GEOMETRIA ACTIVIDAD 3 TRANSFORMACION DE COORDENADAS SECCION B NESTOR ARTEAGA UNIVERSIDAD SANTIAGO MARIÑO MARACAIBO - ZULIA

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
“Extensión Mérida”
CONTENIDO PARA EL TEMA DE TRANSFORMACION DE
COORDENADAS
Profesor: Ely Ramírez Periodo 2021-2 SAIA
Contenido del Tema de Transformación
de Coordenadas
Maracaibo – Zulia
Nestor Arteaga
CI: 30.364.232
Fecha: 8-12-2021

2. 1.- Definición y concepto básico de la transformación de
coordenadas
Definición
Es un cambio de posiciónde los ejes de referencia en un sistema
de coordenadas,ya sea por traslación, rotación, o ambas. El
propósito de dicho cambio por lo general es simplificarla ecuación
de una curva para manejo posterior.
Concepto
Es el proceso que consiste en cambiar una relación, expresión o
figura porotra. Así,podemos transformaruna ecuaciónalgebraicaen
otra ecuación cada una de cuyas raíces sea el triple de la raíz
correspondiente de la ecuación dada; o podemos transformar una
expresión trigonométrica en otra usando las relaciones
trigonométricas fundamentales.
2.- Explique cómo se transforman las coordenadas
rectangulares a polares
Recordamosque las coordenadas rectangulares son escritas de la
forma (X, Y) y las coordenadas polares son escritas de la forma ( r,
𝜃) en donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es
el ángulo formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son
relacionadas usando trigonometría.Consideramos este ejemplo

3. Usando el triángulo rectángulo, podemos obtenerrelaciones para
las coordenadas polares en términos de las coordenadas
rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la
base del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la
altura. Además,vemos que la distancia r corresponde ala
hipotenusa del triángulo. Entonces,podemos usar el teorema de
Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:
𝑟 ∶ 𝑋2
+ 𝑌2
𝑟 ∶ √𝑥2 + 𝑦2
El ángulo θ puede ser encontrado usando la función tangente.
Recordemosque la tangente de un ángulo es igual al lado opuesto
dividido por el lado adyacente. El lado opuesto es el componente y
el lado adyacente es el componente x. Entonces,tenemos:
𝜃 ∶ 𝑡𝑎𝑛𝑔−1
(
𝑦
𝑥
)
Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde
−
𝜋
2
hasta
𝜋
2
, esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano
cartesiano, por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el
valor incorrecto de 𝑇𝐴𝑁𝐺−1
. Esto depende enel cuadrante en el
que se ubica el punto.

4. 3.- Explique cómo se transforman las coordenadas polares
a rectangulares
Las coordenadas polares tienen la forma ( r, 𝜃), en donde, r es la
distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado porla
línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas
cartesianas tienen la forma (X, Y). Para transformar de coordenadas
polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y
relacionamos a estas dos coordenadas. Consideremos el siguiente
diagrama:
Claramente, vemos que podemosencontrar las coordenadas x
usando la función coseno y podemos encontrar las coordenadas
en y usando la función seno. Entonces,tenemos las fórmulas:
𝒙 ∶ 𝒓 𝒄𝒐𝒔 ( 𝜽 )
𝒚 ∶ 𝒓 𝒔𝒆𝒏 ( 𝜽 )

5. 4.- De un ejemplo para cada una de las transformaciones
anteriores
(Ambos ejemplostienen que ver)
Ejemplo de transformar las coordenadas rectangulares a
polares
Si se parte de que al localizar una coordenadarectangular:
conociendo a x=4, y=3

6. Ejemplo de transforman las coordenadas polares a
rectangulares

7. 5.- Explique cómo se realiza la traslación de ejes
Cambio de los ejes de referenciasin girarlos, de manera que cada
eje permanece paralelo a su posiciónoriginal. El propósito de tal
traslación de ejes es simplificarla ecuación de una curva que nos
permita trabajar con las ecuaciones más simples.
Una vez que el origen de un sistemade ejes x e y se cambia al
punto O ́ (xo, yo) en el sistema original, es necesario dar a cada
punto p(x, y) en el sistemaoriginal un nuevo conjunto de
coordenadas p ́(x ́, y ́) en el nuevo sistema.
Dónde:
X = x ́+ h; Y = y ́ + k
O también:
X ́ = x – h; Y ́ = y – k

8. 6.- Explique cómo se realiza la rotación de ejes
Una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de los
puntos de un sistema de coordenadas cartesianas xy sobre los
puntos de un segundo sistema de coordenadas cartesianas
denominado x'y',en la que el origen se mantiene fijo y el los ejes
x' e y' se obtienen girando los ejes x e y en sentido contrario a las
agujas del reloj a través de un ángulo 𝜃.
Un punto P tiene coordenadas (x,y) con respectoal sistema
original y coordenadas (x', y') con respecto al nuevo sistema. En el
nuevo sistema de coordenadas,el punto P parecerá haber sido
girado en la direcciónopuesta, es decir, en el sentido de las agujas
del reloj a través del ángulo 𝜃 . Una rotación de ejes en más de dos
dimensiones se define de manera similar. Una rotación de ejes es
una aplicación lineal y una transformación rígida.
Ejemplo

9. 7.- Representación Gráfica de una Circunferencia y una
Parábola en Coordenadas Polares.
Circunferencia

10. Parábola