Plano numérico, punto medio, distancia entre dos puntos, secciones cónicas (ecuaciones, representación gráfica y trazado)

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universitaria, Ciencia y Tecnología
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”
Quíbor - Estado Lara
Integrante:
Roximar Pérez
C.I 27.987.385
Prof: Elismar Suárez
Roger Timaure
Sección: AD0401J
Plano Numérico, Distancia entre dos puntos, Punto
Medio de un Segmento, Secciones Cónicas
(Ecuaciones y Representación)

2. Plano Cartesiano
El plano cartesiano es un sistema referencial que esta formado
por dos retas numéricas perpendiculares X y Y, llamadas ejes de
coordenadas, que se cortan en un punto O llamado origen, al cual se
le asigna el valor de cero. La recta horizontal X se llama eje de
abscisas o eje X, y la recta vertical Y se llama eje de ordenadas o eje
Y. Asimismo los números positivos están a la derecha y arriba del
origen, mientras que los negativos están a la izquierda y debajo del
origen. Además a cada una de las zonas en que queda dividido el
plano, al trazar los ejes de coordenadas, se le denomina cuadrante y
se enumeran en sentido contrario a las agujas del reloj.
Por ejemplo, si las coordenadas de los puntos en cada cuadrante son:
cuadrante I, P (2, 3) cuadrante II, P (-3, 1)
cuadrante III, P (-3, -1) cuadrante IV, P (3, -2)
Se ubicarían de la siguiente manera en el plano
Ejercicios Resueltos
• Representa en el plano cartesiano los
puntos A(-2,2), B(0,5), C(-3,-3), D(4,-5),
E(-3,0), F(3,0), G(0,0) y H(0.-4)
• Completa las coordenada de los puntos indicados en
el plano cartesiano:
P(-4,2), Q(2,1), R(4,-4), S(5,0), U(0,3),
V(0,-4) y W(-2,-2)

3. Distancia entre Dos Puntos
Es simplemente la distancia mínima que hay entre ambas posiciones, las cuales vienen determinadas
por sus coordenadas en el eje X y en el eje Y. Igualmente, la distancia entre dos puntos en el plano se
calcula aplicando el teorema de Pitágoras en función de las coordenadas de esos puntos, dicha formula
es la siguiente:
𝐴𝐵 = (𝑋₂ − 𝑋₁)² + (𝑌₂ − 𝑌₁)²
Ejercicios Resueltos
• Calcular la distancia entre los puntos A(-9,7) y B(3,2)
𝐴𝐵 = 3 − (−9) ² + (2 − 7)²
= 3 + 9 2 + (2 − 7)²
= 12² + (−5)² = 144 + 25 = 169
= 13
P(∆ABC)= AB+BC+AC
= (3 − 4)² + (4 − 0)² + −8 − 3 2 + (3 − 4)² + −8 − 4 2 + (3 − 0)²
= −1 2 + 4² + −11 2 + (−1)²+ −12 2 + 3²
= 1 + 16 + 121 + 1 + 144 + 9
= 17 + 122 + 153
= 17 + 122 + 3 17
= 4 17 + 122
• Calcular el perímetro del triangulo ABC cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas:
A(4,0); B(3,4) y C(-8,3)

4. Punto Medio de un Segmento
Es un punto que está sobre el segmento y se ubica a igual distancia de los puntos extremos. Cada una
de las coordenadas del punto medio de un segmento es igual a la semi-suma de las coordenadas
respectivas de sus extremos. En este sentido dado un segmento 𝐴𝐵 de coordenadas A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂), el
punto M de este segmento 𝐴𝐵 tiene por coordenadas: 𝑀
𝑋₁+𝑋₂
2
,
𝑌₁+𝑌₂
2
Ejercicios Resueltos
• Dados los puntos C(6,-4) y D(-4,0), hallar las coordenadas del punto medio de 𝐶𝐷
Las coordenadas del punto M de 𝐶𝐷 son:
𝑀
6 + (−4)
2
,
−4 + 0
2
𝑀
2
2
, −
4
2
𝑀 1, −2
• Calcular las coordenadas de los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD cuyos vértices son A(-
2,1); b(2,-3); C(6,1) y D(2,5)
𝑀₁
−2 + 2
2
,
1 − 3
2
= 0, −1 𝑀₂
2 + 6
2
,
−3 + 1
2
= 4, −1
𝑀₃
6 + 2
2
,
1 + 5
2
= (4,3)
𝑀₄
−2 + 2
2
,
1 + 5
2
= (0,3)

