This document defines and explains key concepts in analytic geometry including:
- The Cartesian plane consisting of perpendicular x and y axes intersecting at the origin.
- Distances between points on the plane and formulas to calculate distances.
- Midpoint of a segment and properties of circles like radius, diameter, and equations of circles.
- Elements and equations of parabolas, ellipses, and hyperbolas including vertices, foci, axes, and canonical forms.
- René Descartes is credited with developing analytic geometry which uses the Cartesian plane.
(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
(Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfkaushalkr1407
The Roman Empire, a vast and enduring power, stands as one of history's most remarkable civilizations, leaving an indelible imprint on the world. It emerged from the Roman Republic, transitioning into an imperial powerhouse under the leadership of Augustus Caesar in 27 BCE. This transformation marked the beginning of an era defined by unprecedented territorial expansion, architectural marvels, and profound cultural influence.
The empire's roots lie in the city of Rome, founded, according to legend, by Romulus in 753 BCE. Over centuries, Rome evolved from a small settlement to a formidable republic, characterized by a complex political system with elected officials and checks on power. However, internal strife, class conflicts, and military ambitions paved the way for the end of the Republic. Julius Caesar’s dictatorship and subsequent assassination in 44 BCE created a power vacuum, leading to a civil war. Octavian, later Augustus, emerged victorious, heralding the Roman Empire’s birth.
Under Augustus, the empire experienced the Pax Romana, a 200-year period of relative peace and stability. Augustus reformed the military, established efficient administrative systems, and initiated grand construction projects. The empire's borders expanded, encompassing territories from Britain to Egypt and from Spain to the Euphrates. Roman legions, renowned for their discipline and engineering prowess, secured and maintained these vast territories, building roads, fortifications, and cities that facilitated control and integration.
The Roman Empire’s society was hierarchical, with a rigid class system. At the top were the patricians, wealthy elites who held significant political power. Below them were the plebeians, free citizens with limited political influence, and the vast numbers of slaves who formed the backbone of the economy. The family unit was central, governed by the paterfamilias, the male head who held absolute authority.
Culturally, the Romans were eclectic, absorbing and adapting elements from the civilizations they encountered, particularly the Greeks. Roman art, literature, and philosophy reflected this synthesis, creating a rich cultural tapestry. Latin, the Roman language, became the lingua franca of the Western world, influencing numerous modern languages.
Roman architecture and engineering achievements were monumental. They perfected the arch, vault, and dome, constructing enduring structures like the Colosseum, Pantheon, and aqueducts. These engineering marvels not only showcased Roman ingenuity but also served practical purposes, from public entertainment to water supply.
Instructions for Submissions thorugh G- Classroom.pptxJheel Barad
This presentation provides a briefing on how to upload submissions and documents in Google Classroom. It was prepared as part of an orientation for new Sainik School in-service teacher trainees. As a training officer, my goal is to ensure that you are comfortable and proficient with this essential tool for managing assignments and fostering student engagement.
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Biological screening of herbal drugs: Introduction and Need for
Phyto-Pharmacological Screening, New Strategies for evaluating
Natural Products, In vitro evaluation techniques for Antioxidants, Antimicrobial and Anticancer drugs. In vivo evaluation techniques
for Anti-inflammatory, Antiulcer, Anticancer, Wound healing, Antidiabetic, Hepatoprotective, Cardio protective, Diuretics and
Antifertility, Toxicity studies as per OECD guidelines
A Strategic Approach: GenAI in EducationPeter Windle
Artificial Intelligence (AI) technologies such as Generative AI, Image Generators and Large Language Models have had a dramatic impact on teaching, learning and assessment over the past 18 months. The most immediate threat AI posed was to Academic Integrity with Higher Education Institutes (HEIs) focusing their efforts on combating the use of GenAI in assessment. Guidelines were developed for staff and students, policies put in place too. Innovative educators have forged paths in the use of Generative AI for teaching, learning and assessments leading to pockets of transformation springing up across HEIs, often with little or no top-down guidance, support or direction.
This Gasta posits a strategic approach to integrating AI into HEIs to prepare staff, students and the curriculum for an evolving world and workplace. We will highlight the advantages of working with these technologies beyond the realm of teaching, learning and assessment by considering prompt engineering skills, industry impact, curriculum changes, and the need for staff upskilling. In contrast, not engaging strategically with Generative AI poses risks, including falling behind peers, missed opportunities and failing to ensure our graduates remain employable. The rapid evolution of AI technologies necessitates a proactive and strategic approach if we are to remain relevant.
