Kajian Literatur Mata Kuliah Problematika (Pascasarjana)

1. TUGAS 1
PERMASALAHAN DALAM PEMBELAJARAN
STRUKTUR ALJABAR
(Disusun dalam rangka memenuhi
tugas mata kuliah Problematika Pendidikan Matematika)
Disusun Oleh:
Kelompok II
Kelas 02
1. MUH. ALFIANSYAH 161050701024
2. MUH. AFIF WARDIMAN 161050701023
3. MUH. ASRI 161050701025
4. MUSDALIFAH 161050701027
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
MAKASSAR
2016

2. 2
KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MEMVALIDASI BUKTI
PADA ALJABAR ABSTRAK MELALUI PEMBELAJARAN
BERDASARKAN TEORI M-APOS
A. Latar Belakang
Aljabar Abstrak merupakan mata kuliah yang sulit untuk dipelajari dan sulit
untuk diajarkan. Dari sisi mahasiswa, kesulitan ini misalnya disebabkan oleh: (1)
konsep-konsep dalam Aljabar Abstrak sangat abstrak, (2) banyak contoh-contoh
yang berkenaan dengan konsep, tidak dikenali dengan baik oleh mahasiswa, (3)
banyak mahasiswa yang belum terbiasa dengan pembuktian (Arnawa, 2009:62).
Lebih lanjut, (Herlina, 2013:91) ada mahasiswa yang mampu melakukan
pembuktian yang valid, namun tidak dapat menjelaskan bukti tersebut. Hal ini
disebabkan mahasiswa lebih cenderung menghafal struktur dari bukti.
Bukti/pembuktian mempunyai peranan penting dalam Aljabar Abstrak
(Findel dalam Arnawa, 2009:62) karena Aljabar Abstrak sarat dengan definisi,
lema, dan teorema. Agar mahasiswa dapat memahami Aljabar Abstrak dengan
baik maka mahasiswa dituntut untuk dapat memahami setiap lema dan teorema
yang dipelajari. Salah satu syarat agar hal tersebut tercapai adalah mahasiswa
harus mempunyai kemampuan dalam membuktikan lema dan teorema yang
dipelajari dan membuktikan beberapa permasalahan yang terkait dengan
penerapan definisi, lema, dan teorema. Dengan demikian, meningkatkan
pemahaman mahasiswa dalam Aljabar Abstrak dapat dilakukan melalui
peningkatan kemampuam mahasiswa dalam pembuktian.
Kemampuan pembuktian yang dimaksud disini adalah kemampuan
mahasiswa dalam memvalidasi atau mengkritisi bukti dan mengonstruksi bukti
yang berhubungan dengan jenis-jenis pembuktian yang sering muncul dalam mata
kuliah aljabar abstrak, khususnya dalam topik teori grup. Kegiatan memvalidasi
atau mengkritisi bukti menurut Selden dan Selden dalam (Fadillah dan Jamilah,
2016:107) meliputi: (1) membaca suatu pembuktian dalam matematika untuk
menentukan kebenaran atau kekeliruannya dengan melihat kesesuaian antara
sistem aksioma, premis, hasil-hasil matematika yang sudah ada (lema atau
teorema), dengan alur penalaran deduktifnya, (2) melengkapi pembuktian (bila

3. 3
ditemukan ada kekeliruan), (3) membandingkan keefektifan bukti yang satu
dengan bukti yang lainnya.
Salah satu alternatif untuk mengatasi permasalahan mahasiswa dalam
pembuktian aljabar abstrak adalah menerapkan Teori Apos dalam pembelajaran.
Teori APOS merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang dikhususkan untuk
pembelajaran matematika di tingkat perguruan tinggi, yang mengintegrasikan
penggunaan komputer, belajar dalam kelompok kecil, dan memperhatikan
konstruksi-konstruksi mental yang dilakukan oleh mahasiswa dalam memahami
suatu konsep matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah: aksi
(action), proses (process), objek (object), dan skema (schema) yang disingkat
dengan APOS (Dubinsky & McDonald dalam Arnawa, 2009:63). Sudah banyak
dilakukan penelitian tentang penggunaan teori APOS pada pembelajaran
matematika pada tingkat perguruan tinggi, terutama yang berkaitan dengan
peningkatan hasil belajar secara umum.
Namun dalam pelaksanaan teori APOS terdapat beberapa kendala.
Berdasarkan penelitian Arnawa tahun 2007 ditemukan bahwa terdapat beberapa
kendala dalam mengimplementasikan teori APOS, khususnya dalam aktivitas di
laboratorium. Kendala tersebut terjadi karena mahasiswa tidak dapat
mengkonstruksi pengetahuan secara optimal melalui aktivitas komputer.
Akibatnya pada fase diskusi kelas, mahasiswa lebih tertarik untuk mendiskusikan
penyusunan program komputernya dibandingkan dengan mendiskusikan konsep
yang termuat dalam konsep tersebut (Yerizon, 2013:559-560).
Untuk itu yang dikaji dalam makalah ini adalah penelitian-penelitian yang
telah dilakukan oleh para ahli dengan menggunakan M-APOS (Modifikasi APOS)
pada aljabar abstrak terkhusus pada materi teori group. Diadakan modifikasi
terhadap APOS, dalam hal ini yang dimodifikasi adalah pada aktivitas kegiatan
laboratorium pada APOS diganti dengan mengerjakan lembaran kerja tugas.
Lembaran kerja tugas ini akan memandu mahasiswa dalam memahami suatu
konsep yang akan dipelajari (Yerizon, 2013: 560).

