Muhammad sahid - fraktal koch snowflake

1. FRAKTAL KOCH SNOWFLAKE
Muhammad Sahid – 152151095
muhammad_sahid85@yahoo.com
uji serta syukur penulis
panjatkan kepada raja dari
segala raja, cinta dari segala
cinta, pencipta dari segala pencipta
yakni Alloh swt dan sholawat beserta
salam semoga terlimpahkan kepada
Nabi Muhammad saw. Atas berkat
dan rahmat-Nya penulis bisa
menyelesaikan karya tulis dari
sebuah fraktal. Istilah fraktal
diberikan oleh Benoit Mandelbrot
tahun 1975 dan diturunkan dari
bahasa latin, fractus yang berarti
“pecah” atau “patah” fraktal
matematika didasarkan pada
persamaan iterasi, semacam umpan
balik berdasarkan rekursif.
Mandelbrot menggunakan
dimensi yang lebih abstrak daripada
yang digunakan dalam Euclid
(geometri biasa yang diajarkan
disekolah), dengan menyatakan
bahwa dimensi sebuah fraktalharus
digunakan sebagai pangkat pada saat
mengukurnya. Hasilnya adalah
bahwa sebuah fraktal tidak mungkin
diperlakukan seperti benda-benda
geometris lain yang berdimensi satu,
dua, atau bilangan-bilangan bulat
lain. Akan tetapi, fraktal harus
diperlakukan secara matematis
sebagai bentuk-bentuk geometris
yang berdimensi pecahan. Sebagai
contoh fraktal Koch snowflake
1.2618.
Fraktal Koch snowflake
dihasilkan oleh prosdur geometris
sederhana yang dapat diiterasikan tak
terbatas dengan membagi segmen
sisi segitiga samasisi menjadi tiga
bagian yang sama. Seperti gambar
dibawah ini.
Fraktal Koch snowflake atau bunga
salju memiliki motif yang sangat
bagus apabila terus menerus
diiterasikan. Motif dari Koch
snowflake sering digunakan oleh
orang-orang zaman dulu dinegara
china dengan menerapkannya pada
motif sebuah jendela.
Pada fraktal koch snowflake
bisa dicari banyaknya segitiga pada
suku ke-n (Un), jumlah banyaknya
segitiga pada suku ke-n (Sn), panjang
benang yang dibutuhkan pada suku
ke-n (Un), jumlah panjang benang
yang dibutuhkan pada suku ke-n (Sn),
luas total segitiga pada suku ke-n
(Un), jumlah luas total segitiga pada
suku ke-n (Sn) serta pembuktian
secara induksi matematika dari
masing-masing rumus yang sudah
diperoleh untuk membuktikan bahwa
rumus tersebut adalah benar. Oleh
karena itu, penulis Akan
membahasnya secara lengkap jelas
dan faktual. Perhatikan uraian
dibawah ini secara seksama.
segitiga samasisia dengan panjang rusuk 1 cm menghasilkan koch snowfalke dengan panjang rusuknya dibagi tiga seiring bertambahnya suku
1 cm
Gambar 1.koch snowflake
U4U3U2U1
P

2. 1) Banyaknya segitiga pada suku ke-n (Un)
Bangun yang sudah ada dapat dihitung untuk banyaknya segitiga pada suku
ke-n (Un) dari data dibawah ini.
U1 U2 U3 U4 U5 . . . Un
1 , 4 , 16 , 64 , 256 , . . . , Un
dari data diatas dapat diperoleh a = 1 serta r = 4 yang membentuk sebuah pola
beraturan atau disebut dengan barisan geometri. Rumus untuk mencari suku
ke-n (Un), apabila diketahui a sebagai suku ke-1 (U1) dan r sebagai rasio
(pengali) dalam barisan aritmatika adalah Un = arn-1maka untuk mencari suku
ke-n (Un) dari pola diatas ialah
Un = arn-1 , a = 1 dan r = 4
Un = 4n-1
2) Jumlah banyaknya segitiga pada suku ke-n (Sn)
Jika dijumlahkan banyaknya segitiga dari suku ke-1 sampai dengan suku
ke-n maka diperoleh suatu pola sebagai berikut.
