1. BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Schrödinger
Persamaan Schrödinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk
memberikan informasi tentang perilaku gelombang dari partikel. Suatu persamaan
differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.
2.2 Persamaan Schrödinger Bebas-waktu
Aplikasi persamaan Schrödinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan
energy potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak merupakan
fungsi waktu. Perhatian kita tidak tertuju pada keberadaan elektron dari waktu ke
waktu, melainkan tertuju pada kemungkinan dia berada dalam selang waktu yang
cukup panjang. Jadi jika faktor waktu dapat dipisahkan dari fungsi gelombang, maka
hal itu akan menyederhanakan persoalan. Kita tinjau persamaan Schrodinger kasus
satu dimensi dan menuliskan persamaan gelombang sebagai berikut
+ (2.1)
P (x)
Atau
(2.2)
+ P (x)
Inilah persamaan Schrödinger satu dimensi yang bebas-waktu.
Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi :
(2.3)
∇ , , 0
2
Perlu kita sadari bahwa adanyan persamaan Schrödinger bebas-waktu
bukanlah berarti bahwa elektron atau partikel yang ingun kita pelajari dengan
mengaplikasikan persamaan ini adalah partikel bebas-waktu. Partikel tersebut
memiliki kecepatan gerak, dan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dan posisi.
Oleh karena itu dalam memeberi arti pada penurunan matematis dan persamaan
Schrödinger bebas-waktu, dalam hal-hal tertentu kita perlu mempertimbangkan
masalah waktu, sesuai dengan logika.
Universitas Sumatera Utara

2. Dengan persamaan Schrödinger bebas-waktu (2.1) atau (2.2) fungsi
gelombang yang dilibatkan dalam persamaan ini juga fungsi gelombang bebas-waktu,
ψ(x) Dari bentuk gelombang komposit untuk elektron
S(x,t) dengan S(x,t) = ∑ (2.4)
–jkx
kita mengambil bentuk ψ(x) sebagai ψ(x) A(x)e , dengan A(x) adalah selubung
paket gelombang, untuk mencari solusi persamaan Schrödinger.
Persamaan Schrödinger adalah persamaan gelombang dan yang kita maksudkan
adalah gelombang sebagai representasi elektron atau partikel. Mencari solusi
persamaan Schrödinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya
digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara
momentum p dan energi E dengan besaran-besaran gelombang (k,ω,f,λ) adalah
(2.5)
p=
λ λ
2.3 Fungsi Gelombang
Persamaan Schrödinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah
fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa
Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy,
dz di sekitar titik (x,y,z), * adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrödinger tidak
menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan
ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti
bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum
elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.
Universitas Sumatera Utara

3. Dalam kasus satu dimensi dengan bentuk gelombang.
∆ / (2.6)
Dan
∆ / (2.7)
Maka
∆ /
(2.8)
Apa yang berada dalam tanda kurung pada (2.9) adalah selubung paket gelombang
yang merupakan fungsi x sedangkan A0 memiliki nilai konstan. Jadi selubung paket
gelombang itulah yang menentukan probabilitas keberadaan partikel.
Persyaratan Fungsi Gelombang, Fungsi gelombang (x) hasil solusi persamaan
Schrödinger mempunyai arti fisis. Syarat-syarat tersebut adalah sebagai berikut.
• Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu
fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi 1
• Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal
itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat
diterima.
• Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, d / dx, juga harus kontinyu. Kita
telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan
momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu persyaratan ini dapat
diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum.
• Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas sebab jika tidak akan berarti
ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron.
• Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi sebab
kemungkinan elektron haruslah nyata, betapapun kecilnya.(Kamal Singh,2006)
Universitas Sumatera Utara

