Isomorfisme merupakan konsep untuk menghubungkan antara dua grup dimana struktur kedua grup tersebut sama. Isomorfisme akan ada jika pemetaan antara kedua grup memenuhi sifat satu-satu, onto, dan melestarikan operasi.

1. *

2. *
*Isomorfisme hadir sebagai suatu konsep untuk
menghubungkan antara suatu grup dengan grup
yang lain. Konsep ini mirip dengan relasi dan
fungsi.
*Adanya isomorfisme antara 2 buah grup
menunjukkan bahwa struktur antara kedua
grup adalah sama.

3. *
Misalkan 𝐺 adalah suatu grup dengan operasi ∗ dan misalkan 𝐺’ adalah
suatu grup dengan operasi ∘. 𝜙: 𝐺 → 𝐺′ merupakan suatu isomorfisme
jika :
1. 𝜙 satu-satu
2. 𝜙 onto
3. 𝜙 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝜙 𝑥) ∘ 𝜙(𝑦 untuk semua 𝑥 dan 𝑦 di 𝐺
Jika isomorfisme dari G ke G' ada, kita katakan bahwa G isomorfis
terhadap G', dan kita menggunakan notasi G≅G' sebagai simbol
penulisannya. Isomorfisme dari G ke G disebut automorfisme dari G.

4. *
Teorema 3.28 Bayangan dari Identitas dan Invers
Misalkan 𝜙 adalah suatu isomorfisme dari grup 𝐺 ke
grup 𝐺’. Jika 𝑒 menyatakan identitas di 𝐺, dan 𝑒′ menyatakan
identitas di 𝐺’, maka
a. 𝜙 𝑒 = 𝑒′ dan
b. 𝜙 𝑥−1 = [𝜙 𝑥 ]−1 untuk semua 𝑥 di 𝐺.

5. *
*Reflektif
*Simetris
*Transitif

6. *
*Isomorfisma
*Homomorfisma
*Epimorfisma
*Monomorfisma

7. *
Nama
Pemetaan
Sifat pemetaan
Satu-satu Onto Mengawetkan
Isomorfisme   
Homomorfisme - - 
Epimorfisme -  
Monomorfisme  - 

8. *
Homomorfisma
Monomorfisme Efimorfisme
Isomor
fisme

9. Definisi 3.27 Homomorfisme dan Endomorfisme
Misalkan 𝐺 adalah suatu grup dengan operasi ∗ dan misalkan 𝐺’
adalah suatu grup dengan operasi ∘. Suatu homomorfisme dari 𝐺 ke 𝐺’
adalah pemetaan 𝜙: 𝐺 → 𝐺′ sedemikian hingga:
𝜙 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝜙 𝑥) ∘ 𝜙(𝑦
Untuk semua 𝑥 dan 𝑦 di 𝐺.
Jika 𝐺 = 𝐺’, maka Homomorfisme dikatakan endomorfisme.

10. Definisi 3.27 Epimorfisme
Misalkan 𝐺 adalah suatu grup dengan operasi ∗ dan misalkan 𝐺’ adalah
suatu grup dengan operasi ∘. Suatu Epimorfisme dari 𝐺 ke 𝐺’ adalah
pemetaan 𝜙: 𝐺 → 𝐺′ sedemikian hingga:
 𝜙 merupakan suatu homomorfisme
 𝜙 Onto atau 𝐺’ = 𝜙(𝐺) atau dengan kata lain
∀𝑏 ∈ 𝐺′
∃𝑎 ∈ 𝐺 sedemikian sehingga 𝑏 = 𝜙(𝑎)

11. Definisi 3.27 Monomorfisme
Misalkan 𝐺 adalah suatu grup dengan operasi ∗ dan misalkan 𝐺’ adalah
suatu grup dengan operasi ∘. Suatu Epimorfisme dari 𝐺 ke 𝐺’ adalah
pemetaan 𝜙: 𝐺 → 𝐺′ sedemikian hingga:
 𝜙 merupakan suatu homomorfisme
 𝜙 Satu-satu atau dengan kata lain ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 jika 𝑎 ≠ 𝑏 maka
𝜙(𝑎) ≠ 𝜙(𝑏)

12. *
Untuk suatu bilangan bulat 𝑛 > 1 yang pasti,
misalkan 𝜙 dari grup penambahan ℤ ke grup
penambahan ℤ𝑛 didefinisikan dengan
𝜙 𝑥 = [𝑥]
Dimana [𝑥] adalah kelas kongruensi di ℤ𝑛 yang
memuat x

13. *
*𝜙 merupakan suatu homomorfisme
*𝜙 onto, sehingga 𝜙 dapat dikatakan suatu
epimorfisme
*𝜙 bukan satu-satu sehingga bukan merupakan
monomorfisme.

14. *
Untuk 2 grup 𝐺 dan 𝐺’, Jika 𝑒′ menyatakan
elemen identitas pada 𝐺’ dan 𝜙: 𝐺 → 𝐺′
didefinisikan oleh 𝜙 𝑥 = 𝑒′ untuk semua 𝑥 ∈ 𝐺

15. *
*𝜙 merupakan suatu Homomorfisme
*𝜙 bukanlah onto
*𝜙 bukan merupakan satu-satu
*𝜙 dinamakan homomorfisme trivial

16. *
Teorema 3.28 Bayangan dari Identitas dan Invers
Misalkan 𝜙 adalah suatu homomorfisme dari grup 𝐺
ke grup 𝐺’. Jika 𝑒 menyatakan identitas di 𝐺 , dan 𝑒′
menyatakan identitas di 𝐺’, maka
a. 𝜙 𝑒 = 𝑒′ dan
b. 𝜙 𝑥−1 = [𝜙 𝑥 ]−1 untuk semua 𝑥 di 𝐺.