U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + . . . + Un
1 + 4 + 16 + 64 + 256 + . . . + Un
dapat ditarik sebuah kesimpulan bahwa pola diatas juga sama memiliki a = 1
serta r = 4 dan untuk mencari jumlah pola diatas yaitu dengan menggunakan
rumus deret geometri yakni
Sn = a(rn – 1) r ≥ 1
r – 1
Apabila a = 1 serta r = 4 disubstitusikan pada rumus deret geometri maka
diperoleh
Sn = a(rn – 1)
r – 1
Sn = 1(4n – 1)
4 – 1
Sn = (4n – 1)
3
Sn =
1
3
(4 𝑛
− 1)

3. Jadi, rumus untuk jumlah banyaknya segitiga pada suku ke-n (Sn) ialah
Sn =
1
3
(4 𝑛
− 1).
3) Pembuktian secara induksi matematika
Pembuktian secara induksi matematika dari
1 + 4 +16 + 64 + 256 + . . . + 4n-1 =
1
3
(4n
− 1)
Bukti :
 Misalkan p(n) menyatakan 1 + 4 +16 + 64 + 256 + . . . + 4n-1 =
1
3
(4n
− 1)
P(1) adalah 41-1 =
1
3
(41
− 1)
40 =
1
3
(4 − 1)
1 =
1
3
(3)
1 = 1
pernyatan benar.
 Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu :
1 + 4 +16 + 64 + 256 + . . . + 4k-1 =
1
3
(4k
− 1), pernyataan benar.
Selanjutnya harus ditunjukan bahwa p(k+1) benar, yaitu :
1 + 4 +16 + 64 + 256 + . . . + 4k-1 +4k =
1
3
(4k+1
− 1)
Hal ini ditunjukan sebagai berikut :
1 + 4 +16 + 64 + 256 + . . . + 4k-1 +4k =
1
3
(4k
− 1) + 4 𝑘
=
1
3
(4k
− 1) + 4 𝑘
=
1
3
.4k
−
1
3
+ 4 𝑘
=
1
3
.4k
+ 4 𝑘
−
1
3
=
4
3
.4 𝑘
−
1
3
=
4k
.4
3
−
1
3
=
1
3
(4 𝑘+1
− 1)
Ternyata 1 + 4 +16 + 64 + 256 + . . . + 4k-1 + 4k =
1
3
(4k+1
− 1) untuk
p(k+1) pernyataan benar. Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.
4) Panjang benang yang dibutuhkan pada suku ke-n (Un)
Benang yang dibutuhkan untuk membuat suatu bangun dari suku ke-1
sampai suku ke-n membentuk sebuah pola. Menghitung benang yang
dibutuhkan berarti sama halnya dengan mencari keliling bangun tersebut
karena bangun yang menjadi objek disini tanpa disertai garis dalam. Panjang
benang pada generator utama yaitu 3 cm, ini berarti tiap sisi panjangnya 1 cm.

4. Panjang benang untuk suatu bangun hasil iterasi dari generator utama ialah
6 dikali 1/3 kemudian dijumlahkan dengan 3 dikurangi 3 dikali 1/3, begitu juga
bangun selanjutnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan data berikut.
3 = 3
3-3(
1
3
) + 6(
1
3
) = 3 + 3(
1
3
)
3-3(
1
3
) + 6 (
1
3
) − 12 (
1
9
) + 24(
1
9
) = 3 + 3 (
1
3
) + 12(
1
9
)
. . .
