Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Similar to Rumus Cauchy-Binet Untuk Mencari Determinan Hasil Kali Dua Matriks
Similar to Rumus Cauchy-Binet Untuk Mencari Determinan Hasil Kali Dua Matriks (20)
Recently uploaded
Recently uploaded (20)
Rumus Cauchy-Binet Untuk Mencari Determinan Hasil Kali Dua Matriks
- 1. RUMUS CAUCHY-BINET UNTUK MENCARI DETERMINAN HASIL KALI DUA BUAH MATRIKS Oleh: Nama : Puteri Aprilianti NIM : 06101008036 Dosen Pembimbing : Dra.Cecil Hiltrimartin, M.Si.
- 2. TEOREMA PERKALIAN DETERMINAN MATRIKS Jika A dan B adalah matriks kuadrat yang ukurannya sama, maka: AB = A B
- 3. MATERI PENUNJANG MATRIKS PERKALIAN DUA MATRIKS A matriks 푚 × 푛 , B matriks 푛 × 푝, hasil kali AB misalnya C 푛 푎푖푘푏푘푗. adalah matriks 푚 × 푝, dimana 푐푖푗 = 푘=1 PERMUTASI
- 4. DETERMINAN Menurut Leibniz , determinan matriks A kuadrat 푛 × 푛 퐴 = 휎∈푆푛 푠푔푛 휎 푛 푖=1 퐴푖,휎푖 SIFAT – SIFAT DETERMINAN Determinan matriks bersifat linear pada operasi penjumlahan dan operasi perkalian di tiap barisnya. MINOR MATRIKS
- 5. MATERI POKOK RUMUS CAUCHY BINET BUKTI RUMUS CAUCHY BINET CONTOH PENGGUNAAN RUMUS CAUCHY BINET
- 6. RUMUS CAUCHY BINET Jika A matriks m × n dan B matriks n × m, maka determinan hasil kali keduanya sama dengan jumlah perkalian minor determinan A dan minor determinan B berorde 푚 × 푚 yang bersesuaian sebanyak 퐶(푛, 푚). 퐴퐵 = 1≤푘1<⋯ <푘푚≤푛 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 푏푘11 ⋯ 푏푘1푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푏푘푚1 ⋯ 푎푘푚푚
- 7. BUKTI RUMUS CAUCHY BINET Jika A matriks 푚 × 푛 dan B matriks 푛 × 푚, maka hasil kali AB adalah, 퐴퐵 = 푛 푘=1 푎1푘 푏푘1 ⋯ 푛 푘=1 푎1푘 푏푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푛 푘=1 푎푚푘푏푘1 ⋯ 푛 푘=1 푎푚푘푏푘푚
- 8. Maka , determinan AB : 퐴퐵 = 푛 푘1=1 푎1푘1 푏푘11 ⋯ 푛 푘푚=1 푎1푘푚푏푘푚푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푛 푘1=1 푎푚푘1 푏푘11 ⋯ 푛 푘푚=1 푎푚푘푚푏푘푚푚 Karena determinan matriks bersifat multilinier untuk tiap kolomnya pada operasi penjumlahan, maka : = 푛 푎1푘1 푏푘11 ⋯ 푎1푘푚푏푘푚푚 푘1,…,푘푚=1 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 푏푘11 ⋯ 푎푚푘푚푏푘푚푚
