Untuk Kelas VIII smt Ganjil

1. Pola Bilangan dan
Barisan Bilangan

2. • Membuat generalisasi dari pola pada
barisan bilangan dan barisan konfigurasi
objek.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan pola pada barisan bilangan dan
barisan konfigurasi objek.
KOMPETENSI DASAR

3. • Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan pola
bilangan dan barisan bilangan.
• Mengenal unsur-unsur pada pola bilangan dan barisan
bilangan seperti suku pertama, suku berikut, beda, dan rasio.
• Membedakan barisan aritmetika dan barisan geometri.
• Menentukan dan menghitung suku ke-n pada barisan
aritmetika dan barisan geometri.
• Menggunakan konsep pola bilangan dan barisan bilangan
dalam kehidupan.
PENGALAMAN BELAJAR

4. Terjun payung dapat dilakukan dari
pesawat terbang dengan ketinggian
tertentu. Penerjun dapat terjun dan
terbang bebas di udara dengan
kecepatan tinggi mencapai lebih dari
100 km/jam.
Pada penerjunan berkelompok,
masing-masing penerjun dilengkapi
dengan parasut berbahan elastis serta
tambahan bahan menyerupai sayap,
sehingga dapat membantu mereka
untuk melayang di udara secara
horizontal serta memperlambat laju ke
bawah.
Selain itu, dengan peralatan seperti di
atas, para penerjun dapat membuat
formasi tertentu secara berkelompok
sehingga membentuk pola tertentu.

5. Sejarah tentang bilangan segitiga yang dikenal dengan segitiga
Pascal, diawali dengan penemuan sebuah buku kuno India, Shastra
Chandas yang ditulis dalam bahasa Sansekerta pada abad ke-10
yang berisi tentang keterkaitan segala sesuatu dengan alam
semesta.
1.1 PENEMU SEGITIGA PASCAL

6. Pada kurun waktu hampir sama, segitiga Pascal ditemukan oleh
matematikawan Persia (Iran), Al-Karaji (953−1029) dalam
menyelesaikan binomial (x + y)n dengan menggunakan bilangan
segitiga sebagai koefisiennya.
Satu abad kemudian, matematikawan
Persia lainnya yang juga merupakan
astronom dan sastrawan (penyair), yaitu
Omar Khayyam (1048−1131),
mengembangkan topik yang sama
sehingga bilangan segitiga tersebut di Iran
disebut “segitiga Khayyam”.

7. Pascal berhasil mengembangkan bilangan
segitiga yang ada sebelumnya ke dalam
berbagai aplikasi melalui Teori Binomialnya.
Oleh karena itu, bilangan segitiga tersebut
lebih dikenal sebagai segitiga Pascal yang
diunggah oleh seorang ilmuwan dan
matematikawan Perancis bernama Blaise
Pascal (1623−1662).
Bilangan pada segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan
koefisien pada penjabaran pemangkatan suku dua (a + b)n,
menentukan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan
secara terperinci, dan menentukan keanggotaan himpunan
kejadian pada percobaan dalam teori peluang.

8. 1.2 MENGENAL POLA BILANGAN
Susunan benda (objek) atau bangun geometri yang teratur dalam
pembentukannya dapat membentuk pola-pola bilangan yang
menarik.
Gambar 1.4 (i) menunjukkan
formasi atau susunan bola bilyard.
Pada susunan bola tersebut
berturut-turut terdapat 1 bola,
2 bola, 3 bola, 4 bola, dan 5 bola,
sehingga terbentuk susunan
bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 yang
merupakan pola bilangan asli.

9. Gambar 1.4 (ii) menunjukkan susunan bangun-bangun persegi
panjang yang menutupi irisan cangkang keong, di mana masing-
masing persegi panjang tersebut mewakili sebuah bilangan,
sehingga membentuk susunan bilangan 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, dan
55 yang disebut dengan pola bilangan Fibonacci. Pada pola
bilangan Fibonacci, sebuah bilangan diperoleh dari hasil
penjumlahan dua buah bilangan yang tepat berada di depannya.