pola yang diperoleh sekarang ialah
3 , 3 + 3(
1
3
) , 3 + 3 (
1
3
) + 12(
1
9
) , 3 + 3(
1
3
) + 12 (
1
9
) + 48(
1
27
) , . . . , Un
pola diatas jika diperhatikan lebih seksama lagi, tampak seperti pola dari suatu
deret geometri yaitu 3 + 3(
1
3
) + 12 (
1
9
) + 48 (
1
27
) + . . .+ Un. Dari pola tersebut
dicari rumus jumlah ke-n (Sn) dengan alasan untuk mencari rumus dari panjang
benang yang dibutuhkan pada suku ke-n (Un). Untuk mempermudah dalam
mencari rumus jumlah ke-n (Sn) dari 3 + 3 (
1
3
) + 12 (
1
9
) + 48 (
1
27
)+ . . .+ Un, angka
3 sebagai suku pertama dihilangkan kemudian pola yang diperoleh ialah
3 (
1
3
) + 12 (
1
9
) + 48 (
1
27
)+ . . .+ Un
Dari pola yang ada diperoleh a =
3
3
serta r =
3
4
, dengan menggunakan
Sn =
𝑎(𝑟 𝑛
−1)
𝑟−1
r ≥ 1 maka Sn =
𝑎(𝑟 𝑛
−1)
𝑟−1
=
3
3
[(
4
3
)
𝑛
−1]
4
3
−1
=
3
3
[(
4
3
)
𝑛
−1]
1
3
= 3[(
4
3
)
𝑛
− 1]
Adapun untuk penyesuaian rumus pada pola 3 + 3(1
3
)+ 12(1
9
)+ 48( 1
27
)+ . . . + Un
ialah 3 + 3[(
4
3
)
𝑛−1
− 1]. Berarti rumus untuk panjang benang yang
dibutuhkan pada suku ke-n (Un) pada pola
3 , 3 + 3(
1
3
) , 3 + 3 (
1
3
) + 12(
1
9
), 3 + 3(
1
3
) + 12 (
1
9
) + 48(
1
27
) , . . . , Un

5. ialah Un = 3 + 3[(
4
3
)
𝑛−1
− 1].
5) Jumlah panjang benang yang dibutuhkan pada suku ke-n (Sn)
jumlah panjang benang yang dibutuhkan pada suku ke-n (Sn) diperoleh dari
U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un dengan suku-sukunya dari pola panjang benang
yang dibutuhkan pada suku ke-n (Un). Oleh karena itu,
3 + 3 + 3(
1
3
) + 3 + 3(
1
3
) + 12(
1
9
) + 3 + 3(
1
3
) + 12(
1
9
) + 48 (
1
27
) + . . . + Un
merupakan pola dari jumlah panjang benang yang dibutuhkan pada suku ke-n
(Sn). Untuk mempermudah dalam mencari rumus jumlah ke-n (Sn), bisa
mendefinisikan kembali bahwa S1 = U1, S2 = U1+U2, S3 = U1+U2+U3 dan
seterusnya. Perhatikan uraian berikut.
S1 = 3 + 3 [(
4
3
)
1−1
− 1] = 3 + 3 [(
4
3
)
0
− 1] = 1(3)
S2 = 3 + 3 [(
4
3
)
0
− 1] + 3 + 3 [(
4
3
)
1
− 1] = 2(3) + 3[(
4
3
)
1
− 1]
S3 = 3 + 3 [(
4
3
)
0
− 1] + 3 + 3 [(
4
3
)
1
− 1] + 3 + 3 [(
4
3
)
2
− 1] = 3(3) + 3 [(
4
3
)
1
+ (
4
3
)
2
− 2]
. . .
dari data diatas dapat diduga suatu rumus, bahwa tulisan yang berwarna ungu
merupakan suatu deret geometri dengan a =
4
3
dan r =
4
3
maka
Sn =
𝑎(𝑟 𝑛
−1)
𝑟−1
=
4
3
[(
4
3
)
𝑛
−1]
4
3
−1
=
4
3
[(
4
3
)
𝑛
−1]
1
3
=4 [(
4
3
)
𝑛
− 1].
