transformacion de coordenadas Erika Vidal

1. Transformación de
coordenadas
Maracaibo, Diciembre de 2021
Instituto Politécnico
´´Santiago Mariño´´
AMPLIACIÓN MARACAIBO
Cátedra: Geometria analitica
Elaborado por:
Vidal F. Erika A.
Escuela: Ing. Química (49)

2. INTRODUCCIÓN
En geometría analítica al igual que en física, es muy importante elegir un
sistema de coordenadas o referencia adecuado, con objetivo de
simplificar al máximo las ecuaciones y que el proceso de resolución sea
lo mas rápido posible.
Esto se realiza mediante una transformación de ejes coordenados cuyo
proceso general se puede considerar reducido a dos movimientos: uno
de traslación y el otro de rotación.

3. Transformación de
coordenadas
01
Transformacion de
coordenadas rectangulares a
polares
Traslacion de ejes
02 Rotación de ejes
Transformacion de
coordenadas polares a
rectangulares
03
Ejemplos
Grafica de una
circunferencia y una
parábola en coordenadas
polares
04
ÍNDICE
05
06
07

4. Es el cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de coordenadas, ya sea
por traslación, de rotación o ambas. El propósito de dicho cambio por lo general es
simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior.
01
Transformación de coordenadas

5. Transformación de coordenadas
rectangulares a polares
Recordemos que las coordenadas rectangulares son escritas de la
forma (X, Y)y las coordenadas polares son escritas de la forma ( r, 𝜃), en
donde r es la distancia desde el origen hasta el punto y 𝜃 es el ángulo
formado por la línea y el eje X. estas coordenadas son relacionadas
usando geometría.
02

6. Usando el triangulo rectángulo , podemos obtener relaciones para las coordenadas
polares en términos de las coordenadas rectangulares. El eje X forma la base y el
eje Y forma la altura. Además de distancia r corresponde a la hipotenusa del
triangulo . Usando teorema de Pitágoras podemos encontrar la longitud de la
hipotenusa:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
R= 𝑥2 + 𝑦2
el Angulo se puede encontrar usando la tangente: 𝜃 = tan −1(
𝑦
𝑥
)
debido a que el rango de la función tangente va desde −
𝜋
2
hasta
𝜋
2
, esto no cubre
los cuatro cuadrantes del plano, por lo que muchas veces puede dar un resultado
incorrecto de tan −1 . Esto depende en el cuadrante en el que se ubica el punto.

7. Sabiendo que las coordenadas polares están formadas por (r, 𝜃) y las coordenadas
rectangulares están formadas por (X ,Y) . Para trasformar de coordenadas polares a
rectangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.
vemos, que podemos encontrar la coordenada X usando coseno y la coordenada Y
usando seno:
X= 𝑟 cos 𝜃 Y= 𝑟 sin 𝜃
03
Transformación de coordenadas polares a
rectangulares

8. 04 Ejemplos
Rectangulares a polares
Si tenemos coordenadas rectangulares
(3, 4) ¿Cuál es su equivalente en
coordenadas polares?
R= 𝑥2 + 𝑦
R= 32 + 42
R= 9 + 16
R= 25
R=5
𝜃 = tan−1
(
𝑦
𝑥
)
𝜃 = tan−1
(
4
3
)
𝜃 = 0.93 𝑟𝑎𝑑
(5, 0.93 rad)
Polares a rectangulares
Los valores r= 5 y 𝜃 =
𝜋
3
.
X=r cos 𝜃
X=5 cos(
𝜋
3
)
X=5(0.5)
X=2.5
Y=𝑟 sin 𝜃
Y= 5 sin
𝜋
3
Y= 5(0.866)
Y=4.33
(2.5, 4.33)

9. 05 Traslacion de ejes
Es el cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece
paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un sistema de ejes X e Y se cambia
al punto O (Xo, Yo) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p (x, y) en el
sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de
acuerdo a lo siguiente: X= X´+Xo Y=Y´+Yo
El propósito de esta es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento anterior.
Ejemplo: un circulo con centro de (1,2) y un radio de 3, se describe de la siguiente forma:
(𝑥 − 1)2
+(𝑦 − 2)2
=32
Cuando los ejes de referencia se cambian a O ´(1,2), el mismo circulo se puede describir
así:
𝑥´ + 1 − 1 + 𝑦´ + 2 − 2 2
=32
(x´) 2
+(y´) 2
=32

10. 06 Rotacion de ejes
Puesto que una sección cónica esta contenida en un plano, a dicha curva se le
asociara una determinada ecuación de dos variables X e Y respecto del sistema XY,
la mencionada ecuación tiene como forma general: 𝐴𝑥2
+𝐵𝑥𝑦2
+𝐶𝑦2
+𝐷𝑥2
+𝐸𝑦 +
𝑓 = 0
Donde A, B, C, D, E, F, son constantes reales pero la forma que mas se utiliza por
su facilidad para ser analiza es cuando el termino Bxy no esta presente:
𝐴𝑥2
+𝐶𝑦2
+Dx+Ey+F=0.
Para esta ecuación sus principales serán paralelos a los ejes XY. Algunos puntos
geométricos del plano XY los expresamos de una formas en dicho plano, pero de
otra diferente manera para otro plano distinto del XY, aunque los mencionados
puntos siempre estén estáticos.

11. 07 Graficas
circunferencia Parabola