1. 1
BAB
KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR
Karakteristik gerak pada bidang melibatkan analisis vektor dua dimensi, dimana vektor posisi,
perpindahan, kecepatan, dan percepatan dinyatakan dalam suatu vektor satuan i (sumbu X) dan
vektor satuan j (sumbu Y). Misalnya vektor posisi , r, dinyatakan sebagai r = xi + yj, dengan
(x,y) menyatakan koordinat partikel pada suatu saat t.
A. Posisi Partikel pada Suatu Bidang
Menyatakan Posisi Partikel pada Suatu Bidang dengan Vektor Satuan
Kita akan menyatakan posisi partikel pada suatu bidang dengan menyatakan koordinatnya
terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu X dan sumbu Y. Vektor satuan
pada sumbu X diberi lambang i dan pada sumbu Y diberi lambang j. Karena i dan j disebut
vektor satuan, maka tentu saja besar dari vektor ini sama dengan satu.
Untuk menyatakan posisi partikel pada suatu bidang, yang kita beri lambang r. Misalkan
titik asal O ditetepkan sebagai acuan, maka posisi sebuah partikel yang bergerak pada
bidang XOY dimana pada saat t memiliki koordinat (x,y) (lihat Gambar 1.3) dapat
dinyatakan sebagai :
Posisi Partikel pada bidang r = xi + yj
Menentukan Perpindahan Partikel pada Bidang
Perpindahan pada suatu garis lurus (satu dimensi), diberi
lambang ∆ x, dinyatakan oleh :
Perpindahan pada garis lurus x = x2 + x1
Untuk menyatakan perpindahan partikel pada suatu bidang XOY (dua dimensi), misalkan
trayektori (lintasan) yang ditempuh sebuah partikel pada suatu bidang adalah seperti
Gambar 1.4. Pada saat t = t1 , partikel berada di titik P1 (x1,y1) dengan vektor posisi r1 = x1i +
y1j. Beberapa saat kemudian, t = t2, partikel berada di titik p2 (x2,y2) dengan vektor posisi r2
= x2i + y2j.
Perpindahan didefinisikan sebagai perubahan posisi (kedudukan) suatu partikel dalam
selang waktu tertentu. Vektor perpindahan berarah dari titik awal ke titik akhir. Pada
Gambar 1.4, titik awal adalah P1 dan titik akhir adalah P2. Tentu saja vektor perpindahan r
adalah segmen garis berarah P1P2. Pada segitiga vektor OP1P2, vektor yang menutup adalah
r2 sehingga berlaku
r2 = r1 + r atau r = r2 – r1
Perpindahan pada bidang
r = (x2i + y2j) – (x1i + y1j)
= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j
r = xi + yj
Dengan
x = x2 – x1 dan y = y2 – y1
http://atophysics.wordpress.com

2. 2
B. Kecepatan
Kecepatan rata – rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu tempuhnya:
∆x x − x1
Kecepatan rata – rata pada garis lurus v = = 2
∆y t 2 − t1
Dalam gerak pada bidang (dua dimensi) definisinya tetap, hanya x dalam persamaan (1-7)
diganti dengan vektor posisi r :
∆r r2 − r1
Kecepatan rata – rata pada bidang v = =
∆t t 2 − t1
Dengan r2 adalah posisi t = t2 dan r1 adalah posisi pada t = t1.
Bentuk komponen dari kecepatan rata – rata v kita peroleh dengan mensubtitusikan r
dengan xi + yj (lihat Persamaan (1-5)) ke dalam persamaan diatas.
∆xi + ∆yj ∆x ∆y
v= = i + j
∆t ∆t ∆t
v = v xi + v yj
∆x x − x1 ∆y y 2 − y1
Dengan v x = = 2 dan v y = =
∆t t 2 − t1 ∆t t 2 − t1
∆r
Oleh karena v = , maka kecepatan rata – rata v searah dengan arah perpindahan r.
∆t
Kecepatan sesaat sebagai kemiringan Grafik Komponen r terhadap t
kecepatan sesaat (sering hanya disebut dengan kecepatan) didefinisikan sebagai kecepatan
rata-rata untuk selang waktu t yang mendekati nol. Secara matematis kita tulis
∆x
Definisi kecepatan sesaat v = lim v = lim
∆t →0 ∆t →0 ∆t
Kita akan menentukan tafsiran geometris dari persamaan di atas dengan meninjau grafik
x terhadap t (sebagai komponen grafik r terhadap t). Pada Gambar 1.6 ditunjukkan proses
limit pada suatu grafik posisi x terhadap t. Di sini selang waktu t terus diperkecil dengan
mengambil t1 tetap dan t2 mendekati t1. Ketika t mendekati nol, x mendekati nol dan
kecepatan rata-rata
v menjadi kecepatan sesaat v, yang sejajar dengan garis singgung kurva posisi pada t = t1.
Dengan demikian dapatlah kita menyatakan tampilan geometris dari kecepatan sesaat :
Kecepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan garis
singgung dari grafik posisi x – t pada saat t = t1
Kecepatan sesaat sebagai turunan fungsi posisi
Tafsiran geometrik kemiringan garis singgung dari grafik x – t adalah sama dengan turunan
pertama dari fungsi x terhadap t. Dengan demikian, dapatlah kita menyatakan tafsiran
geometris dari kecepatan sesaat :
Kecepatan sesaat adalah turunan pertama
dari fungsi posisi x terhadap waktu t
Secara matematis kita tulis
http://atophysics.wordpress.com

