Dokumen tersebut membahas tentang teori grup, meliputi definisi dan contoh dari grupoid, semigrup, monoid, dan grup. Juga dibahas sifat-sifat penting grup seperti tertutup, asosiatif, komutatif, unsur kesatuan, dan invers.

1. TEORI GRUP
Ofirenty E. Nubatonis, M.Pd

2. Struktur Aljabar
PART 01
Grupoid
PART 02
Semigrup
PART 03
Monoid
PART 04
Contents
Grup
PART 05

3. (ℕ, +) : Tertutup, asosiatif, komutatif, tidak
memiliki unsur kesatuan, dan tidak memiliki
invers
(ℕ, -) : Tidak Tertutup, asosiatif,
tidak komutatif, tidak memiliki
unsur kesatuan, dan tidak memiliki
invers
(ℤ, +) : Tertutup, asosiatif,
komutatif, memiliki unsur kesatuan,
dan memiliki invers
(ℤ, -) : Tertutup,
asosiatif, tidak
komutatif, memiliki
unsur kesatuan, dan
memiliki invers
(ℝ, ×) : Tertutup,
asosiatif, komutatif,
memiliki unsur
kesatuan, dan tidak
memiliki invers

4. Struktur Aljabar DEFINISI 1
OPERASI BINER
Andaikan A suatu himpunan dan ∗ suatu operasi
dalam A. Operasi ∗ disebut operasi biner dalam
A bila ∗∶ 𝐀 × 𝐀 → 𝐀 adalah suatu pemetaan (suatu
pemetaan dari 𝐀 × 𝐀 𝐤𝐞 𝐀, yaitu :
Himpunan Tak
kosong
OPERASI BINER
∀ a, b ∈ A × A ∗ a, b = a ∗ b

5. GRUPOID Sesuai dengan
konsep pemetaan,
pasangan terurut
(a,b) ϵ S x S
dikaitkan dengan
c dan ditulis
(a,b) c. Operasi
biner (*) ditulis
a * b = c.
Tertutup
Definisi 2
S suatu himpunan tidak
kosong. Suatu KOMPOSISI BINER
atau OPERASI TERTUTUP dalam S
adalah suatu pemetaan
S
SxS 
:

Contoh
1.Z= himpunan semua bilangan bulat. Operasi * dalam Z
didefinisikan sebagai a*b = a+b- ab. Karena a+b ε Z, ab ε Z
maka a+b-ab ε Z
2.Operasi tambah dan operasi kali biasa dalam himpunan
bilangan juga merupakan suatu komposisi biner.
3.Penjumlahan dan perkalian matriks ordo m x n juga merupakan
suatu komposisi biner.

6. Definisi 3
Suatu himpunan tidak kosong dengan satu komposisi
biner atau lebih dinamakan SUATU STRUKTUR ALJABAR.
Definisi 4
Suatu struktur aljabar dengan satu komposisi biner
disebut GRUPOID.
Contoh
1.Dalam ℕ (himpunan semua bilangan asli) bila
didefinisikan operasi x * y = x + y + xy maka (ℕ,*)
adalah suatu grupoid.
2.Operasi ◦ dalam yang didefinisikan sebagai
x ◦ y = │ x – y │ untuk dan x ◦ y = 1 untuk x = y maka
(ℕ, ◦ ) juga merupakan grupoid.
3. Ambil suatu himpunan S dan didefinisikan x # y = y,
untuk setiap x,y ε S maka (S,#) adalah grupois

7. UNSUR KESATUAN
Sebuah Grupoid yang memiliki unsur kesatuan bila unsur kesatuan kiri
sama dengan unsur kesatuan kanan

8. Contoh

9. Unsur Kesatuan
Teorema 1
Jika suatu grupoid G memliliki unsur kesatuan kiri e dan suatu unsur kesatuan kanan f
maka e=f