4. 4
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan teori M-APOS?
2. Bagaimanakah memvalidasi (mengoreksi atau mengkritisi kembali) bukti
pada aljabar abstrak melalui pembelajaran berdasarkan teori M-APOS?
C. Kajian Pustaka dan Penyelesaian Masalah
1. Kajian Pustaka
a. Aljabar Abstrak
Aljabar abstrak adalah bidang subjek matematika yang mempelajari struktur
aljabar, seperti grup, ring, medan, modul, ruang vektor, dan aljabar medan. Frasa
aljabar abstrak diciptakan pada awal abad ke-20 untuk membedakannya dengan
bidang yang biasa disebut sebagai aljabar, yaitu studi aturan manipulasi rumus
dan ekspresi aljabar yang melibatkan variabel dan bilangan riil atau kompleks,
yang saat ini lebih sering disebut sebagai aljabar elementer. Perbedaan ini jarang
dikemukakan pada tulisan-tulisan matematika yang lebih mutakhir (Wikipedia).
Aljabar abstrak merupakan salah satu mata kuliah dalam bidang matematika
yang melakukan banyak proses pembuktian. Pada mata kuliah aljabar abstrak,
mahasiswa dilatih untuk mampu melakukan proses-proses pembuktian dengan
menggunakan konsep-konsep berupa aksioma, definisi, teorema, lemma, maupun
akibat yang telah diberikan. Oleh karena itu, kemampuan bernalar mahasiswa
perlu ditingkatkan agar mahasiswa mampu memahami dan menerapkan konsep
yang diberikan sehingga proses pembelajaran dapat berjalan dengan baik
(Suwanti, 2016:877).
Aljabar abstrak yang dibahas dimakalah ini dikhususkan pada struktur
aljabar. Struktur Aljabar adalah mata kuliah yang berisi bahasan tentang
himpunan yang tidak kosong yang dilengkapi dengan satu atau dua operasi dan
ditetapkannya sejumlah aksioma yang berkenaan dengan elemen himpunan
tersebut dan operasinya. Selanjutnya dari aksioma tersebut diturunkan sejumlah
teorema yang berlaku pada himpunan dan operasinya tersebut. Dikatakan
himpunan yang tidak kosong karena dalam Struktur Aljabar tidak perlu, bahkan
tidak didefinisikan, ujud dan sifat elemennya. Demikian juga operasinyapun tidak
perlu diketahui ujud dan definisinya (Wahyuningrum dan Yumiati, 2007:138).

5. 5
b. Pembuktian dalam Matematika
Dewasa ini, hampir semua cabang matematika murni didasarkan pada
sistem aksioma. Bekerja dalam matematika murni melibatkan pengkonstruksian
bukti yang akurat untuk suatu teorema baru. Pembuktian dalam matematika
adalah berbeda dengan pembuktian dalam bidang lainnya (Arnawa, 2009:63).
Menurut Hanna dalam (Herlina, 2013:90) menyatakan bahwa bukti
merupakan representasi dari hasil matematika untuk mengkomunikasikan
pemahaman kepada komunitas matematika lainnya dan menerimanya sebagai
teorema baru. Selanjutnya Hanna (dalam Herlina, 2013:90) juga menyatakan ciri-
ciri dari kurikulum matematika yang diterapkan pada tahun enam puluhan adalah
penekanan pada bukti formal. Bukti formal merupakan karakteristik paling
penting pada matematika modern. Namun demikian pembuktian matematika
merupakan hal yang sangat sulit bagi mahasiswa, ada mahasiswa yang mampu
melakukan pembuktian yang valid, namun tidak dapat menjelaskan bukti tersebut.
Hal ini disebabkan mahasiswa lebih cenderung menghafal struktur dari bukti.
Menurut Herlina (2013:90) bukti formal dapat digunakan untuk
menggeneralisasi hasil dari penyelidikan empiris konjektur, dan kasus umum ini
mengarah pada pengetahuan matematika baru. Akhirnya, bukti adalah sebuah cara
komunikasi sangat diperlukan dalam ilmu matematika. Dalam realitas praktik
penelitian, bukti digunakan untuk mengkomunikasikan hasil matematika di
kalangan komunitas matematika.
Menurut Selden & Selden (dalam Herlina 2013:91) kemampuan pembuktian
terdiri dari: (1) kemampuan mengkonstruksi bukti dan (2) kemampuan
memvalidasi bukti. Pembuktian matematika dapat berfungsi sebagai suatu proses
aktual melalui konstruksi bukti dan sebagai fase akhir. Sama halnya dengan apa
yang disampaikan Hadamard dalam (Herlina, 2013:91) menyatakan bahwa
pembuktian matematika merupakan fase akhir dalam berpikir matematis. Namun
demikian pembuktian matematika merupakan fase yang sulit bagi mahasiswa, hal
ini disebabkan oleh beberapa hal, diantaranya mahasiswa tidak memahami suatu
definisi dan teorema dengan baik, hal ini terlihat dari tidak mampunya mahasiswa
merepresentasikan definisi tersebut.

6. 6
Kesulitan mahasiswa dalam membuktikan terutama disebabkan oleh bahasa,
hal ini disampaikan oleh beberapa ahli seperti ((Dreyfus; Finlow-Bates Keir,
Lerman, & Morgan; Moore; Zaslavsky & Shir) dalam Herlina, 2013:91).
Selanjutnya Moore dalam Knapp juga menemukan tujuh kesulitan mahasiswa
dalam pembuktian yaitu: 1) mahasiswa tidak memahami definisi. Artinya, mereka
tidak dapat menyatakan definisi suatu konsep dengan cara mereka sendiri, 2)
mahasiswa kurang memiliki pemahaman intuitif tentang konsep, 3) konsep yang
dipahami mahasiswa tidak memadai untuk melakukan pembuktian, 4) mahasiswa
tidak mampu, menghasilkan dan menggunakan contoh mereka sendiri, 5) maha
siswa tidak tahu bagaimana menggunakan definisi untuk mengkonstruk bukti, 6)
mahasiswa tidak dapat memahami dan menggunakan bahasa matematika dan
notasi, 7) mahasiswa tidak mengetahui bagaimana memulai bukti. Dari kesulitan
mahasiswa dalam pembuktian di atas terlihat bahwa mahasiswa dituntut memiliki
kemampuan merepresentasi (eksternal/internal).
Selanjutnya dari perspektif perkembangan kognitif, Tall (Arnawa, 2009:63)
menjelaskan bahwa representasi bukti berkembang melalui empat tahapan, yaitu:
bukti enactive (enactive proof), bukti visual (visual proof), bukti simbolik
(symbolic proof), dan bukti formal (formal proof). Bukti enactive, melibatkan
peragaan fisik untuk menunjukkan suatu kebenaran; bukti visual, melibatkan
pembuatan grafik atau gambar; bukti simbolik, melibatkan pemanipulasian
simbol-simbol aljabar; dan bukti formal melibatkan penalaran deduktif.
c. Memvalidasi Bukti
Menurut Selden & Selden (dalam Arnawa, 2009:63), kemampuan
membuktikan dalam matematika (Aljabar Abstrak) terdiri dari kemampuan
mengkonstruksi bukti dan kemampuan memvalidasi bukti. Kemampuan
mengkonstruksi bukti meliputi kemampuan menggunakan metode-metode
pembuktian, definisi, lema, dan teorema untuk menunjukkan kebenaran suatu
pernyataan dalam matematika (Aljabar Abstrak).
Sedangkan kemampuan memvalidasi bukti meliputi kemampuan untuk
mengkritisi bukti yang berhubungan dengan jenis-jenis pembuktian yang sering