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxPavel ( NSTU)
Synthetic fiber production is a fascinating and complex field that blends chemistry, engineering, and environmental science. By understanding these aspects, students can gain a comprehensive view of synthetic fiber production, its impact on society and the environment, and the potential for future innovations. Synthetic fibers play a crucial role in modern society, impacting various aspects of daily life, industry, and the environment. ynthetic fibers are integral to modern life, offering a range of benefits from cost-effectiveness and versatility to innovative applications and performance characteristics. While they pose environmental challenges, ongoing research and development aim to create more sustainable and eco-friendly alternatives. Understanding the importance of synthetic fibers helps in appreciating their role in the economy, industry, and daily life, while also emphasizing the need for sustainable practices and innovation.
June 3, 2024 Anti-Semitism Letter Sent to MIT President Kornbluth and MIT Cor...Levi Shapiro
Letter from the Congress of the United States regarding Anti-Semitism sent June 3rd to MIT President Sally Kornbluth, MIT Corp Chair, Mark Gorenberg
Dear Dr. Kornbluth and Mr. Gorenberg,
The US House of Representatives is deeply concerned by ongoing and pervasive acts of antisemitic
harassment and intimidation at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). Failing to act decisively to ensure a safe learning environment for all students would be a grave dereliction of your responsibilities as President of MIT and Chair of the MIT Corporation.
This Congress will not stand idly by and allow an environment hostile to Jewish students to persist. The House believes that your institution is in violation of Title VI of the Civil Rights Act, and the inability or
unwillingness to rectify this violation through action requires accountability.
Postsecondary education is a unique opportunity for students to learn and have their ideas and beliefs challenged. However, universities receiving hundreds of millions of federal funds annually have denied
students that opportunity and have been hijacked to become venues for the promotion of terrorism, antisemitic harassment and intimidation, unlawful encampments, and in some cases, assaults and riots.
The House of Representatives will not countenance the use of federal funds to indoctrinate students into hateful, antisemitic, anti-American supporters of terrorism. Investigations into campus antisemitism by the Committee on Education and the Workforce and the Committee on Ways and Means have been expanded into a Congress-wide probe across all relevant jurisdictions to address this national crisis. The undersigned Committees will conduct oversight into the use of federal funds at MIT and its learning environment under authorities granted to each Committee.
• The Committee on Education and the Workforce has been investigating your institution since December 7, 2023. The Committee has broad jurisdiction over postsecondary education, including its compliance with Title VI of the Civil Rights Act, campus safety concerns over disruptions to the learning environment, and the awarding of federal student aid under the Higher Education Act.
• The Committee on Oversight and Accountability is investigating the sources of funding and other support flowing to groups espousing pro-Hamas propaganda and engaged in antisemitic harassment and intimidation of students. The Committee on Oversight and Accountability is the principal oversight committee of the US House of Representatives and has broad authority to investigate “any matter” at “any time” under House Rule X.
• The Committee on Ways and Means has been investigating several universities since November 15, 2023, when the Committee held a hearing entitled From Ivory Towers to Dark Corners: Investigating the Nexus Between Antisemitism, Tax-Exempt Universities, and Terror Financing. The Committee followed the hearing with letters to those institutions on January 10, 202
Operation “Blue Star” is the only event in the history of Independent India where the state went into war with its own people. Even after about 40 years it is not clear if it was culmination of states anger over people of the region, a political game of power or start of dictatorial chapter in the democratic setup.
The people of Punjab felt alienated from main stream due to denial of their just demands during a long democratic struggle since independence. As it happen all over the word, it led to militant struggle with great loss of lives of military, police and civilian personnel. Killing of Indira Gandhi and massacre of innocent Sikhs in Delhi and other India cities was also associated with this movement.
Acetabularia Information For Class 9 .docxvaibhavrinwa19
Acetabularia acetabulum is a single-celled green alga that in its vegetative state is morphologically differentiated into a basal rhizoid and an axially elongated stalk, which bears whorls of branching hairs. The single diploid nucleus resides in the rhizoid.
2024.06.01 Introducing a competency framework for languag learning materials ...Sandy Millin
http://sandymillin.wordpress.com/iateflwebinar2024
Published classroom materials form the basis of syllabuses, drive teacher professional development, and have a potentially huge influence on learners, teachers and education systems. All teachers also create their own materials, whether a few sentences on a blackboard, a highly-structured fully-realised online course, or anything in between. Despite this, the knowledge and skills needed to create effective language learning materials are rarely part of teacher training, and are mostly learnt by trial and error.
Knowledge and skills frameworks, generally called competency frameworks, for ELT teachers, trainers and managers have existed for a few years now. However, until I created one for my MA dissertation, there wasn’t one drawing together what we need to know and do to be able to effectively produce language learning materials.
This webinar will introduce you to my framework, highlighting the key competencies I identified from my research. It will also show how anybody involved in language teaching (any language, not just English!), teacher training, managing schools or developing language learning materials can benefit from using the framework.
2. PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO.
¿Qué es un Plano cartesiano?
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y
otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de
un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de
coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente
figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la
circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría
analítica.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés
René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el
primero en utilizar este sistema de coordenadas.
3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
- La distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une,
expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino
más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica.
-Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia
entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda
determinada por la relación:
4. PUNTO MEDIO.
- Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos
elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y
equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
5. CIRCUNFERENCIAS.
- Circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro
de la circunferencia.
No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una
circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie).
A continuación vemos una imagen de una circunferencia:
En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la
misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro.
6. ELEMENTOS BÁSICOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
En la imagen expuesta se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:
•Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos
pertenecientes a la circunferencia.
•Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a
la circunferencia.
•Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.
•Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay
infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.
•Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.
•Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es
perpendicular a un radio.
7. ECUACIONES DE CIRCUNFERENCIAS.
Ecuación general de la circunferencia: X
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0
Coordenadas del centro: a= -A/2; b= -B/2
Radio: x
2
= a
2
+ b
2
- c
La obtenemos aplicando la fórmula de la distancia entre C (a, b) y un punto cualquiera de la circunferencia P (x, y),
Resulta:
(𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2 = r elevado al cuadrado : (x-a)
2
+ (y - b)
2
= r
2
x
2
+ y
2
-2ax -2by + a
2
+ b
2
- r
2
=0
-2a = A
-2b= B
a
2
+ b
2
–r
2
= 0
Ecuación reducida: X
2
+ y
2
= r
2
Circunferencia con centro en el origen de coordenadas
8. PARÁBOLAS.
Es una forma geométrica, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que
son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el
vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los
brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los
brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como
entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
9. Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su
vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar
orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o
la derecha.
10. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CON
VÉRTICE EN EL ORIGEN
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el
origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada
una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de
simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro
p” ), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto,
como vemos en la figura:
11. De lo anterior resulta:
(trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para
calcular distancia entre dos puntos
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0) , y también podemos usar la fórmula para calcular la
distancia entre ellos:
Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
12. Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p) 2 = (x – p) 2 + y 2
x 2 + 2px + p 2 = x 2 – 2px + p 2 + y 2
x 2 + 2px + p 2 – x 2 + 2px – p 2 = y 2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y 2 = 4px
que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad:
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en e l eje de las abscisas “ X”
13. Ecuación de la parábola y 2 = 4px
Ecuación de la directriz x + p = 0
Imagen:
Segunda posibilidad:
Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “ X”.
Ecuación de la parábola y 2 = 4px (con signo menos
final)
Ecuación de la directriz x – p = 0
14. Tercera posibilidad:
Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en
de las ordenadas “ Y” .
Ecuación de la parábola x 2 = 4py
Ecuación de la directriz y + p = 0
Cuarta posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “ Y”.
Ecuación de la parábola x 2 = 4py (con signo menos
dinal)
Ecuación de la directriz y - p = 0
15. ELIPSES.
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus
puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma.
Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que:
dP,F+d(P,F')=2·a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.
16. ELEMENTOS DE LA ELIPSE
1.Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría.
2.Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría.
3.Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos.
4.Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes.
5.Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c.
6.Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c.
7.Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a.
8.Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y
cumple b=a2-c2
9.Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho
punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x
17. ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0)
La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por:
x-x02a2+y-y02b2=1
Donde:
•x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
•a : Semieje de abcisas
•b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.
18. HIPÉRBOLA
Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no
necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje
de revolución.1En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano,
tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es
igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
19. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno
de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
12. Relación entre los semiejes:
20. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA
Canónica:
Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:
x2a2–y2b2=1x2a2–y2b2=1
Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0)(0,0) y eje focal y=0y=0 (eje xx)
Busquemos las intersecciones con los ejes:
y=0⇒|x|=a⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)y=0⇒|x|=a⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)
x=0⇒y2=–b2x=0⇒y2=–b2
Entonces no corta al eje yy.
Los puntos V1,2V1,2 se denominan vértices de la hipérbola.
Ordinaria:
La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal horizontal y centro en C(α,β)C(α,β) es:
(x–α)2a2–(y–β)2b2=1(x–α)2a2–(y–β)2b2=1
La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal vertical y centro en C(α,β)C(α,β)
es:
–(x–α)2b2+(y–β)2a2=1–(x–α)2b2+(y–β)2a2=1
Observemos que la diferencia esencial reside en que el signo negativo está en el término con la
variable xx o en el término con la variable yy. El motivo por el cual utilizamos a2a2 en el denominador del
término con coeficiente positivo es para poder denominar siempre al semieje real como «aa».
21. ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
•Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra
recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.
•Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.
•Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.
•Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.
•Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su
vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto
del eje del cono pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.