mtk

1. Pola Bilangan dan
Barisan Bilangan

2. • Membuat generalisasi dari pola pada
barisan bilangan dan barisan konfigurasi
objek.
• Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan pola pada barisan bilangan dan
barisan konfigurasi objek.
KOMPETENSI DASAR

3. • Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan pola
bilangan dan barisan bilangan.
• Mengenal unsur-unsur pada pola bilangan dan barisan
bilangan seperti suku pertama, suku berikut, beda, dan rasio.
• Membedakan barisan aritmetika dan barisan geometri.
• Menentukan dan menghitung suku ke-n pada barisan
aritmetika dan barisan geometri.
• Menggunakan konsep pola bilangan dan barisan bilangan
dalam kehidupan.
PENGALAMAN BELAJAR

4. Terjun payung dapat dilakukan dari
pesawat terbang dengan ketinggian
tertentu. Penerjun dapat terjun dan
terbang bebas di udara dengan
kecepatan tinggi mencapai lebih dari
100 km/jam.
Pada penerjunan berkelompok,
masing-masing penerjun dilengkapi
dengan parasut berbahan elastis serta
tambahan bahan menyerupai sayap,
sehingga dapat membantu mereka
untuk melayang di udara secara
horizontal serta memperlambat laju ke
bawah.
Selain itu, dengan peralatan seperti di
atas, para penerjun dapat membuat
formasi tertentu secara berkelompok
sehingga membentuk pola tertentu.

5. Sejarah tentang bilangan segitiga yang dikenal dengan segitiga
Pascal, diawali dengan penemuan sebuah buku kuno India, Shastra
Chandas yang ditulis dalam bahasa Sansekerta pada abad ke-10
yang berisi tentang keterkaitan segala sesuatu dengan alam
semesta.
1.1 PENEMU SEGITIGA PASCAL

6. Pada kurun waktu hampir sama, segitiga Pascal ditemukan oleh
matematikawan Persia (Iran), Al-Karaji (953−1029) dalam
menyelesaikan binomial (x + y)n dengan menggunakan bilangan
segitiga sebagai koefisiennya.
Satu abad kemudian, matematikawan
Persia lainnya yang juga merupakan
astronom dan sastrawan (penyair), yaitu
Omar Khayyam (1048−1131),
mengembangkan topik yang sama
sehingga bilangan segitiga tersebut di Iran
disebut “segitiga Khayyam”.

7. Pascal berhasil mengembangkan bilangan
segitiga yang ada sebelumnya ke dalam
berbagai aplikasi melalui Teori Binomialnya.
Oleh karena itu, bilangan segitiga tersebut
lebih dikenal sebagai segitiga Pascal yang
diunggah oleh seorang ilmuwan dan
matematikawan Perancis bernama Blaise
Pascal (1623−1662).
Bilangan pada segitiga Pascal dapat digunakan untuk menentukan
koefisien pada penjabaran pemangkatan suku dua (a + b)n,
menentukan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan
secara terperinci, dan menentukan keanggotaan himpunan
kejadian pada percobaan dalam teori peluang.

8. 1.2 MENGENAL POLA BILANGAN
Susunan benda (objek) atau bangun geometri yang teratur dalam
pembentukannya dapat membentuk pola-pola bilangan yang
menarik.
Gambar 1.4 (i) menunjukkan
formasi atau susunan bola bilyard.
Pada susunan bola tersebut
berturut-turut terdapat 1 bola,
2 bola, 3 bola, 4 bola, dan 5 bola,
sehingga terbentuk susunan
bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 yang
merupakan pola bilangan asli.

9. Gambar 1.4 (ii) menunjukkan susunan bangun-bangun persegi
panjang yang menutupi irisan cangkang keong, di mana masing-
masing persegi panjang tersebut mewakili sebuah bilangan,
sehingga membentuk susunan bilangan 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, dan
55 yang disebut dengan pola bilangan Fibonacci. Pada pola
bilangan Fibonacci, sebuah bilangan diperoleh dari hasil
penjumlahan dua buah bilangan yang tepat berada di depannya.