7. 7
muncul dalam matematika (Aljabar Abstrak). Kegiatan memvalidasi bukti
meliputi: (1) membaca suatu pembuktian dalam matematika untuk menentukan
kebenaran atau kekeliruannya dengan melihat kesesuaian antara sistem aksioma,
premis, hasil-hasil matematika yang sudah ada (lema atau teorema), dengan alur
penalaran deduktifnya, (2) melengkapi pembuktian (bila ditemukan ada
kekeliruan), (3) membandingkan „keefektifan‟ bukti yang satu dengan bukti yang
lainnya (Selden & Selden serta Swam & Ridgway dalam Arnawa, 2009:63).
Menurut Arnawa (2009:63) pada pembelajaran Aljabar Abstrak secara
konvensional/biasa, dosen lebih banyak melatihkan kemampuan mengkonstruksi
bukti kepada mahasiswanya jika dibandingkan dengan kemampuan memvalidasi
bukti. Akibatnya, banyak mahasiswa yang mengalami kesulitan dalam mengkritisi
suatu hasil pembuktian, khususnya dalam melihat kekeliruan/kelemahan suatu
pembuktian. Untuk itulah, pembelajaran Aljabar Abstrak berdasarkan teori APOS
yang di modifikasi (M-APOS) diharapkan dapat mengembangkan kemampuan
mahasiswa dalam pembuktian, terutama dalam kemampuan memvalidasi bukti.
d. Teori APOS
Dubinsky dalam (Maya, 2014:4) mengemukakan sebuah teori untuk
mempelajari bagaimana seorang belajar konsep matematika. Teori ini disebut
teori APOS (Action, Process, Object, Schema). Teori ini hadir sebagai upaya
untuk memahami mekanisme abstraksi reflektif, yang diperkenalkan oleh Piaget
untuk menggambarkan perkembangan berfikir logis anak, dan memperluas ide ini
untuk konsep-konsep matematika lanjut. Menurut teori APOS, seorang anak
dalam mengkonstruksi konsep matematika melalui empat tahap yaitu aksi, proses,
objek, dan skema.
Teori APOS kemudian digunakan dalam pembelajaran yang disebut dengan
pendekatan APOS. Pendekatan APOS merupakan suatu teori konstruksivis
tentang bagaimana proses pencapaian atau pembelajaran suatu prinsip atau konsep
dalam matematika. Menurut Hanifah (Subroto dan Sundawan, 2016:423)
Pembelajaran dengan mengunakan teori APOS menekankan pada perolehan
pengetahuan melalui aktivitas pendahuluan melalui media komputer, bekerja

8. 8
dalam kelompok (cooperative learning) dan refleksi. Pembelajaran diawali
dengan aktivitas di laboratorium komputer. Lebih lanjut, Pembelajaran
menggunakan pendekatan APOS menekankan pada perolehan pengetahuan
melalui konstruksi mental. Menurut Suryadi (dalam Maya, 2014:4), konstruksi
mental dalam pendekatan APOS adalah terbentuknya suatu aksi, yang kemudian
direnungkan menjadi sebuah proses, dan dirangkum menjadi objek, dimana objek
tersebut dapat diuraikan kembali menjadi proses.
Empat tahapan dalam pendekatan APOS adalah:
1) Tahap Aksi (Action)
Menurut Dubinsky (dalam Maya, 2014:4), “An action is tranformation of
object perceived by the indivudual as assentially external and as requiring, either
explicity or from memory, step by step instructions on how to perform the
operation”, yang bahwa aksi adalah tranformasi objek yang dilakukan oleh
seseorang sebagai kegiatan eksternal, dengan melakukan perhitungan secara
bertahap.
Menurut Weyer (dalam Maya, 2014:4), mengatakan bahwa :
An action is any repeateble physical or mental manipulation that
tranform (mental or physical) to obtain other object. An action
conception is a form understanding of a concept that involves a
mental or physical object in reaction to stimuli that the subject
perceives as relatively external. In the action stage, the
transformation of object thought of as external, and the student
only knows how to perform an operation from memory or clearly
given instructions.
Kutipan di atas bermakna, aksi adalah manipulasi fisik atau mental yang
dapat diulang dalam mentransformasikan (fisik atau mental) untuk memperoleh
objek lain. Konsepsi tentang aksi merupakan suatu bentuk pemahaman tentang
konsep matematika yang melibatkan transformasi mental atau fisik terhadap objek
mental atau fisik sebagai reaksi terhadap rangsangan dari luar. Pada tahap aksi,
transformasi objek didapat dari kegiatan eksternal, dan siswa hanya mengetahui
bagaimana melakukan operasi jika diberikan perintah yang jelas (Maya, 2014:4).
Sedangkan menurut suryadi (dalam Maya, 2014:4), menyatakan aksi adalah
suatu transformasi objek-objek mental untuk memperoleh objek mental lainnya.