10. Pola bilangan merupakan susunan atau rangkaian objek yang
dibentuk dengan aturan tertentu. Dengan demikian, bilangan-
bilangan berikutnya pada suatu pola bilangan dapat kita tentukan
jika aturan pembentukannya diketahui.
Bilangan-bilangan yang terdapat pada sebuah pola bilangan
disebut suku, misalnya pada pola bilangan 1, 3, 7, 15, . . . ,
terdapat suku-suku berikut:
• 1 disebut suku pertama,
• 7 disebut suku ketiga,
• 3 disebut suku kedua,
• 15 disebut suku keempat.

11. Contoh:
1.
Gambar di atas menunjukkan susunan batang korek api yang
membentuk pola bilangan.
a. Gambarlah satu suku berikutnya untuk pola bilangan di atas!
b. Tulislah susunan bilangan yang menyatakan banyak batang
korek api pada pola di atas, kemudian tentukan aturan
pembentukannya!
2. Tulislah aturan untuk pembentukan pola bilangan berikut,
kemudian tuliskan dua suku berikutnya!
a. 6, 13, 20, 27, . . . b. 1, 3, 6, 10, . . .

12. 1.
2.
Jawab:

14. 1.3 RAGAM POLA BILANGAN
1.3.1 Pola Bilangan Persegi

17. Contoh:
1. Pada pola bilangan persegi, tentukan suku ke-18 dengan
menggunakan rumus!
Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 𝑃𝑛 = 𝑛2
Suku ke-18 adalah 𝑃18 = 182 𝑛 diganti 18
= 324.
Jawab:
2. Tentukan jumlah dua puluh lima bilangan ganjil yang pertama!
Jawab:

18. 3. Jika suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 196, tentukan
banyak bilangan (suku) pada pola bilangan tersebut!
Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 𝑃𝑛 = 𝑛2, maka:
𝑃𝑛 = 𝑛2
196 = 𝑛2
𝑛 = 14
Jadi, banyak bilangan (suku) pada pola bilangan persegi tersebut
adalah 14.
Jawab:

19. 1.3.2 Pola Bilangan Persegi Panjang
Dengan melakukan Kegiatan Siswa disimpulkan:
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 8

20. Contoh:
1. Pada pola bilangan persegi panjang, tentukan suku ke-14
dengan menggunakan rumus!
2. Tentukan jumlah bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku!
1. Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi panjang adalah
𝑅𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
Suku ke-14 adalah 𝑅14 = 14 × (14 + 1) 𝑛 diganti 14
= 14 × 15 = 210.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 𝑛 suku = 𝑛(𝑛 + 1).
2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku = 22 × (22 + 1) 𝑛 diganti 22
= 22 × 23 = 506.
Jadi, jumlah bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku adalah
506.
Jawab:

21. 3. Jika suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi panjang adalah
9.702, berapakah nilai 𝑛?
Kita mencari bilangan asli berurutan,
yaitu 𝑛 dan (𝑛 + 1) yang hasil kalinya 9.702.
Kedua bilangan itu tidak mungkin lebih dari 100, karena 99 × 100 =
9.900 dan 100 × 101 = 10.100.
Karena hasilnya harus mendekati 9.900, kita coba mengalikan 98
dengan 99, hasilnya adalah 9.702. Ternyata hasilnya benar.
Jadi, nilai 𝑛 pada pola bilangan persegi panjang tersebut adalah
98.
Jawab:

22. Pada pola bilangan segitiga, suku-sukunya sering dinyatakan dengan 𝑇𝑛.
Untuk menentukan rumus pola atau suku ke-𝑛, perhatikan ilustrasi berikut!
1.3.3 Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga sama dengan setengah dari pola bilangan persegi
panjang, sehingga

23. Contoh:
1. Tentukan suku (pola) ke-12 pada pola bilangan segitiga!
Jawab:

24. Contoh:
2. Jika suatu suku pada pola bilangan segitiga adalah 1.275, suku
ke berapakah itu?
Jawab:

25. 1.3.4 Pola Bilangan Segitiga Pascal
Segitiga Pascal merupakan pola
bilangan segitiga dengan berbagai
aplikasi yang diunggah oleh seorang
matematikawan Perancis bernama
Blaise Pascal (1623−1662) melalui
Teori Binomialnya, ketika ia berusia
belasan tahun.
Koefisien pada hasil penjabaran
pemangkatan suku dua (binomial) seperti
(𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 − 𝑏)3, (𝑎 + 𝑏)4, (𝑎 − 𝑏)5,
dan seterusnya dapat diselesaikan dengan memanfaatkan bilangan-
bilangan yang terdapat pada baris-baris dalam segitiga Pascal.