10. Pola bilangan merupakan susunan atau rangkaian objek yang
dibentuk dengan aturan tertentu. Dengan demikian, bilangan-
bilangan berikutnya pada suatu pola bilangan dapat kita tentukan
jika aturan pembentukannya diketahui.
Bilangan-bilangan yang terdapat pada sebuah pola bilangan
disebut suku, misalnya pada pola bilangan 1, 3, 7, 15, . . . ,
terdapat suku-suku berikut:
• 1 disebut suku pertama,
• 7 disebut suku ketiga,
• 3 disebut suku kedua,
• 15 disebut suku keempat.

11. Contoh:
1.
Gambar di atas menunjukkan susunan batang korek api yang
membentuk pola bilangan.
a. Gambarlah satu suku berikutnya untuk pola bilangan di atas!
b. Tulislah susunan bilangan yang menyatakan banyak batang
korek api pada pola di atas, kemudian tentukan aturan
pembentukannya!
2. Tulislah aturan untuk pembentukan pola bilangan berikut,
kemudian tuliskan dua suku berikutnya!
a. 6, 13, 20, 27, . . . b. 1, 3, 6, 10, . . .

12. 1.
2.
Jawab:

14. 1.3 RAGAM POLA BILANGAN
1.3.1 Pola Bilangan Persegi

17. Contoh:
1. Pada pola bilangan persegi, tentukan suku ke-18 dengan
menggunakan rumus!
Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 𝑃𝑛 = 𝑛2
Suku ke-18 adalah 𝑃18 = 182 𝑛 diganti 18
= 324.
Jawab:
2. Tentukan jumlah dua puluh lima bilangan ganjil yang pertama!
Jawab:

18. 3. Jika suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 196, tentukan
banyak bilangan (suku) pada pola bilangan tersebut!
Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi adalah 𝑃𝑛 = 𝑛2, maka:
𝑃𝑛 = 𝑛2
196 = 𝑛2
𝑛 = 14
Jadi, banyak bilangan (suku) pada pola bilangan persegi tersebut
adalah 14.
Jawab:

19. 1.3.2 Pola Bilangan Persegi Panjang

20. Contoh:
1. Pada pola bilangan persegi panjang, tentukan suku ke-14
dengan menggunakan rumus!
2. Tentukan jumlah bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku!
1. Suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi panjang adalah
𝑅𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
Suku ke-14 adalah 𝑅14 = 14 × (14 + 1) 𝑛 diganti 14
= 14 × 15 = 210.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 𝑛 suku = 𝑛(𝑛 + 1).
2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku = 22 × (22 + 1) 𝑛 diganti 22
= 22 × 23 = 506.
Jadi, jumlah bilangan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . sampai 22 suku adalah
506.
Jawab:

21. 3. Jika suku ke-𝑛 pada pola bilangan persegi panjang adalah
9.702, berapakah nilai 𝑛?
Kita mencari bilangan asli berurutan,
yaitu 𝑛 dan (𝑛 + 1) yang hasil kalinya 9.702.
Kedua bilangan itu tidak mungkin lebih dari 100, karena 99 × 100 =
9.900 dan 100 × 101 = 10.100.
Karena hasilnya harus mendekati 9.900, kita coba mengalikan 98
dengan 99, hasilnya adalah 9.702. Ternyata hasilnya benar.
Jadi, nilai 𝑛 pada pola bilangan persegi panjang tersebut adalah
98.
Jawab:

22. Pada pola bilangan segitiga, suku-sukunya sering dinyatakan dengan 𝑇𝑛.
Untuk menentukan rumus pola atau suku ke-𝑛, perhatikan ilustrasi berikut!
1.3.3 Pola Bilangan Segitiga
Pola bilangan segitiga sama dengan setengah dari pola bilangan persegi
panjang, sehingga

