Kelompok 1 Bimbingan Konseling Islami (Asas-Asas).pdf
rotasi-2.ppt
1.
2. ROTASI
• C. Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi
pada Bidang.
• Pengertian Rotasi
• Putaran / rotasi adalah suatu transformasi yang
memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara
memutar.
• Pengertian persamaan Transformasi Rotasi /
perputaran : Misalkan titik P(x,y) terletak pada bidang
Cartesius. Titik P(x,y) dirotasikan sehingga diperoleh
bayangan titik P’(x’,y’).Persamaan yang menghubungkan
x’ dengan x dan y’ dengan y dinamakan sebagai
persamaan transformasi rotasi pada bidang.Persamaan
transformasi ini juga ditentukan oleh besar sudut dan titik
pusat rotasinya.
• Ada 3 hal yang perlu diperhatika dalam rotasi yaitu :
1. Pusat titik putar
2. Besar sudut putaran
3. Arah putaran.
3. 1. Persamaan transformasi Rotasi
dengan titik pusat di O(0,0)
Perhatikan gambar
berikut !
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0 A
B
C
D
r
r
β
Di dalam segitiga OAP
diperoleh :
OA=OP cos β → x=r cos β dan
AP=OP sin β → y=r sin β
Di dalam segitiga OBP’
diperoleh :
OB=OP’ cos (β+ θ )
X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ
X’=x cos θ - y sin θ
BP’ = OP’ sin (β+ θ )
Y’=r sin (β+ θ )
Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ
Y’=y cos θ + x sin θ
x
4. Jadi dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa:
Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik
pusat rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan
titik P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb:
X’ = x cos θ - y sin θ
Y’ = x sin θ + y cos θ
Jadi dapat dituliskan sbb:
P(x,y) P’(x’,y’) dimana :
X’=x cos θ -ysin θ
Y’=x sin θ + y cos θ
Secara matriks dapat dituliskan sbb :
,
O
y
x
y
x
cos
sin
sin
cos
'
'
5. 1.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di O(0,0) dan θ=(+90o).
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
O(0,0) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh
bayangan sbb :
y
x
y
x
90
cos
90
sin
90
sin
90
cos
'
'
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
0
0
.
0
.
1
.
1
.
0
'
'
0
1
1
0
'
'
6. Contoh 1.1.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang
diputar sebesaar +90o dengan titik pusat O(0,0)?
Jawab :
P(5, -3)
P’ (3, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
7. Secara matematis dapat ditentukan
sbb :
5
3
'
'
0
5
3
0
'
'
3
0
5
1
3
1
5
0
'
'
3
5
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang
dirotasikan sejauh (+90o) dengan titik pusat
O(0,0) adalah P’(3, 5)
8. 1.1.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh
rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o ?
Jawab :
Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan
2x – y = 10 diperoleh sbb:
2y’ – (-x’) = 10
X’ + 2Y’ = 10.
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi
berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y=10
'
'
'
'
x
y
y
x
x
y
y
x
9. Secara geometrik dapat dilukiskan
sebagai berikut :
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
G :2x-y=10
G’ : x+2y=10
A(4, -2)
B(5,0)
B’(0,5)
10. Tugas
1. Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar
sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah
jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0)
2. Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang
diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah
jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?
3. Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25
yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan
arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?
11. 1.B. Persamaan transformasi Rotasi
dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= -90o
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
y
x
y
x
90
cos
90
sin
90
sin
90
cos
'
'
'
'
.
0
.
1
.
1
.
0
0
1
1
0
'
'
x
y
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
12. Contoh 1.2.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat O(0,0)?
• Jawab :
P’ (5, -3)
P(3, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
13. Secara matematis dapat ditentukan
sbb :
3
5
'
'
0
3
5
0
'
'
5
0
3
1
5
1
3
0
'
'
5
3
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan
sejauh (-90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah
P’(5, -3)
14. 1.2.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10
oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -
90o ?
•Jawab :
Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan
2x – y = 10 diperoleh sbb:
2 (-y’) – x’ = 10
-X’ - 2Y’ = 10.
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi
berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y= -10
'
'
x
y
y
x
15. 1.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di
O(0,0) dan θ= 180o .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 180o maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
y
x
y
x
180
cos
180
sin
180
sin
180
cos
'
'
'
'
'
'
0
0
.
1
.
0
.
0
.
1
1
0
0
1
'
'
y
x
y
x
atau
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
16. Contoh 1.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat O(0,0)?
• Jawab :
P’ (-3, -5)
P(3, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
17. Secara matematis dapat ditentukan
sbb :
Jawab :
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan
sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah
P’(-3, -5)
5
3
'
'
5
0
0
3
'
'
5
1
3
0
5
0
3
1
'
'
5
3
1
0
0
1
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
18. 1.3.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10
oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi
180o ?
• Jawab :
Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan
2x – y = 10 diperoleh sbb:
2 (-x’) – (-y’) = 10
-2X’ + Y’ = 10.
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi
berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 180o adalah
2x- y= -10
'
'
'
'
y
x
y
x
atau
y
x
y
x
19. 1.D. Persamaan transformasi Rotasi
dengan titik pusat di O(0,0) dan
θ= (-180o ).
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ=(- 180o) maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
y
x
y
x
180
cos
180
sin
180
sin
180
cos
'
'
'
'
,
'
0
0
.
1
.
0
0
.
1
1
0
0
1
'
'
y
x
y
x
atau
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
20. Contoh 1.4.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar -180o dengan titik pusat O(0,0)?
• Jawab :
P’ (-3, -5)
P(3, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
21. Secara matematis dapat ditentukan
sbb :
Jawab :
5
3
'
'
5
0
0
3
'
'
5
1
3
0
5
0
3
1
'
'
5
3
1
0
0
1
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan
sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah
P’(-3, -5)
22. 1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10
oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi
(-180o ) ?
• Jawab :
Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan
2x – y = 10 diperoleh sbb:
2 (-x’) – (-y’) = 10
-2X’ + Y’ = 10.
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi
berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o )adalah
2x- y= -10 atau y – 2x = 10
'
'
'
'
y
x
y
x
atau
y
x
y
x
23. 1.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan
titik pusat di O(0,0) dan θ= 270o .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 270o maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
y
x
y
x
270
cos
270
sin
270
sin
270
cos
'
'
'
'
'
'
0
0
.
0
.
1
.
1
.
0
0
1
1
0
'
'
x
y
y
x
atau
x
y
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
24. Contoh 1.5.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar 270o dengan titik pusat O(0,0)?
• Jawab :
P’ (5, -3)
P(3, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
25. Secara matematis dapat ditentukan
sbb :
3
5
'
'
0
3
5
0
'
'
5
0
3
1
5
1
3
0
'
'
5
3
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
Jawab :
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan
sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah
P’(5, -3)
26. 1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10
oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o ?
• Jawab :
Dengan mensubstitusikan x = -y’ dan y = x’ ke persamaan
2x – y = 10 diperoleh sbb:
2 (-y’) – (x’) = 10
-2y’ - x’ = 10.
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi
berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o adalah
x + 2y= -10
'
'
'
'
x
y
y
x
atau
x
y
y
x
27. 1.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan
titik pusat di O(0,0) dan θ= (-270o ).
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik
pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ =
(- 270o) maka diperoleh bayangan secara
matriks sbb :
y
x
y
x
270
cos
270
sin
270
sin
270
cos
'
'
'
'
'
'
0
0
.
0
.
1
.
1
.
0
0
1
1
0
'
'
x
y
y
x
atau
x
y
y
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
x
28. Contoh 1.6.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar (-270o) dengan titik pusat O(0,0)?
• Jawab :
P’ (-5, 3)
P(3, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
29. Secara matematis dapat ditentukan
sbb :
Jawab :
3
5
'
'
0
3
5
0
'
'
5
0
3
1
5
1
3
0
'
'
5
3
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan
sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah
P’(-5, 3)
30. 1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y
= 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan
sudut rotasi -270o ?
