1. 1
PEMBAHASAN
GEOMETRI EUCLID
A. Definisi Geometri
Salah satu cabang dari Matematika adalah Geometri. Geometri berasal dari bahasa
Yunani yaitu geo yang artinya bumi dan metro yang artinya mengukur. Geometri adalah
cabang Matematika yang pertama kali diperkenalkan oleh Thales (624-547 SM) yang
berkenaan dengan relasi ruang. Dari pengalaman, atau intuisi, kita mencirikan ruang dengan
kualitas fundamental tertentu, yang disebut aksioma dalam geometri. Aksioma demikian
tidak berlaku terhadap pembuktian, tetapi dapat digunakan bersama dengan definisi
matematika untuk titik, garis lurus, kurva, permukaan dan ruang untuk menggambarkan
kesimpulan logis. Menurut Novelisa Sondang bahwa “Geometri menjadi salah satu ilmu
Matematika yang diterapkan dalam dunia arsitektur; juga merupakan salah satu cabang ilmu
yang berkaitan dengan bentuk, komposisi, dan proporsi.” Muhamad Fakhri Aulia
menyebutkan bahwa geometri dalam pengertian dasar adalah sebuah cabang ilmu yang
mempelajari pengukuran bumi dan proyeksinya dalam sebuah bidang dua dimensi.
Alders (1961) menyatakan bahwa ”Geometri adalah salah satu cabang Matematika yang
mempelajari tentang titik, garis, bidang dan benda-benda ruang beserta sifat-sifatnya, ukuran-
ukurannya, dan hubungannya antara yang satu dengan yang lain.”Dari beberapa definisi
Geometri di atas dapat disimpulkan bahwa Geometri adalah salah satu cabang Matematika
yang mempelajari tentang bentuk, ruang, komposisi beserta sifat-sifatnya, ukuran-ukurannya
dan hubungan antara yang satu dengan yang lain.
B. Euclid
Tidak banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti
Euclid, ahli ilmu ukur Yunani yang besar. Meskipun semasa hidupnya tokoh-tokoh seperti
Napoleon, Martin Luther, Alexander yang Agung, jauh lebih terkenal ketimbang Euclid tetapi
dalam jangka panjang ketenarannya mungkin mengungguli semua mereka yang disebut itu.
Selain kemasyhurannya, hampir tak ada keterangan terperinci mengenai kehidupan Euclid
yang bisa diketahui. Misalnya, kita tahu dia pernah aktif sebagai guru di Iskandariah, Mesir,
di sekitar tahun 300 SM, tetapi kapan dia lahir dan kapan dia wafat betul-betul gelap. Bahkan,
kita tidak tahu di benua apa dan dikota apa dia dilahirkan. Meski dia menulis beberapa buku
dan diantaranya masih ada yang tertinggal, kedudukannya dalam sejarah terutama terletak
pada bukunya yang hebat mengenai ilmu ukur yang bernama The Elements.
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus pribadi yang
dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah ditulis orang
2. 2
sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid terletak pada
cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh
dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-
dalil serta perhitungan-perhitungannya, misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus
diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah
difahami oleh orang-orang sesudahnya. Bilamana perlu, dia menyediakan petunjuk cara
pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan
terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The Elements selain
terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di samping itu
mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.
Buku The Elements sudah merupakan buku pegangan baku lebih dari 2000 tahun dan
tak syak lagi merupakan buku yang paling sukses yang pernah disusun manusia. Begitu
hebatnya Euclid menyusun bukunya sehingga dari bentuknya saja sudah mampu menyisihkan
semua buku yang pernah dibuat orang sebelumnya dan yang tak pernah digubris lagi. Aslinya
ditulis dalam bahasa Yunani, kemudian buku The Elements itu diterjemahkan ke dalam
berbagai bahasa. Terbitan pertama muncul tahun 1482, sekitar 30 tahun sebelum penemuan
mesin cetak oleh Gutenberg. Sejak penemuan mesin itu dicetak dan diterbitkanlah dalam
beribu-ribu edisi yang beragam corak. Sebagai alat pelatih logika pikiran manusia, buku The
Elements jauh lebih berpengaruh ketimbang semua risalah Aristoteles tentang logika. Buku
itu merupakan contoh yang komplit sekitar struktur deduktif dan sekaligus merupakan buah
pikir yang menakjubkan dari semua hasil kreasi otak manusia.