3. 3
dx
Kecepatan sesaat Untuk gerak lurus v=
dt
Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang (dua dimensi) dapat kita nyatakan sebagai
∆x
v = lim v = lim
∆t →0 ∆t →0 ∆t
Kecepatan sesaat di titik mana saja pada kurva lintasan partikel
adalah sejajar dengan garis singgung lintasan pada titik tersebut.
Maka kecepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga merupakan turunan pertama fungsi
posisi r terhadap waktu t, kita tulis
dr
Kecepatan sesaat untuk Gerak pada bidang v=
dt
Bentuk komponen dari kecepatan sesaat v kita peroleh dengan mensubstitusi r = xi + yj
ke persamaan diatas:
dx dy
v = vxi + v y j dengan v x = dan v y =
dt dt
Ditunjukkan bahwa jika posisi (koordinat) horizontal x dan vertikal y diberikan dalam
fungsi waktu t, maka kita dapat menentukan komponen kecepatan sesaat, vx dan vy, dengan
menggunakan turunan.
http://atophysics.wordpress.com

4. 4
Menentukan posisi dari fungsi kecepatan
Jika komponen-komponen kecepatan vx dan vy sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi
horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan (1-19)
dengan pengintegralan.
t t
x = x0 + v x dt y = y 0 + v y dy
0 0
Dengan (x0, y0) adalah koordinat posisi awal partikel.
Untuk gerak suatu benda yang menempuh garis lurus dan pada suatu saat berbalik arah,
besar perpindahan titik sama dengan jaraknya.
Perhitungan Perpindahan dan Jarak dari Sketsa
Grafik v – t
Untuk sketsa grafik seperti Gambar disamping
t3
Perpindahan = v(t ) dt
t1
t2 t3
Jarak = v(t ) dt - v(t ) dt
t1 t2
Gambar 1.10
C. Percepatan
Mendefinisikan percepatan rata-rata (lambang ) sebagai perubahan kecepatan dalam suatu
selang waktu tertentu :
∆v v 2 − v1
Percepatan rata-rata a= =
∆t t 2 − t1
Dengan v2 adalah kecepatan pada t = t2 dan v1 adalah kecepatan pada t = t1.
Bentuk komponen dari percepatan rata-rata kita peroleh dengan mensubstitusi v
dengan vxi + vyj ke dalam Persamaan (1-25).
∆v x ∆v y ∆v x ∆v y
a= i+ j = a x i + a y j dengan ax = dan a y =
∆t ∆t ∆t ∆t
Menentukan percepatan sesaat dari kemiringan grafik v – t
Mendefinisikan percepatan sesaat sebagai percepatan rata-rata untuk selang waktu t
mendekati nol.
∆v
a = lim a = lim
∆t →0 ∆t →0 ∆t
Percepatan sesaat pada t = t1 adalah kemiringan
garis singgung dari grafik v – t pada saat t = t1
http://atophysics.wordpress.com

5. 5
Tafsiran geometris dari Persamaan (1-29) dapat kita nyatakan sebagai berikut.
Percepatan sesaat adalah turunan pertama
dari fungsi kecepatan v terhadap waktu t.
Secara sistematis kita tulis
dv
Percepatan sesaat Untuk gerak lurus a=
dt
Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang
Percepatan sesaat untuk gerak pada bidang juga dinyatakan oleh Persamaan (1-28) :
∆v
a = lim
∆t →0 ∆t
Untuk partikel yang mengalami pertambahan kelajuan (v2>v1), a memiliki komponen
yang searah dengan vaktor v (Gambar 1.15a). untuk partikel yang mengalami pengurangan
kelajuan (v2<v1), a memiliki komponen yang berlawanan arah dengan v (gambar 1.15c).
Untuk partikela yang bergerak dengan kelajuan tepat (v1 = v2), seperti gerak melingkar
beraturan, a tidak memiliki komponen yang sejajar dengan v karena a tegak lurus terhadap
v (Gambar 1.15b).
Bentuk komponen dari percepatan sesaat a kita peroleh dengan mensubstitusi v =
vxi + vyj ke dalam Persamaan (1-31)
dv x d 2 x dv y d2y
a = axi + ayj ax = = dan a y = =
dt dt 2 dt dt 2
Menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan
Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui maka kecepatan v dapat kita tentukan
dengan teknik integrasi.
v = v0 + a dt
http://atophysics.wordpress.com

6. 6
dengan vo adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t = 0).
Soal menentukan kecepatan jika grafik percepatan terhadap waktu (grafik a-t) diberikan.
Pertama dengan cara menghitung luas daerah di bawah grafik a-t. Cara kedua dengan
menterjemahkan grafik a-t ke dalam fungsi percepatan terhadap waktu, kemudian
menghitung kecepatannya dengan teknik integrasi.
D. Gerak Parabola
Perpaduan kedua gerak lurus dengan arah berbeda menghasilkan gerak pada suatu bidang
datar (gerak dua dimensi)
Perpaduan Dua Gerak Lurus Beraturan
Suatu benda serentak melakukan 2 buah gerak lurus beraturan yang arahnya berbeda.
Sehingga resultan kecepatan v1 dan v2 adalah v, persamaannya dapat di atas dapat ditulis :
s=vt
Dengan v = v1 + v2
Jadi, dapat disimpulkan bahwa resultan vektor perpindahan dari dua buah gerak lurus
beraturan merupakan gerak lurus beraturan juga.
Jika sudut antara vektor kecepatan v1 dan kecepatan v2 adalah maka besar kecepatan
resultan gerak, v, menurut rumus kosinus adalah
v= v12 + v 2 + 2v1v 2 cos θ
2
Untuk kasus dua buah gerak lurus beraturan yang segaris, besar resultan vektor kecepatan
dinyatakan oleh
v = v1 + v2
Catatan: Misalkan kita tetapkan arah kecepatan v1 sebagai arah positif, untuk kasus dua
gerak lurus beraturan yang arahnya berlawanan, kecepatan v2 haruslah negatif.
Untuk kasus dua buah gerak lurus beraturan yang saling tegak lurus, besar resultan vektor
kecepatan dinyatakan oleh
v= v12 + v 2
2
Kecepatan relatif
Gerak bersifat relatif. Oleh karena itu, pernyataan tentang gerak suatu benda harus dengan
jelas menyatakan terhadap acuan apa benda itu bergerak. Kecepatan pun bersifat relatif,
sehingga dalam menyatakan kecepatan suatu benda, acuannya harus diketahui dengan tepat.
vA, t = +100 km/jam (indeks “A,t” berarti kecepatan mobil A terhadap acuan tanah)
vB, t = +110 km/jam (indeks “B,t” berarti kecepatan mobil B terhadap acuan tanah)
Untuk mengetahui vB,A, yaitu kecepatan mobil B terhadap mobil A
vB, A = vB, t + vt, A
Perhatikan pola indeks, indeks pertama B pada ruas kiri juga merupakan indeks pertama
pada ruas kanan. Indeks kedua A pada ruas kiri juga merupakan indeks terakhir pada ruas
kanan.
vt, A = -vA, t = -100 km/jam
maka vB, A = +100 km/jam + (-100 km/jam)
= +10 km/jam
Perpaduan GLB dan GLBB yang saling Tegak Lurus
http://atophysics.wordpress.com