23. Contoh:
1. Tentukan suku (pola) ke-12 pada pola bilangan segitiga!
Jawab:

24. Contoh:
2. Jika suatu suku pada pola bilangan segitiga adalah 1.275, suku
ke berapakah itu?
Jawab:

25. 1.3.4 Pola Bilangan Segitiga Pascal
Segitiga Pascal merupakan pola
bilangan segitiga dengan berbagai
aplikasi yang diunggah oleh seorang
matematikawan Perancis bernama
Blaise Pascal (1623−1662) melalui
Teori Binomialnya, ketika ia berusia
belasan tahun.
Koefisien pada hasil penjabaran
pemangkatan suku dua (binomial) seperti
(𝑎 + 𝑏)2, (𝑎 − 𝑏)3, (𝑎 + 𝑏)4, (𝑎 − 𝑏)5,
dan seterusnya dapat diselesaikan dengan memanfaatkan bilangan-
bilangan yang terdapat pada baris-baris dalam segitiga Pascal.

26. A. Menemukan Segitiga Pascal
Segitiga Pascal

27. B. Keistimewaan Segitiga Pascal
1. Pada pola segitiga Pascal terdapat pola-pola bilangan berikut:
• Pola bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, . . . .
• Pola bilangan segitiga, yaitu 1, 3, 6, 10, . . . .
2. Bilangan-bilangan pada setiap baris
merupakan koefisien hasil
penjabaran dari pemangkatan suku
dua (𝑎 + 𝑏)𝑛,
3. Jumlah bilangan pada setiap baris
menunjukkan banyak himpunan
bagian dari suatu himpunan.

28. C. Jumlah Bilangan pada Baris Segitiga Pascal
Jumlah bilangan pada setiap baris dapat dinyatakan dalam bentuk
bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2, sehingga dapat
disimpulkan sebagai berikut.
Pada segitiga Pascal, jumlah bilangan pada baris ke-n adalah:
2𝑛−1

29. Contoh:
1. Tentukan baris ke-7 pada pola bilangan segitiga Pascal,
kemudian tentukan jumlah bilangan pada baris tersebut!
Jawab:

31. Contoh:
2. Pada pola bilangan segitiga Pascal, baris keberapakah yang
jumlah bilangannya 32?
Jumlah bilangan pada baris ke-n = 2n – 1, maka:
2n – 1 = 32
2n – 1 = 25
n – 1 = 5
n = 5 + 1
n = 6
Jadi, baris pada segitiga Pascal yang jumlah bilangannya 32 adalah
baris ke-6.
Jawab:

32. D. Penggunaan Segitiga Pascal
Contoh:
1. Tentukan hasil pemangkatan suku dua berikut!
a. (𝑎 + 𝑏)2 c. (𝑎 + 2𝑏)3
b. (𝑎 – 𝑏)3 d. (3𝑎 + 𝑏)4
Terlebih dahulu kita buat pola bilangan segitiga Pascal.
Jawab:

34. Contoh:
2. Tentukan banyak himpunan bagian dari A = {a, b, c, d, e}
berikut!
a. Mempunyai satu anggota. c. Mempunyai empat anggota.
b. Mempunyai dua anggota. d. Banyak himpunan bagian
seluruhnya.
Jawab:

35. Perhatikan keterangan pada pola bilangan segitiga Pascal di atas
untuk himpunan dengan lima anggota, yaitu 1, 5, 10, 10, 5, 1.
a. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 1 anggota
adalah 5, yaitu {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑑}, dan {𝑒}.
b. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 2 anggota
adalah 10, yaitu
𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑎, 𝑑 , 𝑎, 𝑒 , 𝑏, 𝑐 , 𝑏, 𝑑 , 𝑏, 𝑒 , 𝑐, 𝑑 , {𝑐, 𝑒},
dan {𝑑, 𝑒}.
c. Banyak himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota
adalah 5, yaitu:
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑒}, {𝑎, 𝑏, 𝑑, 𝑒}, {𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, dan {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.
d. Banyak himpunan bagian dari {a, b, c, d, e} seluruhnya
adalah: 2𝑛 = 25 (bukan 2𝑛−1) = 32.