17. *
Misalkan 𝐺 dari suatu grup dari bilangan real
tanpa 0 dibawah operasi perkalian dan grup 𝑍
penambahan. Didefinisikan 𝜙: ℤ → 𝐺 oleh
𝜙 𝑛 =
1, jika n genap
−1, jika n ganjil

18. 𝑚 + 𝑛 𝜙(𝑚) ∙ 𝜙(𝑛) 𝜙 𝑚 + 𝑛
m dan n genap Genap (1)(1) 1
salah satu genap
dan yang lainnya
ganjil
Ganjil (1)(-1) -1
m dan n ganjil Genap (-1)(-1) 1

19. *
*𝜙 merupakan suatu homomorfisme
*𝜙 tidak onto
*𝜙 tidak satu-satu

20. *
Pertimbangkan grup penambahan ℤ dan
pemetaan 𝜙: ℤ → ℤ didefinisikan dengan 𝜙 𝑥 =
5𝑥 untuk semua 𝑥 ∈ ℤ

21. *
*𝜙 merupakan suatu endomorfisme
*𝜙 tidak onto
*𝜙 merupakan suatu monomorfisme.

22. *
Misalkan 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) yakni general linear group of
degree n merupakan grup perkalian dari semua
matriks 𝑛 × 𝑛 yang memiliki invers. Misalkan
suatu pemetaan 𝜙: 𝐺𝐿(2, ℝ) → ℝ∗
didefinisikan
dengan:
𝜙 𝐴 = det 𝐴

23. *
*𝜙 merupakan suatu homomorfisme
*𝜙 onto, sehingga 𝜙 dapat dikatakan suatu
epimorfisme
*𝜙 bukan satu-satu sehingga bukan merupakan
monomorfisme.

24. *
* Ada suatu epimorfisme dari 𝐺 ke 𝐺’
* 𝐺’ dikatakan bayangan homomorfik dari 𝐺

25. *
Definisi Fiber
Misalkan 𝜙 merupakan suatu homomorfisme dari grup 𝐺 ke grup 𝐺’. Fiber atas
suatu elemen 𝑎′ ∈ 𝐺′ adalah himpunan:
𝜙−1
𝑎′
= 𝑎 ∈ 𝐺 𝜙 𝑎 = 𝑎′}
Definisi 3.29 Kernel
Misalkan 𝜙 merupakan suatu homomorfisme dari grup 𝐺 ke grup 𝐺’. Kernel dari
𝜙 adalah himpunan:
ker ϕ = 𝑥 ∈ 𝐺 𝜙 𝑥 = 𝑒′}
Dimana 𝑒′ merupakan identitas di G’.

26. *

27. *
Contoh 1:
𝜙: ℤ → ℤ𝑛 didefinisikan oleh 𝜙 𝑥 = [𝑥]
Contoh 3:
𝜙: ℤ → 𝐺 pada contoh 3 didefinisikan dengan
𝜙 𝑛 =
1, jika n genap
−1, jika n ganjil
Contoh 4:
𝜙: ℤ → ℤ didefinisikan oleh 𝜙 𝑥 = 5𝑥
Contoh 2:
𝜙: 𝐺 → 𝐺′ dimana 𝜙 𝑥 = 𝑒′ untuk semua 𝑥 ∈ 𝐺

28. *
Contoh 1: ker 𝜙 = {𝑥 ∈ ℤ|𝑥 = 𝑘𝑛 untuk semua 𝑘 ∈ ℤ}
Contoh 3: ker 𝜙 = 𝑥 ∈ ℤ 𝑥 = 2𝑘 untuk semua 𝑘 ∈ ℤ}
Contoh 4: ker 𝜙 = {0}
Contoh 2: ker 𝜙 = 𝐺

29. *
*Dimisalkan sebuah pemetaan 𝜙: ℝ∗ → ℝ∗ dimana ℝ∗merupakan grup
dengan operasi kali yang didefinisikan dengan 𝑥 =
𝑥
2
. Temukanlah
ker 𝜙.
*Dimisalkan sebuah pemetaan 𝜙: ℤ4 → ℤ2 dimana ℤ4 dan ℤ2
dmerupakan grup terhadap operasi tambah yang didefinisikan
dengan 𝜙 [𝑥] = 𝑥 + 2 . Temukanlah ker 𝜙.
*Dimisalkan 𝑀𝑛(ℤ) merupakan grup dengan anggotanya berupa
matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dimana komponen matriks berupa bilangan
bulat. Dimisalkan 𝑀𝑛(ℤ) merupakan grup dengan operasi tambah.
Dimisalkan pula ℤ merupakan grup terhadap operasi tambah.
Didefinisikan 𝜙: 𝑀𝑛(ℤ) → ℤ oleh :
𝜙 𝐴 = 𝑎11
Temukanlah ker 𝜙.

30. *
*Dengan menunjukkan ker 𝜙 = {𝑒}
maka kita sudah menunjukkan bahwa
𝜙 bersifat satu-satu

31. *
*Diketahui suatu pemetaan ∅: 𝑍, + → 𝐻 =
1 0
𝑛 1
|𝑛 ∈ 𝑍 ,× .
Apakah  merupakan homomorfisma? Jika iya tentukan kernel !
Apakah  merupakan isomorfisma?Jelaskan!

32. *