7. 7
Sebuah benda bergerak dengan kecepatan tetap 10 cm/s (GLB) ke arah horizontal (sumbu-
X) dan bergerak lurus dengan percepatan tetap 2 cm/s2 (GLBB) ke arah vertikal (sumbu-
Y). Koordinat x dan y benda pada selang waktu t memenuhi persamaan berikut:
x = v t dan y = voy t + ½ ay t2
Dengan memasukkan v = 10 cm/s, voy = 0, dan ay = 2 cm/s2, kita peroleh persamaan berikut:
x = 10 t cm dan y = 0 + ½ (2 cm/s2) t2
x = 10 t cm dan y = t2 cm
Kita dapat menentukan koordinat x dan y benda untuk setiap sekon dengan memasukkan
nilai – nilai t ke dalam persamaan diatas. Tampak bahwa lintasan yang di tempuh benda
berbentuk parabola.
Galileo mengemukakan bahwa kita dapat memandang gerak parabola sebagai gerak lurus
beraturan pada sumbu horizontal (sumbu-X) dan gerak lurus berubah beraturan pada sumbu
vertikal (sumbu-Y) secara terpisah. Tiap gerak tidak saling mempengaruhi tetapi
gabungannya tetap menghasilkan gerak parabola. Ada tiga hal:
1. Percepatan jatuh bebas, g, besarnya tetap. Misalnya g = 9,8 m/s2 atau g = 10 m/s2.
2. Pengaruh hambatan udara atau gesekan udara diabaikan.
3. Rotasi Bumi tidak mempengaruhi gerakan.
Persamaan Posisi dan Kecepatan pada Gerak Parabola
Pada sumbu-X berlaku persamaan gerak lurus beraturan:
vx = v0x
x = v0x t
Pada sumbu-Y berlaku persamaan umum gerak lurus berubah beraturan:
vy = v0y – gt
y = v0y t – ½gt2
http://atophysics.wordpress.com

8. 8
Strategi Pemecahan Masalah
Langkah – langkah menyelesaikan soal – soal gerak parabola:
1. Pilih suatu sistem koordinat.
2. Uraikan vektor kecepatan awal atas komponen x dan y.
3. perlakukan gerak horizontal dan gerak vertikal secara terpisah.
4. ikuti cara menyelesaikan soal dengan kecepatan tetap (GLB) untuk
menganalisis gerak horizontal.
5. ikuti cara menyelesaikan soal dengan percepatan tetap (GLBB) untuk
menganalisis gerak vertikal.
Menentukan Tinggi Maksimum dan Jarak Terjauh
Tinggi Maksimum
Pada saat benda mencapai titik tertinggi H, komponen kecepatan pada sumbu-Y sama
dengan nol.
Syarat suatu benda mencapai titik tertinggi (titik H) adalah: vy = 0
Maka kecepatan pada titik tertinggi , vH, adalah
vH = vx = v0x
Dengan menggabungkan persamaan diatas, kita dapat menentukan koordinat titik tertinggi
H(xH,yH).
vy = v0y – g t0H = 0
v0 y v0 sin α 0
t0H = =
g g
dengan t0H adalah waktu untuk mencapai ketinggian maksimum.
Dengan mensubtitusi t0H, kita dapat menentukan koordinat x dari titik tertinggi H.
xH = v0x t0H
v0 sin α 0
= (v0 cos 0)
g
2
v0
= (2 sin 0 cos 0)
2g
2
v0
xH = sin 2 0
2g
Dengan mensubtitusikan t0H pada persamaan posisi vertikal y, maka dapat ditentukan
koordinat y dari titik tertinggi H.
yH = v0y t0H - ½gt0H2
2
v0 sin α 0 1 v sin α 0
= (v0 sin 0) - g 0
g 2 g
2 2
2v0 sin 2 α 0 v0 sin 2 α 0
= −
2g 2g
2
v
yH = 0 sin 2 α 0
2g
http://atophysics.wordpress.com