13. Monoid













 1
,
3
2
1
2
1
,
3
2
1
2
1
3
2
1 w
i
w
i
w
A
5
× w1 w2 w3
w1 w2 w3 w1
w2 w1 w1 w2
w3 w1 w2 w3
i. Perkalian dua unsur A menghasilkan unsur didalam A
berarti (A,×) grupoid.
ii. Unsur A simetris pada diagonal utama maka (A,×)
asosiatif.Maka (A,×) semigrup.
iii. w3 adalah unkes di A karena setiap anggota A dikali
w3 baik dari kiri maupun dari kanan menghasilkan
dirinya sendiri. Dengan demikian (A,×) adalah
monoid.
iv. (A,×) memiliki invers?
Kesimpulannya, berdasarkan i, ii, iii, iv maka (A,×)
adalah sebuah grup.

14. Add your title
Periksa apakah A= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
Dengan operasi panambahan
merupakan grup?
6
Apakah (A.+) grupoid?

15. 7 Diberikan G = {1, -1, I, -i} dan G’ =
{1,-1} dengan operasi kali.
Periksa apakah G, G’ adalah grup.
i. Apakah (G,×) dan (G’,×)
grupoid?
ii. Apakah (G,×) dan (G’,×)
semigrup?
iii. Apakah (G,×) dan (G’,×)
memiliki unsur kesatuan?
iv. Apakah setiap unsur di (G,×)
dan (G’,×) memiliki invers?

16. 8
I/(3) adalah himpunan sisa modulo 3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian
seperti pada tabel.
Apakah (I/(3) ,+) dan (I/(3) ,×) grup?

17. SIFAT-SIFAT GRUP
Pada bagian ini, mahasiswa diharapkan dapat memahami dan
membuktikan teorema-teorema terkait sifat-sifat grup
Solusi tunggal
Invers diperluas
Hukum Pencoretan
Invers
OFIRENTY
ELYADA
NUBATONIS,
M.Pd

18. Hukum Pencoretan Kiri dan Kanan
Teorema 2 : Dalam grup berlaku hukum pencoretan kiri maupun kanan.
Bukti
Misal G grup a,b,c ϵ G, yang memenuhi ab=ac
Bila kedua ruas persamaan di atas dioperasikan dengan a-1 ϵ G diperoleh
a-1 ab= a-1 ac
(a-1 a)b= (a-1 a)c
eb = ec
b = c
yang memenuhi hukum pencoretan kiri.
Untuk hukum pencoretan kanan dicoba sendiri.

19. TEOREMA 3
Teorema 3 : Dalam grup setiap persamaan kiri maupun kanan dapat
dipecahkan dan jawabnya tunggal. Teorema ini berarti jika a,b ϵ G maka
terdapat x,y ϵ G sedemikian hingga ax=b dan ya = b.
Hal ini mudah ditunjukkan dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas
masing-masing dari sebelah kiri dan dari sebelah kanan dengan a-1

20. TEOREMA 4   G
a
a
a 




,
1
1
Bukti :
a-1 adalah invers dari a dan berlaku a-1a = e.
Bila kedua ruas persamaan *) dikalikan dengan (a-1)-1 dari sebelah
kiri diperoleh
(a-1)-1 (a-1a) =(a-1)-1 atau
[(a-1)-1 (a-1)]a =(a-1)-1 atau
ea =(a-1)-1 atau
a=(a-1)-1

21. TEOREMA 5   1
1
1 


 a
b
ab
Bukti :
Misal G grup, a,b ϵ G, dan (ab)-1(ab)= e
Bila kedua ruas persamaan di atas dikalikan dengan b-1 dari
sebelah kanan diperoleh (ab)-1(ab)b-1= e b-1 atau (ab)-1 a. = b-1 .
Lalu persamaan yang terakhir dikalikan dengan a-1 , yaitu, (ab)-1 a
a-1 = b-1 a-1 atau (ab)-1= b-1 a-1

22. THANK
YOU !