Di satu pihak, dengan analisa hati-hati dan kesimpulan yang punya dasar kuat di lain
pihak. Kita masih bertanya-tanya apa sebab ilmu pengetahuan muncul di Eropa dan bukan di
Cina, tetapi rasanya aman jika kita menganggap bahwa hal itu bukanlah semata-mata lantaran
soal kebetulan. Memanglah, peranan yang digerakkan oleh orang-orang brilian seperti
Newton, Galileo dan Copernicus mempunyai makna yang teramat penting. Tetapi, tentu ada
sebab-musababnya mengapa orang-orang ini muncul di Eropa. Mungkin sekali faktor historis
yang paling menonjol apa sebab mempengaruhi Eropa dalam segi ilmu pengetahuan adalah
rasionalisme Yunani, bersamaan dengan pengetahuan matematika yang diwariskan oleh
Yunani kepada Eropa. Patut kiranya dicatat bahwa Cina --meskipun berabad-abad lamanya
teknologinya jauh lebih maju ketimbang Eropa-- tak pernah memiliki struktur matematika
teoritis seperti halnya yang dipunyai Eropa. Tak ada seorang matematikus Cina pun yang
punya hubungan dengan Euclid. Orang-orang Cina menguasai pengetahuan yang bagus
tentang ilmu geometri praktis, tetapi pengetahuan geometri mereka tak pernah dirumuskan
3. 3
dalam suatu skema yang mengandung kesimpulan. Bagi orang-orang Eropa, anggapan bahwa
ada beberapa dasar prinsip-prinsip fisika yang dari padanya semuanya berasal, tampaknya hal
yang wajar karena mereka punya contoh Euclid yang berada di belakang mereka. Pada
umumnya orang Eropa tidak beranggapan geometrinya Euclid hanyalah sebuah sistem
abstrak, melainkan mereka yakin benar bahwa gagasan Euclid --dan dengan sendirinya teori
euclid-- memang benar-benar merupakan kenyataan yang sesungguhnya.
Pengaruh Euclid terhadap Sir Isaac Newton sangat kentara sekali, sejak Newton
menulis buku tersohornya The Principia dalam bentuk kegeometrian, mirip dengan The
Elements. Berbagai ilmuwan mencoba menyamakan diri dengan Euclid dengan jalan
memperlihatkan bagaimana semua kesimpulan mereka secara logis berasal mula dari asumsi
asli. Tak kecuali apa yang diperbuat oleh ahli matematika seperti Russel, Whitehead dan
filosof Spinoza. Kini, para ahli matematika sudah memaklumi bahwa geometri Euclid . bukan
satu-satunya sistem geometri yang memang jadi pegangan pokok dan teguh serta yang dapat
direncanakan pula, mereka pun maklum bahwa selama 150 tahun terakhir banyak orang yang
merumuskan geometri bukan a la Euclid. Sebenarnya, sejak teori relativitas Einstein diterima
orang, para ilmuwan menyadari bahwa geometri Euclid tidaklah selamanya benar dalam
penerapan masalah cakrawala yang sesungguhnya. Pada kedekatan sekitar "Lubang hitam"
dan bintang neutron --misalnya-- dimana gayaberat berada dalam derajat tinggi, geometri
Euclid tidak memberi gambaran yang teliti tentang dunia, ataupun tidak menunjukkan
penjabaran yang tepat mengenai ruang angkasa secara keseluruhan. Tetapi, contoh-contoh ini
langka, karena dalam banyak hal pekerjaan Euclid menyediakan kemungkinan perkiraan
yang mendekati kenyataan. Kemajuan ilmu pengetahuan manusia belakangan ini tidak
mengurangi baik hasil upaya intelektual Euclid maupun dari arti penting kedudukannya
dalam sejarah.
C. Sejarah Geometri Euclid
Geometri Euclidean adalah sistem matematika yang dikaitkan dengan Alexandria
matematikawan Yunani Euclid , yang dijelaskan dalam buku teks tentang geometri yaitu
Elements . Metode Euclid terdiri dalam asumsi satu set kecil intuitif menarik aksioma , dan
menyimpulkan lainnya proposisi ( dalil ) dari ini. Meskipun banyak dari hasil Euclid telah
dinyatakan oleh matematikawan sebelumnya, Euclid adalah yang pertama untuk
menunjukkan bagaimana proposisi-proposisi bisa masuk ke dalam deduktif dan komprehensif
sistem logis . Unsur dimulai dengan pesawat geometri, masih diajarkan di sekolah menengah
sebagai yang pertama sistem aksiomatik dan contoh pertama dari bukti formal . Berpindah ke
4. 4
geometri solid dari tiga dimensi . Banyak dari Elemen menyatakan hasil dari apa yang
sekarang disebut aljabar dan nomor teori , ditulis dalam bahasa geometris.
Selama lebih dari dua ribu tahun, kata sifat "Euclid" tidak diperlukan karena tidak ada
geometri lain yang disusun. Aksioma Euclid nampak seperti sangat jelas bahwa pembuktian
teorema lainnya dianggap benar dalam arti, mutlak sering metafisik,. Namun, sekarang
banyak lainnya konsisten diri non-Euclidean geometri diketahui, yang pertama yang telah
ditemukan pada awal abad 19. Implikasi dari Einstein teori relativitas umum adalah bahwa
ruang Euclidean adalah pendekatan yang baik terhadap sifat ruang fisik hanya di mana medan
gravitasi tidak terlalu kuat.