4. 2.4 Probabilitas dan Normalisasi
Fungsi gelombang ψ(x) menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang
gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Masalah yang muncul
ketika hendak menafsirkan amplitudonya. Apakah yang dinyatakan oleh amplitudo
ψ(x) dan variabel fisika apakah yang bergetar? Ini merupakan suatu jenis gelombang
yang berbeda, yang nilai mutlaknya memberikan probabilitas untuk menemukan
partikelnya pada suatu titik tertentu. Dimana |ψ(x)|2 dx memberikan probabilitas
untuk menemukan partikel dalam selang dx di x. Rapat probabilitas P(x) terhadap
ψ(x) menurut persamaan Schrödinger sebagai berikut:
P(x)dx=|ψ(x)|2dx (2.9)
2
Tafsiran |ψ(x)| ini membantu memahami persyaratan kontinu ψ(x), walaupun
amplitudonya berubah secara tidak jelas dan kontinu. Probabilitas untuk menemukan
partikel antara x1 dan x2 adalah jumlah semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara
x1 dan x 2 adalah sebagai berikut:
x2 x2
∫ P( x)dx = ∫ ψ ( x) dx
2
x1 x1
(2.10)
Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang
sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku:
+∞
∫ ψ ( x)
2
dx = 1
−∞
(2.11)
Persamaan (2.12) dikenal dengan syarat Normalisasi, yang menunjukkkan
bagaimana mendapatkan tetapan A. Dimana tetapan A tidak dapat ditentukan dari
persamaan Differensialnya. Sebuah fungsi gelombang yang tetapan pengalinya
ditentukan dari persamaan (2.12) disebut ternormalisasikan. Hanyalah fungsi
gelombang yang ternomalisasi secara tepat, yang dapat digunakan untuk melakukan
semua perhitungan yang mempunyai makna fisika. Jika normalisasinya telah
dilakukan secara tepat, maka persamaan (2.12) akan selalu menghasilkan suatu
probabilitas yang terletak antara 0 dan 1.
Setiap pemecahan persamaan Schrödinger yang menghasilkan |ψ(x)|2 bernilai
tak hingga, harus dikesampingkan. Karena tidak pernah terdapat probabilitas tak
hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Maka harus
Universitas Sumatera Utara

5. mengesampin
m ngkan suatu pemecaha dengan mengemba
u an alikan faktor pengaliny
r ya
sa
ama dengan nol. Sebagai contoh, j
n jika pemec
cahan matem
matika bagi persamaa
i an
di
ifferensial m
menghasilka ψ(x) = A
an +B bagi selu
uruh daerah x > 0 , mak
ka
sy
yaratnya A = 0 agar pe
emecahannn mempun
nya nyai makna fisika. Jika tidak |ψ(x)
)|
ak
kan menjad tak hingg untuk x m
di ga menuju tak hingga ( Teta jika pe
h api emecahanny
ya
di
ibatasi dalam selang 0 < x < L, m
m maka A tidak boleh sama dengan nol Tetapi jik
k a l). ka
pemecahanny berlaku pada seluruh daerah neg
ya p h gatif sumbu x < 0, maka B = 0.
a
Kedud
dukan suatu partikel tid dapat d
u dak dipastikan,da
alam hal ini tidak dapa
at
menjamin kep
m pastian hasil suatu kali p
l pengukuran suatu besara fisika yan bergantun
an ng ng
pada keduduk
kannnya. Namun jika m
menghitung probabilitas yang berk
s kaitan denga
an
etiap kooord
se dinat, maka ditemukan hasil yang mu
d ungkin dari p
pengukuran satu kali ata
au
ra
ata-rata hasil dari sejuml besar pen
l lah ngukuran be
erkali-kali (E
Eisberg,1970
0).
2.5 Penerap Persamaan Schröd
pan dinger
Persam
maan Schrö
ödinger dapa diterapka dalam be
at an erbagai pers
soalan fisika
a.
Dimana pem
D mecahan pe
ersamaan Schrödinger, yang dise
ebut fungsi gelombang
g,
memberikan informasi tentang perilak gelomban dari parti
m i ku ng ikel.
2.5.1. Pada partikel Beb
p bas
Yang dimaksud dengan “P
d Partikel Be
ebas” adalah sebuah
h partikel yan
p ng
bergerak tanp dipengaru
pa uhi gaya ap
papun dalam suatu ba
m agian ruang, yaitu, F = -
dV(x) / dx = 0 sehingga menempuh l
d m lintasan luru dengan ke
us elajuan konst Sehingg
tan. ga
en
nergi potens
silnya nol.
Partik bebas dal
kel lam mekanik klasik ber
ka rgerak denga momentu konstan P
an um P,
yang mengak
kibatkan en
nergi totalny jadi kon
ya nstan. Tetap partikel bebas dalam
pi m
mekanika k
m kuantum da
apat dipeca
ahkan deng
gan persam
maan Schröd
dinger tida
ak
bergantung w
waktu. Persa
amaan Schro
odinger pada partikel be
a ebas dapat d
diperoleh dari
persamaan (2
2.13) berikut:
h 2 ∂ 2ψ ( x)
− + Vψ ( x) = Eψ ( )
(x (2.12)
2m ∂x 2
Universitas Sumatera Utara

6. Untuk partikel bebas V = 0, maka persamaannya menjadi
h 2 ∂ 2ψ ( x)
− = Eψ ( x) (2.13)
2m ∂x 2
atau
∂ 2ψ ( x) 2m
= 2 Eψ (x) (2.14)
∂x 2 h
Atau:
∂ 2ψ ( x) 2mE
+ 2 ψ ( x) = 0
∂x 2 h (2.15)
Karena:
2mE h2k 2
k2 = atau E = (2.16)
h2 2m
Dengan demikian diperoleh:
∂ 2ψ ( x)
= − k 2ψ ( x) (2.17)
∂x 2
∂ 2ψ ( x )
+ k 2ψ ( x ) = 0 (2.18)
∂x 2
Persamaan (2.19) adalah bentuk umum dari persamaan differensial biasa berorde dua,
dengan k2 adalah positif, dimana ψ(x) merupakan kuantitas kompleks yang memiliki
bagian real (nyata) dan bagian imajiner,Maka :
∂ 2ψ ( x)
+ k 2ψ ( x) = 0 (2.19)
∂x 2
Maka didapatkan
ψ(x)=Asinkx+ B cos kx (2.20)
Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada k, maka partikel yang
diperkenankan memiliki semua nilai (dalam istilah kuantum, bahwa energinya tidak
terkuantisasi). Sedangkan penentuan nilai A dan B mengalami beberapa kesulitan,
Universitas Sumatera Utara

7. karena integral normalisasi tidak dapat dihitung dari -∞ hingga +∞ , bagi fungsi
gelombang itu. (Krane, 1992).
2.5.2. Partikel dalam sumur potensial
Sumur Potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal
ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial, merupakan electron
bebas. Kita katakan bahwa electron terjebak di sumur potensial, dan kita anggap
bahwa dinding potensial sangat tinggi menuju ∞, atau kita katakan sumur potensial
sangat dalam. Dalam gambar (2.1) berikut kita akan menggambarkan sumur
potensial. Daerah I dan daerah III adalah daerah-daerah dengan V= ∞, Sedangkan di
daerah II, yaitu antara 0 dan L, V= . Kita katakan bahwa lebar sumur potensial ini
adalah L.
V(x) = 0, 0≤x≤L
V(x) = ∞, x < 0, x > L,
I II III
Ep=∞ Ep= 0 Ep=∞
Ψ1 Ψ2 Ψ3
Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II
Pada sumur potensial yang dalam, daerah I dan III adalah daerah dimana
kemungkinan berada elektron bisa dianggap nol, Ψ1(x) = 0 dan Ψ2(x) = 0.
Sedangkan pada daerah dua Kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel
dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu-x antara x
= 0 dan x = L disebabkan oleh dinding keras tak berhingga. Sebuah partikel tidak
akan kehilangan Energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap
konstan.
Dari per nyataan tersebut maka energi potensial V dari partikel itu menjadi tak
hingga di kedua sisi sumur, sedangkan V konstan di dalam sumur, dapat dikatakan V
= 0 seperti yang terlihat pada gambar (2.1) di atas. Karena partikel tidak bisa
memiliki Energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur,
sehingga fungsi gelombang ψ = 0 untuk 0 ≤ x ≤ L. Maka yang perlu dicari adalah
Universitas Sumatera Utara