5. Elementos de la Circunferencia:
• Centro: Punto del cual equidistan
todos los puntos de la
circunferencia.
• Radio: Segmento que une el centro
con un punto cualquiera de la
circunferencia.
• Cuerda: Segmento que une dos
puntos de la circunferencia.
• Diámetro: Cuerda que pasa por el
centro de la circunferencia.
• Arco: Porción de la circunferencia
comprendida entre dos de sus
puntos.
Ecuación de la Circunferencia
Supón que se tiene una circunferencia de centro C que tiene
coordenadas (a,b) y considera un punto del plano P de coordenadas
(x,y), se tiene que si reemplazas 𝐶𝑃 = 𝑥 − 𝑎 2 + (𝑦 − 𝑏)² = 𝑟
y elevas a ambos miembros al cuadrado, se obtiene la ecuación:
𝒙 − 𝒂 𝟐
+ 𝒚 − 𝒃 2
= 𝒓2
.
Si en particular el centro de la circunferencia se encuentra en el
origen de coordenadas, la ecuación correspondiente es: 𝒙² + 𝒚² =
𝒓²
También se puede encontrar la llamada ecuación general de la
circunferencia: 𝑨𝒙² + 𝑨𝒚² + 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Trazado de Circunferencias
Para trazar una circunferencia es necesario usar un compas, conocer cual
es el centro y cual es la medida del radio.
• Se mide una abertura en el compas igual al radio
de la circunferencia.
• Con esa abertura se apoya el compas en el centro
de la circunferencia y se gira la punta con el
grafito alrededor del centro.
• Se señalan los puntos interiores de la
circunferencia coloreando su interior.
Circunferencias
Se llama circunferencia a una curva plana y cerrada, cuyos puntos están todos a igual distancia de
una interior llamado centro.

6. Trazado de una circunferencia que pasa por tres puntos
Teniendo tres puntos A, B y
C de la circunferencia. Se
trazan dos segmentos
uniendo dichos puntos: AB y
BC.
Se trazan las mediatrices de
ambos segmentos, donde su
punto de corte será el centro
de la circunferencia y su
radio la distancia desde
dicho punto a cualquiera de
los otros tres dados.
Se hace centro abriendo el
compás hasta cualquiera de
los puntos dados y se dibuja
la circunferencia.
Ejercicios Resueltos
• Hallar la ecuación canónica de la
circunferencia que tiene centro el punto O(4,2)
y radio 3
𝑥 − 𝑎 2 + 𝑦 − 𝑏 2 = 𝑟2.
𝑥 − 4 2
+ 𝑦 − 2 2
= 32
.
𝑥 − 4 2 + 𝑦 − 2 2 = 92.
• Encuentra la ecuación de la circunferencia de
radio 3, con centro en el punto de coordenadas (-
1, 4)
𝑥 − 𝑎 2
+ 𝑦 − 𝑏 2
= 𝑟2
.
𝑥 − (−1) 2 + 𝑦 − 4 2 = 32.
𝑥 + 1 2 + 𝑦 − 4 2 = 92.
Parábolas
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes
de un punto fijo y de una recta también fija. Se puede considerar
que la parábola es el limite de una elipse o de una hipérbola,
manteniéndose fijos un foco y el vértice mas cercano a este,
mientras el otro foco retrocede al infinito, deslizándose sobre el
eje.
Se llama eje de la parábola a la recta que contiene al foco y es
perpendicular a la directriz, y vértice al punto intersección de la
parábola y el eje.