26. A. Menemukan Segitiga Pascal
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 13
Dengan melakukan Kegiatan Siswa disimpulkan:
Segitiga Pascal

27. B. Keistimewaan Segitiga Pascal
1. Pada pola segitiga Pascal terdapat pola-pola bilangan berikut:
• Pola bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, . . . .
• Pola bilangan segitiga, yaitu 1, 3, 6, 10, . . . .
2. Bilangan-bilangan pada setiap baris
merupakan koefisien hasil
penjabaran dari pemangkatan suku
dua (𝑎 + 𝑏)𝑛,
3. Jumlah bilangan pada setiap baris
menunjukkan banyak himpunan
bagian dari suatu himpunan.

28. C. Jumlah Bilangan pada Baris Segitiga Pascal
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 14
Jumlah bilangan pada setiap baris dapat dinyatakan dalam bentuk
bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2, sehingga dapat
disimpulkan sebagai berikut.
Pada segitiga Pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah:
2𝑛−1

29. Contoh:
1. Tentukan baris ke-7 pada pola bilangan segitiga Pascal,
kemudian tentukan jumlah bilangan pada baris tersebut!
Jawab:

31. Contoh:
2. Pada pola bilangan segitiga Pascal, baris keberapakah yang
jumlah bilangannya 32?
Jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n – 1, maka:
2n – 1 = 32
2n – 1 = 25
n – 1 = 5
n = 5 + 1
n = 6
Jadi, baris pada segitiga Pascal yang jumlah bilangannya 32 adalah
baris ke-6.
Jawab:

32. D. Penggunaan Segitiga Pascal
Contoh:
1. Tentukan hasil pemangkatan suku dua berikut!
a. (𝑎 + 𝑏)2 c. (𝑎 + 2𝑏)3
b. (𝑎 – 𝑏)3 d. (3𝑎 + 𝑏)4
Terlebih dahulu kita buat pola bilangan segitiga Pascal.
Jawab:

34. Contoh:
2. Tentukan banyak himpunan bagian dari A = {a, b, c, d, e}
berikut!
a. Mempunyai satu anggota. c. Mempunyai empat anggota.
b. Mempunyai dua anggota. d. Banyak himpunan bagian
seluruhnya.
Jawab:

35. Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas
untuk himpunan dengan lima anggota, yaitu 1, 5, 10, 10, 5, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota
adalah 5, yaitu {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑑}, dan {𝑒}.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 2 anggota
adalah 10, yaitu
𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑎, 𝑑 , 𝑎, 𝑒 , 𝑏, 𝑐 , 𝑏, 𝑑 , 𝑏, 𝑒 , 𝑐, 𝑑 , {𝑐, 𝑒},
dan {𝑑, 𝑒}.
c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota
adalah 5, yaitu:
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒}, {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, dan {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
d. Banyak himpunan bagian dari {a, b, c, d, e} seluruhnya
adalah: 2𝑛 = 25 (bukan 2𝑛−1) = 32.

36. 1.4 BARISAN BILANGAN
1.4.1 Pengertian Barisan Bilangan
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 18
Uraian dan kegiatan di atas menunjukkan, jika bilangan-bilangan
diurutkan dengan aturan tertentu, maka akan diperoleh suatu
barisan bilangan.

37. A. Barisan Aritmetika
Perhatikan barisan bilangan 6, 9, 12, 15, 18, . . . !
ditambah 3
Pada barisan bilangan, tiap-tiap bilangan yang terdapat pada barisan itu
disebut suku.
Barisan bilangan yang memiliki beda antarsuku yang selalu sama atau aturan
pembentukannya ditambah bilangan yang sama disebut barisan aritmetika.

