Plano numerico, distancia, punto medio, parabola, hiperbola, elipse, ecuaciones.

2. Plano Numérico
 Se conoce como plano cartesiano, coordenadas
cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado
origen o punto cero.
 La finalidad del plano cartesiano es describir la
posición o ubicación de un punto en el plano, la
cual está representada por el sistema de
coordenadas.
 El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo
y matemático francés René Descartes, quien fue
el creador de la geometría analítica y el primero
en utilizar este sistema de coordenadas.

3. Distancia
 Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2,
se deduce la fórmula de distancia entre estos dos
puntos. La demostración usa el teorema de
Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la
fórmula para determinar la distancia entre dos
puntos dadas sus coordenadas La distancia entre
dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por
d(P1,P2 ). La fórmula de la distancia usa las
coordenadas de los puntos.

4. Punto Medio
 Punto medio o punto equidistante:
en matemática, es el punto que se encuentra
a la misma distancia de cualquiera de los
extremos.
 Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector
directriz es . Si tomamos un punto genérico
de la recta P(x,y) se tiene:
 que es la ecuación vectorial de la recta.
Siendo l un parámetro, tal que al ir tomando
los distintos valores de R nos va dando los
distintos puntos P de la recta.

5. Ecuaciones
- Ecuaciones paramétricas:
Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las
ecuaciones paramétricas de la recta:
- Ecuación continua:
Despejando l en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación
continua de la recta:
- Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos:
Dados dos puntos del plano, , la ecuación de la recta que pasa por estos
dos puntos es:
- Ecuación segmentaria:
(siendo a el punto de corte con el eje X y b el punto de corte con el eje Y)
- Ecuación funcional:
y = m x + b
Siendo m el valor de tg a (también llamada "pendiente" de la recta), b el
punto de corte del eje y.
- Ecuación cartesiana:
a x + b y + c = 0

6. * Ecuaciones de la circunferencia.
- Ecuación de la circunferencia centrada en el origen:
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de
coordenadas:
x2 + y2 = R2
- Ecuación de la circunferencia centrada en otro punto:
Para una circunferencia de radio R centrada en un punto
P(a,b):
(x - a)2 + (y – b)2 = R2
- Ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen::
x = R cos j
y = R sen j
En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto
distinto del origen, digamos en P(a,b), las ecuaciones
paramétricas quedan:
x = a + R cos j
y = b + R sen j

7. * Ecuación de la elipse
- Ecuación de la elipse centrada en el
origen:
Sea una elipse centrada en O, y cuyos
semiejes sean a, b. Esta elipse tiene por
ecuación en coordenadas cartesianas:
* Ecuaciones de la hipérbola.
- Ecuación de la hipérbola centrada en el
origen:

8. Trazado de circunferencia
Para realizar este trazado vamos a tener en cuenta que la mediatriz de
cualquier cuerda de una circunferencia pasa por el centro de esta. O dicho
de otro modo, la mediatriz del segmento que une dos puntos determina
todos los posibles centros de circunferencias que pasan por ambos puntos.
Seguiremos los siguientes pasos:
1. Teniendo tres puntos A, B y C de la circunferencia. Trazaremos dos
segmentos uniendo dichos puntos: AB y BC.
2. Basándonos en que ambos segmentos serán cuerdas de la
circunferencia que queremos hallar, trazaremos las mediatrices de
ambos.
3. Las mediatrices de ambos segmentos se cortarán en un punto. Ese es
el centro de la circunferencia que queremos hallar y su radio la
distancia desde dicho punto a cualquiera de los otros tres dados.
Hacemos centro, abrimos el compás hasta cualquiera de los puntos
dados y dibujamos la circunferencia. Esta deberá pasar por los otros
dos puntos dados en el problema y esa es la señal de que el trazado se
ha realizado correctamente.