7.  Ecuación de la parábola con eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados:
1. Parábola con vértice en (h,k) y eje focal
vertical: (𝒙 − 𝒉)² = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌)
2. Parábola con vértice en (h,k) y eje focal
horizontal: (𝒚 − 𝒌)² = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)
 Ecuación General: 𝑨𝒙² + 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑭 = 𝟎 o 𝑨𝒙² + 𝑩𝒚² + 𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Según sea la dirección del eje focal.
Trazado de Parábolas
Para dibujar una parábola de la que se conoce el
vértice y el foco, se utiliza la técnica de radio vectores,
donde se traza una paralela a la directriz a una distancia
cualquiera d, donde esta recta intersecta al arco de centro f
y radio d, obteniendo los puntos p y q de la parábola.
Por su parte para dibujar una parábola definida por el eje e,
el vértice v y un punto p de la misma, se utilizan los haces
proyectivos, donde se halla el punto q, proyección de p sobre
la tangente a la parábola en el vértice (perpendicular a e por
v). Se divide p/q y q/v en el mismo número de partes y se
procede a su representación grafica.
Otro caso que se puede presentar es dibujar una parábola definida por dos puntos p y q de la misma y
las tangentes en esos puntos, en este caso también se pueden utilizar los haces proyectivos, lo que se
debe realizar es trazar la recta tm desde el punto t, intersección de las tangentes hasta el punto m, punto
medio de pq; luego se traza una paralela a pq por el punto medio de tm y se construye la rejilla de la
figura, que nos proporciona puntos de la parábola.
Ecuación de la Parábola
 Ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y eje horizontal o vertical:
1. Parábola con vértice en (0,0) y eje focal vertical:
𝒙² = 𝟒𝒑𝒚
2. Parábola con vértice en (0,0) y eje focal
horizontal: 𝒚² = 𝟒𝒑𝒙

8. Ejercicios Resueltos
• Hallar la ecuación general de la parábola que tiene foco
el punto de coordenadas (-3,-2) y directriz la recta con
ecuación 𝑥 = 1
𝑦 + 2 2
= −4(2)(𝑥 + 1)
𝑦² + 4𝑦 + 4 = −8𝑥 − 8
8𝑥 + 𝑦² + 4𝑦 + 12 = 0
• Un puente colgante de 120m de longitud tiene trayectoria parabólica sostenida por torres de igual
altura si la directriz se encuentra en la superficie terrestre y el punto mas bajo de cada cable esta a 15m
de altura de dicha superficie, hallar la altura de las torres.
La ecuación de la
trayectoria seria:
𝑥² = 4 15 𝑦
𝑥² = 60𝑦
𝑥² = 60𝑦
60² = 60𝑦
𝑦 = 60
Por lo tanto la altura de las
torres seria:
ℎ = 𝑦 + 𝑝
ℎ = 60 + 15
ℎ = 75𝑚
Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de
ese plano sea igual a una longitud dada. Esos dos puntos se llaman focos de la elipse y la distancia entre
ellos se llama distancia focal.
Ecuaciones de la Elipse
 Ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas y eje focal horizontal o vertical:
 Elipse con centro en (0,0) y eje
focal horizontal:
𝒙²
𝒂²
+
𝒚²
𝒃²
= 𝟏
 Elipse con centro en (0,0) y eje
focal vertical:
𝒙²
𝒃²
+
𝒚²
𝒂²
= 𝟏

9.  Ecuación de la elipse con ejes de simetrías paralelos a los ejes coordenados:
 Eje focal horizontal:
(𝒙−𝒉)²
𝒂²
+
(𝒚−𝒌)²
𝒃²
 Eje focal vertical:
(𝒙−𝒉)²
𝒃²
+
(𝒚−𝒌)²
𝒂²
Trazado de Elipses
Trazado de la elipse mediante
radios vectores:
Es necesario determinar pares de
radio vectores para ello se
establecerán una serie de puntos
sobre el eje mayor 1, 2, 3...., y se
tomaran como parejas de radios
vectores, los segmentos A1-B1,
A2-B2, A3-B3, y así
sucesivamente, determinando los
puntos 1′, 2′, 3′... de la elipse.
Con cada pareja de radios
vectores, se determinarán cuatro
puntos de la elipse, uno en cada
cuadrante de la misma.
Trazado de la elipse por haces
proyectivos:
Se trazara el rectángulo AOCE, y
se dividirán los lados AO y AE en
un mismo número de partes
iguales. Seguidamente se irán
trazando las rectas C1-D1, C2-D2,
entre otros; y en sus intersecciones
se obtendrán puntos de la elipse.
Esto se repetirá para los cuatro
cuadrantes de la elipse.
Trazado de la elipse por
envolventes:
Para este trazado se partirán
de puntos de la
circunferencia principal,
como el P. Se unirá dicho
punto con el foco F, y se
trazaran por P la
perpendicular al segmento
PF, obteniendo la recta t,
tangente a la elipse.
Repitiendo esta operación, se
obtendrán una serie de
tangentes que irán
envolviendo a la elipse.