9. 9
Suryadi juga mengatakan bahwa seseorang akan mengalami suatu aksi apabila
orang tersebut fokus dalam proses mental untuk memahami suatu konsep.
Selanjutnya Suryadi juga menyatakan bahwa pada tahap aksi, seorang siswa
belum mampu menginterpretasikan suatu situasi sebagai sebuah fungsi kecuali
memiliki sebuah formula tunggal serta mampu menentukan nilai fungsi tersebut.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa kinerja siswa dalam tahap aksi berupa
aktivitas prosedural.
Untuk lebih jelasnya tentang penjelasan tentang konsepsi aksi, diberikan
sebuah ilustrasi mengenai konsep grup. Seseorang yang belum mampu
menginterpretasikan sesuatu sebagai suatu grup, kecuali jika diberikan sebuah
himpunan hingga terhadap sebuah operasi sehingga mampu menentukan apakah
himpunan hingga itu sebuah grup, dapat dinyatakan seseorang telah memiliki
kemampuan untuk melakukan aksi atas grup tersebut (Herlina, 2013:178-179).
2) Proses (Process)
Menurut Dubinsky (dalam Maya, 2014:5) mengungkapkan bahwa :
When an action is repeated and the individual reflects upon it, he
or she can make an internal mental construction called a
“process” which the individual can think of as performing the
same kind of action, but no longer with the need of external stimuli.
Makna dari kutipan tersebut adalah, ketika aksi dilakukan berulang-ulang
dan dilakukan refleksi terhadap aksi yang dilakukan sehingga seseorang dapat
membangun konstruksi mentalnya, ini disebut dengan proses. Pada tahap ini
seseorang dapat berfikir tentang aksi yang sama, tanpa memerlukan stimulus dari
luar.
Menurut Weyer (dalam Maya, 2014:5) mengatakan bahwa :
A process conception is defined as a form of understanding of a
concept thet involes imagining a transformation of mental or physical
objects that the subject perceives as relatively internal and totally
under her or his control. In the stage, student an perform the same
action or tranformation without external stimuli. Student in the stage
can also think of performing a process without actually doing it.
Makna dari kutipan di atas adalah, konsepi tentang proses didefinisikan
sebagai bentuk pemahaman dari suatu konsep matematika yang melibatkan

10. 10
imajinasi dalam mentransformasikan objek mental atau fisik sebagai
aktivitas internal dan terkontrol. Pada tahap proses, siswa dapat melakukan
aksi yang sama atau transformasi tanpa rangsangan dari luar. Pada tahap ini,
siswa juga dapat melakukan perhitungan tanpa melakukannya secara aktual.
Sedangkan menurut Suryadi (dalam Maya, 2014:5), ketika suatu aksi
diulangi dan kemudian terjadi refleksi atas aksi yang dilakukan maka selanjutnya
akan masuk dalam fase proses. Berbeda dengan aksi yang dapat terjadi melalui
manipulasi benda atau sesuatu yang bersifat konkrit, proses terjadi secara internal
di bawah kontrol individu yang melakukannya. Selanjutnya Suryadi juga
menyatakan bahwa, pada tahap proses seorang siswa telah mampu berfikir tentang
masukan yang bisa diterima, memanipulasi masukan tersebut dengan cara-cara
tertentu, serta mampu menghasilkan keluaran yang sesuai. Dengan demikian, pada
tahap proses seorang siswa akan mampu menjelaskan tahapan pengerjaan dari
tahap aksi dengan penjelasan dan kata-kata sehingga siswa memiliki pemahaman
secara prosedural.
Misalnya pada konsep grup, seseorang dikatakan mengalami proses apabila
telah mampu memanipulasi beberapa himpunan dan terhadap operasi sebarang,
dapat dinyatakan telah memiliki kemampuan untuk melakukan proses pada
konsep grup tersebut (Herlina 2013:179).
3) Objek (Object)
Menurut Dubinsky (dalam Maya, 2014:6) mengungkapkan bahwa “An
object in constructed from a process when the individual become aware of the
process as a totality and realizes that transformations can act on it”, yang berarti
bahwa abjek adalah konstruksi dari sebuah proses ketika seseorang menyadari
bahwa proses merupakan totalitas dan menyadari bahwa transformasi tertentu
dapat berlaku pada proses tersebut.
Menurut Weyer (dalam Maya, 2014:6) mengatakan bahwa :
An object conception is a form of understanding of a concept that
sees it as something to which actions and processes may be applied.
The student in the stage sees the procedure as a whole and
understands that tranformations can be performed on it.
Encapsulation is the term used to describe the mental construction of
a process (transformed by some action)into a cognitive object that
can be seen as a total entity (or coherent totality) and which can be

11. 11
acted upon (mentally) by actions or process. The only way to
mentally construct a mathematical object.
Maksud dari pernyataan di atas adalah konsepsi tentang objek merupakan
suatu bentuk pemahaman terhadap suatu konsep matematika sebagai suatu
penerapan dari aksi dan proses. Pada tahap ini, siswa memahami keseluruhan
prosedur dan memahami transformasi yang dapat dilakukan. Enkapsulasi merupakan
suatu istilah yang digunakan untuk mendeskripsikan konstruksi mental pada suatu
proses ke dalam sebuah objek kognitif yang dapat dilihat sebagai entitas keseluruhan
dan yang dapat ditindaklanjuti oleh aksi atau proses. Satu-satunya jalan untuk
mengkonstruksi secara mental sebuah objek matematika.
Sedangkan menurut Suryadi (dalam Maya, 2014:6), mengungkapkan bahwa
seseorang dikatakan telah memiliki konsepsi objek dari suatu konsep matematika,
apabila ia telah mampu memperlakukan ide atau konsep tersebut sebagai objek
kognitif yang mencakup kemampuan untuk melakukan aksi dari objek tersebut,
serta memberikan alasan atau peenjelasan tentang sifat-sifatnya. Sehingga bisa
dikatakan bahwa pada tahap ini siswa bisa menunjukkan pemahaman konseptual.
Hal ini dapat di ilustrasikan pada konsep grup, seseorang dikatakan telah
memiliki konsepsi objek pada konsep grup apabila ia telah mampu melakukan
pengelompokan grup serta mampu menjelaskan sifat-sifat dari masing-masing
grup (Herlina, 2013:179).
4) Skema (Schema)
Menurut Dubinsky (dalam Maya, 2014:6-7) mengungkapkan bahwa :
A schema for a certain mathematical concept is an individual’s
collection of actions, proseses, object, and other schemas which
are linked by some general principle to form a framework in the
individual’s mind that may be brought to bear upon a problem
situastion involving that concept.
Kutipan di atas bermakna bahwa skema pada konsep matematika adalah
kumpulan aki, proses, objek dan skema lain yang mana saling berkaitan untuk
konsep tertentu dalam pikiran seseorang yang mungkin digunakan untuk
memecahkan masalah.