9. Hipérbola
 Una hipérbola se
define como el lugar
geométrico de los
puntos del plano en
el que la diferencia
de distancias a dos
puntos fijos
denominados focos,
F y F', es siempre
constante. Elipses
 La elipse es el lugar
geométrico de los
puntos del plano
cuya suma de
 La excentricidad es
un número que mide
el mayor o menor
achatamiento de la
elipse. Y es igual al
cociente entre su
semidistancia focal y
su semieje mayor.

10. Parábola
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta
con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y
son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado
también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la
parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica
en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del
vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a
una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia
entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son
iguales).
Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a
la parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

11. Representar gráficamente las
ecuaciones de las cónicas
La ecuación de toda sección
cónica se puede escribir de
forma Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey
+F=0 , la cual es la ecuación
general de segundo
grado en términos de x e y .
Para todas las secciones
cónicas que hemos estudiado
en este capítulo B=0 ya que
los ejes son horizontales o
verticales. Cuando una cónica
está escrita de esta forma,
debemos completar el
cuadrado para transformarla a
la forma estándar.
Si A = B, entonces se tratará
de una circunferencia.
Si pero son del mismo signo,
entonces se tratará de una
elipse.
Si y son de signo distinto,
entonces se tratará de una
hipérbola.
Si A ó B son cero, entonces se
tratará de una parábola.
Si A = B = 0, entonces
tendremos una recta.

12. Consideremos la cónica de ecuación
que matricialmente se escribe como
Utilizando la tabla de clasificación vemos que se trata de una
elipse real puesto que

13. La polar del punto (1,2) será la recta
Observamos que el punto (1,2) pertenece a
la cónica y por lo tanto la polar coincide con
la recta tangente en dicho punto

14. Ecuación canónica de la circunferencia:
Supongamos que O tiene coordenadas
(h,k)
La distancia entre los puntos P(x,y) de la
circunferencia y el punto C(h,k), la cual
denotamos como «r», esta dada por
𝑟 = (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2
Entonces, tenemos:

15. (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Ecuación canónica de una
circunferencia. Para 𝑟2 > 0
Ecuación canónica de la parábola:
Supongamos que F tiene coordenadas (0,p)
y la recta l tiene ecuación y=-p con p>0.
Observe la grafica.

16. Observe que d(P,F)= (𝑋 − 0)2 + (𝑌 − 𝑝)2
Y que d(P,l)=𝐼𝑦 + 𝑝𝐼.
Igualando distancias y resolviendo:
d(P,F)=d(P,I)
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 = 𝑦 + 𝑝
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 𝑝)2 = (𝑦 + 𝑝)2
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑝𝑦 + 𝑝2 = 𝑦2 + 2𝑝𝑦 + 𝑝2
𝑥2 = 4𝑝𝑦

17. Al punto V se le denomina vértice de la
parábola, en este caso tiene coordenadas
(0,0). A la recta perpendicular a la directriz
que contiene al vértice y al foco, se le
denomina Eje Focal. Observe que para la
parábola anterior el eje focal es el eje y.
Suponga ahora que el vértice no es el
origen, que tenemos V(h,k), entonces su
ecuación seria:
(𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)

18. Ecuaciones canónica de elipse: Sean F(-
c,0) y F(c,0), observe el grafico:

19. De la definición tenemos: 𝑑 𝑃, 𝐹 + 𝑑 𝑃, 𝐹 =
2𝑎
𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 (𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎
Despejamos un radical, elevado al cuadrado
y reduciendo términos semejantes.
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1

20. Ecuación canónica de la hipérbola:
Sean F(-c,0) y F(c,0), observe el grafico:
𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑(𝑃, 𝐹2) = 2𝑎
(𝑥 + 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 − (𝑥 − 𝑐)2 + (𝑦 − 0)2 = 2𝑎

21. Despejando un radical, elevando al
cuadrado y reduciendo términos
semejantes: 4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = 4𝑎 (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2
Dividiendo para 4, elevando al cuadrado y
reduciendo términos semejantes: (𝑐2 −