38. B. Barisan Geometri
Perhatikan barisan bilangan 6, 12, 24, 48, 96, . . . !
dikali 2
Barisan bilangan yang memiliki rasio (perbandingan) antarsuku yang selalu
sama seperti barisan bilangan di atas disebut barisan geometri.

39. Contoh:
1. Selidikilah, termasuk barisan mana barisan-barisan bilangan
berikut?
a. 3, 12, 48, 192, . . . b. 4, 9, 14, 19, . . .
Karena rasionya selalu sama, yaitu 4, maka barisan 3, 12, 48, 192, .
. . . adalah barisan geometri.
Jawab:

40. Karena bedanya selalu sama, yaitu 5, maka barisan 4, 9, 14,
19, . . . adalah barisan aritmetika.

41. Contoh:
2. Diketahui barisan bilangan 7, 13, 19, 25, . . . . Tentukan:
a. aturan pembentukannya, c. dua suku berikutnya.
b. jenis barisannya,
Jawab:

42. Contoh:
3. Diketahui barisan bilangan 2, 6, 18, 54, . . . . Tentukan:
a. aturan pembentukannya, c. dua suku berikutnya.
b. jenis barisannya,
Jawab:

43. Contoh:
4. Jika barisan bilangan 16, 2, 𝑥, . . . merupakan barisan geometri,
tentukan:
a. nilai 𝑥, b. dua suku berikutnya.
Jawab:

45. C. Barisan Bilangan Bertingkat
Gambar di atas menunjukkan susunan noktah (bulatan kecil) yang
membentuk pola bilangan segi enam.
Perhatikan pola bilangan berikut!
Barisan
Bilangan
Bertingkat
Banyak noktah dan aturan pembentukkan pola bilangan di atas dapat disajikan
dengan skema berikut.

46. Suku berikutnya pada barisan tersebut dapat dicari dengan cara
berikut.
Jadi, dua suku berikutnya pada barisan bilangan bertingkat di
atas adalah 45 dan 66.

47. Contoh:
Diketahui barisan bilangan 2, 10, 24, 44, . . . . Tentukan:
a. aturan pembentukkan barisan bilangan di atas pada tingkatan
kedua,
b. tiga suku berikutnya pada barisan bilangan tersebut
Jawab:

48. D. Barisan Fibonacci
Aturan pembentukan barisan bilangan tersebut
adalah “suku berikutnya diperoleh dengan
menjumlahkan dua suku di depannya”. Barisan
bilangan seperti itu disebut barisan Fibonacci.
Selain barisan-barisan bilangan di atas, terdapat barisan bilangan lain dengan
aturan pembentukan yang berbeda, misalnya 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . .
Fibonacci nama lain yang lebih dikenal dari nama
aslinya Leonardo Pisano (1175−1250), seorang
matematikawan berkebangsaan Italia. Beliau pulalah
yang mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan
bilangan Arab ke daratan Eropa, karena menurut
pemikirannya, sistem ini lebih praktis dibandingkan
bilangan Romawi.

49. 1.4.2 Suku ke-n pada Barisan Bilangan
Suku ke-n dari suatu barisan bilangan dapat ditulis Un.
a. Suku ke-n pada Barisan Aritmetika
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 25
Berdasarkan kegiatan tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut.

50. Hubungan antara 𝑈𝑛 terhadap 𝑈1 dan 𝑏 pada barisan tersebut, di mana 𝑏 = 4,
dapat dinyatakan dalam bentuk berikut.
Koefisien b pada skema di
samping selalu berkurang 1
dari bilangan urutan suku,
sehingga kita dapat
menyatakan hubungan 𝑈𝑛
terhadap 𝑈1 dan 𝑏 dengan cara
yang sederhana
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut.