12. 12
Menurut weyer (dalam Maya, 2014:7) mengungkapkan bahwa :
A schema is a collection of actions, processes, object and other
schemas, together with their relationship, that the individual
understand in connection with some topic of study. In the schema
stage a student is capable of jumping back and forth among the
four stage.
Pernyataan tersebut berarti bahwa skema merupakan kumpulan yang
mengaitkan aksi, proses, objek, dan skema lain, individu paham tentang hubungan
suatu topik dengan mata pelajaran lain. Pada tahap skema ini, seorang siswa
mampu mengulang kembali empat tahap yang telah ditempuh.
Sedangkan menurut Suryadi (dalam Maya, 2014:7), mengungkapkan bahwa
sebuah skema dari suatu materi matematika tertentu adalah suatu koleksi aksi,
proses, objek, dan skema lainnya yang saling terhubung sehingga membentuk
suatu kerangka kerja saling terkait di dalam pikiran seseorang. Suryadi
menyatakan bahwa indikator seseorang telah memiliki skema adalah apabila
orang tersebut telah memliliki kemampuan untuk mengkonstruk contoh-contoh
suatu konsep matematika sesuai dengan sifat-sifat yang dimilliki konsep tersebut.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa pada tahap skema siswa mampu
mengaitkan aksi, proses, dan obyek untuk menyelesaikan suatu permasalahan.
Pada Konsep grup, seseorang dikatakan telah memiliki konsepsi skema
apabila ia telah mampu mengkonstruk contoh-contoh dari grup sesuai dengan
sifat-sifat yang dimiliki konsep grup (Herlina, 2013:180.
2. Penyelesaian Masalah
a. Teori M-APOS (Modifikasi-APOS)
Model pembelajaran M-APOS adalah model pembelajaran berdasarkan teori
APOS (Aksi-Proses-Objek-Skema) yang dimodifikasi. Modifikasi dilakukan pada
fase aktivitas, dimana kegiatan di laboratorium komputer pada model APOS
diganti dengan pemberian tugas resitasi yang diberikan sebelum pembelajaran
dilaksanakan. Tugas resitasi disajikan berupa lembar kerja mahasiswa (LKM)
yang menuntun dan membantu siswa dalam mengkaji konsep atau menyelesaikan
persoalan matematika (Lestari, 2015:48).

13. 13
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Elah Nurlaelah dari
tahun 2005-2007 mengenai penerapan teori APOS dalam pembelajaran mata
kuliah Struktur Aljabar ditemukan bahwa fase aktivitas komputer menimbulkan
beberapa persoalan yang menyebabkan proses belajar mengajar tidak mencapai
hasil seperti yang diharapkan (Nurlaelah dan Sumarno, 2009:6). Permasalahan
yang muncul diantaranya program ISETL yang dipakai sangat sensitif, sehingga
jika terjadi kesalahan kecil dalam pengetikan instruksi akan menyebabkan
program ISETL tidak jalan, akibatnya pengetikan harus diulang dari awal.
Padahal yang ingin dicapai dari aktivitas ini adalah pemahaman atas suatu konsep
bukan kemahiran dalam menyusun program komputer. Hal ini kadang-kadang
menyebabkan mahasiswa putus asa. Hal lain yang menjadi kendala adalah
kerusakan software dan hardware pada saat akan digunakan untuk aktivitas
tersebut (Nurlaelah dan Sumarno, 2009:6).
Menurut Nurlaelah dan Sumarno (2009:6) untuk mengatasi persoalan diatas
maka diperlukan alternatif aktivitias sehingga tujuan pembelajaran dapat tercapai
tanpa menghilangkan aktivitas pendahuluan tersebut. Pengganti aktivitas
pendahuluan dapat dilaksanakan melalui berbagai kegiatan, salah satunya adalah
pemberian tugas untuk mempelajari materi. Tugas yang diberikan disusun dalam
suatu lembar kerja. Pada lembar kerja tersebut disusun serangkaian perintah yang
memiliki peran yang sama seperti aktivitas yang dilakukan pada aktivitas di
laboratorium komputer. Model pembelajaran yang memanfaatkan pemberian
tugas yang disusun dalam lembar kerja sebagai panduan aktivitas mahasiswa
dalam kerangka model pembelajaran APOS disebut model pembelajaran
modifikasi - APOS (M-APOS).
Peran dari pemberian tugas untuk memandu mahasiswa dalam mempelajari
materi, mengerjakan soal-soal dan lain sebagainya mengenai materi yang akan
dipelajari pada perkuliahan berikutnya. Tugas untuk mempelajari materi ini
diberikan pada setiap akhir perkuliahan. Pemberian tugas ini bertujuan untuk
meningkatkan kegiatan belajar mahasiswa sehingga dalam pelaksanaan
pengajaran mahasiswa tidak lagi pasif (Nurlaelah dan Sumarno, 2009:6).

