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Plano numerico
- 2. PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO. ¿Qué es un Plano cartesiano? Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica. El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este sistema de coordenadas.
- 3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS. - La distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica. -Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
- 4. PUNTO MEDIO. - Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.
- 5. CIRCUNFERENCIAS. - Circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia. No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie). A continuación vemos una imagen de una circunferencia: En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro.
- 6. ELEMENTOS BÁSICOS DE UNA CIRCUNFERENCIA En la imagen expuesta se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación: •Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia. •Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia. •Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. •Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia. •Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia. •Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.
- 7. ECUACIONES DE CIRCUNFERENCIAS. Ecuación general de la circunferencia: X 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Coordenadas del centro: a= -A/2; b= -B/2 Radio: x 2 = a 2 + b 2 - c La obtenemos aplicando la fórmula de la distancia entre C (a, b) y un punto cualquiera de la circunferencia P (x, y), Resulta: (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2 = r elevado al cuadrado : (x-a) 2 + (y - b) 2 = r 2 x 2 + y 2 -2ax -2by + a 2 + b 2 - r 2 =0 -2a = A -2b= B a 2 + b 2 –r 2 = 0 Ecuación reducida: X 2 + y 2 = r 2 Circunferencia con centro en el origen de coordenadas
- 8. PARÁBOLAS. Es una forma geométrica, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son: Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría ). Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice. Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice. Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco , así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
- 9. Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco. Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal. Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola: En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
- 10. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano) , y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica. Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha. Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p” ), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
- 11. De lo anterior resulta: (trazo PD igual al trazo PF) El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0) , y también podemos usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos: Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
- 12. Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene: (x + p) 2 = (x – p) 2 + y 2 x 2 + 2px + p 2 = x 2 – 2px + p 2 + y 2 x 2 + 2px + p 2 – x 2 + 2px – p 2 = y 2 Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene: y 2 = 4px que es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica. Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre). Veamos ahora las cuatro posibilidades: Primera posibilidad: La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en e l eje de las abscisas “ X”
- 13. Ecuación de la parábola y 2 = 4px Ecuación de la directriz x + p = 0 Imagen: Segunda posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “ X”. Ecuación de la parábola y 2 = 4px (con signo menos final) Ecuación de la directriz x – p = 0
- 14. Tercera posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en de las ordenadas “ Y” . Ecuación de la parábola x 2 = 4py Ecuación de la directriz y + p = 0 Cuarta posibilidad: Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “ Y”. Ecuación de la parábola x 2 = 4py (con signo menos dinal) Ecuación de la directriz y - p = 0
- 15. ELIPSES. Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancias desde cualquiera de sus puntos P hasta otros dos puntos denominados focos (F y F') es siempre la misma. Ten en cuenta que para cualquier punto de la elipse siempre se cumple que: dP,F+d(P,F')=2·a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P al foco F y al foco F' respectivamente.
- 16. ELEMENTOS DE LA ELIPSE 1.Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. 2.Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. 3.Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos. 4.Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes. 5.Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c. 6.Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. 7.Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. 8.Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2-c2 9.Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x
- 17. ECUACIÓN DE LA ELIPSE Ecuación de eje mayor horizontal centrada en un punto cualquiera P(x0,y0) La ecuación de una elipse cuyo eje mayor es horizontal viene dada por: x-x02a2+y-y02b2=1 Donde: •x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse •a : Semieje de abcisas •b : Semieje de ordenadas. En nuestro caso debe cumplirse que b ⩽ a.
- 18. HIPÉRBOLA Es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
- 19. ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA: 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal. Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c. 6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF'. 7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c. 8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a. 9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. 11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones: 12. Relación entre los semiejes:
- 20. ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA Canónica: Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene: x2a2–y2b2=1x2a2–y2b2=1 Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (0,0)(0,0) y eje focal y=0y=0 (eje xx) Busquemos las intersecciones con los ejes: y=0⇒|x|=a⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0)y=0⇒|x|=a⇒x=±a⇒V1,2=(±a,0) x=0⇒y2=–b2x=0⇒y2=–b2 Entonces no corta al eje yy. Los puntos V1,2V1,2 se denominan vértices de la hipérbola. Ordinaria: La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal horizontal y centro en C(α,β)C(α,β) es: (x–α)2a2–(y–β)2b2=1(x–α)2a2–(y–β)2b2=1 La ecuación ordinaria de una hipérbola con eje focal vertical y centro en C(α,β)C(α,β) es: –(x–α)2b2+(y–β)2a2=1–(x–α)2b2+(y–β)2a2=1 Observemos que la diferencia esencial reside en que el signo negativo está en el término con la variable xx o en el término con la variable yy. El motivo por el cual utilizamos a2a2 en el denominador del término con coeficiente positivo es para poder denominar siempre al semieje real como «aa».
- 21. ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS •Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo. •Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. •Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. •Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución. •Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad y la inclinación del plano respecto del eje del cono pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.
- 22. REPRESENTACIÓN GRAFICA. Elipse: Circunferencia: Parábola: Hipérbola: