Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial. Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de electrotástica, magnetostática y campos variables en el tiempo, tenemos que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios de bases vectoriales entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS Para adentrarnos en el tema de transformación de coordenadas, considero que es importante conocer primeramente, la definición y/u concepto de lo que es un sistema de coordenadas, así que iniciando desde este punto, tenemos que: Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un punto u objeto geométrico. El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras, como por ejemplo (la coordenada-x). El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica“. Teniendo esto en claro, podemos definir a aquello que se conoce como Transformación de coordenadas… Entonces, tenemos que: La transformación de coordenadas es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación. También se define como el cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El propósito de dicho cambio por lo general es simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Primero definiremos a cada sistema de coordenadas…  Coordenadas Rectangulares:son aquellas que nos permiten determinar la ubicación de un punto mediante dos distancias y refiriéndolas a una dirección base y a un punto base.

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Carrera: Ingeniería Electrónica.
Cátedra: Geometría analítica.
Barcelona-Edo.Anzoátegui.
Profesor(a): Bachiller:
Ely Ramirez. Eduardo Ramos C.I:28274754.
Diciembre, 2021.

2. INTRODUCCIÓN
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir la posición de cualquier punto de un espacio vectorial.
Estos sistemas de coordenadas son de suma importancia ya que para resolver problemas de electrotástica, magnetostática y
campos variables en el tiempo, tenemos que tener un conocimiento previo de cómo utilizarlos y cómo hacer cambios de bases
vectoriales entre ellos para que la resolución de los problemas sea menos compleja.

3. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Para adentrarnos en el tema de transformación de coordenadas, considero que es importante conocer primeramente, la definición y/u concepto
de lo que es un sistema de coordenadas, así que iniciando desde este punto, tenemos que:
Un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar unívocamente la posición de un
punto u objeto geométrico.
El orden en que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su posición en una tupla ordenada; también se las
puede representar con letras, como por ejemplo (la coordenada-x). El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría
analítica, permite formular los problemas geométricos de forma "numérica“.
Teniendo esto en claro, podemos definir a aquello que se conoce como Transformación de coordenadas… Entonces, tenemos que:
La transformación de coordenadas es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada.
Analíticamente, la ley se expresa por una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.
También se define como el cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o
ambas. El propósito de dicho cambio por lo general es simplificar la ecuación de una curva para manejo posterior.

4. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Primero definiremos a cada sistema de coordenadas…
 Coordenadas Rectangulares:son aquellas que nos permiten determinar la ubicación de un punto mediante dos distancias y refiriéndolas a
una dirección base y a un punto base.
 Coordenadas Polares: Son aquellas que nos permiten determinar la ubicación de un de un punto mediante un ángulo y una distancia
refiriéndolas a una dirección base y un punto de origen.
Un dato importante de destacar, es que ambos sistemas de coordenadas, forman del sistema de coordenadas relativas, que no son más que el
sistema donde la ubicación de puntos se hace en referencia a la ubicación de puntos señalados en forma individual o con referencia a
elementos incluidos para una determinada carta en particular; tales como un ángulo, una distancia o una dirección base.
Recordamos que las coordenadas rectangulares son escritas de la forma y las coordenadas polares son escritas de la forma , en
donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el ángulo formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son relacionadas
usando trigonometría.
Sabiendo esto, podemos seguir, para ver como se lleva una coordenada rectangular a una coordenada polar.
Si se dispone de las coordenadas polares, es decir, el rumbo y la distancia de un punto, solo hay que seguir las siguientes fórmulas:
𝒓 = 𝑿𝟐 + 𝒀𝟐 y 𝜽 = tan−𝟏 𝒀
𝑿

5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
 -Ejemplo: Si es que tenemos las coordenadas rectangulares (3, 4), ¿cuál es su equivalente en coordenadas polares?:
Solución:Usamos las fórmulas dadas arriba junto con estos valores para encontrar las coordenadas polares. Entonces, el valor de r es
encontrado usando el teorema de Pitágoras, así como lo vimos en el apartado anterior:
𝒓 = 𝑿𝟐 + 𝒀𝟐
𝒓 = 𝟑𝟐 + 𝟒𝟐
𝒓 = 𝟗 + 𝟏6
𝒓 = 𝟐𝟓
𝒓 = 5
Ahora, encontramos el valor de θ usando la tangente inversa:
𝜽 = tan−𝟏
𝒀
𝑿
𝜽 = tan−𝟏
𝟒
𝟑
𝜽 = 𝟎. 𝟗𝟑 𝒓𝒂𝒅
Tanto el componente en x como el componente en y son positivos, por lo que el punto está en el primer cuadrante. Esto significa que el ángulo
obtenido es el correcto.
Las coordenadas polares son (5, 0.93 rad).

6. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES
Las coordenadas polares tienen la forma (r, θ), en donde, r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado por la línea y el
eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas cartesianas tienen la forma (x, y). Para transformar de coordenadas polares a
coordenadas retangulares, usamos trigonometría y relacionamos a estas dos coordenadas.
Las fórmulas a emplear son:
𝑿 = 𝒓 𝐜𝐨𝐬 𝜽 y 𝒀 = 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽
 Ejemplo: Si es que tenemos a un punto con las coordenadas polares (5,
𝜋
3
), ¿cuáles son sus coordenadas rectangulares?.
Solución: Podemos observar los valores 5 y
𝜋
3
. Usamos las fórmulas encontradas anteriormente. Entonces, el valor de X es encontrado
usando la función coseno:
𝑋 = 𝑟 cos 𝜃
𝑋 = 5 cos
𝜋
3
𝑋 = 5 0,5
𝑋 = 2,5
Ahora determinamos Y.
𝑌 = 𝑟 sin 𝜃
𝑌 = 5 𝑠𝑖𝑛
𝜋
3
𝑌 = 5 0,866
𝑌 = 4,33
Entonces, las coordenadas rectangulares son (2.5, 4.33).

7. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Rotación de Ejes: En matemáticas, una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de los puntos de un sistema
de coordenadas cartesianas xy sobre los puntos de un segundo sistema de coordenadas cartesianas denominado x'y', en la que
el origen se mantiene fijo y el los ejes x' e y' se obtienen girando los ejes x e y en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un
ángulo . Un punto P tiene coordenadas (x, y) con respecto al sistema original y coordenadas (x', y') con respecto al nuevo sistema.
Teorema 1: Se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen 0’ (h, k) y las coordenadas del punto P son (x, y) antes y (x’, y’)
después. Las ecuaciones de transformación son:
X = X’ + H
Y = Y’+ K
Transformar la ecuación X³-3X²-Y² +3X+4Y-5=0 al nuevo origen (1, 2) y trazar el lugar geométrico y los dos sistemas de ejes.
X = X’+ 1 , Y = Y’+2 sustituimos los valores de X , Y en la ecuación original.
(X’+1)³-3(X’+1)²-(Y’+2)²+3 (X’+1)+4(Y’+2)-5=0
Desarrollando y simplificando obtenemos la ecuación buscada es X’³-Y’²=0

8. TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Traslación de Ejes:Es el cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original.El
propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva que nos permita trabajar con las ecuaciones mas simple .
Teorema 2 : Si los ejes coordenados giran un ángulo ѳ en torno a su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera
P (X, Y) antes y (X’, Y’). Las ecuaciones de transformación son:
X = X’COS Ѳ – Y’SEN Ѳ
Y = Y’SEN Ѳ + Y’COS Ѳ
Transformar la ecuación 2X²+√3 XY + Y² = 4 girando los ejes coordenados un ángulo de 30°.
Obtenemos las siguientes ecuaciones X = X’ COS 30° - Y SEN 30° = √3/2 X’ – ½ Y’ Y = Y’ SEN 30° + Y’ COS 30° = ½ X’ + √3/2 Y’
Sustituimos los valores en la ecuación original y obtenemos la ecuación transformada 5X’² + Y’² = 8

9. GRÁFICA DE UNA PARÁBOLA EN COORDENADAS POLARES

10. GRÁFICA DE UNA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES

11. CONCLUSIÓN
Aparte de la evidente relación con el sistema de coordenadas geográficas, aplicables a otros planetas y cuerpos espaciales con forma esférica
y el sistema de localización polar de los cuerpos estelares en la bóveda celeste, el sistema de ubicación GPS; desde el punto de vista de la
geometría analítica y la precisión realista de los fenómenos que suceden en la superficie terrestre, donde la línea recta es apenas un ideal
geométrico, gana gran importancia para las ciencias de la naturaleza y las propiedades espaciales de la trigonometría, especialmente la
trigonometría esférica, donde por solo citar un ejemplo los triángulos formados por líneas geodésicas no necesariamente la suma de sus
ángulos interiores es 1800.