14. 14
Hasil belajar atau ilmu pengetahuan yang diperoleh mahsiswa melalui hasil
belajar sendiri diharapkan akan tertanam lebih lama dalam ingatan mahasiswa,
disamping itu pemberian tugas ini merupakan salah satu usaha dosen untuk
membantu meningkatkan kesiapan mahasiswa dalam proses belajar mengajar.
Akibat lain yang diharapkan dari kegiatan pemberian tugas ini adalah mahasiswa
menjadi lebih aktif belajar dan termotivasi untuk meningkatkan belajar mandiri
yang lebih baik, memupuk iniasitif dan berani bertanggung jawab (Nurlaelah dan
Sumarno, 2009:8).
Langkah-langkah M-APOS menurut Muchtar (2014, 16-17) adalah:
1) Pada tahapan aktivitas, pembelajaran yang sebelumnya dilakukan di lab.
komputer di modifikasi menjadi pemberian tugas melalui Lembar Kerja
Mahasiswa (LKM).
2) Diskusi, pada tahap ini mahasiswa dikelompokkan untuk mendiskusikan
LKM.
3) Aksi, pada tahap ini mahasiswa mengumpulkan informasi yang diperoleh dari
LKM dan informasi pada tahap ini masih bersifat umum/luas.
4) Proses, pada tahap ini mahasiswa mengambil kesimpulan atau hasil dari
informasi yang sebelumnya masih bersifat umum menjadi khusus sesuai yang
diminta pada LKM.
5) Objek, dikonstruksi dari proses sebagai suatu totalitas dan menyadari bahwa
transformasi dapat dilakukan pada proses tersebut. Pada tahapan ini
mahasiswa sudah dapat menyelesaikan masalah dan menuliskannya pada
LKM.
6) Skema adalah kumpulan aksi, proses dan objek atau skema yang dihubungkan
oleh beberapa prinsip secara umum.
7) Setelah mahasiswa selesai mengerjakan LKM, mahasiswa diberi kesempatan
untuk mneyajikan hasil pekerjaannnya.
8) Latihan soal, seteleah diskusi selesai siswa diberikan latihan soal untuk
memantapkan dan menerapkan konsep-konseo yang telah dikonstruksi dalam
bentuk penyelesaian soal-soal.

15. 15
b. Cara Memvalidasi Bukti pada Aljabar Abstrak Melalui Pembelajaran
Berdasarkan Teori M-APOS
Beradasarkan kajian teori yang telah diuraikan maka dapat disusun cara
memvalidasi bukti pada Aljabar Abstrak (khususnya materi teori group) melalui
pembelajaran berdasarkan teori M-APOS sebagai berikut:
1) Kegiatan pendahuluan
a) Membuka pelajaran dengan mengucapkan salam.
b) Mengecek kehadiran Mahasiswa dan meminta Mahasiswa untuk menyiapkan
perlengkapan dan peralatan yang diperlukan.
c) Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami tentang teori group
dalam pembelajaran matematika.
d) Sebagai apersepsi dosen mengingatkan kembali sifat-sifat group dan untuk
mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, Mahasiswa diajak
memecahkan masalah mengenai bagaimana menyelesaikan soal berikut:
Misalkan adalah himpunan matriks real yang tak singular (matriks
yang memiliki invers atau determinannya tidak 0), didefinisikan operasi
adalah , dengan ( ), periksa apakah (M,*)
membentuk grup.
2) Kegiatan inti
a) Membagi Mahasiswanya dalam kelompok-kelompok kecil.
b) Membagikan LKM kepada setiap kelompok (LKM dapat di Lampiran 1).
c) Memberikan waktu kepada setiap kelompok untuk menyelesaikan
permasalahan di LKM. (Solusi soal di LKM dapat dilihat di lampiran 2).
Misalkan adalah himpunan matriks real yang tak singular (matriks
yang memiliki invers atau determinannya tidak 0), didefinisikan operasi
adalah , dengan ( ), periksa apakah (M,*)
membentuk grup?.
 Mahasiswa mengetahui langkah yang digunakan untuk membuktikan soal
di LKM (tahap aksi).

16. 16
 Mahasiswa mampu membuktikan soal di LKM (tahap proses).
Tahap membaca atau mengamati pembuktian yang telah dilakukan
 Mahasiswa membaca atau mengamati kembali pembuktian yang telah
dilakukan.
 Mahasiswa dapat menjelaskan secara lisan tentang cara yang digunakan
untuk membuktikan bahwa adalah grup (tahap proses).
 Mahasiswa dapat menjelaskan kondisi yang menyebabkan suatu himpunan
disebut Groupoid, Semigroup dan Monoid (tahap objek).
Tahap melengkapi atau memperbaiki kekeliruan dalam pembuktian
 Membimbing mahasiswa untuk melengkapi kekurangan ataupun kesalahan
yang dilakukan dalam pembuktian.
Misalnya dalam pembuktian yang dilakukan mahasiswa tidak menuliskan
secara jelas sifat, teorema dsb. yang digunakan.
 Menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.
Tahap membandingkan “keefektifan” bukti satu dengan yang lainnya
e) Memberikan stimulus kepada mahasiswa untuk memikirkan alternatif lain
dalam membuktikan soal yang diberikan.
Misalnya untuk contoh pada bagian (c) kemungkinan mahasiswa
membuktikan dengan cara membuat sebarang matriks dengan entri
bilangan real seperti ( ) untuk membuktikan adalah grup,
agar pembuktian lebih efektif mahasiswa diarahkan untuk menggunakan
sifat-sifat matriks secara umum untuk membuktikan adalah grup.
 Mahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan yang lainnya tentang grup
(tahap skema)
d) Meminta beberapa kelompok untuk mempresentasikan hasil kerjanya di depan
kelas.
 Mahasiswa mampu menjelaskan sifat-sifat yang digunakan membuktikan
suatu himpunan disebut grup (tahap proses).

17. 17
 Mahasiswa mampu menjelaskan cara-cara membuktikan suatu himpunan
disebut grup (tahap objek).
Tahap membaca atau mengamati pembuktian yang telah dilakukan
 Mahasiswa mengamati penjelasan presenter.
Tahap melengkapi atau memperbaiki kekeliruan dalam pembuktian
 Memberikan kesempatan kepada kelompok lain untuk mengajukan
pertanyaan ataupun saran (tahap objek).
Tahap membandingkan “keefektifan” bukti satu dengan yang lainnya.
 Memberikan stimulus kepada mahasiswa untuk memikirkan apakah
terdapat pembuktian yang lebih efektif.
e) Memberikan berapa latihan soal untuk mengetahui pemahaman Mahasiswa.
 Mahasiswa dapat menyelesaikan soal yang diberikan (tahap skema).
3) Kegiatan penutup
a) Mahasiswa menyimpulkan tentang konsep group dan sifat-sifat grup.
b) Memberikan tugas tentang grup.
c) Menginformasikan kepada Mahasiswa tentang materi yang akan dibahas
untuk dipertemuan yang akan datang.
d) Mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan salam.
D. Kesimpulan dan Saran
1. Kesimpulan
a. Model pembelajaran M-APOS adalah model pembelajaran berdasarkan
teori APOS (Aksi-Proses-Objek-Skema) yang dimodifikasi. Modifikasi
dilakukan pada fase aktivitas, dimana kegiatan di laboratorium komputer
pada model APOS diganti dengan pemberian tugas resitasi yang diberikan
sebelum pembelajaran dilaksanakan. Tugas resitasi disajikan berupa
lembar kerja mahasiswa (LKM) yang menuntun dan membantu siswa
dalam mengkaji konsep atau menyelesaikan persoalan matematika.