51. Contoh:
1. Tentukan rumus suku ke-n pada barisan bilangan berikut
dinyatakan dalam n!
a. 5, 8, 11, 14, 17, . . . b. 24, 20, 16, 12, 8, . . .
Jawab:

53. Contoh:
2. Pada barisan bilangan 5, 12, 19, 26, 33, . . . , tentukan suku
ke-18!
Jawab:
Jadi, suku ke-18 pada barisan bilangan tersebut adalah 56

54. Contoh:
3. Pada barisan aritmetika 2, 8, 14, 20, . . . , suku keberapakah
146?
Jawab:

55. Contoh:
4. Pada barisan aritmetika, diketahui suku ke-3 = 4 dan suku ke-8
= −11. Tentukan:
a. beda barisan tersebut,
b. suku ke-20 pada barisan tersebut.
Jawab:

57. Contoh:
5. Tentukan bilangan asli kelipatan 4 yang ke-38!
Jawab:

58. b. Suku ke-n pada Barisan Geometri
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 30
Berdasarkan kegiatan di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

60. Hubungan Un terhadap U1 dan r dengan cara yang sederhana,
misalnya U20 = U1 × r19 di mana 19 diperoleh dari 20 − 1.

61. Contoh:
1. Tentukan rumus suku ke-n pada barisan bilangan berikut
dinyatakan dalam n!
a. 4, 8, 16, 32, . . . b. 8, 24, 72, 216, . . .
Jawab:

63. Contoh:
2. Suku pertama pada barisan geometri adalah 128 dan suku ke-7
adalah 2. Tentukan:
a. rasio (positif) pada barisan tersebut,
b. suku ke-5 pada barisan tersebut.
Jawab:

64. Contoh:
3. Suku terakhir pada barisan 2, 6, 18, 54, . . . adalah 1.458.
Tentukan banyak suku pada barisan tersebut!
Jawab:

65. Contoh:
4. Pada barisan geometri, diketahui suku ke-3 = 48 dan suku ke-7
= 3.072. Tentukan suku ke-5 pada barisan tersebut!
Jawab:

66. C. Suku ke-n pada Barisan Bilangan Bertingkat

68. Contoh:
Diketahui barisan bilangan bertingkat 1, 4, 11, 22, 37, . . . .
Tentukan:
a. rumus suku ke-n, b. suku ke-10 pada barisan tersebut.
Jawab:

70. 1.4.3 Penjumlahan Bilangan Model Gauss
Kerjakan!
Kegiatan Siswa Halaman 36

71. Contoh:
Tentukan hasil penjumlahan bilangan pada barisan 5, 11, 17, 23,
. . . , 131!
Jawab:

73. 1.4.4 Penerapan Barisan Bilangan
Contoh:
1. Seorang pemilik perkebunan jeruk dapat
memanen 8 ton jeruk pada tahun pertama,
12 ton pada tahun kedua, 16 ton pada
tahun ketiga, dan seterusnya. Jika hasil
panen tersebut bertambah tetap sampai
masa panen tahun ke-18, tentukan:
a. hasil panen jeruk pada tahun ke-18,
b. jumlah hasil panen jeruk sampai masa
panen tahun ke-18.

74. Jawab:

75. Contoh:
2. Beberapa buah mangkok disusun
seperti tunjukkan pada gambar di
samping. Tinggi mangkok paling
bawah (mangkok utuh) adalah
12 cm dan jarak bibir mangkok
yang satu dengan bibir mangkok
yang tepat berada di atasnya
adalah 2,5 cm. Jika tinggi susunan
mangkok seluruhnya adalah
29,5 cm, tentukan banyak
mangkok pada susunan tersebut!

76. Jawab:

77. Contoh:
3. Sebagai tabungan biaya
pendidikan anak, pada tahun
2016 Bunda menyimpan uang di
bank sebesar Rp2.400.000
dengan bunga majemuk sebesar
10% per tahun, artinya bunga
tabungan tersebut akan
berbunga lagi pada tahun
berikutnya. Tentukan besar uang
simpanan Bunda di bank
tersebut pada tahun 2021!

78. Jawab:

79. Contoh:
4. Jumlah tiga buah bilangan bulat berurutan yang membentuk
barisan aritmetika adalah 21. Hasil kali ketiga bilangan
tersebut adalah 231. Tentukan bilangan terbesar di antara
ketiga bilangan tersebut!
Jawab: