Números imaginarios. Potencias de i.

2. NÚMEROS IMAGINARIOS
Los números imaginarios no hacen parte del conjunto de los
números reales.
𝑖 = −1
𝕀
ℝ
Todos los números que conocemos. Nuevo conjunto de números.

3. La ecuación de la forma 𝑥2 + 𝑎 = 0, donde 𝑎 es un número real positivo,
no tienen solución en el conjunto de los números reales porque el
cuadrado de un número real es un número no negativo y al ser sumado
con un numero positivo su resultado no es cero.
La unidad principal o unidad imaginaria se representa con la letra 𝒊 y se
define como de donde 𝑖 = −1, 𝑖2 = −1
Si −𝑠 es un número real negativo, entonces, la raíz cuadrada principal de
− 𝑠 es:
−𝑠 = −1 . 𝑠 = 𝑠 . −1 = 𝑠 . 𝒊
Si tenemos un número negativo, es lo mismo
tenerlo de esta forma: −20 = −1 . 20
Propiedad de las raíces, las podemos
repartir cuando hay una multiplicación.
Definición de número imaginario.

4. Recordemos que para que una raíz sea un número
imaginario el índice de la raíz debe ser par.
−𝟑𝟔 = 𝟔 𝒊 𝟒
−𝟏𝟔 = 𝟐 𝒊
𝟔
−𝟕𝟐𝟗 = 𝟑 𝒊
Si es una raíz con índice impar, este número no sería imaginario
sino que pertenecería a los números reales.
𝟑
−𝟑𝟔 = −𝟑, 𝟑𝟎𝟏
𝟓
−𝟕𝟐𝟗 = −𝟑, 𝟕𝟑

5. EJEMPLO 1

6. Escribe las siguientes raíces como números imaginarios puros:
a. −𝟒𝟗
Aplicamos la propiedad.
−49 = −1 . 49
−49 = 49 . −1
Utilizamos la propiedad
de separar raíces.
−49 = 7 𝒊 Resolvemos la raíz y
aplicamos la propiedad
de números imaginarios.
7 𝒊
Este es el resultado

7. Escribe las siguientes raíces como números imaginarios puros:
b. 𝟒 −𝟏𝟖𝟎
Aplicamos la propiedad.
4 −180 = 4 180 . −1
4 −180 = 4 180 . −1
Utilizamos la propiedad
de separar raíces.
4 −180 = 4.2.3 5𝒊 Sacamos de la raíz lo
que podamos.
4 −180 = 24 5 𝒊
Este es el resultado
4 −180 = 4 22.32 . 5. 𝒊
Propiedad de números
imaginarios y el 180 lo
descomponemos.
Operamos.

8. EJEMPLO 2

9. Hallar la solución de la ecuación 𝟒𝒙𝟐 + 𝟓𝟔 = 𝟐𝟎
Dejemos despejar a 𝒙.
4𝑥2 + 56 = 20
4𝑥2 = 20 − 56
Pasamos el 56 al otro
lado de la igualdad.
4𝑥2 = −36 Operamos.
𝑥2
=
−36
4
Como el 4 está multiplicando
pasa a dividir.
𝑥2 = −9 Operamos.
𝑥 = ± −9
Sacamos raíz para que la 𝒙
quede sola.
𝑥 = ±3 𝑖
Este es el resultado
Aplicamos la propiedad de
números imaginarios.

10. Potencias de 𝒊
Las potencias de la unidad imaginaria se obtienen aplicando las
propiedades de la potenciación y la definición de 𝑖, 𝑖2 como se muestra a
continuación.
𝑖1
= 𝑖
𝑖2
= −1
𝑖3
= 𝑖2
. 𝑖 = −1 𝑖 = −𝑖
𝑖4 = 𝑖2 . 𝑖2 = −1 . −1 = 1
Estas cuatro potencias de 𝑖 se denominan potencias básicas de 𝑖, ya que
a partir de 𝑖5
se repiten en períodos de cuatro.

11. En general, para determinar una potencia de 𝑖 con exponente entero, se
procede así:
 Se expresa el exponente de la forma 4𝑛 + 𝑟, donde 𝑛 es un numero
entero y 𝑟 es una número entero positivo o cero.
 Se determina la potencia aplicando las propiedades de la potenciación
y las potencias básicas de 𝑖.

12. EJEMPLO 1

13. Hallar 𝒊𝟐𝟏
𝑖21
= 𝑖4𝑛+𝑟 Tenemos que buscar un número que
multiplicado con 4 se acerque a 21 y el 𝑟 es
lo que hace falta
𝑖21 = 𝑖4 5 +1
En este caso 𝑛 sería el 5 porque 4𝑥5 = 20.
y 𝑟 es 1.
20 + 1 = 21
𝑖21 = 𝑖4 5. 𝑖1 Repartimos la 𝑖 en cada exponente.
𝑖21 = 1 5. 𝑖
Solucionamos el 𝑖4
y esto nos da 1. Luego,
𝑖1
nos da 𝑖.
𝑖21
= 1. 𝑖 Solucionamos el 1 5
y nos da 1.
𝑖21 = 𝑖
Este es el resultado
Multiplicamos 𝑖 por 1.

14. EJEMPLO 2

15. Hallar 𝒊𝟏𝟐𝟑
𝑖123
= 𝑖4𝑛+𝑟
Tenemos que buscar un número que
multiplicado con 4 se acerque a 123 y el 𝑟
es lo que hace falta.
𝑖123 = 𝑖4 30 +3
En este caso 𝑛 sería el 30 porque 4𝑥30 = 120.
y 𝑟 es 3.
120 + 3 = 123
𝑖123
= 𝑖4 30
. 𝑖3 Repartimos la 𝑖 en cada exponente.
𝑖123 = 1 30. −𝑖
Solucionamos el 𝑖4 y esto nos da 1. Luego,
𝑖3 nos da −𝑖.
𝑖123
= 1. −𝑖
Solucionamos el 1 30
y nos da 1.
𝑖123 = −𝑖
Este es el resultado
Multiplicamos −𝑖 por 1.

16. EJEMPLO 2

17. Hallar 𝒊−𝟒𝟓𝟒
𝑖−454 = 𝑖4𝑛+𝑟
Tenemos que buscar un número negativo
que multiplicado con 4 se pase por un poco a
-456 y el 𝑟 sigue siendo un número positivo.
𝑖−454 = 𝑖4 −114 +2
En este caso 𝑛 sería el -114 porque
4𝑥 − 114 = −456. y 𝑟 es 2.
−456 + 2 = −454
𝑖−454 = 𝑖4 −114. 𝑖2 Repartimos la 𝑖 en cada exponente.
𝑖−454 = 1 −114. −1
Solucionamos el 𝑖4 y esto nos da 1. Luego,
𝑖2 nos da −1.
𝑖−454
= 1. −1 Solucionamos el 1 −114 y nos da 1.
𝑖−454
= −1
Este es el resultado
Multiplicamos −1 por 1.

18. Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Halle la solución de cada ecuación:
1. 𝑥2 + 16 = 4
2. 5𝑥2 + 40 = −60
3. −𝑦2
+ 8 = −5𝑦2
4. 57 = 30 − 𝑥2

19. Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Halla las siguientes potencias de 𝑖:
1. 𝑖32
2. 𝑖349
3. 𝑖−75
4. 𝑖.−4

20. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 50 y 51 podemos encontrar la
definición y ejemplos de números imaginarios y potencias de i.
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 51 podemos encontrar
ejercicios de números imaginarios y potencias de i.

21. LIBRO SANTILLANA
Les sugiero que realizan los puntos 391 al 398, 405 al 410, 411 al 416
de la pág. 51. Cuando tengan el resultado me pueden enviar una foto
sólo del resultado y yo les confirmo si está bien o no.
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas.
Visita el E-book – unidad 1 – pág. 50 busca este icono
encontraras presentación donde explican la historia de los números
complejos. Además, en la pág. 51 encontrar estos iconos los
cuales muestran un archivo imprimible donde podrás practicar con otros
ejercicios diferentes a los del libro y una actividad donde puedes
practicar potencias de i.

22. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

23. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de números
imaginarios.
https://www.youtube.com/watch?v=Qv_bvmJJfV0
https://www.youtube.com/watch?v=vZTiu_4Gr_c
Número imaginarios
https://www.youtube.com/watch?v=3Huxx2sGWWA

24. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de conjuntos de
los números complejos.
https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro
Para que vayan estudiando los números complejos.

25. Solución de ejercicios # 1
1. 𝑥 = ±2 3 𝑖
2. 𝑥 = ±5 2 𝑖
3. 𝑦 = ± 2 𝑖
4. 𝑥 = ±3 3 𝑖

26. Solución de ejercicios # 2
1. 1
2. 𝑖
3. 𝑖
4. 1

27. ¡GRACIAS!