟑ+⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풘풊풙풊
풏풊
Σ =ퟏ
풘풊
………….(1)
Sekarang diandaikan berat benda diputar 900 berlawanan arah dengan putaran
jarum jam, seperti pada gambar 5 (b). Berat benda w tidak berubah, tetapi garis
kerja w sekarang berada pada jarak 풚̅ yaitu
풚̅ = 풘ퟏ풚ퟏ+풘ퟐ풚ퟐ+풘ퟑ풚ퟑ+⋯
풘ퟏ+풘ퟐ+풘ퟑ+⋯
=
풏풊
Σ 풘풊풚풊
=ퟏ
Σ 풘풊
풏풊
=ퟏ
……… (2)
Titik perpotongan garis kerja w pada kedua Gambar 5 mempunyai koordinat
(푋̅, 푦̅) yang dinamakan titik berat benda itu. Dengan meninjau sembarang letak
pada benda dapat ditunjukkan bahwa garis kerja berat benda w selalu melalui
titik berat ini. Jika letak titik berat sejumlah benda sudah tertentu, koordinat titik
berat benda-benda tersebut dapat dihitung dengan persamaan (1) dan (2).
Jika suatu benda mempunyai simetri tertentu, perhitungan titik benda menjadi
sederhana karena titik berat benda itu terletak pada pusat simetrinya. Jadi, titik

Fisika sekolah II
berat bola homogen, kubus, atau papan berbentuk bujur sangkar berada ditengah-tengahnya.
Titik berat silinder atau kerucut terletak di sumbu simetrinya.
Bagaimanakah menentukan titik berat sejumlah partikel yang diketahui
massanya? Anda telah mengetahui bahwa hubungan antara massa dan berat
adalah w = mg, dengan g menyatakan percepatan gravitasi yang dianggap tetap.
Dengan demikian, w1 = m1g, w2 = m2g, w3 = m3g, dan seterusnya. Subtitusi
harga-harga ini ke persamaan (1) dan (2) berturut-turut akan diperoleh
Page 20 of 26
푿̅
=
풎ퟏ 품풙ퟏ + 풎ퟐ 품풙ퟐ + 풎ퟑ 품풙ퟑ + ⋯
풎ퟏ 품 + 풎ퟐ 품 + 풎ퟑ 품 + ⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풎풊품풙풊
Σ 풎풊 풏 품
풊=ퟏ
dan
풚̅ =
풎ퟏ 품풚ퟏ + 풎ퟐ 품풚ퟐ + 풎ퟑ 품풚ퟑ + ⋯
=
풏풊
Σ 풎풊품풚풊
=ퟏ
Σ풏 풎풊품
풊=ퟏ
Akan tetapi, karena percepatan gravitasi g dianggap tetap, maka g pada kedua
persamaan ini dapat dihilangkan. Dengan demikian,
푿̅
=
풎ퟏ 품풙ퟏ + 풎ퟐ 품풙ퟐ + 풎ퟑ 품풙ퟑ + ⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풎풊품풙풊
Σ풏 풎풊품
풊=ퟏ
dan
풚̅ =
풎ퟏ 품풚ퟏ + 풎ퟐ 품풚ퟐ + 풎ퟑ 품풚ퟑ + ⋯
=
풏풊
Σ 풎풊품풚풊
=ퟏ
Σ풏 풎풊품
풊=ퟏ
푿̅
= 풎ퟏ풙ퟏ +풎ퟐ 풙ퟐ+풎ퟑ풙ퟑ +⋯
풎ퟏ+풎ퟐ+풎ퟑ +⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풎풊풙풊
풏풊=ퟏ
Σ 풎풊
…. (3)
dan
풚̅ = 풎ퟏ 풚ퟏ+풎ퟐ 풚ퟐ+풎ퟑ풚ퟑ+⋯
풎ퟏ+풎ퟐ +풎ퟑ +⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풎풊풚풊
풏풊
Σ =ퟏ
풎풊
….(4)
6.7.5 Menentukan Titik Berat Bangun Teratur Homogen
1. Bangun Tiga Dimensi
Hubungan antara massa benda m dan volume benda v dinyatakan
dengan persamaan ρ =
푚
푣
atau m = ρv, dengan ρ menunjukkan massa jenis
benda. Oleh karena itu, massa setiap partikel pada persamaan (3) dapat
dituliskan sebagai m1 = ρ1v1, m2 = ρ2v2, m3 = ρ3v3 dan seterusnya. Dengan
demikian, persamaan (3) menjadi

Fisika sekolah II
Page 21 of 26
푿̅
=
흆ퟏ 풗ퟏ 풙ퟏ + 흆ퟐ 풗ퟐ 풙ퟐ + 흆ퟑ 풗ퟑ 풙ퟑ + ⋯
흆ퟏ 풗ퟏ + 흆ퟐ 풗ퟐ + 흆ퟑ 풗ퟑ + ⋯
=
풏풊
Σ 흆풊풗풊풙풊
=ퟏ
Σ 흆풊풗풊
풏
풊=ퟏ
dan
풚̅ =
흆ퟏ 풗ퟏ풚ퟏ + 흆ퟐ 풗ퟐ 풚ퟐ + 흆ퟑ 풗ퟑ풚ퟑ + ⋯
흆ퟏ 풗ퟏ + 흆ퟐ 풗ퟐ + 흆ퟑ 풗ퟑ + ⋯
=
풏풊= ퟏ
Σ 흆풊풗풊풚풊
풏
풊=ퟏ
Σ 흆풊풗풊
Untuk benda homogen, massa jenisnya sama besar . dengan demikian, ρ1 = ρ2
= ρ3 = … = ρi = ρ. Oleh karena itu,
푿̅
= 풗ퟏ풙ퟏ+ 풗ퟐ풙ퟐ +풗ퟑ풙ퟑ +⋯
풗ퟏ+풗ퟐ+풗ퟑ+⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풗풊풙풊
풏풊=ퟏ
Σ 풗풊
…..(5)
dan
풚̅ = 풗ퟏ풚ퟏ+풗ퟐ풚ퟐ+풗ퟑ풚ퟑ+⋯
풗ퟏ+풗ퟐ+풗ퟑ+⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풗풊풚풊
풏풊
Σ =ퟏ
풗풊
…..(6)
Persamaan (5) dan (6) ini digunakan untuk menentukan titik berat sistem yang
terdiri dari gabungan beberapa benda pejal homogen berdimensi tiga. Titik
berat benda homogen berdimensi tiga yang teratur bentuknya seperti prisma
pejal dan kerucut pejal terletak pada sumbu simetrinya.
Tabel Titik Berat Benda Homogen Berdimensi Tiga yang Teratur Bentuknya

Fisika sekolah II
Untuk menjelaskan titik berat bangun dua dimensi (berbentuk bidang),
diperkenalkan besaran σ (dibaca “sigma”) yang menyatakan massa per satuan
luas. Jadi,
Page 22 of 26
2. Bangun Dua Dimensi
σ =
풎
푨
atau m = σA
Oleh karena itu, massa setiap partikel pada persamaan (3) dan (4) dapat
dituliskan sebagai m1 = σ1A1, m2 = σ2A2, m3 = σ3A3, dan seterusnya. Dengan
demikian persamaannya menjadi
푿̅
=
훔ퟏ 푨ퟏ 풙ퟏ + 훔ퟐ 푨ퟐ 풙ퟐ + 훔ퟑ 푨ퟑ 풙ퟑ + ⋯
훔ퟏ 푨ퟏ + 훔ퟐ 푨ퟐ + 훔ퟑ 푨ퟑ + ⋯
=
풏풊
Σ 훔풊푨풊풙풊
=ퟏ
Σ 훔풊푨풊
풏
풊=ퟏ
dan
풚̅ =
훔ퟏ 푨ퟏ풚ퟏ + 훔ퟐ 푨ퟐ 풚ퟐ + 훔ퟑ 푨ퟑ풚ퟑ + ⋯
훔ퟏ 푨ퟏ + 훔ퟐ 푨ퟐ + 훔ퟑ 푨ퟑ + ⋯
=
풏풊= ퟏ
Σ 훔풊푨풊풚풊
풏
풊=ퟏ
Σ 훔풊푨풊
Untuk benda homogen, massa jenisnya sama besar. Dengan demikian, 훔ퟏ=
훔ퟐ=훔ퟑ=…= 훔ퟒ= σ. Oleh karena itu,
푿̅
= 푨ퟏ풙ퟏ +푨ퟐ 풙ퟐ+푨ퟑ풙ퟑ +⋯
푨ퟏ+푨ퟐ+푨ퟑ +⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 푨풊풙풊
풏풊=ퟏ
Σ 푨풊
….(7)
dan
풚̅ = 푨ퟏ 풚ퟏ+푨ퟐ 풚ퟐ+푨ퟑ풚ퟑ+⋯
푨ퟏ+푨ퟐ +푨ퟑ +⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 푨풊풚풊
풏풊
Σ =ퟏ
푨풊
….(8)
Persamaan (7) dan (8) ini digunakan untuk menentukan titik berat system
yang terdiri dari gabungan beberapa benda homogen berdimensi dua. Titik
berat benda homogen berdimensi dua yang teratur bentuknya seperti bujur
sangkar dan persegi panjang terletak pada sumbu simetrinya.
3. Bangun Satu Dimensi
Untuk menjelaskan titik berat bangun satu dimensi (berbentuk garis atau
kurva), diperkenalkan besaran 휆 (dibaca “lamda”) yang menyatakan massa per
satuan panjang. Jadi,
휆 =
풎
풍
atau m = 휆l
Oleh karena itu, massa setiap partikel pada persamaan (3) dan (4) dapat
dituliskan sebagai m1= 휆1l1, m2= 휆2l2, m3= 휆3l3, dan seterusnya. Dengan
demikian, persamaannya menjadi

Fisika sekolah II
Page 23 of 26
푿̅
=
훌ퟏ 풍ퟏ 풙ퟏ + 훌ퟐ 풍ퟐ 풙ퟐ + 훌ퟑ 풍ퟑ 풙ퟑ + ⋯
훌ퟏ 풍ퟏ + 훌ퟐ 풍ퟐ + 훌ퟑ 풍ퟑ + ⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 훌풊 풍풊풙풊
풏
풊=ퟏ
Σ 훌풊 풍풊
dan
풚̅ =
훌ퟏ 풍ퟏ 풚ퟏ + 훌ퟐ 풍ퟐ 풚ퟐ + 훌ퟑ 풍ퟑ 풚ퟑ + ⋯
훌ퟏ 풍ퟏ + 훌ퟐ 풍ퟐ + 훌ퟑ 풍ퟑ + ⋯
=
풏풊
Σ 훌풊 풍풊풚풊
=ퟏ
Σ 훌풊 풍풊
풏
풊=ퟏ
Untuk benda homogen, massa jenisnya sama besar. Dengan demikian, 휆1= 휆2=
휆3 = … = 휆4 = 휆. Oleh karena itu,
푿̅
=
풍ퟏ 풙ퟏ + 풍ퟐ 풙ퟐ + 풍ퟑ 풙ퟑ + ⋯
풍ퟏ + 풍ퟐ + 풍ퟑ + ⋯
=
풏풊=ퟏ
Σ 풍풊풙풊
풏
풊=ퟏ
Σ 풍풊
dan
풚̅ =
풍ퟏ 풚ퟏ + 풍ퟐ 풚ퟐ + 풍ퟑ 풚ퟑ + ⋯
풍ퟏ + 풍ퟐ + 풍ퟑ + ⋯
=
풏풊
Σ 풍풊풚풊
=ퟏ
Σ 풍풊
풏
풊=ퟏ
6.7.6. Kopel
Sering dijumpai bahwa sejumlah gaya yang bekerja pada benda dapat
disederhanakan menjadi dua gaya yang sama besar dan berlawanan arah, dan
garis-garis kerja kedua gaya itu sejajar tetapi tidak berimpit. Pasangan kedua gaya
ini disebut kopel. Salah satu contoh kopel adalah gaya-gaya pada ujung jarum
kompas akibat medan magnet bumi. Pada kutub utara dan kutub selatan jarum
kompas itu bekerja gaya yang sama besarnya, yang satu arahnya ke utara dan
yang lain arahnya ke selatan. Garis kerja kedua gaya ini tidak berimpit, kecuali
kalau jarum kompas itu menunjuk arah utara-selatan.
Gambar di samping melukiskan
sebuah kopel yang terdiri dari dua
gaya, masing-masing besarnya F,
yang terpisah dengan jarak l. Tentu
saja, resultan kedua gaya itu sama
dengan nol. Artinya sebuah kopel
tidak mempengaruhi gerak translasi
benda tetapi kopel hanya
menimbulkan rotasi.
X
y
F
F
l
X1
X2
O

