Program linier membahas model matematika untuk memecahkan masalah optimalisasi dengan kendala linier. Langkah-langkahnya meliputi merumuskan model, menggambar grafik, menentukan daerah fisibel dan titik verteks, serta menghitung nilai optimum menggunakan metode uji titik sudut atau garis selidik. Contoh soal dijelaskan untuk memahami konsepnya.

1. Program linier Oleh: AinunHakiemah, S.S., S.Pd.Si., M.S.I.

2. MATERI PROGRAM LINIER Materiprasyarat : 1. Pertidaksamaan Linier 2. SistemPertidaksamaan Linier Kalo’ kira-kiramateriprasyaratdiatas kalian udahbisa….so lewatiaja. Gakperludibacalagi… MATERI PROGRAM LINIER: model matematika fungsi optimum persamaangaris(prasyarat)

3. PERTIDAKSAMAAN LINIER Definisi Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalahkalimatterbuka matematika yang memuatvariabel, dengan masing-masingvariabelberderajatsatudan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksudadalah >, <, ≥, atau ≤

4. Contohpertidaksamaan linier Manakahdiantarapertidaksamaan-pertidaksamaan berikut yang merupakanpertidaksamaan linear dua Variabel? 1. 2x < 15 2. 2x + 3y ≥ 6 3. xy + x > 3 4. x² + 2y ≤ 5 5. –x ≥ y + 1 Jawaban: no 2 dan no 5 Coba perhatikankembalicontoh di atas & temukanperbedaannya!

5. mengGAMBARdaerahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaan linier Langkah-langkahmencaridaerahpenyelesaiandari pertidaksamaan linear duavariabel. 1. Gantitandaketidaksamaan >, <, ≤ , atau ≥ dengan “ =“ 2. Tentukan titik potongdengansumbux jikay = 0 dandengansumbuyjika x = 0 3. Gambarkan grafiknya berupa garis yang menghubungkan titik (x,0) dengantitik (0,y). 4. Jikapertidaksamaanmemuat > atau <, gambarlahgrafiktersebutdengangarisputus-putus. 5. Arsirlahdaerahhimpunanpenyelesaiannya. Jikatandanya < atau ≤ makaarsirannyakekiriataukebawah. Jikatandanya > atau ≥ makaarsirannyakekananataukeatas.

6. CONTOH menggambardaerahhimpunanpenyelesaianpertidaksamaan linier Gambarlahdaerahhimpunan penyelesaianpertidaksamaan 3x + 4y ≤ 12, x, y € R Jawab: 3x+4y ≤12 menjadi 3x+4y=12 Titikpotongdengansumbux, y = 0 3x + 4(0) = 12 3x = 12 x = 4 Titikpotongdengansumbuy, x = 0 3(0) + 4y = 12 3x = 12 y = 3 Sehinggatitikpotong dengansumbukoordinat di (4, 0) dan (0, 3). Diperolehgrafik 3x + 4y=12.

7. Grafiknya……. (0, 3) Garis: 2x + 4y ≤ 12 3 2 1 (4, 0) z 2 3 0 1 4 Daerah himpunanpenyelesaian

8. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Definisi Sistem Pertidaksamaan Linear Sistempertidaksamaan linear adalahsuatu sistem yang terdiriatasduaataulebih pertidaksamaandansetiappertidaksamaan tersebutmempunyaivariabel

9. menggambardaerahpenyelesaiansistempertidaksamaan linier Langkah-langkahmenentukandaerahpenyelesaiandari sistempertidaksamaan linear: a. Gambarkansetiapgarisdarisetiappertidaksamaan linear yang diberikandalamsistempertidaksamaan linear b. Arsirlahdaerah yang memenuhisetiappertidaksamaan linear. Gunakanarsiran yang berbedauntuksetiapdaerah yang memenuhipertidaksamaan yang berbeda. c. Tentukandaerah yang memenuhisistempertidaksamaan linear, yaitudaerah yang merupakanirisandaridaerah yang memenuhipertidaksamaan linear pada langkah b.

10. CONTOH menggambardaerahpenyelesaiansistempertidaksamaan linier Tentukandaerahpenyelesaiandarisistem pertidaksamaan linear berikut: 5x + 4y ≤ 20 ; 7x + 2y ≤ 14; x ≥ 0 dan y ≥ 0 Jawab: 5x + 4y ≤ 20 memotongsumbu x maka (4,0) dan memotongsumbu y maka (0,5) 7x + 2y ≤ 14 memotongsumbu x maka (2,0) dan memotongsumbu y maka (0,7). Jadigrafiknyaadalah………….

11. Grafiknya……… 7 y ≥ 0 6 Garis: 5x + 4y ≤ 20 5 4 3 Garis: 5x + 4y ≤ 20 Daerah penyelesaian 2 x ≥ 0 1 0 1 2 4 3

12. PROGRAM LINIER Program linearmerupakansalahsatubagiandarimatematikaterapan yang mempelajaribagaimanamemecahkanmasalahsehari-hari yang terkaitdengan model matematika yang terdiridaripertidaksamaan-pertidaksamaan linier yang mempunyaibanyakpenyelesaian, satuataulebihdiantaranyamemberikanhasil yang diharapkan (optimum) Istilah-istilahdalam program linier: Model matematikamerupakansuaturumusanmatematika (dapatberupapersamaan, pertidaksamaan, ataufungsi) yang diperolehdaripenafsiraansuatumasalah program linear kedalambahasamatematika. FungsiSasaranadalahbentuk ax + by yang hendakdioptimalkan (dimaksimumkanataudiminimumkan).

13. Langkah-langkahMenyelesaikan Program Linear: 1. Merumuskanpermasalahankedalam model matematika; 2. Gambargrafikdari model tersebut; 3. Menentukandaerahfisibel (daerahhimpunanpenyelesaian) 4. Menentukantitik-titikverteks (titikpojok) 5. Mencaripenyelesaian optimum (maksimumatau minimum); Janganditiruya maksudgambarini…….

14. MenentukanNilai Optimum denganMetodeUjiTitikSudut Metodeujititiksudutyaitumencarinilai optimum (max/min) denganmenghitungnilai-nilaipadatitikverteks yang terdapatpadadaerahfisibelkemudianhasilnyadiperbandingkan. Nilai yang paling besarmerupakannilaimaksimum, sedangkannilai yang paling kecilmerupakannilai minimum.

15. Menentukannilai optimum denganmenggunakangarisselidikax + by = k Langkah-langkah: gambarlahgaris ax + by = k ( k=0 ) garis yang melaluititikpangkalatausembaranganggota lain misalnya ax + by = ab. Gunakanpenggarisuntukmelukisgaris-garis yang sejajardengangaris ax + by = 0 atau ax + by = ab.

16. CONTOH masalah……….. Untukmembuat 1 mejatulisdiperlukanWaktupemasahan 2 jam, pemasangan 1 jam, danpengecatan 1 jam. Sedangkanuntukmembuat 1 mejamakandiperlukanwaktupemasahan 1 jam, waktupemasangan 2 jam, danwaktupengecatan1 jam. Dari tenagakerja yang adawaktu yang tersedia (dalam1 bulan) untukmasing-masingtahappekerjaanituadalahsebagaiberikut. Padatahap I tersediawaktu 180 jam, tahap II tersedia 160 jam, dantahap III tersedia 100 jam. Keuntungan yang dapatdiraihdaripenjualan 1 buahmejatulisadalahRp 60.000,00 danuntuk 1 buahmejamakanadalahRp 40.000,00.

18. Berapabanyakmejatulisdanmejamakanharusdibuatsupaya agar keuntungan yang diperolehsebesar-besarnya?

19. Berapa rupiah keuntunganmaksimumitu?

20. Jawabanmasalah……. Model matematika masalahdiatasadalah:

21. Keterangantabel model matematika Misalkanmejatulisdiproduksisebanyak x danmejamakandiproduksisebanyak y, maka: Waktuyang diperlukan (dalam jam) : untukpemasahan x + y  180 untukpemasangan x + 2y 160 untukpengecatan x + y  100 Karenax dan y menyatakanbanyakbarang, maka x dan y mustahilnegatifdanharusmerupakanbilangancacah, maka x 0, y  0, danx,y C Keuntunganbersih (dalam rupiah ) = 60.000x + 40.000y denganharapankeuntungan yang sebesar-besarnya (maksimum)

22. 250 (0, 180) 200 garis pemasahan 2x + y = 180 150 100 50 (90, 0) 100 0 150 200 250 50 Grafiknya…. Gambarkendalapertama

23. 250 200 150 garis pengasahan (0, 80) 100 x + 2y = 160 50 (160, 0) 100 0 150 200 250 50 Gambarkendalapertamadankedua

24. 250 200 150 (0, 100) garis pengecatan x + y = 100 100 50 (100, 0) 100 0 150 200 250 50 Gambarsemuakendala

25. 250 200 150 (0,100) 100 (80,20) (40,60) 50 (90,0) 100 0 150 200 250 50 MetodeUjiTitikSudut

26. Nilai-nilaipada TitikSudut Nilaimaksimum

27. 250 250 200 200 Fungsi objektif 150 150 60.000x + 40.000y = 2.400.000 60.000x + 40.000y = 2.400.000 (0,90) Fungsi objektif (0,60) 100 100 60.000x + 40.000y = 3.600.000 (60,0) (40,0) 50 50 100 100 0 150 0 150 200 250 200 250 50 50 Metodegarisselidik

28. PerhitunganPenyelesaianOptimal Perhitunganpenyelesaian optimal diperolehdariirisankendala “pemasahan” dan “pemasangan” sebagaiberikut: x + 2y = 160 x + y = 100 - y = 60 x + 60 = 100 x = 40 Jadipenyelesaianoptimalnya : x = 40 dan y = 60 Total keuntungan : (60.000 x 40) + (40.000 x 60) = 4.800.000

29. Contohpermasalahanlagi….. Seorang pedagang semen hendak mengangkut 60 ton beras dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan tersebut, ia menyewa dua jenis ken-daraan, yaitu truk dan pick up. Dalam sekali jalan, satu truk dapat mengangkut 3 ton semen. Sedangkan pick up dapat mengangkut 2 ton semen. Untuk sekali jalan, sewa truk adalah Rp 20.000,00 sedangkan pick up Rp 15.000,00.