8. nilai ψ di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = L . Persamaan Schrodinger bebas
waktu adalah :
(2.21)
Dengan
(2.22)
Dimana
(2.23)
Sesuai dengan persamaan gelombang maka :
ψ(x)=Asinkx+B coskx (2.24)
Pemecahan ini belum lengkap, karena belum ditentukan nilai A dan B, juga
belum menghitung nilai energi E yang diperkenankan. Untuk menghitungnya, akan
diterapkan persyaratan bahwa ψ(x) harus kontinu pada setiap batas dua bagian ruang.
Dalam hal ini, akan dibuat syarat bahwa pemecahan untuk x < 0 dan x > 0 bernilai
sama di x = 0. Begitu pula pemecahan untuk x > L dan x < L haruslah bernilai sama
di x = L. Jika x = 0, Untuk x < 0 Jadi harus mengambil ψ(x) = 0 pada x = 0.
ψ(0) =Asin 0 + B cos 0
ψ(0) = 0 + B.1 = 0 (2.25)
Jadi,didapat B = 0. Karena ψ =0 untuk x > L, maka haruslah berlaku ψ(L) = 0,
Ψ(L) = AsinkL + Bcos kL = 0 (2.26)
Karena telah didapatkan bahwa B = 0,maka haruslah berlaku:
AsinkL = 0 (2.27)
Universitas Sumatera Utara

9. Disini ada dua pemecahan yaitu A = 0, yang memberikan ψ(x) = 0 dan
ψ2(x) = 0, yang berarti bahwa dalam sumur tidak terdapat partikel (Pemecahan tidak
masuk akal) atau sin kL = 0, maka yang benar jika:
kL = π,2π,3π,…… n=1,2,3 …. (2.28)
Dengan:
(2.29)
Dari persamaan (2.28) dan persamaaan (2.29) diperoleh bahwa energi partikel
mempunyai harga tertentu yaitu harga eigen. Harga eigen ini membentuk tingkat
energisitas yaitu:
n 2π 2 h 2
En =
2mL2
Dimana energy yang kita tinjau disini berbeda dengan energy Born dimana pada
energy Born menyatakan energy tingkat atomic sedangkan tingkat energy pada
persamaan Schrodinger menyatakan tingkat energy untuk electron.
Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi En ialah:
2mE n
ψ n = A sin x (2.31)
h
Untuk memudahkan E1 =ħ2π2/2mL2, yang mana tampak bahwa unit energi ini
ditentukan oleh massa partikel dan lebar sumur. Maka E = n2E1 dan demikian
partikelnya hanya dapat ditemukan dengan energi E1, 4 E1, 9 E1, 16 E1 dan
seterusnya. Karena dalam kasus ini energi yang diperoleh hanya pada laju tertentu
yang diperkenankan dimiliki partikel. Ini sangat berbeda dengan kasus klasik,
misalnya manik-manik (yang meluncur tanpa gesekan sepanjang kawat dan
menumbuk kedua dinding secara secara elastik) dapat diberi sembarang kecepatan
awal dan akan bergerak selamanya, bolak-balik, dengan laju tersebut.
Universitas Sumatera Utara

10. Dalam kasus kuantum, hal ini tidaklah mungkin, karena hanya laju awal
tertentu yang dapat memberikan keadaan gerak tetap, keadaan gerak khusus ini
disebut keadaan stasioner (Disebut keadaan”stasioner”karena ketergantungan pada
2
waktu yang dilibatkan untuk membuat ψ ( x, t ), ψ ( x, t ) tidak bergantung waktu).
Hasil pengukuran energi sebuah partikel dalam sebuah sumur potensial harus berada
pada salah satu keadaan stasioner, hasil yang lain tidaklah mungkin. Pemecahan bagi
ψ (x ) belum lengkap, karena belum ditentukan tetapan A. Untuk menentukannya,
+∞
ditinjau kembali persyaratan normalisasi, yaitu ∫ ψ ( x ) dx = 1 . Karena ψ(x)=0,
2
−∞
kecuali untuk 0 ≤ x ≤ Lsehingga berlaku:
.
| | 1 (2.32)
.
Maka diperoleh A = 2 / L . Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi
gelombang untuk 0 ≤ x ≤ L adalah:
.
2 nπx
ψn = sin n=1,2,3,… (2.33)
L L
.
Dalam gambar 2.2 dan 2.3 akan dilukiskan berbagai tingkat energi, fungsi
2
gelombang dan rapat probabilitas ψ yang mugkin untuk beberapa keadaan
terendah. Keadaan energi terendah, yaitu pada n =1 , dikenal sebagai keadaan dasar
dan keadaan dengan energi yang lebih tinggi (n > 1) dikenal sebagai keadaan eksitasi.
Universitas Sumatera Utara

11. Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan ( Kamal Sing,2005)
Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial
Kita lihat di sini bahwa energi elektron mempunyai nilai-nilai tertentu yang
diskrit, yang ditentukan oleh bilangan bulat n. Nilai diskrit ini terjadi karena
pembatasan yang harus dialami oleh ψ2, yaitu bahwa ia harus berada dalam sumur
potensial. Ia harus bernilai nol di batas-batas dinding potensial dan hal itu akan terjadi
bila lebar sumur potensial L sama dengan bilangan bulat kali setengah panjang
gelombang. Jika tingkat energi untuk n = 1 kita sebut tingkat energi yang pertama,
maka tingkat energi yang kedua pada n = 2, tingkat energi yang ketiga pada n = 3 dan
seterusnya.Jika kita kaitkan dengan bentuk gelombangnya, dapat kita katakan bahwa
tingkat-tingkat energi tersebut sesuai dengan jumlah titik simpul gelombang. Dengan
Universitas Sumatera Utara

12. demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui Pemecahan
persamaan Schödinger.
Persamaan (2.30) memperlihatkan bahwa selisih energy antara satu tingkat
dengan tingkat berikutnya, misalnya antara n=1 dan n =2, berbanding terbalik dengan
kuadrat lebar sumur potensial. Makin lebar sumur ini, makin kecil selisih energy
tersebut, artinya tingkat-tingkat energy semakin rapat. Untuk L sama dengan satu
satuan misalnya, selisih energy untuk n=2 dan n=1 adalah E2- E1 = 3ћ2 / 8m dan jika
L 10 kali lebih lebar maka selisih ini menjadi E2 – E1 = 0.03ћ2/8m.
(a) (b)
Gambar 2.4. Pengaruh lebar sumur terhadap energy
Jadi makin besar L maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin
kecil dan untuk L semakin lebar maka tingkat-tingkat energy tersebut akan semakin
rapat sehingga mendekati kontinyu.( Neuredine Zettili, 2009)
Universitas Sumatera Utara

13. 2.6 Pemrograman dengan Mathematica 7
Mathematica merupakan perangkat lunak yang diproduksi dan dikembangkan
oleh Wolfram Research, Inc. Pendiri dan presiden perusahaan tersebut adalah Stephen
Wolfram, P.hD. Beliau adalah fisikawan di bidang fisika teoritis dan berkebangsaan
Inggris. Mathematica dapat digunakan untuk aplikasi matematika, ilmu pengetahuan,
teknologi, bisnis dan aplikasi lainnya.
Pada Penelitian ini, program lebih banyak dibuat dengan menggunakan
perintah-perintah berikut ini
1. Graphics: perintah untuk menampilkan grafik dua dimensi berdasarkan data yang
diberikan.
Sintaks umumnya: Graphics[primitives,options].
2. Manipulate: perintah untuk memanipulasi secara interaktif ekspresi-ekspresi program,
grafik dan objek lainnya.
Sintaks umumnya: Manipulate[expr,{u,umin,umax}].
3. Module: perintah untuk membuat variabel lokal dengan nama tertentu yang dapat
dipanggil.
Sintaks umumnya: Module[{x,y,…},expr].
4. If: perintah untuk memberikan suatu ekspresi tertentu jika kondisi benar dan ekspresi
lainnya jika kondisi salah.
Sintaks umumnya: If[condition,t,f].
5. ListLinePlot: perintah untuk memplot grafik linier dua dimensi berdasarkan pasangan
data yang telah ditentukan.
Sintaks umumnya: ListLinePlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}].
Untuk informasi yang lebih mendetail tentang Mathematica dapat melihatnya di situs
resmi Wolfram (www.wolfram.com).
Universitas Sumatera Utara