Cónicas: Circunferencia. Ecuación canónica de la circunferencia. Posiciones relativas de una recta y de una circunferencia en el plano. Posición relativa de dos circunferencias en el plano.

2. Cónicas
Las cónicas están presentes en el estudio de la astronomía, la óptica, la
acústica, la arquitectura, la ingeniería, la navegación y muchas otras
áreas. Las secciones cónicas son: la circunferencia, la parábola, la elipse
y la hipérbola.

3. CIRCUNFERENCIA
Es un lugar geométrico de los puntos del plano que están a una
distancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia
de cada punto de la circunferencia al centro se llama radio.
La ecuación canónica de la circunferencia
con radio 𝑟 y centro 𝐶 ℎ, 𝑘 es:
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
En particular si 𝐶 0, 0 , se tiene que la
ecuación canónica de la circunferencia es:
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2

4. EJEMPLO 1

5. Determina la ecuación canónica de una circunferencia cuyo
radio es 4, con centro en el punto 𝐶 −4, 2 .
Ecuación de la circunferencia.
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥 − −4
2
+ 𝑦 − 2 2
= 42 Reemplazamos 𝒉, 𝒌 y 𝒓.
Como el centro es 𝐶 −4, 2 , entonces, ℎ = −4 y 𝑘 = 2. Además 𝑟 = 4
𝑥 + 4 2 + 𝑦 − 2 2 = 16 Operamos.
𝑥 + 4 2 + 𝑦 − 2 2 = 16 Ecuación de la circunferencia.
Este es el resultado

6. EJEMPLO 2

7. Determina el radio y el centro de la circunferencia que tiene
como ecuación 𝑥 − 3 2
+ 𝑦 + 1 2
= 49.
Ecuación de la circunferencia.
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 3 2 + 𝑦 − −1
2
= 72 Es equivalente a la ecuación
de la recta.
𝐶 3, −1 Tomamos 𝒉 y 𝒌 .
El radio 𝒓.
7
Tenemos entonces que el Centro y el Radio son:
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 𝐶 3, −1 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑜 = 𝑟 = 7

8. EJEMPLO 3

9. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es 𝐴𝐵
donde 𝐴 3, 7 y 𝐵 −3, −1 .
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
=
3 + −3
2
,
7 + −1
2
= 0, 3
El centro de la circunferencia es el punto medio del diámetro 𝐴𝐵 . Luego:
Aplicamos la fórmula del punto medio.
Podemos tomar cualquiera de los dos puntos, en este caso tomamos
𝐴 3, 7 porque pertenece a la circunferencia y el centro es el punto 𝐶 0, 3 .
Entonces reemplazamos para hallar el radio.
Ecuación de la circunferencia.
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
𝑥 − 0 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑟2 Reemplazamos las coordenadas
de centro 𝐶 0, 3

10. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es 𝐴𝐵
donde 𝐴 3, 7 y 𝐵 −3, −1 .
𝑥 − 0 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑟2
3 − 0 2 + 7 − 3 2 = 𝑟2 Reemplazamos las coordenadas
del punto 𝐴 3, 7
25 = 𝑟2
Realizamos las operaciones.
𝑟 = 5 Radio.
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
𝑥2
+ 𝑦 − 3 2
= 25
Este es el resultado
Teníamos

11. NO DEBEMOS
OLVIDAR

12. 1. Posiciones relativas de una recta y de
una circunferencia en el plano.
Dada una recta y una circunferencia en un mismo plano, se puede
presentar las siguientes situaciones:

13. 2. Posición relativa de dos circunferencias
en el plano.
Dos circunferencias en el plano pueden presentar las siguientes
posiciones relativas:
 La circunferencia no se intersecan. En este caso las circunferencias
pueden ser exteriores, interiores o concéntricas, como se muestra en la
figura.

14.  La circunferencia se intersecan en un solo punto. En este caso las
circunferencias son tangentes.
 La circunferencia se intersecan en dos puntos. En este caso las
circunferencias son secantes.

17. Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Completa los espacios con la información correspondiente al
centro y al radio de cada circunferencia:
1. 𝑥 − 2 2
+𝑦2
= 4
𝐶 ____, ____ , 𝑟 = _________
2. 𝑥 + 5 2+ 𝑦 − 3 2 = 9
𝐶 ____, ____ , 𝑟 = _________
3. 𝑥2
+𝑦2
= 3
𝐶 ____, ____ , 𝑟 = _________

18. Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Escribe la ecuación de circunferencia que cumple con las
condiciones:
1. Radio 3 y centro en 𝐶 −3, −2
2. Pasa por los puntos 𝐴 2,1 y
𝐵 5, −2 , y tiene radio 29
3. Pasa por los puntos 𝐴 1, 1 y 𝐵 3, −3

19. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 86, 87, 91 podemos encontrar
la definición y ejemplos de circunferencia.
En el libro Santillana Vol. 2 pág. 87 podemos encontrar
ejercicios de circunferencia.

20. LIBRO SANTILLANA
Les sugiero que realizan los puntos 137 al 143 y los puntos 145 y 146
de la pág. 87. Cuando tengan el resultado me pueden enviar una foto
sólo del resultado y yo les confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas.
Visita el E-book – unidad 6 – pág. 86 busca este icono
encontraras presentación donde explican con un ejemplo práctico las
características de una circunferencia. Además, en pág. 91 busca este
icono en el cual, encontrarás un video explicativo acerca de la
posición relativa de dos circunferencias en el plano.

21. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de
circunferencia.
https://www.youtube.com/watch?v=vICf_JIwar4
https://www.youtube.com/watch?v=vQg3OSrR_Mw
https://www.youtube.com/watch?v=X69DFgok0J4

22. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

23. Solución de ejercicios # 1
1. 𝐶 2, 0 , 𝑟 = 2
2. 𝐶 −5, 3 , 𝑟 = 3
3. 𝐶 0, 0 , 𝑟 = 3 ≈ 1,73

24. Solución de ejercicios # 2
1. 𝑥 + 3 2 + 𝑦 + 2 2 = 9
2. 𝑥 −
7
2
2
+ 𝑦 +
1
2
2
= 29
3. 𝑥 − 2 2 + 𝑦 + 1 2 = 5

25. ¡GRACIAS!