10. Ejercicios Resueltos
• Hallar la ecuación general de la elipse cuyo eje mayor mide 20
unidades y los focos son los puntos de coordenadas (0, 5 3) y
(0, −5 3)
𝑏² = 𝑎² − 𝑐2
𝑏² = 10 2
− 5 3
2
𝑏² = 100 − 75
𝑏² = 25 → 𝑏 = 5
𝑎 = 10
𝑐 = 5 3
𝑦²
100
+
𝑥²
25
= 1
4𝑥² + 𝑦² = 100
• Una pista de carros tiene forma de elipse, el eje mayor mide 10km y el eje menor 6km.
Determine la distancia a que se encuentra un carro al centro de la pista en el momento en que
pasa a la altura de uno de los focos
𝑥²
5²
+
𝑦²
3²
= 1
Como 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 3, entonces 𝑐² = 𝑎² −
𝑏2
= 25 − 9 = 16
𝑐 = 4
𝑏²
𝑎
=
9
5
𝑑 = 4² +
9
5
𝑑 =
481
5
²
La dimensión de la altura de uno de los
focos a la elipse es la mitad de la dimensión
del lado recto
Teorema de
Pitágoras:

11. Hipérbola
Es el Lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos sea igual a una longitud dada. Esos dos puntos se llaman focos de la hipérbola y la
distancia entre ellos se llama distancia focal.
Ecuaciones de la Hipérbola
• Ecuación de la Hipérbola con centro en el origen de coordenadas:
 Eje focal horizontal:
𝒙²
𝒂²
−
𝒚2
𝒃2 = 𝟏  Eje focal vertical:
𝒚²
𝒂²
−
𝒙2
𝒃2 = 𝟏
• Hipérbola con ejes de simetría paralelos a los ejes coordenados y centro en (h,k):
 Eje focal horizontal:
(𝒙−𝒉)²
𝒂²
−
𝒚−𝒌 𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏  Eje focal vertical:
(𝒚−𝒌)²
𝒂²
−
𝒙−𝒉 𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
Conociendo los vértices y los
focos:
• Se gradúa el eje mayor
arbitrariamente a partir de uno
de los focos y en sentido
opuesto al centro obteniendo
1, 2, 3…
• Se trazan circunferencias con
centro en F1 y radios P1A,
P2A, P3A… y circunferencias
de centro F2 y radios P1B,
P2B, P3B…, los puntos de
intersección de circunferencia
correspondientes, son puntos
de la hipérbola. Se realiza el
mismo procedimiento para la
rama izquierda de la curva
que debe ser simétrica de la
derecha.
Conociendo los vértices y un punto
de la curva:
• Se traza un paralelogramo
rectángulo que pase por P y B,
dividiendo sus lados XP y YP en
idéntico número arbitrario de
partes iguales.
• Se unen con el vértice opuesto A
las divisiones efectuadas en el
segmento YP y con el vértice B
las del segmento XP, las
intersecciones correspondientes
determinan puntos de la curva.
• Se traza el resto de la rama
derecha de igual modo a partir de
un punto P’ simétrico del anterior
respecto al eje mayor y la rama
izquierda de la hipérbola por
simetría.
Trazado de hipérbolas

12. Ejercicio Resuelto
• Hallar la ecuación general de la canónica que tiene por focos los puntos (1,3) y (7,3); y por vértices los
puntos (2,3) y (6,3)
El centro tiene coordenadas 0(4,3)
𝑎 = 2 𝑦 𝑐 = 3
𝑏 = 𝑐² − 𝑎²
= 9 − 4 = 5
(𝑥 − 4)²
4
−
𝑦 − 3 2
5
= 1
5 𝑥2
− 8𝑥 + 16 − 4 𝑦2
− 6𝑦 + 9 = 20
5𝑥² − 40𝑥 + 80 − 4𝑦2
+ 24𝑦 − 36 − 20 = 0
5𝑥² − 4𝑦² − 40𝑥 + 24𝑦 + 24 = 0
Representación Graficas de las Ecuaciones de las Secciones Cónicas
Las cónicas pueden presentarse bajo diversas ecuaciones, tales como la ecuación canónica, ecuación,
general, ecuaciones paramétricas, entre otras. La idea es que a partir de las ecuaciones reducidas o
canónicas se obtengan los elementos característicos, la ecuación general y las ecuaciones paramétricas;
y una vez obtenidas estos datos representar la gráfica de la curva.
Circunferencia
1. 𝒙 − 𝒂 𝟐
+ 𝒚 − 𝒃 2
= 𝒓2
. 2. 𝒙² + 𝒚² = 𝒓²
Parábola
1. 𝒙² = 𝟒𝒑𝒚

13. Parábola
2. 𝒚² = 𝟒𝒑𝒙 3. (𝒙 − 𝒉)² = 𝟒𝒑(𝒚 − 𝒌) 4. (𝒚 − 𝒌)² = 𝟒𝒑(𝒙 − 𝒉)
Elipse
1.
𝒙²
𝒂²
+
𝒚²
𝒃²
= 𝟏 2.
𝒙²
𝒃²
+
𝒚²
𝒂²
= 𝟏 3.
(𝒙−𝒉)²
𝒂²
+
(𝒚−𝒌)²
𝒃²
4.
(𝒙−𝒉)²
𝒃²
+
(𝒚−𝒌)²
𝒂²

14. Hipérbola
1.
𝒙²
𝒂²
−
𝒚𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 2.
𝐲²
𝐚²
−
𝐱𝟐
𝐛𝟐 = 𝟏 3.
(𝒙−𝒉)²
𝒂²
−
𝒚−𝒌 𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏
4.
(𝒚−𝒌)²
𝒂²
−
𝒙−𝒉 𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏

15. Referencias Bibliográficas
Navarro, C. (Ed.).(2012). Guía Didáctica Matemática de 1do año. Caracas, Venezuela: Editorial
Santillana.
Navarro, C. (Ed.).(2012). Guía Didáctica Matemática de 2do año. Caracas, Venezuela: Editorial
Santillana.
Navarro, C. (Ed.).(2012). Guía Didáctica Matemática de 3er año. Caracas, Venezuela: Editorial
Santillana.
Quillet, A. (Ed.).(1973). Enciclopedia Autodidactica Quillet. San Mateo Tecoloapan, México:
W.M.Jackson, INC.
Villena, M. (S.F). Cónicas. Recuperado de:
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=https://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/
123456789/781/3/1487.pdf&ved=2ahUKEwif9-
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Có, P.(2018). Algebra y Geometría analítica, Secciones Cónicas. Recuperado de:
https://usuarios.fceia.unr.edu.ar/~ugarte/Algebra%20y%20Geometria%20Analitica/Conicas/Secciones
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https://sites.google.com/site/cdboscotrazados/trazad/trazado-de-circunferencias
Escuela Técnica Superior de Edificación, Universidad Politécnica de Madrid. (S.F). Trazado de
Parábolas. Recuperado de:
http://www.edificacion.upm.es/geometria/JPA/Paraboloide%20hiperbolico%2005.html#:~:text=Trazad
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A9rtice%20v%20y%20foco%20f.&text=V%C3%A9rtice%20y%20foco%20definen%20el,el%20%22
m%C3%A9todo%20del%20comp%C3%A1s%22.
Bartolomé, A.(2015). Curvas Cónicas. Recuperado de: https://dibujotecnico.com/curvas-conicas-la-
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S.A. Curvas Cónicas, Hipérbola. Recuperado de: https://dibujotecni.com/geometria-
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