plano cartesiano

1.  SofíaAguilar
 Matemática /CI0100/
 UniversidadpolitécnicaterritorialAndrésEloyblanco/uptaeb/

2. Se conoce como plano cartesiano, coordenadas
cartesianas, o sistema cartesiano, a dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado, origen
o punto cero
Se llaman ejes coordenados a las dos rectas
perpendiculares que se interconectan en un punto
del plano, estas rectas reciben el nombre de
abscisa y ordenada
Abscisa: el eje de las abscisas esta
dispuesto de manera horizontal y
se identifica con la letra X
Ordenadas: El eje de las ordenadas
esta orientado verticalmente y se
representa con la letra Y

3. Posición relativa del punto
medio entre dos puntos en el
plano cartesiano si nos
concentramos solo en las
coordenadas en X de los puntos
P1 y P2, es decir, X1 y X2,
podemos pensar al caso de dos
puntos sobre la recta numérica,
por lo que podemos encontrar
un punto medio entre las
coordenadas en X de los
puntos. Al punto medio entre X1
y X2 le llamaremos Xm y su
Valor lo calculamos como:
El mismo procedimiento que se utilizo
para calcular el punto medio en una
recta numérica podría extenderse al
caso del plano cartesiano. Dados dos
puntos cualquieras P1: (X1, Y1) y P2:
(X2, Y2) en el plano cartesiano,
encontrar el punto medio significa
encontrar las coordenadas de un
punto Pm en el segmento que une a
P1 con P2, tal que la distancia entre
P1 y Pm es igual a la distancia entre
P2 y Pm, es decir, Pm es un punto
equidistante a P1 y P2 y que se
encuentra sobre el segmento que une
a P1 con P2

4. Dadas las coordenadas de dos puntos, P1,
P2, se deduce a la fórmula de distancia entre
estos dos puntos. La demostración usa el
teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra
como usar la formula para determinar la
distancia entre dos puntos dadas sus
coordenadas La distancia entre dos puntos
P1 y P2 del plano la detonaremos por d (P1,
P2). La formula de la distancia usa las
coordenadas de los puntos

5. La circunferencia es el Lugar
geométrico de los puntos del plano
que equidistan de un punto fijo
llamado: Centro
[Recordar que estamos hablando del
plano cartesiano y es respecto a este
que trabajamos]
La circunferencia de centro C= (a,b)
y radio r tiene por ecuación (x-a)𝟐
+
(y-b)𝟐
= 𝒓𝟐
En particular, si el centro es el
origen:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝒓𝟐

6. Es el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma
de distancia a dos puntos
fijos llamados: focos es
constante. Donde a y b son
números positivos. A esta
ecuación la llamaremos
Ecuación Normal de la elipse
con centro en el origen
Si aplicamos la
trasladación que lleva
el origen de
coordenadas al punto
(a,b), tendremos la
ecuación

7. .
Es el lugar geométrico
de los puntos del plano
cuya diferencia de
distancias a dos
puntos fijos llamados,
Focos es constante,.
Llamaremos Hipérbola
en posición normal al
grafico de las
siguientes; donde a y b
son dos constantes
positivas. Hipérbola
con centro en el origen
.
Las Asíntotas de la
hipérbola (A1 & A2),
son las dos líneas
rectas que se
aproximan cada vez
mas a la hipérbola
pero no llegan a
interceptarlas. En el
Infinito las asíntotas
estará a una
distancia de 0 de ella
.
La Ecuación
de la
hipérbola,
se puede
expresar
cuando su
centro es

8. Es el lugar
geométrico de los
puntos del plano
que equidistan de
un punto fijo,
llamado foco y de
una recta fija del
mismo plano
llamada directriz. Es una sección
cónica, resultado de
la intersección de un
cono recto con un
plano que corta a la
base del mismo,
oblicuo a su eje y
paralelo a una
generatriz g de la
superficie cónica.
El foco y la directriz
determinan cómo va a
ser la apariencia de la
parábola (en el sentido
de que “parecerá” más o
menos abierta según sea
la distancia entre F y la
directriz). Todas las
parábolas son
semejantes. Su
excentricidad es 1 en
todos los casos.
Solamente varía la
Observen que estamos
definiendo la parábola
como un conjunto de
puntos que verifican cierta
propiedad geométrica, no
como la gráfica de una
función cuadrática (que es
como ustedes la conocían
hasta ahora)
Para el
esquema que
realizamos, las
coordenadas
del vértice son
V ( 0, 0)

9. Una
circunferenci
a queda
determinada
cuando
conocemos:
a) Tres puntos de la
misma, equidistantes
del centro.
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto
en ella.
d) El centro y una recta
tangente a la
circunferencia.
También podemos decir
que la circunferencia es la
línea formada por todos
los puntos que están a la
misma distancia de otro
punto, llamado centro.
Esta propiedad es la clave
para hallar la expresión
analítica de una
circunferencia (la
ecuación de la
circunferencia).
Entonces, entrando en
el terreno de la
Geometría Analítica ,
(dentro del Plano
Cartesiano ) diremos
que —para cualquier
punto, P (x, y) , de una
circunferencia cuyo
centro es el punto C (a,
b) y con radio r ─, la
ecuación ordinaria es:
(x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
¿Qué significa esto?
En el contexto de la
Geometría Analítica
significa que una
circunferencia graficada
con un centro definido
(coordenadas) en el Plano
Cartesiano y con radio
conocido la podemos
“ver” como gráfico y
también la podemos
“transformar” o expresar
como una ecuación
matemática.
Recordar siempre que en
esta fórmula la x y la y
serán las coordenadas de
cualquier punto (P) sobre la
circunferencia, equidistante
del centro un radio (r) . Y
que la a y la b (o la h y la k ,
según se use)
corresponderán a las
coordenadas del centro de
la circunferencia C(a, b) .