Fisika sekolah II
Resultan momen gaya dari kopel pada gambar di samping terhadap titk O
Karena jarak X1 dan X2 tidak muncul dalam perhitungan, kesimpulannya adalah
besarnya momen kopel sama dengan hasil kali antara besarnya salah satu gaya
dan jarak tegak lurus terhadap gariis kerja kedua gaya itu.
Kesetimbangan benda dapat dibedakan menjadi tiga, yaitu : stabil,
takstabil, dan netral. Kesetimbangan stabil terjadi apabila momen gaya atau gaya
yang muncul karena perpindahan sedikit dari benda tersebut memaksa benda itu
kembali ke posisi kesetimbangannya. Kesetimbangan Labil atau tak stabil adalah
kesetimbangan yang dialami benda di mana sesaat setelah ganguan kecil
dihilangkan, benda tidak akan kembali ke kedudukannya semula, bahkan
gangguan tersebut makin meningkat. Kesetimbangan netral terjadi apabila tidak
ada momen gaya yang memaksanya kembali atau menjauhi posisinya semula.
Pada permainan yudo, para yudoka selalu memegang prinsip
bahwa selama orang masih berdiri sehingga vektor gaya beratnya
masih terletak di antara dua kaki, kedudukan orang tersebut stabil.
Jadi, untuk membanting lawan terlebih dahulu ahrus diusahakan
agar kedudukan lawan labil. Hal ini dapat terjadi jika vektor gaya
beratnya berada di sekitar kaki. Itulah
Page 24 of 26
adalah
Σ휏 o = X1F1 - X2F2 = X1F1 – (X1 + l)F = -lF
6.7.7 Macam-Macam Kesetimbangan
Aplikasi Konsep Kesetimbangan dalam Kehidupan Sehari-hari
1. Permainan Yudo
sebabnya, meskipun bertubuh kecil sebagai yudoka mampu
membanting lawan yang tubuhnya lebih besar. Sebab ia tahu
kelemahan kesetimbangan lawan, sehingga mampu merobohkan
lawan sesuai dengan konsep kesetimbangan.

Fisika sekolah II
Ketika mengendarai sepeda pada permukaan datar dan bergerak dalam
lintasan melingkar, pengendara secara otomatis memiringkan badannya kea rah
pusat lingkaran. Mengapa demikian? Dengan memiringkan badan ternyata dapat
meningkatkan kestabilan. Ketika bersepeda menyusuri lintasan yang berbentuk
lingkaran, diperlukan gaya sentripetal. Gaya ini berasal dari gaya gesekan statis
antara ban dan jalan. Gaya reaksi dari jalan pada ban merupakan jumlah dari gaya
sentripetal dan gaya normal. Ketika bersepeda dalam posisi tegak, sementara jalan
melingkar, gaya reaksi ini tidak melalui titik berat. Akan tetapi, jika pengendara
memiringkan badannya ke arah pusat lingkaran, garis kerja gaya reaksi ini melalui
titik berat sehingga dapat menimbulkan stabilitas rotasi.
Page 25 of 26
2. Keseimbangan Bersepeda

Fisika sekolah II
Page 26 of 26
Daftar Pustaka
Foster,Bob.2004.Terpadu Fisika SMA untuk kelas XI.Jakarta:Erlangga.
ichwanromo.files.wordpress.com/2010/0...
Purwanto,Bambang.2005.Asas-Asas Fisika 2B.Yogyakarta:Yudistira.

Torsi

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Torsi

Similar to Torsi (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Torsi