Dokumen tersebut membahas tentang sistem tertentu yang diabstraksikan dari bilangan bulat Z dan operasi penjumlahan +. Diberikan contoh grup Abelian seperti (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (C, +) serta definisi subgrup. Juga dibahas cara menentukan suatu himpunan merupakan subgrup dengan memenuhi sifat tertentu.
PPT kerajaan islam Maluku Utara PPT sejarah kelas XI
Β
Grup dan Sub grup.pptx
1.
2.
3. β€, +
Membentuk suatu sistem
tertentu
Jika kita sama-sama abstraksikan
dalam bentuk yg lebih luas,
sebagai berikut:
ο± Bilangan Bulat β€
diabstraksikan pada sebarang
Himpunan tak kosong G
ο± Operasi + diabstraksikan
menjadi sebarang operasi
biner *
πΊ,β
4. CONTOH
ο§ (β€,+), (β,+) (β,+) dan (β,+)
adalah Grup Abelian.
ο§ β, . bukanlah sebuah grup
karena ada 0 β β dan tidak
memiliki invers (balikan)
ο§ β β 0 , . , β β 0 , . ,
β β 0 , . adalah grup
Abelian.
ο§ πππ₯π β dengan operasi
penjumlahan matriks adalah
Grup Komutatif.
ο§ β€π, + adalah Grup Abelian
5.
6.
7.
8.
9.
10. ο§ Mudah dipahami bahwa 2β€ merupakan subgrup dari grup β€. Secara umum,
untuk setiap π β β€β₯0
, πβ€ merupakan subgrup dari grup β€, +
ο§ Karena β€, + dan β, + keduanya merupakan grup dan β€ β β,
maka β€ merupakan subgrup dari grup β.
ο§ Himpunan semua matriks diagonal berukuran 2 Γ 2, yaitu π· =
π₯ 0
0 π¦
π₯, π¦ β β , merupakan subgrup dari grup π2π₯2 π , + .
ο§ Setiap grup πΊ,β selalu memuat subgrup, yaitu paling tidak
memuat subgrup π dan subgrup πΊ. Kedua subgrup itu
disebut subgrup trivial.
11. Preposisi 3. Misalkan πΊ adalah grup
dan π» adalah suatu himpunan tak kosong
dari πΊ . Himpunan π» merupakan subgrup
dari πΊ jika dan hanya jika pada π»dipenuhi
sifat-sifat berikut:
1. untuk setiap π₯, π¦ β π» berlaku π₯π¦ β π»;
2. terdapat π β π» sehingga untuk semua π₯ β
π» berlaku ππ₯ = π₯π = π₯;
3. untuk setiap π₯ β π» terdapat π₯β1 β
π» sedemikian sehingga π₯π₯β1
= π = π₯β1
π₯.
Teorema 4.
Diberikan grup πΊ dan
himpunan bagian tak
kosong π» dari πΊ .
Himpunan π» merupakan
subgrup dari πΊ jika dan
hanya jika untuk setiap
π₯, π¦ β π» berlaku π₯π¦β1
β
π» .
12. Diketahui bahwa himpunan π2π₯2 β merupakan grup terhadap operasi penjumlahan
matriks. Buktikan bahwa himpunan matriks segitiga atas π2π₯2 β =
π π
0 π
π, π, π β β merupakan subgrup π2π₯2 β , +
Bukti.
i. Himpunan π2π₯2 β β β , sebab
1 1
0 1
β π2π₯2 β .
ii. Diambil sebarang π΄ =
π π
0 π
dan π΅ =
π₯ π¦
0 π§
β π2π₯2 β .
π΄ + π΅β1 = π΄ + βπ΅ =
π π
0 π
+ β
π₯ π¦
0 π§
=
π β π₯ π β π¦
0 π β π§
β π2π₯2 β
Berdasarkan syarat perlu dan cukup subgrup, diperoleh kesimpulan bahwa
himpunan π2π₯2 β merupakan subgrup dari π2π₯2 β dengan operasi penjumlahan
matriks.