30. Jawabannya……. Perhatikan kembali masalah 2. Misalkan : x = banyaknya truk y = banyaknya pick up

31. Dari tabeltersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan: x + y ≥ 24 3x + 2y ≥ 60 x, y ≥ 0 Fungsi objektif: meminimumkan z = 20.000x + 15.000y

32. y 50 40 garisbanyaknya kendaraan 30 (0, 24) x + y = 24 20 10 (24, 0) 20 x 0 30 40 50 10 Gambarkendalapertama

33. y 50 40 (0, 30) garis banyaknya muatan 30 3x + 2y = 60 20 10 (20, 0) 20 x 0 30 40 50 10 Gambarkendalapertamadankedua

34. y 50 Nilai obj. : 450.000 40 (0, 30) 30 Nilai obj. : 410.000 (12,12) 20 10 Nilai obj. : 480.000 (24, 0) 20 x 0 30 40 50 10 Metode Uji Titik Sudut

35. Nilai-nilai pada Titik Sudut Nilai minimum

36. y Penyelesaian optimum 50 (0, 40) Fungsi objektif 40 20.000x + 15.000y = 750.000 30 Fungsi objektif 20.000x + 15.000y = 600.000 20 10 (30, 0) 20 x 0 30 40 50 10 Metode Garis Selidik

37. Perhitunganpenyelesaian optimal diperolehdariirisankendala “pemasahan” dan “pemasangan” sebagaiberikut: x + y = 24 x 2 2x + 2y = 48 3x + 2y = 60 x 1 3x + 2y = 60 - - x= - 12 x = 12 x + y = 24 Jadipenyelesaianoptimalnya : x =12, y =12 12 + y = 24 Total keuntungan : y = 1220.000 x 12 + 15.000 x 12 = 410.000 Perhitunganpenyelesaian optimal

38. SoalLatihan……. Tentukannilaimaksimumdari 3x + 2y yang memenuhi x + y 11, x 0, y 0 danx,y R denganmenggunakangarisselidik. Tentukannilaimaksimumdari x + 2y yang memenuhi x + 3y 9, 2x + y 8, x 0, y 0 danx,y R denganmenggunakangarisselidik. Tentukannilai minimum dari 15x + 10y yang memenuhi, 3x + y 6,x + y 3, x 0, y 0 danx,y R denganmenggunakangarisselidik.

39. 4. Sebuahperusahaankonveksimemproduksiduajenispakaian, yaitupakaiandewasadanpakaiananak-anak. Untukmembuatkeduajenispakaianitudiperlukan 4 tahappekerjaan, yaitupemotongan, pengobrasan, penjahitandan finishing. Waktuuntukmembuatsatupakaianpadatiap-tiappekerjaandanwaktu yang tersediaperbulanuntuksetiaptahapitudiperlihatkandalamtabelberikutini : KeuntunganuntuksatupakaiandewasaRp 20.000,00 danuntukpakaiananak-anakRp 15.000,00.

40. Berdasarkanfakta-faktatersebutdiatas,a. berapakahbanyakpakaiandewasadanpakaiananak-anak yang harusdibuatdaalam 1 bulan agar keuntungan yang diraihnyasebesarmungkin?b. berapakahkeuntunganmaksimumitu?

41. 5. Seorangpemborongakanmendirikanrumahsusununtukdihuni 700 orang. Rumaahyaangakandibangunsebanyak 120 buahdenganduatipe. Tiaptipe I berpenghuni 4 orangdantiaptipe II berpenghuni 6 orang. RumahsusunituakandisewakansebesarRp 100.000,00 sebulanuntuktipe I danRp 15.000,00 sebulanuntuktipe II. Beraparumahtipe I dantipe II masing-masingharusdibangun agar pendapatanmaksimum?

42. 6. Suatujenisrotimemerlukan 100 grtepungdan 150 grmentega. Rotijenis lain memerlukan 200 grtepungdan 50 grmentega. Tersediatepung 4 kg dan 2,25 kg mentega. JikakeduarotiitudijualdenganhargaRp 5.000,00 danRp 2.000,00 sebuah. Berapajenisrotidibuat agar pendapatanmaksimum?

43. Sampunnggih………..sugengnyobi….

44. Daftarreferensi…. BSE, Matematika XII Bahasa, Jakarta: Diknas Heru Seno, MatematikaDasar (Yogyakarta: Primagama, 2004) Siap Lulus UN (Ganesha Exact, 2009) Ermi-Hermiati.blogspot.com (maafbu, sayabanyakngambilkagunganipunpanjenengan, maturnuwunsangetbu blog panjenenganbagusbgt & manfaatbgtbagi guru matematikasptsaya…) Google.com