18. 18
b. Untuk memvalidasi bukti pada aljabar abstrak melalui pembelajaran
berdasarkan teori M-APOS diuraikan sebagai berikut:
1) Pendahuluan:
a) Tahap membaca atau mengamati pembuktian yang telah
dilakukan.
b) Tahap melengkapi atau memperbaiki kekeliruan dalam
pembuktian.
c) Tahap membandingkan “keefektifan” bukti satu dengan yang
lainnya.
2) Inti :
a) Tahap membaca atau mengamati pembuktian yang telah
dilakukan.
b) Tahap melengkapi atau memperbaiki kekeliruan dalam
pembuktian.
c) Tahap membandingkan “keefektifan” bukti satu dengan yang
lainnya.
3) Penutup
2. Saran
a. Untuk mengetahui lebih lanjut kemampuan mahasiswa dalam
memvalidasi bukti pada materi struktur aljabar melalui pembelajaran
dengan teori M-APOS perlu dilakukan penelitian langsung bukan sekadar
melalui kajian literatur.
b. Pada penelitian ini M-APOS bisa digunakan sebagai alternatife
pendekatan pembelajaran dan untuk penelitian lebih lanjut M-APOS
mampu tidak memberikan pengaruh terhadap kemampuan memvalidasi
bukti pada materi lain seperti analisis real, teori graph dsb.
E. Daftar Pustaka
Arnawa, I., M. 2009. Mengembangkan Kemampuan Mahasiswa Dalam
Memvalidasi Bukti Pada Aljabar Abstrak Melalui Pembelajaran

19. 19
Berdasarkan Teori APOS. Jurnal Matematika dan Sains, (Online), Vol.14,
No.2. Diakses 28 September 2016.
Fadillah, S. dan Jamilah. 2016. Pengembangan Bahan Ajar Struktur Aljabar
Untuk Meningkatkan Kemampuan Pembuktian Matematis Mahasiswa.
Cakrawala Pendidikan, (Online), Th.35, No.1. Diakses 30 September 2015.
Herlina, E. 2013. Advanced Mathemathical Thinking: Apa, Mengapa, Dan
Bagaimana Mengembangkannya Pada Mahasiswa. (Online), tersedia di
www.mathunj.org/index.php/prosiding_mat4/article/.../pdf_10.
Herlina, E. 2013. Meningkatkan Disposisi Berpikir Kreatif Matematis Melalui
Pendekatan APOS. Jurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP
Siliwangi Bandung, (Online), Vol 2, No.2. Diakses 29 September 2016.
Lestari, K., E. 2015. Penerapan Model Pembelajaran M-APOS untuk
Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP.
Jurnal Pendidikan Uniska, (Online) Vol. 3, No.1. Diakses 29 September
2016.
Maya, A., T. 2014. Pendekatan Apos dalam Pembelajaran Matematika pada
Materi Logaritma. Makalah Seminar Pendidikan, (Online). Tidak
diterbitkan
Muchtar. 2014. Penerapan Model Pembelajaran Modification- Action, Process,
Object, Schema (M-APOS) Untuk Meningkatkan Kemampuan Pemahaman
Konsep Matematika Siswa. Skripsi, (Online). Fakultas Ilmu Tarbiyah dan
Keguruan UIN Syarif Hidayatullah.
Nurlaelah, E. Dan Sumarno, U. 2009. Implementasi Model Pembelajaran Apos
dan Modifikasi – Apos (M-Apos) Pada Mata Kuliah Struktur Aljabar.
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA-UPI, (Online). Diakses 29
September 2016.
Subroto, T. dan Sundawan, M., D. 2016. Pengaruh Pendekatan Modifikasi-Apos
Terhadap Kemampuan Abstraksi Matematis Dalam Mata Kuliah Struktur
Aljabar 1. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
(SNMPM), (Online). Diakses 29 September 2016.
Suwanti, V. 2016. Penggunaan Peta Konsep Untuk Meningkatkan Kemampuan
Logika Pembuktian Mahasiswa. Jurnal Inspirasi Pendidikan Universitas
Kanjuruhan Malang, (Online), Vol.6, No.2. Diakses 28 September 2016
Wahyuningrum, E. dan Yumiati. 2007. Perbandingan Kemampuan Memecahkan
Masalah Struktur Aljabar Antara Mahasiswa Jarak Jauh Dan Mahasiswa
Tatap Muka, (Online), Vol.6, No.2. Diakses 28 September 2016.
Yerizon. 2013. Peningkatan Kemandirian Belajar Mahasiswa Melalui Penggunaan
Pendekatan Modifikasi APOS. Prosiding Semirata FMIPA Universitas
Lampung, (Online). Diakses 30 September 2016.

20. 20
TUJUAN PEMBELAJARAN
RUMUSAN MASALAH
LAMPIRAN 1:
LEMBAR KERJA MAHASISWA
Mata Kuliah : Struktur Aljabar 1 (Teori Group)
Semester : IV
Pertemuan : ....
Alokasi Waktu :
Nama Mahasiswa : ....................................................
NIM : ....................................................
Judul LKM: Teori Grup
1. Mahasiswa mensyukuri anugerah Tuhan, memberi salam kepada orang yang
lebih tua, berdoa dengan sungguh-sungguh dan memiliki etika yang baik.
2. Mahasiswa memiliki motivasi belajar, mampu bekerjasama, tangguh
menghadapi masalah dan konsisten.
3. Mahasiswa terlibat aktif dalam pembelajaran dan bertanggung jawab.
4. Mahasiswa memahami cara membuktikan suatu himpunan termasuk group atau
bukan.
5. Mahasiswa terampil mengkritisi atau memvalidasi pembuktian dalam materi
teori group.
1. Bagaimanakah cara membuktikan suatu himpunan termasuk group?
2. Bagaimanakah cara mengkritisi atau memvalidasi suatu pembuktian dalam
materi teori group?

