MATEMATIKAWAN

1. Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi
(780 – 850)
Setiap bentuk penemuan baru adalah suatu bentuk matematika, oleh karena tidak ada
pedoman yang kita miliki”
(Every new body of discovery is mathematical in form, because there is no other
guidance we can have)
C. G. Darwin
Riwayat
Di bawah pemerintahan tiga raja dinasti Abbasid – al Mansur, Harun al-Rashid dan al-
Mamun, terjadi masa keemasan Irak. Istilah Arabian Nights tercetus pada masa Harun al-
Rashid. Bahkan al-Mamun bermimpi dapat menghadirkan kembali pemikir kaliber
Aristoteles di Bagdad.
Seperti yang sudah disebutkan pada pengantar, ada dua ilmuwan yang “bertugas”
mengalihbahasakan karya-karya ilmiah di Graha Kebijaksanaan (The House of Wisdom),
di mana salah satunya adalah al-Khwarizmi. Buku karyanya mampu yang mencetuskan
kata aljabar dan membuatnya menjadi ilmu yang legendaris. Riwayat al-Khwarizmi
tidaklah terlalu jelas diketahui orang. Tidak banyak catatan dan asal-usulnya yang
diketahui oleh orang kebanyakan, tak terkecuali ahli sejarah.
Nama al-Khwarizmi memberi indikasi bahwa dia berasal dari Khwarizm, sebelah selatan
laut Aral, Asia tengah. Ahli sejarah, al-Tabari memberi tambahan julukan “al-
Qutrubbulli”, yang memberi indikasi bahwa al-Khwarizmi berasal dari Qutrubbull, yaitu
daerah antara sungai Tigris dan sungai Eufrat yang letaknya tidak jauh dari Bagdad.
Karya besar al-Khwarizmi
Sudah dapat dipastikan bahwa Al-Khwarizmi bekerja pada saat berkuasanya al-Mamun
dan dia mempersembahkan dua karyanya untuk Kalifah tersebut. Karya besar di bidang
aljabar dan karya besar di bidang astronomi. Hisab al-jabr w’al-muqabala adalah
karyanya di bidang aljabar yang sangat terkenal dan sangat penting. Judul karya itu
menunjuk kata “aljabar” adalah istilah pertama yang kemudian akan dipakai sampai
sekarang. Tujuan dan pesan yang ingin disampaikan oleh buku ini, seperti yang

2. disebutkan dalam buku terjemahan Rosen, adalah mencari cara termudah dan paling
bermanfaat dari aritmatika.
“Setiap hari orang berkutat dengan kasus-kasus yang menyangkut warisan, pembagian
harta, kasus-kasus hukum, perdagangan, dan semua perjanjian yang terjadi antara pribadi
misal: mengukur lahan, menggali sungai, menghitung luas bidang geometri tertentu dan
bermacam-macam perhitungan lainnya.”
Kita semua jadi maklum bahwa isi teks aljabar ini dimaksudkan untuk kepentingan
praktis dan aljabar diperkenalkan untuk menyelesaikan problem-problem yang terjadi
dalam kehidupan sehari-hari dalam lingkup kerajaan Islam pada jaman itu. Pengantar
buku ini memberi gambaran tentang bilangan-bilangan asli (natural number), dimana
bagi mereka yang tidak fasih dengan sistem ini tampak menggelikan, namun inti penting
yang ingin disampaikan adalah pemahaman baru tentang abstraksi seperti dinyatakan
dalam kalimat di bawah ini.
Ketika orang mulai melakukan penghitungan mereka selalu menggunakan angka. Angka
terdiri dari satuan-satuan, dan setiap angka dapat dibagi menjadi satuan-satuan. Setiap
angka diekspresikan dengan satu sampai sepuluh, setelah sepuluh digandakan, dikalikan
tiga sehingga terdapat dua puluh, tiga puluh dan seterusnya hingga seratus. Seratus
digandakan, dikalikan tiga dengan cara yang sama sampai akhirnya sampai pada
kesimpulan bahwa bilangan itu tak terbatas.
Aksioma
Karya Aljabar dari al-Khwarizmi diawali dengan pengertian prinsip-prinsip bilangan dan
memberikan solusi. Terdiri dari enam bab yang terbagi menjadi enam tipe persamaan
yang mencakup tiga jenis operasi: akar, kudrat dan bilangan (x, x² dan bilangan).
Semua solusi atau penyelesaian [penyederhanaan] suatu bentuk persamaan (linier atau
kuadrat), terlebih dahulu harus dijadikan salah satu dari 6 bentuk baku seperti di bawah
ini.
1. Kuadrat-kuadrat identik dengan akar-akar
2. Kuadrat-kuadrat identik dengan bilangan-bilangan
3. Akar-akar identik dengan bilangan-bilangan
4. Kuadrat-kuadrat dan akar-akan identik dengan bilangan-bilangan (misal: x² + 10x =
39)

3. 5. Kuadrat-kuadrat dan bilangan-bilangan identik dengan akar-akar (misal: x² + 21 = 10x)
6. Akar-akar dan bilangan-bilangan identik dengan kuadrat-kuadrat (misal: 3x + 4 = x²).
Penyederhaan ini menggunakan dua operasi/cara yang disebut dengan al-jabr dan al-
muqabala. Istilah “al-jabr” berarti “menyelesaikan” yaitu proses menghilangkan bentuk
negatif/minus dari suatu persamaan. Salah satu contoh yang dikemukakan oleh al-
Khwarizmi, “al-jabr” mengubah x² = 40x – 4x² menjadi 5x² = 40x. Istilah “al-muqabala”
berarti “menyeimbangkan” yaitu proses mengelompokkan jenis/notasi yang sama,
pangkat yang sama apabila terdapat pada ruas kanan maupun ruas kiri dalam suatu
persamaan. Contoh, dua aplikasi al-muqabala adalah menyederhanakan 50 + 3x + x² = 29
+ 10 x menjadi 21 + x² = 7x (aplikasi pertama terkait dengan bilangan-bilangan dan
aplikasi kedua terkait dengan akar)
Aplikasi aksioma
Al-Khwarizmi juga menunjukkan bagaimana menggunakan keenam persamaan di atas
untuk menggabungkan solusi methode aljabar dan methode geometri. Sebagai contoh
untuk memecahkan persamaan x² + 10x = 39, dia menuliskan prosedur:
… Suatu akar kuadrat ditambah 10 sama dengan 39 unit, yang dapat dijabarkan ke dalam
bentuk persamaan: apa yang akan terjadi apabila suatu kuadrat ditambah 10 akan
diperoleh 39?. Cara untuk mengurai persamaan ini digambil dari salah satu aksioma di
atas. Sumber problem adalah angka 10. Ambil angka 5, dan kuadratkan diperoleh 25,
ditambah dengan 39 diperoleh 64. Akar dari angka ini adalah 8, kurangilah dengan angka
awal, 5, diperoleh sisa 3. Angka 3 adalah hasil akar, jika dikuadratkan diperoleh 9. Luas
bujur sangkar adalah 9.
Pembuktian geometrik dapat dilakukan dengan cara di bawah ini. Al-Khwarizmi mulai
dengan mengandaikan sisi bujur sangkar adalah x dan luas bujur sangkar adalah x²
(gambar 1). Bujur sangkar itu kita tambah dengan 10x yang dilakukan dengan
menambahkan secara sama terhadap keempat sisinya, dimana masing-masing 10/4 atau
5/2 dengan lebar x pada setiap sisinya (gambar 2). Bidang diarsir (Gambar 3) mempunyai
luas x² + 10x, dimana sama dengan 39. Kita melengkapi agar bentuk bujur sangkar
menjadi lengkap dengan 4 bujur sangkar kecil yang luasnya sama, masing-masing 5/2 ×
5/2 = 25/4. Luas bujur sangkar (gambar 3) adalah 4 × 25/4 + 39 = 25 + 39 = 64. Panjang

