Números Complejos: 1. Representación gráfica de los números complejos. 2. Conjugado y opuesto de un número complejo. 3. Operaciones con números complejos.

2. NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos está formado por el conjunto de los
números reales y los imaginarios.
𝑖 = −1
𝕀
ℝ ℂ
Tiene una parte Real y otra Imaginaria.

3. El conjunto de los números complejos está formado por los números de
la forma 𝑎 + 𝑏𝑖, donde 𝑎 y 𝑏 son números reales.
Este conjunto se simboliza con ℂ.
En el número complejo 𝑎 + 𝑏𝑖 se distinguen dos partes: el número 𝑎 se
llama parte real del número complejo y el número 𝑏𝑖 se llama parte
imaginaria.
Por ejemplo, en el número 3 + 5𝑖, la parte real es 3 y la parte imaginaria
es 5𝑖 .
De lo anterior se deduce que todo número real puede expresarse como
un número complejo de la forma 𝑎 = 𝑎 + 0𝑖.
Del mismo modo, todo número imaginario puro se puede expresar como
número complejo de la forma 𝑏𝑖 = 0 + 𝑏𝑖.

4. Todo número complejo se puede expresar de dos formas, así:
 En forma binomial: es la forma como se expresa por definición, es
decir, de la forma 𝑎 + 𝑏𝑖.
Por ejemplo, los números 2 + 5𝑖 y −7 + 2𝑖 están escritos en forma
binomial.
 En forma cartesiana: es como pareja ordenada, donde la primera
componente es la parte real y la segunda componente es el
coeficiente de la parte imaginaria.
En general, el número 𝑎 + 𝑏𝑖 en forma cartesiana es 𝑎, 𝑏 . Por ejemplos,
− 7 + 2𝑖 se puede escribir en formal cartesiana como −7, 2 .

5. Todo número complejo se puede representar
geométricamente sobre el plano complejo.
El plano complejo es un sistema de
coordenadas rectangulares, en el cual el eje
horizontal es el eje real y el eje vertical es el eje
imaginario.
Para representar el número 𝑎 + 𝑏𝑖 se usa su
forma cartesiana 𝑎, 𝑏 donde la primera
componente 𝑎, se ubica sobre el eje real, y la
segunda componente 𝑏, se ubica sobre el eje
imaginario.
Representación gráfica de los números complejos.
No hay necesidad de poner las 𝑖.

6. Por ejemplo, los números complejos −1 + 3𝑖 y 2 − 𝑖 en su forma
cartesiana son −1, 3 y 2, −1 , respectivamente, y su representación
gráfica es:

7. EJEMPLO 1

8. Identifica en los siguientes números complejos la parte real y la
parte imaginaria. Luego, expresarlos en forma cartesiana.
a. 𝟕 + −𝟑𝟔
Aplicamos la propiedad y
separar el número negativo.
𝟕 + −𝟑𝟔 = 7 + 36. −1
𝟕 + −𝟑𝟔 = 7 + 36 . −1 Separar raíces.
𝟕 + −𝟑𝟔 = 7 + 6𝑖 Solucionamos.
Luego, la parte real es 7 y la parte imaginaria es 6𝑖.
Así, 7 + 6𝑖 en forma cartesiana es 7, 6 .

9. EJEMPLO 2

10. Identifica en los siguientes números complejos la parte real y la
parte imaginaria. Luego, expresarlos en forma cartesiana.
b. −𝟗 + 𝟏𝟒𝟒
Cómo no tenemos una raíz
negativa, operamos.
−𝟗 + 𝟏𝟒𝟒 = −9 + 144
−𝟗 + 𝟏𝟒𝟒 = −9 + 12 Operamos.
−𝟗 + 𝟏𝟒𝟒 = 3 Solucionamos.
−𝟗 + 𝟏𝟒𝟒 = 3 + 0𝑖 Lo llevamos a número complejo.
Luego, la parte real es 3 y la parte imaginaria es 0𝑖.
Así, 3 + 0𝑖 en forma cartesiana es 3, 0 .

11. EJEMPLO 3

12. Identifica en los siguientes números complejos la parte real y la
parte imaginaria. Luego, expresarlos en forma cartesiana.
c. −𝟖 −𝟗 + 𝟐 −𝟏𝟔𝟗 − 𝟕
Aplicamos la propiedad y
separar el número negativo.
= −8 9. −1 + 2 169. −1 − 7
= −8 9 . −1 + 2 169 . −1 − 7 Solucionamos.
= −8. 3 𝑖+ 2. 13 𝑖 − 7 Desarrollamos las raíces.
= −24 𝑖+ 26 𝑖 − 7 Desarrollamos las raíces.
= 2 𝑖 − 7 Desarrollamos las raíces.
Luego, la parte real es −7 y la parte imaginaria es 2𝑖.
Así, −7 + 2𝑖 en forma cartesiana es −7, 2 .

13. EJEMPLO 4

14. Representar los siguientes números complejos en el plano complejo.
a. 𝟐 − 𝒊
En forma cartesiana es 𝑃 2, −1 .
b. −𝟑 + 𝟒𝒊
En forma cartesiana es 𝑄 −3, 4 .
c.
𝟏
𝟐
𝒊
En forma cartesiana es 𝑆 0,
𝟏
𝟐
.
d.
𝟐
𝟓
−
𝟒
𝟑
𝒊
En forma cartesiana es 𝑇
𝟐
𝟓
, −
𝟒
𝟑
.
e. −𝟑 −
𝟏
𝟒
𝒊
En forma cartesiana es 𝑈 −3, −
𝟏
𝟒
.
f.
𝟑
𝟐
+ 𝒊
En forma cartesiana es 𝑉
𝟑
𝟐
, 1 .

15. Es un número que se diferencia del anterior en el signo de la parte
imaginaria.
El conjugado del número complejozse simboliza 𝑧.
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 entoces, 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖
Conjugado y opuesto de un número complejo.
El opuesto del número complejo es cambiarle los signos sus signos:
Si 𝑎 + 𝑏𝑖 entonces su opuesto es, −𝑎 − 𝑏𝑖

16. Conjugado y opuesto de un número complejo.
Por ejemplo, el conjunto de 𝑧 = 2 + 4𝑖 entonces
conjugado, 𝑧 = 2 − 4𝑖. Si lo llevamos al plano
Número complejo 2, 4 .
Su conjugado 2, −4 .
Su opuesto −2, −4 .
−𝟐, −𝟒

17. Ejercicios # 1
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Expresar los siguientes números como un número complejo,
luego encuentra su forma cartesiana. Además, expresa su
conjugado y su opuesto. Ubícalos en el plano complejo.
1. 16 + −2 =
2. −25 − 9 − 5𝑖 + 49 =
3.
3
2
−4 −
10
4
−
12
2
𝑖 =

18. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 52 y 54 podemos encontrar la
definición y ejemplos de números complejos y su conjugado.
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 53 y 54 podemos encontrar
ejercicios de números complejos y su conjugado.
Les sugiero que realizan los puntos 428 al 451 de la pág. 53. Y
los puntos 459 al 474 de la pág. 54. Cuando tengan el
resultado me pueden enviar una foto sólo del resultado y yo
les confirmo si está bien o no.

19. LIBRO SANTILLANA E-BOOK
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas.
Visita el E-book – unidad 1 – pág. 52 busca estos iconos y
encontraras un imprimible que te permitirá continuar practicando con los
números complejos. Además podrás navegar y explorar cómo se puede
graficar en un plano complejo.
También, en la pág. 54 encontrar este icono en el cual podrás
desarrollar una actividad interactiva acerca del conjugado de los
números complejos.

20. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

21. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de números
complejos.
https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro
https://www.youtube.com/watch?v=aQvmmWQlNZY
Número complejos

22. Adición y sustracción
Operaciones con números complejos.
Para sumar o restar un número complejo, simplemente sumamos o
restamos la parte real con a parte real, y la parte imaginaria con la parte
imaginaria.
Recordemos:
Si por fuera de un paréntesis hay un más (+) los signos de que están adentro del paréntesis no cambian.
Si por fuera de un paréntesis hay un menos (-) los signos de que están adentro del paréntesis cambian por
su signo contrario.
Multiplicación
Para multiplicar números complejos, distribuimos (multiplicamos término a
término), luego resolvemos las potencias y luego operamos reales con
reales e imaginarios con imaginarios.