Sehingga diperoleh rumus
Untuk jumlah panjang benang yang dibutuhkan pada suku ke-n (Sn) adalah
Sn = 3𝑛 + 3 [4 {(
4
3
)
𝑛−1
− 1} − ( 𝑛 − 1)] = 3𝑛 + 12 (
4
3
)
𝑛−1
− 12 − 3𝑛 + 3 = 12 (
4
3
)
𝑛−1
− 9
6) Pembuktian secara induksi matematika
Akan dibuktikan bahwa pernyataan
3 + 3 + 3 (1
3
) + 3 + 3 (1
3
) + 12 (1
9
) + 3 + 3 (1
3
) + 12 (1
9
) + 48 (1
27
) + . . . + 3 + 3 [(4
3
)
𝑛−1
− 1] = 12 (4
3
)
𝑛−1
− 9
Adalah benar. Bukti :

6.  Misalkan p(n) menyatakan
3 + 3 + 3 (1
3
) + 3 + 3 (1
3
) + 12 (1
9
) + 3 + 3 (1
3
) + 12 (1
9
) + 48 (1
27
) + . . . + 3 + 3 [(4
3
)
𝑛−1
− 1] = 12 (4
3
)
𝑛−1
− 9
P(1) ialah 3 + 3[(
4
3
)
𝑛−1
− 1] = 12(
4
3
)
𝑛−1
− 9
3 + 3 [(
4
3
)
1−1
− 1] = 12 (
4
3
)
1−1
− 9
3 + 3 [(
4
3
)
0
− 1] = 12 (
4
3
)
0
− 9
3 + 3[1 − 1] = 12.1 − 9
3 + 3[0] = 12 − 9
3 = 3 , pernyataan benar.
 Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu :
3 + 3 + 3 (1
3
) + 3 + 3 (1
3
) + 12 (1
9
) + 3 + 3 (1
3
) + 12 (1
9
) + 48 (1
27
) + . . . + 3 + 3 [(4
3
)
𝑘−1
− 1] = 12(4
3
)
𝑘−1
− 9
Selanjutnya harus ditunjukan bahwa p(k+1) benar, yaitu :
3 + 3 + 3(
1
3
) + 3 + 3 (
1
3
) + 12(
1
9
) + . . . + 3 + 3 [(
4
3
)
𝑘−1
− 1] + 3 + 3 [(
4
3
)
𝑘
− 1] = 12 (
4
3
)
𝑘
− 9
[3 + 3 + 3 (
1
3
) + 3 + 3 (
1
3
) + 12 (
1
9
) + . . . + 3 + 3[(
4
3
)
𝑘−1
− 1]] + 3 + 3 [(
4
3
)
𝑘
− 1] = 12(
4
3
)
𝑘
− 9
[12 (4
3
)
𝑘−1
− 9] + 3 + 3 [(4
3
)
𝑘
− 1] = 12 (4
3
)
𝑘
− 9
12 (4
3
)
𝑘−1
− 9 + 3 + 3 [(4
3
)
𝑘
− 1] = 12 (4
3
)
𝑘
− 9
12.3.4 𝑘
4.3 𝑘
− 6 +
3.4 𝑘
3 𝑘
− 3 = 12(4
3
)
𝑘
− 9
9.4 𝑘
3 𝑘
+
3.4 𝑘
3 𝑘
− 9 = 12 (4
3
)
𝑘
− 9
12 (4 𝑘
3 𝑘
)− 9 = 12(4
3
)
𝑘
− 9
12 (4
3
)
𝑘
− 9 = 12 (4
3
)
𝑘
− 9
Ternyata
3 + 3 + 3(
1
3
) + 3 + 3 (
1
3
) + 12(
1
9
) + . . . + 3 + 3 [(
4
3
)
𝑘−1
− 1] + 3 + 3 [(
4
3
)
𝑘
− 1] = 12 (
4
3
)
𝑘
− 9
Untuk p(k+1) pernyataan benar. Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan
asli n.
