BENDA TEGAR

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA
 Gerak Rotasi
Vektor Momentum Sudut
 Sistem Partikel
 Momen Inersia
 Dalil Sumbu Sejajar
 Dinamika Benda Tegar
 Menggelinding
 Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar
 Statika Benda Tegar
Bahan CakupanBahan Cakupan

DEPARTMEN FISIKA
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
 Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
 Satuan SI untuk pergeseran
sudut adalah radian (rad)
 Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:
12 θθθ −=∆
°=
°
= 3,57
2
360
rad1
π

DEPARTMEN FISIKA
 kecepatan sudut sesaat:
dt
d
ttt
θθ
ωω =
∆
∆
==
→∆→∆ 00
limlim
 kecepatan sudut rata-rata:
t
θ
tt
θθ
∆
∆
=
−
−
=
12
12
ω
Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s)
Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

DEPARTMEN FISIKA
Arah kecepatan sudut:
Aturan tangan kanan

DEPARTMEN FISIKA
 Percepatan sudut sesaat:
 Percepatan sudut rata-rata:
ttt ∆
∆
=
−
−
=
ωωω
α
12
12
dt
d
tt
ωω
α =
∆
∆
=
→∆ 0
lim
Satuan SI untuk percepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s2
)
Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.

DEPARTMEN FISIKA
Persamaan Kinematika Rotasi

DEPARTMEN FISIKA
Perumusan Gerak Rotasi
 Kecepatan tangensial:
{ {
tangensial
kecepatan
linear
kecepatan
ωrv = ( )rad/sdalamω
 
tangensial
percepatan
linear
percepatan
αra = ( )2
rad/sdalamα
 Percepatan tangensial:

DEPARTMEN FISIKA
Perumusan Gerak Rotasi
r
r
v
ar
2
2
ω==
 Percepatan sentripetal (dng arah radial ke
dalam):

DEPARTMEN FISIKA
Torsi – Momen gaya
 Torsi didefenisikan
sebagai hasil kali
besarnya gaya
dengan panjangnya
lengan

DEPARTMEN FISIKA
Torsi – Momen gaya
 Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan
rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
 Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)

DEPARTMEN FISIKA
Vektor Momentum Sudut
 Momentum sudut L dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan
sbb:
)vrm(prL

×=×=
sinl mvr
rp rmv
r p r mv
φ
⊥ ⊥
⊥ ⊥
=
= =
= =
•Satuan SI adalah Kg.mSatuan SI adalah Kg.m22
/s./s.

DEPARTMEN FISIKA
 Perubahan momentum sudut terhadap waktu
diberikan oleh:
( )
d
dt
d
dt
L
r p= ×
( )
d
dt
d
dt
d
dt
r p
r
p r
p
× = ×




 + ×





( )= ×
=
v vm
0
Jadi d
dt
d
dt
L
r
p
= × l ingat F
p
EXT
d
dt
=

DEPARTMEN FISIKA
 Perubahan momentum sudut terhadap waktu
diberikan oleh:
d
dt
d
dt
L
r
p
= × EXTF
dt
d
×= r
L
Akhirnya kita peroleh:
τEXT
d
dt
=
L
Analog dengan !!F
p
EXT
d
dt
=

DEPARTMEN FISIKA Hukum Kekekalan Momentum
Sudut
 dimana danτEXT
d
dt
=
L τEXT EXT= ×r FL r p= ×
τEXT
d
dt
= =
L
0Jika torsi resultan = nol, makaJika torsi resultan = nol, maka
Hukum kekekalan momentum sudutHukum kekekalan momentum sudut
21 ωω 21 II =

DEPARTMEN FISIKA
Hukum Kekekalan Momentum
 Linear
o Jika ΣF = 0, maka p konstan.
 Rotasi
o Jika Στ = 0, maka L konstan.

DEPARTMEN FISIKA Momentum Sudut:
Defenisi & Penurunan
 Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
Momentum kekal jika
 Bagaimana dng Gerak Rotasi?
F
p
EXT
d
dt
=
FEXT = 0
L r p= ×
τ = ×r FUntuk Rotasi, Analog gaya FF adalah Torsi
Analog momentum pp adalah
momentum sudut
p = mv

DEPARTMEN FISIKA
Sistem Partikel
 Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel
memiliki kecepatan sudut yang sama, maka
momentum sudut total:
1 2 3
1
n
n i
i
L l l l l l
=
= + + +×××××××+ = ∑
    
,
1 1
n n
i
net i net
i i
dL dl
dt dt
τ τ
= =
= = =∑ ∑

 
Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan olehPerubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh
torsi gaya luar saja.torsi gaya luar saja.

DEPARTMEN FISIKA
i
j
Sistem Partikel
kˆvrmm
i
iii
i
iiii
i
i ∑=∑ ×=×∑= vrprL
 Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd
bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut
adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:
rr1
rr3
rr2
m2
m1
m3
ωvv2
vv1
vv3
Arah LL sejajar sumbu z
Gunakan vi = ω ri , diperoleh
ω

I=L
(krn ri dan vi tegak lurus)
Analog dng p = mv !!
krmL
i
2
ii
ˆ∑= ω

DEPARTMEN FISIKA
 DEFINISI
Momentum sudut dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil
kali dari momen inersia benda dengan
kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi
tersebut.
 Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton
untuk gerak rotasi):
ω

I=L
α
ωω
τ



I
dt
d
I
dt
Id
dt
Ld
====
)(

DEPARTMEN FISIKA
 Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa
hasil perkalian antara I dan ω kekal
L Iω=
L Iω= L Iω=
2
i iI m r= ∑

DEPARTMEN FISIKA
Momen Inersia
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar
didefenisikan sebagai
I = momen inersia benda tegar,
menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi
terhadap sumbu putarnya
...
2
22
2
11
2
++==∑ rmrmrmI
i
ii

DEPARTMEN FISIKA
Momen Inersia
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu,
momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
∫ ∫== dVρrdmrI 22
dm
x
y
z
dmrIrmI i
i
i ∫∑ =⇒= 22
dldrdrdV ⋅⋅= θ
Dimana Elemen Volume

DEPARTMEN FISIKA
Momen Inersia
 dimana rdr : perubahan radius,
 dθ : perubahan sudut,
 dl : perubahan ketebalan.
dldrdrdV ⋅⋅= θ

DEPARTMEN FISIKA
Momen Inersia
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen
inersia dalam bentuk integral
( )dldrdrrI ⋅⋅= ∫ θρ2
Asumsi rapat massa ρ konstan
 Kita dapat membaginya dalam
3 integral sbb:
( ) ( ) ( )∫∫∫ ⋅⋅=
LR
dldrdrrI
0
2
00
2
π
θρ

DEPARTMEN FISIKA
Momen Inersia
Hasilnya adalah
[ ] [ ]
L
R
I
l
r
I
L
R
⋅⋅=
⋅⋅





=
πρ
θρ
π
2
4
4
4
0
2
0
0
4
LRM ⋅⋅⋅= 2
πρ
Massa dari lempengan
tersebut
2
2
1
MRI =Momen Inersia benda

DEPARTMEN FISIKA
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap
sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar
yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen
inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar
2
MhII cm +=

DEPARTMEN FISIKA
Momen Inersia:
ℓ ℓ
a
b
2
12
1
mlI =
2
mRI =
)(
12
1 22
bamI +=
R
2
5
2
mRI =
2
2
1
mRI =
2
3
1
mlI =
R

DEPARTMEN FISIKA
Dinamika Benda Tegar
 Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja
oleh momen gaya didefenisikan sbb:
2
1
2
2
2
1
2
12
1
2
1
ωωωωθτ
θ
θ
ω
ω
IIdIdW −=== ∫ ∫

DEPARTMEN FISIKA
Energi Kinetik Rotasi
 Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi
kinetik akibat rotasi adalah
( ) ( ) 222
2
1
2
1
ωω ∑∑ == iiii rmrmK
∑= 2
iirmI
2
2
1
ωIK =
 Dimana I adalah momen inersia,

DEPARTMEN FISIKA
Energi Kinetik Rotasi
 Linear  Rotasi
2
2
1
ωIK =2
2
1
MvK =
Massa
Kecepatan
Linear
Momen
Inersia
Kecepatan
Sudut

DEPARTMEN FISIKA
Prinsip Kerja-Energi
 Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi
menjadi:
2
1
2
2
2
1
2
12
1
2
1
ωωωωθτ
θ
θ
ω
ω
IIdIdW −=== ∫ ∫
2
2
1
ωIKrotasi =rotasiKW ∆= dimana
Bila ,maka sehingga0=τ

0=W
0=∆ rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi

DEPARTMEN FISIKA
Menggelinding
 Menggelinding adalah peristiwa translasi dan
sekaligus rotasi

DEPARTMEN FISIKA Gerak Menggelinding: rotasi danGerak Menggelinding: rotasi dan
translasitranslasi
s Rθ= Ban bergerak dengan laju ds/dt
com
d
v R
dt
θ
ω⇒ = =

translasitranslasi

translasitranslasi
The kinetic energy of rolling
2 21
2
2 2 21 1
2 2
2 21 1
2 2
P P com
com
com com r t
K I I I MR
K I MR
K I Mv K K
ω
ω ω
ω
= = +
= +
= + = +

DEPARTMEN FISIKA Gerak Menggelinding Di Bidang MiringGerak Menggelinding Di Bidang Miring
θ θ
R x
P
sf
r
gF
r
singF θ
cosgF θ
N
r Gunakan:Gunakan: torsi =torsi = II αα
sing PR F Iθ α× =
coma Rα= −
Maka:Maka:
2
sin P comMR g I aθ = −
2
P comI I MR= +
2
sin
1 /
com
com
g
a
I MR
θ
= −
+

DEPARTMEN FISIKA
Menggelinding
 Total energi kinetik benda yang menggelinding
sama dengan jumlah energi kinetik translasi
dan energi kinetik rotasi.
2
0
2
0
2
1
2
1
ωImvK +=
ω
V0

DEPARTMEN FISIKA Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Total Dengan Gerak Rotasi

DEPARTMEN FISIKA
 Suatu benda tegar dikatakan setimbang
apabila memiliki percepatan translasi sama
dengan nol dan percepatan sudut sama
dengan nol.
 Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan
gaya yang bekerja harus sama dengan nol,
dan resultan torsi yang bekerja juga harus
sama dengan nol:
ΣFx
= 0 dan ΣFy
= 0
Στ = 0
Kesetimbangan Benda Tegar

DEPARTMEN FISIKA Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
Linear Rotasi
x (m) θ (rad)
v (m/s) ω (rad/s)
a (m/s2
) α (rad/s2
)
m (kg) I (kg·m2
)
F (N) τ (N·m)
p (N·s) L (N·m·s)

DEPARTMEN FISIKA
linear angular
perpindahan
kecepatan
percepatan
massa
gaya
Hk. Newton’s
energi kinetik
Kerja
x∆ θ∆
dtdxv /= dtd /θω =
dtdva /= dtd /ωα =
m ∑= 2
iirmI
F
r
ατ I=maF =
Fr
rrr
×=τ
2
)2/1( mvK = 2
)2/1( ωIK =
∫= FdxW ∫= θτdW
Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi

BENDA TEGAR

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to BENDA TEGAR

Similar to BENDA TEGAR (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

BENDA TEGAR