23. EJEMPLO 1

24. Realizar la siguiente operación.
𝟐 − 𝟓𝒊 − −𝟑 + 𝟖𝒊 + 𝟏𝟐𝒊 − 𝟗
Sacamos los números de
los paréntesis.
2 − 5𝑖 + 3 − 8𝑖 + 12𝑖 − 9
2 + 3 − 9 − 5𝑖 − 8𝑖 + 12𝑖
Juntamos reales con
reales e imaginarios con
imaginarios.
−4 − 𝑖
Operamos reales con
reales e imaginarios con
imaginarios.
Este es el resultado

25. EJEMPLO 2

26. Realizar la siguiente operación.
𝟑 − 𝟔𝒊 𝟕 + 𝟐𝒊
Aplicamos la distribución
(término a término).
3 − 6𝑖 7 + 2𝑖
21 + 6𝑖 − 42𝑖 − 12𝑖2
Operamos las potencias.
21 + 6𝑖 − 42𝑖 − 12 −1 Recuerden que 𝑖2
= −1.
21 + 6𝑖 − 42𝑖 + 12 Solucionamos.
33 − 36𝑖
Operamos reales con
reales e imaginarios con
imaginarios.
Este es el resultado

27. Ejercicios # 2
Van a realizar los siguientes ejercicios.
Resuélvanlos y al final de la diapositiva está el
resultado para que los comparen.
Realizar las siguientes operaciones. Además encuentra su
conjugado y su opuesto:
1. 12 − 3𝑖 + 𝑖 − 13 − 1 + 𝑖 − 𝑖 =
2. 45𝑖 − 8 + −20 − 𝑖 + 4 5𝑖 + 3 2 =
3.
2
7
−
1
4
𝑖
7
9
−
6
4
𝑖 =

28. LIBRO SANTILLANA
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 55, 56, 57 y 59 podemos
encontrar la definición y ejemplos de operaciones entre
números complejos.
En el libro Santillana Vol. 1 pág. 57, 58 y 60 podemos encontrar
ejercicios de operaciones entre números complejos.
Les sugiero que realizan los puntos 500 al 507 de la pág. 58. Y
los puntos 526 al 535 de la pág. 60. Cuando tengan el resultado
me pueden enviar una foto sólo del resultado y yo les confirmo
si está bien o no.

29. LIBRO SANTILLANA E-BOOK
En la plataforma Santillana Compartir podrán encontrar ejemplos o
actividades didácticas.
Visita el E-book – unidad 1 – pág. 54 encontrar este icono en el cual
podrás desarrollar una actividad interactiva acerca de operaciones con
adición y sustracción con números complejos.
También, en la pág. 59 encontrar este icono en el cual podrás
desarrollar una actividad interactiva acerca de operaciones
multiplicativas con números complejos

30. Si quieren ver más ejercicios y ejemplos…
pueden visitar mi Instagram o pagina web, en
las cuales constantemente estaré publicando
contenido matemático.
https://www.instagram.com/joselprofe/
https://mathpage.wixsite.com/joselprofe

31. Pueden visitar los siguientes Links para ver más
ejemplos y explicación acerca de operaciones
con números complejos.
https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk
https://www.youtube.com/watch?v=m3Oeu_fnnXk
https://www.youtube.com/watch?v=38DPFbTKUpQ

32. Solución de ejercicios # 1
Número complejo: 4 + 2 𝑖. Cartesiana: 4, 2
Su conjugado: 4 − 2 𝑖. Cartesiana: 4, − 2
Su opuesto: −4 − 2 𝑖. Cartesiana: −4, − 2
Número complejo: −2 + 0𝑖. Cartesiana: −2, 0
Su conjugado: −2 − 0𝑖. Cartesiana: −2, 0
Su opuesto: 2 − 0𝑖. Cartesiana: 2, 0
Número complejo: −
10
4
− 3𝑖. Cartesiana: −
10
4
, −3
Su conjugado:−
10
4
+ 3𝑖. Cartesiana: −
10
4
, 3
Su opuesto:
10
4
+ 3𝑖.Cartesiana:
10
4
, 3
Punto 1:
Punto 2:
Punto 3:

33. Solución de ejercicios # 2
Número complejo: −2 − 4 𝑖. Cartesiana: −2, −4
Su conjugado:−2 + 4 𝑖. Cartesiana: −2, 4
Su opuesto: 2 + 4 𝑖. Cartesiana: 2, 4
Número complejo: 2 + 21,2𝑖. Cartesiana: 2, 21.2
Su conjugado: 2 − 21,2𝑖. Cartesiana: 2, −21.2
Su opuesto: − 2 − 21,2𝑖. Cartesiana: − 2, −21.2
Número complejo: −
11
72
−
157
252
𝑖. Cartesiana: −
11
72
, −
157
252
Su conjugado:−
11
72
+
157
252
𝑖. Cartesiana: −
11
72
,
157
252
Su opuesto:
11
72
+
157
252
𝑖.Cartesiana:
11
72
,
157
252
Punto 1:
Punto 2:
Punto 3:

34. ¡GRACIAS!