9. 9
Koordinat titik tertinggi
2 2
v0 v
H (xH, yH) H sin 2α 0 , 0 sin 2 α 0
2g 2g
Catatan:
1. Jika sin dan cos diketahui, ,maka sin 2 = 2 sin cos
2. Persamaan xH dan yH hampir mirip, jika pada rumus xH,
amgka 2 terdapat dalam sudut 2 0 maka pada rumus yH,
angka 2 tersebut lompat ke atas sinus sehingga menjadi
pangkat dari sinus.
Jarak Terjauh
Jika titik awal pelemparan adalah O dan titik tempat benda tiba di tanah A maka jarak
terjauh adalah OA (diberi simbol R). Syarat untuk jarak terjauh adalah:
Syarat jarak terjauh yA = 0
Sifat Simetri Grafik Parabola
Jika gesekan angin diabaikan, grafik parabola memiliki sumbu simetri yang akan membagi
parabola menjadi dua bagian yang sama persis, sumbu simetrinya akan sejajar sumbu tegak
dan melalui titik tertinggi.
Sifat simetri grafik parabola:
1. waktu naik = waktu turun
2. besar kecepatan (kelajuan) naik = besar kecepatan (kelajuan) turun, tetapi besar
kecepatan naik tidak sama dengan kecepatan turun, sebab arahnya berbeda.
3. sudut elevasi ke bawah = negatif sudut elevasi ke atas.
4. jarak titik ke sumbu semitri sama besar.
Jadi, waktu untuk mencapai jarak terjauh (t0H) sama dengan 2 kali waktu untuk mencapai
ketinggian maksimum (t0A). t0A = 2 t0H
Dan jarak terjauh (R) sama dengan dua kali jarak horizontal dari titik tertinggi (xH).
R = 2 xH
http://atophysics.wordpress.com

10. 10
Pasangan sudut elevasi yang memberikan jarak terjauh yang sama
Gambar dibawah menunjukkan lintasan parabola yang ditempuh oleh sebuah benda yang
dilempar dengan kelajuan awal v0 yang sama, tetapi dengan sudut-sudut elevasi 0 yang
berbeda. Dengan mengamati, dapat kita simpulkan:
1. pasangan sudut elevasi ( 1 dan 2) akan memberikan jarak terjauh yang sama
jika jumlah kedua sudut elevasi sama dengan 90o. 1 + 2 = 90
o
2. jarak terjauh maksimum untuk sudut elevasi awal = 45o
E. Posisi Sudut, Kecepatan Sudut, dan Percepatan Sudut
Kecepatan Sudut
()
Kecepatan sudut rata – rata ω didefinisikan sebagai hasil bagi perpindahan sudut ( )
dengan selang waktu yang ditempuhnya ( t).
∆θ θ 2 − θ 1
Kecepatan sudut rata – rata ω= =
∆t t 2 − t1
Kecepatan sudut sesaat ( ) didefinisikan sebagai turunan pertama dari fungsi posisi sudut
terhadap t.
dθ
Kecepatan sudut sesaat ω=
dt
Menentukan Besar Kecepatan Sudut Sesaat
dari Kemiringan Grafik – t
Pada gerak melingkar, kecepatan sudut sesaat
dapat ditentukan dari kemiringan grafik
fungsi posisi sudut terhadap waktu ( – t).
= tan
Dengan adalah sudut antara grafik – t
terhadap sumbu t, dihitung dari sumbu t
dengan arah berlawanan arah jarum jam.
Kecepatan sudut yang diperoleh dari
kemiringan grafik tersebut tidak tepat seperti
kecepatan sudut yang diperoleh dari turunan
http://atophysics.wordpress.com

11. 11
pertama fungsi terhdap waktu t. ini karena kecepatan sudut yang diperoleh dari
kemiringan grafik tersebut bergantung pada ketelitian kita menggambar dan menganalisis
grafik.
Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut
Dari hubungan kecepatan sudut sebagai turunan fungsi posisi, kita peroleh:
t
Posisi sudut dari fungsi kecepatan sudut = 0 + ω (t )
0
Dengan 0 adalah posisi sudut awal ( pada t = 0)
Percepatan Sudut
Menentukan Besar Percepatan Sudut dari Kemiringan Grafik – t
Pada gerak melingkar, besar percepatan sudut sesaat dapat ditentukan dari kemiringan
grafik fungsi kecepatan sudut terhadap waktu (grafik – t). = tan
Dengan adalah sudut antara grafik – t terhadap sumbu t, diukur dari sumbu t
berlawanan dengan arah jarum jam.
Percepatan Sudut sebagai Turunan dari Fungsi Kecepatan Sudut
Percepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut terhadap waktu atau
turunan kedua dari fungsi posisi sudut terhadap waktu,
dω d 2θ
α= = 2
dt dt
Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut
Kita dapat menentukan kecepatan sudut dengan mengintegrasikan fungsi percepatan
sudut (t).
t
Kecepatan sudut dari fungsi percepatan sudut ω = ω 0 + α (t ) dt
0
Dengan 0 adalah kecepatan sudut awal ( pada t = 0).
http://atophysics.wordpress.com