21. 21
ALAT DAN BAHAN
LANGKAH-LANGKAH KEGIATAN
MASALAH
1. Alat Tulis
2. Ketas
1. Isilah nama dan NIM pada tempat yang telah disediakan.
2. Baca dan pahami pernyataan-pernyataan dari masalah yang disajikan
dalam LKM berikut, kemudian pikirkan kemungkinan jawabannya.
3. Jika terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan, tanyakan kepada
dosen.
4. Masalah dalam LKM dikerjakan selama maksimal 35 menit.
Silahkan cermati masalah berikut
Misalkan adalah himpunan matriks real yang tak singular, didefinisikan
operasi adalah , dengan ( ).
1. Periksa apakah membentuk grup?
2. Disebut apakah andaikan hanya sifat tidak kosong dan tertutp yang
terpenuhi?
3. Disebut apakah andaikan hanya sifat tidak kosong, tertutp dan assosiatif
yang terpenuhi?
4. Disebut apakah , andaikan hanya sifat tidak kosong tertutp, assosiati dan
terdapat unsur identitas di yang terpenuhi?

22. 22
PETUNJUK
SOLUSI
1. Selidiki apakah merupakan group, dengan membuktikan berlakunya sifat-
sifat berikut ini:
a. Tunjukkan tidak kosong.
b. Tunjukkan berlaku sifat tertutup pada
c. Tunjukkan berlaku sifat assosiatif pada
d. Tunjukkan terdapat unsur identitas di
e. Tunjukkan terdapat unsur invers di
2. Berikan alasan anda, disebut apa suatu himpunan yang hanya memenuhi
beberapa sifat dari group.
3. Selidiki pembuktian yang telah anda lakukan dengan langkah-langkah
sebagai berikut:
a. Baca kembali proses pembuktian yang telah anda lakukan.
b. Lengkapi atau perbaiki pembuktian yang telah anda lakukan apabila
terdapat kekurangan atau kekeliruan.
c. Selidiki apakah proses pembuktian yang anda lakukan sudah efektif?.
1) Jika “iya” maka jelaskan alasan anda!
2) Jika “tidak” maka tunjukkan alternatif pembuktian lain yang menurut
anda efektif!
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................

23. 23
LAMPIRAN 2:
PEMBUKTIAN SOAL
YANG DISAJIKAN PADA LKM
Misalkan adalah himpunan matriks real yang tak singular, didefinisikan
operasi adalah , dengan ( ). Periksa apakah
membentuk grup?
Solusi:
Akan ditunjukkan membentuk grup.
Untuk menunjukkan membentuk grup harus di perlihatkan bahwa 5 sifat
berikut dipenuhi yaitu tidak kosong, tertutup, asosiatif, memiliki unsur identittas
dihimpunan tersebut dan memiliki unsur invers dihimpunan tersebut.
Bukti:
a. Tidak kosong
sebab ( ) | |
b. Sifat tertutup
berlaku
Ambil sebarang dimana
Pandang:
( ) dimana | | – atau
( ) dimana | | - atau
Perhatikan bahwa
( ) ( ) ( )
= ( ) ( )
= ( )

24. 24
Harus diperhatikan | |
| |
( )( ) – ( )( )
=
=
=
=
= .
Karena (
Sedemikian sehingga | | ... Terbukti
c. Sifat assosiatif
maka
Ambil sebarang dimana
Pandang:
( ) dimana | | , , dimana
( ) dimana | | , dimana
( ) dimana | | , dimana
Perhatikan bahwa
= [( ) ( ) ( ) ] ( )
= [( ) ( ) ] ( )
= ( ) ( ) ( )
= ( ) ( )

25. 25
= ( )
= ( )
= ( )
= ( )
= ( ) ( )
= ( ) ( ) ( )
= ( ) ( )
= ( ) [( ) ( ) ]
= ( ) [( ) ( ) ( ) ]
= ... Terbukti.
d. Memiliki unsur identitas
Ambil Sebarang ,
Pandang * +
dan [ ]
perhatikan bahwa:
* + * + [ ] [ ] * + * + * +

26. 26
* + [ ] [ ] * + * +
 Invers Matriks * +
* +
* +
[ ]
 Sehingga Unsur Identitasnya Adalah
[ ] * + [ ]
[ ]
* + ... Terbukti.
e. Memiliki Unsur Invers
Ambil sebarang
Pandang * + | |
dan [ ] | |
perhatikan bahwa
* + * + [ ] [ ] * + * + * +
* + [ ] [ ] * + * +

27. 27
Invers matriks * + adalah [ ] sebagaimana
yang telah diperlihatkan pada bagian (d).
Sedemikian sehingga
[ ] * + [ ]
[ ]
Maka determinannya adalah
Karena dan maka
Akibatnya:
[ ]
Jadi, memiliki unsure invers dihimpunannya.
∴Karena sifat tidak kosong, tertutup, assosiatif, memiliki unsur identitas
dihimpunan tersebut dan memiliki unsur invers dihimpunan tersebut maka
disimpulkan bahwa adalah group. █
ALTERNATIF PENYELESAIAN YANG EFEKTIF
1. Tidak Kosong
M ≠ Ø sebab * + | |
2. Sifat Tertutup

28. 28
| | | |
3. Sifat Assosiatif
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
4. Sifat Identitas
| | | |

[ ]

29. 29
| |
| |
5. Sifat invers
| | | |

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
∴Karena sifat tidak kosong, tertutup, assosiatif, memiliki unsur identitas
dihimpunan tersebut dan memiliki unsur invers dihimpunan tersebut maka
disimpulkan bahwa adalah group. █