• Jawab :
Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke
persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:
2 y’ – (-x’) = 10
2y’ + x’ = 10.
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh
rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o
adalah x + 2y = 10
'
'
'
'
x
y
y
x
atau
x
y
y
x
31. Tugas
1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik
pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan
titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik
tersebut ?
3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan
titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik
tersebut ?
4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang
diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat
O(0, 0) ?
5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang
diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat
O(0, 0) ?
32. 2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di M(h,k)
),
,
( k
h
M
Y
P(x, y)
P’(x’, y’)
0
M(h,k)
Jika titik P(x,y) kita pandang
terhadap titik pusat M(h,k) maka
posisi titik P terhadap titik M dapat
dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi
bayangannya P’(x’-h, y’-k)
Sehingga dengan demikia dapat
dituliskan bayang titik P tersebut
didalam koordinat kartesiusnya
sbb:
P(x,y) P’(x’,y’)
dimana :
X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ
Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θ
Secara matriks dapat dituliskan
sbb :
k
h
k
y
h
x
y
x
cos
sin
sin
cos
'
'
X
33. 2.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan
titik pusat di M(h,k) dan θ=(+90o).
• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik
pusat M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka
diperoleh bayangan sbb :
h
k
x
y
h
k
k
h
k
y
h
x
k
y
h
x
y
x
k
h
k
y
h
x
y
x
0
.
1
1
.
0
'
'
0
1
1
0
'
'
k
h
k
y
h
x
y
x
90
cos
90
sin
90
sin
90
cos
'
'
34. Contoh 2.1.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3)
yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
P(5, -3)
P’(6, 4)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
M(2,1)?
35. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
4
6
1
2
3
4
'
'
1
2
0
3
4
0
'
'
1
2
4
0
3
1
4
1
3
0
'
'
1
2
4
3
0
1
1
0
'
'
1
2
1
3
2
5
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
Jawab :
Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (90o) dengan titik
pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)
36. Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan
kurva 3x-4y=-12 oleh rotasi berpusat di
M(-1, 2) dengan susut rotasi 90o ?
• Jawab :
'
'
'
'
x
h
k
k
h
y
y
x
atau
h
k
x
y
h
k
y
x
Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2
ke persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb:
3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12
3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -12
3y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13
4x’ + 3y’ = 1
Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi
berpusat di M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah
4x + 3y= 1
37. 2.B. Persamaan transformasi Rotasi
dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-90o)
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
k
y
h
x
y
x
90
cos
90
sin
90
sin
90
cos
'
'
h
k
x
y
k
h
y
x
atau
x
k
h
h
k
y
y
x
k
h
k
y
h
x
k
y
h
x
k
h
k
y
h
x
y
x
'
'
'
'
(
0
)
).(
1
(
)
(
1
)
.(
0
0
1
1
0
'
'
38. Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
P(3, 5)
P’(4, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
M(1,2)
39. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
0
4
2
1
2
3
'
'
2
1
0
2
3
0
'
'
2
1
3
0
2
1
3
1
2
0
'
'
2
1
3
2
0
1
1
0
'
'
2
1
2
5
1
3
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o)
dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)
40. Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan
kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3)
dengan susut rotasi -90o ?
• Jawab :
h
k
x
y
k
h
y
x
'
'
Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan
k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 12
2(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12
-x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi
berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah
x + 2y= -3
41. 2.C. Persamaan transformasi Rotasi
dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (180o) .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
k
y
h
x
y
x
180
cos
180
sin
180
sin
180
cos
'
'
y
k
x
h
k
h
k
y
h
x
k
y
h
x
Y
X
k
h
k
y
h
x
y
x
2
2
)
).(
1
(
)
.(
0
)
.(
0
)
)(
1
(
'
'
1
0
0
1
'
'
42. Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3)
yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
P(5, -3)
P’(-1, 5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
M(2,1)
44. Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan
kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3)
dengan susut rotasi 180o ?
• Jawab :
'
2
'
2
2
2
'
'
y
k
x
h
y
x
atau
y
k
x
h
y
x
Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan
k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12
8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12
-2x’ + y’ = 10
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi
berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah
2x - y= -10
45. 2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik
pusat di M(h,k) dan θ= (-180o) .
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o)
maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
k
y
h
x
y
x
180
cos
180
sin
180
sin
180
cos
'
'
y
k
x
h
k
h
k
y
h
x
k
y
h
x
y
x
k
h
k
y
h
x
y
x
2
2
)
).(
1
(
)
.(
0
)
.(
0
)
).(
1
(
'
'
1
0
0
1
'
'
46. Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
P(3, 5)
P’(-1, -1)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
M(1,2)
47. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
1
1
2
1
3
2
'
'
2
1
3
0
0
2
'
'
2
1
3
1
2
0
3
0
2
1
'
'
2
1
3
2
1
0
0
1
'
'
2
1
2
5
1
3
1
0
0
1
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
Jawab :
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o)
dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)
48. Contoh 2.4.b Tentukanlah persamaan bayangan
kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3)
dengan susut rotasi -180o ?
• Jawab :
'
2
'
2
2
2
'
'
y
k
x
h
y
x
atau
y
k
x
h
y
x
Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3
ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 12
8 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12
-2x’ + y’ = 10
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi
berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah
2x - y = -10
49. 2.E. Persamaan transformasi Rotasi
dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (270o)
Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka
diperoleh bayangan secara matriks sbb :
k
h
k
y
h
x
y
x
270
cos
270
sin
270
sin
270
cos
'
'
x
k
h
k
h
y
k
h
k
y
h
x
k
y
h
x
y
x
k
h
k
y
h
x
y
x
)
.(
0
)
).(
1
(
)
.(
1
)
.(
0
'
'
0
1
1
0
'
'
50. Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5)
yang diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)?
• Jawab :
P(3, 5)
P’(4, 0)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
M(1,2)
51. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
0
4
2
1
2
3
'
'
2
1
0
2
3
0
'
'
2
1
3
0
2
1
3
1
2
0
'
'
2
1
3
2
0
1
1
0
'
'
2
1
2
5
1
3
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o)
dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)
52. Contoh 2.5.b Tentukanlah persamaan bayangan
kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3)
dengan susut rotasi 270o ?
• Jawab :
'
'
'
'
x
h
k
y
k
h
y
x
atau
h
k
x
k
h
y
y
x
Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2,dan k=3
ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12
-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12
x’ - 2y’ = 15
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi
berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 270o adalah
x - 2y = 15
53. 2.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan
titik pusat di M(h,k) dan θ=(-270o).
• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat
M(h,k) dan sudut θ= (-270o) maka diperoleh
bayangan sbb :
k
h
k
y
h
x
y
x
270
cos
270
sin
270
sin
270
cos
'
'
h
k
x
y
k
h
k
h
k
y
h
x
k
y
h
x
y
x
k
h
k
y
h
x
y
x
)
.(
0
)
.(
1
)
).(
1
(
)
.(
0
'
'
0
1
1
0
'
'
54. Contoh 2.6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3)
yang diputar sebesaar -270o dengan titik pusat M(2,1)?
• Jawab :
P(5, -3)
P’(6, 4)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
-5
-6
X
Y
M(2,1)
55. Secara matematis dapat ditentukan sbb :
• Jawab :
4
6
1
2
3
4
'
'
1
2
0
3
4
0
'
'
1
2
4
0
3
1
4
1
3
0
'
'
1
2
4
3
0
1
1
0
'
'
1
2
1
3
2
5
0
1
1
0
'
'
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
y
x
Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh
(-270o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)
56. Contoh 2.6.b Tentukanlah persamaan bayangan
kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3)
dengan susut rotasi -270o ?
• Jawab :
'
'
'
'
x
k
h
k
h
y
y
x
atau
h
k
x
y
k
h
y
x
Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2,dan
k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:
2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12
-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12
x’ - 2y’ = 15
Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi
berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -270o adalah
x - 2y = 15
57. Tugas
1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik
pusat M(2,-3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik
pusat M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik
pusat M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?
4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar
sebesar (-270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ?
5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar
sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?