7) Luas total segitiga pada suku ke-n (Un)
Fraktal koch snowflake bisa dihitung luas bangun atau luas total segitiga
yang membangunnya dengan catatan diawal, bahwa bangun tersebut tanpa
disertai dengan garis dalam yakni apabila dilukiskan yang tampak hanya garis
luar saja sekaligus menjadi kelilingnya. Hal yang harus diketahui dalam

7. mencari luas segitiga pada dasarnya adalah alas beserta tingginya. Dari fraktal
ini, bisa diperoleh alas beserta tingginya seperti pembahasan dibawah ini.
Untuk mendapatkan luas segitiga pertama (L1) maka tinggi dan alas segitiga
yang digunakan adalah segitiga yang menjadi generator. Begitu pula untuk luas
segitiga ke-n (Ln) maka tinggi dan alas yang digunakan adalah hasil dari iterasi
segitiga yang ada sebelumnya. Oleh karena itu, perlu dicari terlebih dahulu
tinggi dan alasnya untuk mendapatkan luas segitiga.
t1 = √12 − (
1
2
)
2
= √1 −
1
4
= √
3
4
=
1
2
√3
t2 = √(
1
3
)
2
− (
1
6
)
2
= √
1
9
−
1
36
= √
3
36
=
1
6
√3
t3 = √(
1
9
)
2
− (
1
18
)
2
= √
1
81
−
1
324
= √
3
324
=
1
18
√3
. . .
bahkan alas yang digunakan dalam mencari luas segitiga, membentuk suatu
barisan geometri yaitu 1 ,
1
3
,
1
9
,
1
27
,
1
81
, . . . , Un .
Data diatas dapat menunjukan dalam mencari luas segitiga ke-n (Ln) atau
bisa disebut luas segitiga terkecilnya. Selanjutnya mencari luas segitiga ke-n
(Ln) yaitu :
L1=
1
2
. 1.
1
2
√3 = (
1
2
)
2
√3
L2=
1
2
.
1
3
.
1
6
√3 = (
1
6
)
2
√3
L3=
1
2
.
1
9
.
1
18
√3 = (
1
18
)
2
√3
. . .
karena dalam setiap suku terdapat beberapa segitiga kecuali segitiga yang
menjadi generator utama, maka untuk luas segitiganya ialah jumlah dari luas
segitiga pada suku ke-n (Un) atau luas total segitiga pada suku ke-n (Un)
dengan membentuk pola sebagai berikut.
t_3t_2t_1 1
9
1
18
1
3
1
6
1
1
1
2
proy eksi setengah segitiga samasisi pada masing-masing iterasi
Gambar 1.2

8. (
1
2
)
2
√3 ,(
1
2
)
2
√3 + (
1
6
)
2
√3 ,(
1
2
)
2
√3+ (
1
6
)
2
√3 + (
1
18
)
2
√3 , . . . , Un
Pola diatas sama halnya dengan sebuah deret geometri yaitu
(
1
2
)
2
√3 + (
1
6
)
2
√3 + (
1
18
)
2
√3 + (
1
54
)
2
√3 + (
1
162
)
2
√3 , . . . , Un
deret tersebut bisa dirubah lagi untuk mempermudah dalam perhitungan yaitu
1
4
√3 +
1
36
√3 +
1
324
√3 +
1
2916
√3 +
1
26244
√3 , . . . , Un yang memiliki a =
1
4
√3
dan r =
1
9
. Dapat disimpulkan bahwa pola untuk luas total segitiga pada suku
ke-n (Un) yakni
(
1
2
)
2
√3 ,(
1
2
)
2
√3 + (
1
6
)
2
√3 ,(
1
2
)
2
√3+ (
1
6
)
2
√3 + (
1
18
)
2
√3 , . . . , Un
merupakan suatu deret geometri yang memiliki a =
1
4
√3 dan r =
1
9
, jadi rumus
yang didapat dengan menggunakan Sn =
𝑎(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
, r ˂ 1
adalah Sn=
𝑎(1−𝑟 𝑛 )
1−𝑟
=
1
4
√3(1−(
1
9
)
𝑛
)
1−
1
9
=
1
4
√3(1−(
1
9
)
𝑛
)
8
9
=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
𝑛
]
Jadi rumus untuk luas total segitiga pada suku ke-n (Un) adalah
Un=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
𝑛
]
8) Jumlah luas total segitiga pada suku ke-n (Sn)
Pola yang diperoleh ialah dengan menambahkan suku-suku dari pola luas
total segitiga pada suku ke-n (Un) seperti dibawah ini :
(
1
2
)
2
√3 + (
1
2
)
2
√3 + (
1
6
)
2
√3 + (
1
2
)
2
√3 + (
1
6
)
2
√3 + (
1
18
)
2
√3+ . . .+ Un
jika diuraikan jumlah suku per suku menjadi
S1=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
1
]

9. S2=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
1
] +
9
32
√3[1 − (
1
9
)
2
]
S3=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
1
] +
9
32
√3[1 − (
1
9
)
2
] +
9
32
√3[1 − (
1
9
)
3
]
S4=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
1
] +
9
32
√3[1 − (
1
9
)
2
] +
9
32
√3[1 − (
1
9
)
3
] +
9
32
√3[1 − (
1
9
)
4
]
. . .
