Norgelis Oberto C.I 30182449 INGENIERÍA QUÍMICA

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO
POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
SEDEAMPLIACIÓN MARACAIBO
CATEDRA: INTRODUCCIÓN A LA
INGENIERÍA QUÍMICA
Elaborado por:
Norgelis Oberto
CI: 30182449
Escuela: Ingeniería Química
TRANSFORMACIONESDE
COORDENADAS

2. • Transformaciónde coordenadas
• Transformaciónde coordenadas rectangulares a
polares
• Transformaciónde coordenadas polares a
rectangulares
• Ejemplo de transformaciones de coordenadas
rectangulares a polares
• Ejemplo de transformaciones de coordenadas
polares a rectangulares
• Traslaciónde ejes
• Rotaciónde ejes
• RepresentaciónGráfica de una Circunferencia en
CoordenadasPolares.
• RepresentaciónGráfica de una Parábola en
CoordenadasPolares.
Contenido

3. Transformaciónde coordenadas
Cambio de posición de los ejes de referencia en un sistema
de coordenadas, ya sea por traslación, rotación, o ambas. El
objetivo de éste cambio generalmente es simplificar la
ecuación de una curva para manejo posterior.
Transformaciones
Son procedimientos que se dedican a cambiar una relación,
expresión o figura por otra. Así, podemos transformar una
ecuación algebraica en otra ecuación cada una de cuyas
raíces sea el triple de la raíz correspondiente de la ecuación
dada; o podemos transformar una expresión trigonométrica
en otra usando las relaciones trigonométricas
fundamentales.

4. Consideremos una circunferencia de radio r cuya ecuación
esta dada en la forma ordinaria:
Siendo las coordenadas (h, k) del centro 0' diferentes de
cero.
Si esta circunferencia, sin cambiar ninguna de sus
características, se coloca con su centro en el origen 0, su
ecuación toma la forma mas simple, o forma canónica.

5. Transformación de coordenadasrectangulares a
coordenadaspolares
Las coordenadas rectangulares son escritas de la forma (x,y) y
las coordenadas polares son escritas de la forma (r, θ) en
donde, r es la distancia desde el origen hasta el punto y θ es el
ángulo formado por la línea y el eje x. Estas coordenadas son
relacionadas usando trigonometría.

6. Usando el triángulo rectángulo, podemos obtener relaciones
para las coordenadas polares en términos de las coordenadas
rectangulares. Observamos que las coordenadas en x forman la
base del triángulo rectángulo y las coordenadas en y forman la
altura. Además, vemos que la distancia r corresponde a la
hipotenusa del triángulo. Entonces, podemos usar el teorema de
Pitágoras para encontrar la longitud de la hipotenusa:

7. El ángulo θ puede ser encontrado usando la función
tangente. Recordemos que la tangente de un ángulo es
igual al lado opuesto dividido por el lado adyacente. El
lado opuesto es el componente y y el lado adycente es el
componentex. Entonces, tenemos:

8. Debido a que el rango de la función tangente inversa va desde
hasta , esto no cubre los cuatro cuadrantes del plano cartesiano,
por lo que muchas veces, la calculadora puede dar el valor
incorrecto de . Esto depende en el cuadrante en el que se ubica
el punto. Podemos usar lo siguiente para arreglar esto:

9. Transformación de coordenadaspolares a rectangulares
Las coordenadas polares tienen la forma (r, θ), en donde,
r es la distancia del punto desde el origen y θ es el ángulo formado
por la línea y el eje x. Las coordenadas rectangulares o coordenadas
cartesianas tienen la forma (x,y). Para transformar de coordenadas
polares a coordenadas rectangulares, usamos trigonometría y
relacionamos a estas dos coordenadas.

10. Podemos encontrar las coordenadas x usando la función
coseno y podemos encontrar las coordenadas en y usando
la función seno. Entonces, tenemos las fórmulas:

11. Ejemplo de transformación de coordenadasRectangulares
a Polares
Un punto está definido por (4,-5) en coordenadas rectangulares.
Cómo definimos al punto en coordenadas polares?
Solución
Primero extraemos lo valores x=4 y y=-5. Usamos éstos valores en el
teorema de Pitágoras para encontrar r:

12. Ahora usamos la tangente inversa para encontrar el valor de θ:
El componente en x es positivo y el componente en y es negativo, por lo
que el punto está en el cuarto cuadrante. Esto significa que tenemos que
sumar 2𝜋 al ángulo obtenido. El ángulo correcto es :

13. Ejemplo de transformación de coordenadasPolares a
rectangulares
Un punto tiene las coordenadas polares (20,𝜋/5) ¿cuáles son
sus coordenadas rectangulares?
Solución
Tenemos los valores r=20 y θ= ,𝜋/5. Encontramos el valor de x
usando la ecuación coseno y sustituir los valores:

14. Encontramos al valor de y usando la función seno:
Entonces, las coordenadas rectangulares son (16.18, 11.76)

15. Traslaciónde ejes
Debido a que hay cónicas que no tienen su centro en el origen, ni
sus ejes coinciden con algún eje coordinado “x” o “y”, la ecuación
de la cónica se complica demasiado.
Para simplificar esta ecuación trasladamos, rotamos o hacemos
ambas cosas con los ejes coordenados, para que coincidan con los
ejes de la cónica.
De esta manera, podemos obtener una ecuación como las que
hemos estudiado.
Cuando hacemos alguno movimiento en los ejes tenemos que
aplicar los cabios en la ecuación respectiva.

16. Procedimiento para trasladarlos ejes:
1. El origen de los ejes coordenadosse trasladana un nuevo
origen O´ (h, k)
2. Por lo tanto,cualquier punto de la gráfica ahora será
x = x`+ h
y = y´+ k
3. Estas nuevas coordenadas se sustituyenen la ecuación
dada.
4. Se desarrolla la nueva ecuación hasta simplificarla lo más
posible

17. Rotación de ejes
Una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de los
puntos de un sistema de coordenadas cartesianas xy sobre los
puntos de un segundo sistema de coordenadas cartesianas
denominado x'y', en la que el origen se mantiene fijo y el los ejes
x' e y' se obtienen girando los ejes x e y en sentido contrario a las
agujas del reloj a través de un ángulo .
Un punto P tiene coordenadas (x, y) con respecto al sistema
original y coordenadas (x', y') con respecto al nuevo sistema.
En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber
sido girado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las
agujas del reloj a través del ángulo .

18. Una rotación de ejes en más de dos dimensiones se define de
manera similar. Una rotación de ejes es un aplicación lineal y una
transformación rígida.

19. RepresentaciónGráficade una Circunferencia
en Coordenadas Polares
La ecuación cartesiana de
una
circunferencia es:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
Aplicando
transformaciones
tenemos:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)2
+(𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃)2
= 𝑎2
𝑟2
𝑐𝑜𝑠2
θ + 𝑟2
𝑠𝑒𝑛2
θ= 𝑎2
𝑟2
(𝑐𝑜𝑠2
θ + 𝑠𝑒𝑛2
θ)= 𝑎2
𝑟2
= 𝑎2
r= a

20. RepresentaciónGráficade una
Circunferenciaen Coordenadas Polares
Ejemplo de la figura:
𝑟 =
8
2 − 2𝑠𝑒𝑛𝜃