Operaciones entre funciones. Composición de funciones.

2. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
Las funciones pueden combinare por medio de las operaciones
aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división para
obtener nuevas funciones.
Sea 𝑓 y 𝑔 funciones cuyos dominios 𝐴 son y 𝐵, respectivamente,
entonces se definen las siguientes funciones:
𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥
𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥
𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥
𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
𝑐𝑜𝑛 𝑔 𝑥 ≠ 0

3. EJEMPLO 1

4. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 y 𝑔 𝑥 = −5𝑥2 + 𝑥 , hallar:
a. 𝒇 + 𝒈 −𝟐
Aplicamos la propiedad.
𝑓 + 𝑔 −2 = 𝑓 −2 + 𝑔 −2
𝑓 −2
Esto quiere decir que en la
función 𝑓 donde hayan 𝑥 los
vamos a reemplazar por −2.
Reemplazamos el −2 en las 𝑥.
𝑓 −2 = −2 3
− 2 −2 2
+ 1
Resolvemos los exponentes.
𝑓 −2 = −8 − 8 + 1
Realizamos las operaciones.
𝑓 −2 = −15

5. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 y 𝑔 𝑥 = −5𝑥2 + 𝑥 , hallar:
a. 𝒇 + 𝒈 −𝟐
Ahora vamos hacer lo mismo pero con 𝑔 𝑥 .
Aplicamos la propiedad.
𝑓 + 𝑔 −2 = 𝑓 −2 + 𝑔 −2
𝑔 −2
Esto quiere decir que en la
función 𝑔 donde hayan 𝑥 los
vamos a reemplazar por −2.
Reemplazamos el −2 en las 𝑥.
𝑔 −2 = −5 −2 2
+ (−2)
Resolvemos los exponentes.
𝑔 −2 = −20 − 2
Realizamos las operaciones.
𝑔 −2 = −22

6. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 y 𝑔 𝑥 = −5𝑥2 + 𝑥 , hallar:
a. 𝒇 + 𝒈 −𝟐
Ya tenemos 𝑓 −2 = −15 y 𝑔 −2 = −22. Las reemplazamos
en la propiedad.
Propiedad.
𝑓 + 𝑔 −2 = 𝑓 −2 + 𝑔 −2
𝑓 + 𝑔 −2 = Reemplazamos.
−15 −22
Realizamos las operaciones.
𝑓 + 𝑔 −2 = −37
+

7. EJEMPLO 2

8. Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 y 𝑔 𝑥 = −5𝑥2 + 𝑥 , hallar:
b. 𝒇 − 𝒈 −𝟐
Cómo ya tenemos 𝑓 −2 = −15 y 𝑔 −2 = −22. Las
reemplazamos en la propiedad.
Propiedad.
𝑓 − 𝑔 −2 = 𝑓 −2 − 𝑔 −2
𝑓 − 𝑔 −2 = Reemplazamos.
−15 −22
Realizamos las operaciones.
𝑓 − 𝑔 −2 = 7
−

9. Composición de funciones
Existe otra forma de combinar funciones para obtener una nueva función:
Si 𝑓 y 𝑔 son dos funciones, se define una nueva función 𝑓 ° 𝑔, que se lee 𝑓
compuesto 𝑔 (o composición 𝑓 y 𝑔) como:
𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
Donde el dominio de 𝑓 ° 𝑔 es el conjunto de los números reales 𝑥 del
dominio 𝑔 de tales 𝑔 𝑥 que está en el dominio de 𝑓.

10. EJEMPLO 1

11. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1, hallar:
a. 𝒇 ° 𝒈 𝒙
Aplicamos la propiedad.
𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥2 − 1 Reemplazamos a 𝑔 𝑥 .
Ahora las 𝑥 que están en la función 𝑓 𝑥 las vamos a reemplazar por
todo lo que haya adentro de la función 𝑓.
Lo que está dentro de 𝒇
𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1 Reemplazamos a 𝑓 𝑥 .
Ahora las 𝑥 que están en la función 𝑓 𝑥 las vamos a reemplazar por
todo lo que haya adentro de la función 𝑓.
Cómo había una raíz cuadrada en la función 𝒇 𝒙
y adentro una 𝒙. Esta 𝒙 la debíamos reemplazar por 𝒙𝟐
− 𝟏.

12. EJEMPLO 2

13. Dadas las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1, hallar:
b. 𝒈 ° 𝒇 𝒙
Aplicamos la propiedad.
𝑔 ° 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥
𝑔 ° 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 Reemplazamos a 𝑓 𝑥 .
Ahora las 𝑥 que están en la función g 𝑥 las vamos a reemplazar por
todo lo que haya adentro de la función 𝑓.
Lo que está dentro de 𝐠
𝑔 ° 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 1 Reemplazamos a 𝑔 𝑥 .
Cómo había un 𝒙𝟐
− 𝟏 en la función 𝒈 𝒙 . El 𝒙𝟐
la debemos
reemplazar por 𝒙.
𝑔 ° 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 Cancelo la raíz con el a la 2.
Ahora las 𝑥 que están en la función g 𝑥 las vamos a reemplazar por
todo lo que haya adentro de la función 𝑔.

14. Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
1. Dadas las funciones 𝑓, ℎ, 𝑟 y 𝑡, halla:
a.
𝑡
𝑟
𝑥
b. ℎ + 𝑟 2
c. 𝑓 ∙ 𝑟 3
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 𝑥 − 3 ℎ 𝑥 =
1
𝑥
𝑟 𝑥 = 𝑥3
− 1 𝑡 𝑥 =
𝑥
𝑥 + 5

15. Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
2. Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔, encuentra:
a. 𝑓 ° 𝑔
b. 𝑔 ° 𝑓
c. 𝑓 ° 𝑓
d. 𝑔 ° 𝑔
𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 𝑥
𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 2

16. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 88, 89 y 90 podemos encontrar la definición
y ejemplos de operaciones entre funciones.
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 89 y 91 podemos encontrar ejercicios de
operaciones entre funciones. Con estos ejercicios puedes practicar y afianzar
tus conocimientos.
Les sugiero que realizan los puntos 288, 289, 291, 294 de la pág. 89 y el
punto 310 de la pág. 91. Cuando tengan el resultado me pueden enviar una
foto sólo del resultado y yo les confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas. Visita el E-book – unidad 2 – pág. 88 encontrarás un
icono como este el cual tiene una actividad de selección múltiple para
que repases lo visto en clase.

17. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

18. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de operaciones
entre funciones.
https://www.youtube.com/watch?v=jP1mSfUqpxw
https://www.youtube.com/watch?v=Qw9GTgSv_94

19. Punto 1:
a.
𝑡 𝑥
𝑟 𝑥
=
𝑥
𝑥4 −𝑥 − 5𝑥3 −5
b. ℎ 2 + 𝑟 2 =
15
2
= 7,5
c. 𝑓 3 ∙ 𝑟 3 = 12 26 = 312
Solución de ejercicios # 1

20. Solución de ejercicios # 2
Punto 2:
a. 𝑓 ° 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 18𝑥2 + 21𝑥 + 6
b. 𝑔 ° 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 6𝑥2
− 3𝑥 + 2
c. 𝑓 ° 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑥 = 8𝑥4 − 8𝑥3 + 𝑥
d. 𝑔 ° 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑔 𝑥 = 9𝑥 + 8

21. ¡GRACIAS!