dari data diatas bisa membentuk suatu pola yang beraturan apabila lebih
disederhanakan lagi menjadi
S1=
9
32
√3[1 − (
1
9
)
1
]
S2=
9
32
√3[2 − {(
1
9
)
1
+ (
1
9
)
2
}]
S3=
9
32
√3[3 − {(
1
9
)
1
+ (
1
9
)
2
+ (
1
9
)
3
}]
S4=
9
32
√3[4 − {(
1
9
)
1
+ (
1
9
)
2
+ (
1
9
)
3
+ (
1
9
)
4
}]
. . .
pernyataan yang diberi warna merupakan suatu pola. Bilangan yang berwarna
ungu menunjukan nilai n pada jumlah suku ke-n (Sn), sedangkan warna yang
lainnya merupakan deret geometri yang terdiri dari a =
1
9
dan r =
1
9
dengan
Sn =
𝑎(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
, r ˂ 1 . pola yang mengandung deret geometri diselesaikan
terlebih dahulu untuk mempermudah dalam proses penghitungan, maka :
Sn =
𝑎(1−𝑟 𝑛)
1−𝑟
=
1
9
(1−(1
9
)
𝑛
)
1−
1
9
=
1
9
(1−(1
9
)
𝑛
)
8
9
=
1
8
[1 − (
1
9
)
𝑛
]
diperoleh rumus untuk jumlah luas total segitiga pada suku ke-n (Sn)
Sn =
9
32
√3[𝑛 − {
1
8
[1 − (
1
9
)
𝑛
]}]
=
9
32
√3[𝑛 − {
1
8
−
1
8
(
1
9
)
𝑛
}]
=
9
32
√3[𝑛 −
1
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑛
]

10. 9) Pembuktian secara induksi matematika
Selanjutnya pembuktian secara induksi matematika bahwa
(1
2
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + (1
18
)
2
√3+ . . . +
9
32
√3 [1 − (1
9
)
𝑛
] =
9
32
√3 [ 𝑛 −
1
8
+
1
8
(1
9
)
𝑛
]
Merupakan pernyataan yang benar. Bukti :
 Misalkan p(n) menyatakan
(1
2
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + (1
18
)
2
√3+ . . . +
9
32
√3 [1 − (1
9
)
𝑛
] =
9
32
√3 [ 𝑛 −
1
8
+
1
8
(1
9
)
𝑛
]
P(1) adalah
9
32
√3 [1 − (
1
9
)
1
] =
9
32
√3[1 −
1
8
+
1
8
(
1
9
)
1
]
9
32
√3[1 −
1
9
] =
9
32
√3[
7
8
+
1
72
]
9
32
√3 [
8
9
] =
9
32
√3[
64
72
]
1
4
√3 =
2
8
√3
1
4
√3 =
1
4
√3 , pernyataa benar.
 Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk setiap bilangan asli k, yaitu :
(1
2
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + (1
18
)
2
√3 + ⋯ +
9
32
√3 [1 − (1
9
)
𝑘
] =
9
32
√3[ 𝑘 −
1
8
+
1
8
(1
9
)
𝑘
]
Selanjutnya harus ditunjukan bahwa p(k+1) benar, yaitu :
(1
2
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + ⋯+
9
32
√3 [1 − (1
9
)
𝑘
] +
9
32
√3[1 − (1
9
)
𝑘+1
] =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(1
9
)
𝑘+1
]
9
32
√3 [ 𝑘 −
1
8
+
1
8
(1
9
)
𝑘
] +
9
32
√3[1 − (1
9
)
𝑘+1
] =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(1
9
)
𝑘+1
]
9
32
√3𝑘 −
9
32.8
√3 +
9.1𝑘
32.8.9 𝑘
√3 +
9
32
√3 −
9.1.1𝑘
9.32.9 𝑘
√3 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(1
9
)
𝑘+1
]
misalkan Y =
9
32
√3 , maka diperoleh
𝑦𝑘 −
1
8
𝑦 +
1
8
(
1
9
)
𝑘
𝑦 + 𝑦 − (
1
9
)
𝑘+1
𝑦 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 + 𝑦 −
1
8
𝑦 +
1
8
(
1
9
)
𝑘
𝑦 − (
1
9
)
𝑘+1
𝑦 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
1
8
.
1 𝑘
9 𝑘
−
1
9
.
1 𝑘
9 𝑘
] 𝑦 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
1
8
(
1
9
)
𝑘
−
1
9
(
1
9
)
𝑘
] 𝑦 =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
9−8
72
(
1
9
)
𝑘
] 𝑦 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]

11. 𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
1
72
(
1
9
)
𝑘
] 𝑦 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
1.1
8.9
.
1 𝑘
9 𝑘
] 𝑦 =
9
32
√3 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
1
8
.
1.1 𝑘
9.9 𝑘
] 𝑦 =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦𝑘 +
7
8
𝑦 + [
1
8
. (
1
9
)
𝑘+1
] 𝑦 =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
𝑦 [ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
] =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
Jika didefinisikan kembali bahwa Y =
9
32
√3 maka diperoleh
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
] =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(
1
9
)
𝑘+1
]
Ternyata
(1
2
)
2
√3 + (1
2
)
2
√3 + (1
6
)
2
√3 + ⋯+
9
32
√3 [1 − (1
9
)
𝑘
] +
9
32
√3[1 − (1
9
)
𝑘+1
] =
9
32
√3[ 𝑘 +
7
8
+
1
8
(1
9
)
𝑘+1
]
merupakan pernyataan yang benar. Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan
asli n.
Uraian diatas memberikan kesimpulan bahwa sebuah segitiga samasisi bisa
menjadi sebuah fraktal. Selain menjadi fraktal segitiga sierpinski, segitiga
samasisi bisa menjadi fraktal koch snowflake yang memiliki motif tersendiri
dan unik. Untuk memperoleh suatu rumus dari fraktal koch snowflake, cukup
menggunakan barisan/deret aritmatika atau geometri. Hanya saja, untuk
memperoleh rumus tersebut harus cerdik dan cermat dalam membuat suatu
pola dari data yang tersedia.
Selama ini penulis baru mengulas fraktal yang diperoleh dari segitiga
samasisi yaitu fraktal segitiga sierpinski dan fraktal koch snowflake. Oleh
karena itu, penulis harap para pembaca bisa menemukan hal-hal yang baru
selain dari fraktal yang diperoleh pada segitiga samasisi. Mudah-mudahan
karya tulis ini bisa bermafaat bagi para pembaca dan bisa menjadi sebuah
infirasi untuk penemuan-penemuan baru dalam bidang matematika.
DAFTAR PUSTAKA
Anonime. “Geometri Fraktal”. [Online]. Tersedia:
http://www.academia.edu/10212802/GEOMETRI_FRAKTAL (07 Juni
2016)