- 9. sesuai dengan teorema determinan terhadap operasi kolom elementer dengan operasi perkalian, maka kita dapatkan, = 푛 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚푏푘푚푚 푘1,…,푘푚=1 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 푏푘푚푚 푏푘11 = 푛 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 푘1,…,푘푚=1 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 푏푘11푏푘22 … 푏푘푚푚
- 10. 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 merupakan minor determinan dari A berorde 푚 × 푚 . Ketika ada dua atau lebih nilai 푘푛 yang sama misalkan 푘1 = 푘2 = 푘, maka minor determinan A : 푎1푘 ⋮ 푎푚푘 푎1푘 … 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘 … 푎푚푘푚 = 푎1푘 + (−푎1푘 ) ⋮ 푎푚푘 + (−푎푚푘) 푎1푘 … 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘 … 푎푚푘푚 = 0 ⋮ 0 푎1푘 … 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘 … 푎푚푘푚 = 0
- 11. 퐴퐵 = 푛 푎1휎 푘1 ⋯ 푎1휎 푘푚 푘1,…,푘푚=1 ⋯ ⋱ ⋮ 푎푚휎 푘1 ⋯ 푎푚휎 푘푚 푏휎(푘1)1푏휎(푘2)2 … 푏휎(푘푚)푚 Dengan 휎 adalah permutasi dari himpunan 푘1, 푘2, … , 푘푚 . Menurut penjabaran rumus Leibniz, determinan matriks kuadrat A : 푎1휎 푘1 ⋯ 푎1휎 푘푚 ⋯ ⋱ ⋮ 푎푚휎 푘1 ⋯ 푎푚휎 푘푚 = 푠푖푔푛 (휎) 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 dengan 푘1 < 푘2 < ⋯ < 푘푚,
- 12. maka didapatkan 퐴퐵 = 1≤푘1<⋯ <푘푚≤푛 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 휎휖 푆푚 푠푔푛 휎 푏휎(푘1)1푏휎(푘2)2 … 푏휎(푘푚)푚 Karena 푏휎(푘1)1푏휎(푘2)2 … 푏휎(푘푚)푚 = 푚 푖=1 푏휎 푘푖 푖 Maka, = 1≤푘1<⋯ <푘푚≤푛 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 휎휖 푆푚 푠푔푛 휎 푚 푖=1 푏휎 푘푖 푖
- 13. Karena menurut rumus Leibniz, 휎휖 푆푚 푠푔푛 휎 푚 푖=1 푏휎 푘푖 푖 = 푏푘11 ⋯ 푏푘1푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푏푘푚1 ⋯ 푏푘푚푚 Yang merupakan minor determinan dari B berorde 푚 × 푚. Maka kita dapatkan : 퐴퐵 = 1≤푘1<⋯ <푘푚≤푛 푎1푘1 ⋯ 푎1푘푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푚푘1 ⋯ 푎푚푘푚 푏푘11 ⋯ 푏푘1푚 ⋮ ⋱ ⋮ 푏푘푚1 ⋯ 푏푘푚푚
- 14. 푚 = 푛 AB = 푎11 ⋯ 푎1푛 ⋮ ⋱ ⋮ 푎푛1 ⋯ 푎푛푛 푏11 ⋯ 푏1푛 ⋮ ⋱ ⋮ 푏푛1 ⋯ 푏푛푛 = A 퐵 Yang merupakan teorema perkalian dari determinan matriks. 푚 > 푛 , 퐴퐵 = 0
- 15. Contoh soal : 퐴 = 1 2 3 4 5 6 , 퐵 = 7 8 9 10 11 12 퐴퐵 , 퐵퐴 ? 퐴퐵 = 1≤푘1<푘2≤3 푎1푘1 푎1푘2 푎2푘1 푎2푘2 푏푘11 푏푘12 푏푘21 푏푘22 = 1 2 4 5 7 8 9 10 + 2 3 5 6 9 10 11 12 + 1 3 4 6 7 8 11 12 = −3 −2 + −3 −2 + −6 −4 = 36 퐵퐴 = 1≤푘1<푘2<푘3≤2 푎1푘1 푎1푘2 푎1푘3 푎2푘1 푎2푘2 푎2푘3 푎3푘1 푎3푘2 푎3푘3 푏푘11 푏푘12 푏푘13 푏푘21 푏푘22 푏푘23 푏푘31 푏푘32 푏푘33 = 0
- 16. KESIMPULAN Determinan dari hasil kali dua matriks dapat dicari dengan menjumlahkan semua hasil kali minor-minor determinan kedua matriks yang bersesuaian.