10. Los ejercicios sobre esta
materia pueden hacerse en
uno u otro sentido. Es
decir, si nos dan la
ecuación de una
circunferencia , a partir de
ella podemos encontrar las
coordenadas de su centro y
el valor de su radio para
graficarla o dibujarla.
Y si nos dan las
coordenadas del
centro de una
circunferencia y el
radio o datos para
encontrarlo,
podemos llegar a la
ecuación de la
misma
circunferencia.
Cuadrado del binomio
Aquí haremos una
pausa para recordar el
cuadrado del binomio
ya que es muy
importante para lo que
sigue:
El binomio al cuadrado de la forma
(a ─ b) 2 podemos desarrollarlo
como (a ─ b)
(a ─ b) o convertirlo en un trinomio
de la forma a:
2 ─ 2ab + b 2 .
Sigamos nuestro razonamiento
sobre la ecuación (x ─ a) 2 + (y ─ b)
2 = r 2 (que en forma matemática
representa una circunferencia).
De la ecuación ordinaria a la
ecuación general Si en esta
ecuación ordinaria ─cuyo primer
miembro (lado izquierdo) está
formado por la suma de dos
cuadrados de binomio─,
eliminamos los paréntesis
desarrollando dichos binomios,
pasamos todos los términos al
primer miembro y la igualamos a
cero, tendremos:
x 2 ─ 2ax + a 2 + y 2 ─ 2by + b 2
─ r 2 = 0
ecuación que
ordenada sería
2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2 ─
r 2 = 0
Si para tener una ecuación
más sintetizada hacemos
las siguientes
asignaciones:
─ 2a = D
─ 2b = E
a 2 + b 2 ─ r 2 = F
la ecuación quedaría expresada
de la forma:
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
conocida como Ecuación
General de la Circunferencia, la
cual debe cumplir las siguientes
condiciones para serlo: No
existe término en xy Los
coeficientes de x 2 e y 2 son
iguales.
Si D = ─ 2a
Si E = ─ 2b
Si F = a 2 + b 2 ─ r
2

11. Además, otra
condición
necesaria para que
una ecuación dada
represente una
circunferencia es
que:
a 2 + b 2 ─ F > 0
(a 2 + b 2 ─ F debe
ser mayor que
cero)
Para simplificar la
ecuación general de la
circunferencia (x 2 + y 2
─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2 ─
r 2 = 0) algunos textos o
docentes utilizan otra
convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
a 2 + b 2 ─ r 2 = C
para tener finalmente
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
que es lo mismo que
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
A modo de recapitulación
Si conocemos las coordenadas
del centro y el radio de una
circunferencia, podemos
construir su ecuación ordinaria,
y si operamos los binomios
cuadrados que la conforman,
obtenemos la forma general de
la ecuación de la circunferencia.
Ecuación reducida de la
circunferencia Volviendo a
nuestra ecuación ordinaria (x
─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2 ,
debemos consignar que si el
centro de la circunferencia
coincide con el origen de
coordenadas (0, 0) la
ecuación queda reducida a:
( x ─ a) 2 + (y ─ b) 2
= r 2
(x ─ 0) 2 + (y ─ 0)2
= r 2
x 2 + y 2 = r2

12. Se denomina sección
cónica a todas las curvas
resultantes de las
diferentes intersecciones
entre un cono y un plano;
si dicho plano no pasa
por el vértice, se
obtienen las cónicas
propiamente dichas. Se
clasifican en cuatro
tipos: elipse, parábola,
hipérbola y
circunferencia.
En el siguiente:
podrán encontrar
mas información
sobre cada una de
las cónicas
incluyendo sus
características y la
forma de trazarlas.
CIRCUNFER
ENCIA
La circunferencia es una curva plana
y cerrada donde todos sus puntos
están a igual distancia del centro.
Una circunferencia es el lugar
geométrico de los puntos de un plano
que equidistan de otro punto fijo y
coplanario llamado centro en una
cantidad constante llamada radio. En
un sistema de coordenadas
cartesianas x-y, la circunferencia con
centro en el punto (a, b) y radio r
consta de todos los puntos (x, y) que
satisfacen la ecuación:
ELIPSE
La elipse es el lugar
geométrico de todos los
puntos de un plano, tales
que la suma de las
distancias a otros dos
puntos fijos llamados
focos es constante. La
ecuación de la elipse es:
A continuación,
un ejemplo de la
ecuación de una
elipse, junto con
su gráfica
realizada en un
graficado.
PARABO
LA
La parábola es el
lugar geométrico de
los puntos de un
plano que
equidistan de una
recta llamada
directriz, y un punto
exterior a ella
llamado foco. La
ecuación de la
parábola es:
A continuación, un
ejemplo de la
ecuación de una
parábola, junto con
su gráfica realizada
en un graficado.
HIPERBOL
A
Una hipérbola es el
lugar geométrico de los
puntos de un plano tales
que el valor absoluto de
la diferencia de sus
distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, es
igual a la distancia entre
los vértices, la cual es
una constante positiva.
La ecuación de la
hipérbola es:
A continuación,
un ejemplo de la
ecuación de una
hipérbola, junto
con su gráfica
realizada en un
graficado.

13. CIRCUNSFERENCIA
ELIPSE
PARÁBOLA
HIPéRBOLA

14. https://www.universoformulas.c
om/matematicas/geometria/para
bola/
https://sites.google.com/site/po
rtafolioericksc/secciones-
conicas