4. sisi bujur sangkar adalah akar 64 atau sama dengan 8. Apabila sisi bujur sangar adalah 8,
dimana 5/2 + x + 5/2 atau x + 5 = 8, diperoleh x = 3.
x
X²
Gambar 1
5x/2
5x/2 X² 5x/2
5x/2
Gambar 2
25
4
25
4
39
25
4
25
4
Gambar 3
Kaitan dengan Euclid?
Pembuktian geometrik di atas menjadi sumber polemik diantara para matematikawan.
Tampaknya al-Khwarizmi memahami Element dari Euclid, karena secara tidak langsung
penyelesaian itu mirip dengan yang termaktub dalam karya Euclid. Dalam masa
pemerintahan Harun al-Rashid, ketika Khwarizmi masih muda, al-Hajjaj ditugaskan
mengalihbahasakan Element Euclid ke dalam bahasa Arab. Al-Hajjaj tidak lain adalah
rekan al-Khwarizmi di Graha Kebijaksanaan. Itu adalah pendapat bagi yang melihat
bahwa karya al-Khwarizmi adalah penjabaran dari Euclid. Pendapat lain menyebut
bahwa tidak ada difinisi, aksioma, postulat atau contoh-contoh seperti yang diuraikan
oleh Euclid sehingga tidak dapat menggolongkan al-Khwarizmi sebagai pengikut Euclid.
Pendukung pendapat kedua mengemukakan hukum aritmatika dengan obyek-obyek
aljabar. Sebagai contoh, Khawarizmi menunjukkan bagaimana melakukan perkalian

5. untuk ekspresi seperti:
(a + bx) (c+dx)
Meskipun tidak ada narasi untuk mengekspresikannya dan tidak ada simbol yang
digunakan, tapi di sini tersirat konsep aljabar dengan akurasi tinggi: teori linier dan
kuadratik dengan satu bilangan tidak diketahui. Dari sini aljabar dapat dipandang sebagai
teori persamaan. Lebih lanjut al-Khwarizmi memberikan penerapan dan contoh seperti
mencari luas bidang lingkaran, silinder, kerucut dan piramida.
Al-Khwarizmi juga menulis sistem bilangan Hindu-Arabik. Karya ini menggambarkan
Hindu mempunyai sistem bilangan berbasis 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, 9 dan 0. Pertama kali
menggunakan angka nol dirintis olehnya.
Karya-karya lainnya
Karya al-Kwarizmi lainnya adalah dalam bidang astronomi. Topik utama yang disajikan
dalam buku “Sindhind zij” adalah kalender; menghitung posisi matahari, bulan dan
planet-planet; tabel sinus dan tangen; tabel astrologi; memprakirakan terjadinya gerhana.
Karya lain adalah di bidang geologi yang memberi garis lintang dan garis bujur untuk
2402 tempat-tempat berdasarkan peta dunia. Buku ini mirip buku Ptolemy Geograpgy
yang mencatat juga kota, gunung, lautan, pulau dan sungai. Manuskrip al-Khwarizmi
lebih rinci untuk wilayah Islam, Afrika dan Timur Jauh. Untuk benua Eropa diambil dari
data Ptolemy.
Selain itu al-Khwarizmi menulis topik-topik seperti penggunaan astrolabe (pengukur
lintasan planet sebelum ditemukan sekstansextant) untuk mengetahui lintasan matahari
dan kalender Yahudi.
Sumbangsih
Kiprah matematikawan Arab ini sungguh luar biasa. Pencetus istilah aljabar, memberi
dasar dan tonggak dalam matematika. Semua itu membuat dia layak disebut dengan
“bapak aljabar”, bukan Diophantus. Aljabar diajarkannya dengan bentuk-bentuk dasar,
sedang Diophantus banyak berkutat dengan teori bilangan. Aljabar kemudian dipelajari
dan menjadi milik dunia sampai saat ini. Menggabungkan artimatika dan aljabar.
Keduanya penting sebagai sumber utama pengetahuan matematika selama berabad-abad

6. baik di dunia Timur maupun di Barat.
Mengenalkan bilangan-bilangan Hindu ke Eropa. Kelak beberapa abad kemudian bangsa
Arab akan melahirkan putra-putra terbaiknya sebagai matematikawan yang tidak kalah
bersaing dengan rekan-rekannya yang berasal dari benua Eropa.

7. baik di dunia Timur maupun di Barat.
Mengenalkan bilangan-bilangan Hindu ke Eropa. Kelak beberapa abad kemudian bangsa
Arab akan melahirkan putra-putra terbaiknya sebagai matematikawan yang tidak kalah
bersaing dengan rekan-rekannya yang berasal dari benua Eropa.