D. Unsur
Unsur terutama sebuah sistematisasi pengetahuan awal geometri. Keunggulannya di
atas perawatan sebelumnya dengan cepat diakui, dengan hasil bahwa ada sedikit minat dalam
melestarikan yang sebelumnya, dan mereka sekarang hampir semua hilang. Buku I-IV dan
VI membahas geometri bidang datar. Banyak hasil tentang tokoh-tokoh pesawat terbukti,
misalnya, Jika segitiga memiliki dua sudut yang sama, maka sisi yang bersesuaian dengan
sudut tersebut adalah sama . Teorema Pythagoras terbukti. Buku V dan VII-X berurusan
dengan nomor teori, dengan nomor diperlakukan secara geometris melalui representasi
mereka sebagai segmen garis dengan berbagai panjang. Pengertian seperti bilangan prima dan
rasional dan bilangan irasional diperkenalkan. Yang tak terbatas bilangan prima terbukti.
Buku XI-XIII geometri perhatian padat. Hasil khas adalah rasio 01:03 antara volume kerucut
dan silinder dengan ketinggian yang sama dan basis.
Persamaan postulat: Jika dua garis berpotongan sepertiga sedemikian rupa sehingga jumlah
dari sudut-sudut bagian dalam di satu sisi kurang dari dua sudut yang tepat, maka mau tidak
mau harus dua baris saling berpotongan pada sisi jika diperpanjang cukup jauh.
5. 5
E. Aksioma
Geometri Euclidean adalah sistem aksiomatik , di mana semua teorema ("pernyataan benar")
berasal dari sejumlah kecil aksioma. Menjelang awal buku pertama dari Elemen, Euclid
memberikan lima postulat (aksioma) untuk pesawat geometri , menyatakan dalam hal
konstruksi (sebagaimana diterjemahkan oleh Thomas Heath):
"Mari berikut akan mendalilkan":
1. "Untuk menggambar garis lurus dari setiap titik ke titik apapun. "
2. "Untuk menghasilkan [memperluas] sebuah garis lurus yang terbatas terus menerus dalam
garis lurus. "
3. "Untuk menggambarkan lingkaran dengan pusat dan jarak [radius]. "
4. "Itu semua sudut yang tepat sama dengan satu sama lain."
5. Para paralel dalil : "Itu, jika garis lurus jatuh di dua jalur lurus membuat sudut interior
pada sisi yang sama kurang dari dua sudut yang tepat, dua garis lurus, jika diproduksi
tanpa batas waktu, bertemu di sisi itu yang adalah sudut kurang dari dua sudut yang tepat.
Meskipun pernyataan Euclid dari postulat hanya secara eksplisit menegaskan keberadaan
konstruksi, mereka juga diambil untuk menjadi unik.
Elements juga memasukkan lima "notasi biasa":
1. Hal-hal yang sama dengan hal yang sama juga sama satu dengan lainnya.
2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sama, maka keutuhan adalah sama
3. Jika sesuatu yang sama dikurangkan dari sama, maka sisanya adalah sama.
4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain sama satu sama lain.
5. Keseluruhan lebih besar daripada bagian.
F. Paralel postulat
Untuk nenek moyang, paralel tampak kurang jelas mendalilkan dari yang lain. Euclid sendiri
tampaknya telah dianggap sebagai yang secara kualitatif berbeda dari yang lain, sebagaimana
dibuktikan oleh organisasi dari Elemen: 28 yang pertama ia menyajikan proposisi adalah
mereka yang dapat dibuktikan tanpa itu.
Aksioma banyak alternatif dapat dirumuskan yang sama konsekuensi logis sebagai paralel
dalil. Misalnya aksioma Playfair 's menyatakan:
Dalam pesawat, melalui titik tidak pada garis lurus yang diberikan, paling banyak satu baris
dapat ditarik bahwa tidak pernah memenuhi garis yang diberikan.
G. Metode pembuktian
Geometri Euclid adalah konstruktif . Postulat 1, 2, 3, dan 5 menegaskan bahwa keberadaan
dan keunikan dari bidang geometri tertentu, dan penegasan ini adalah konstruksi alam: yaitu,
6. 6
kita tidak diberitahu bahwa sesuatu itu ada, tetapi juga kita diberikan metode untuk
membuatnya dengan lebih dari satu tidak ada kompas dan lurus yang tidak bertanda . Dalam
hal ini, geometri Euclid adalah lebih konkrit daripada kebanyakan sistem aksiomatik modern
seperti teori set , dimana sering menegaskan keberadaan objek tanpa memberitahukan
bagaimana mengkonstruksi mereka, atau menegaskan keberadaan objek yang tidak dapat
dibangun dalam teori. Tepatnya, garis-garis pada kertas model dari objek didefinisikan dalam
sistem formal, bukan contoh objek tersebut. Misalnya garis lurus Euclidean memiliki lebar
atau tidak, tetapi setiap garis yang ditarik akan nyata . Meskipun hampir semua
matematikawan modern yang mempertimbangkan metode nonconstructive hanya sebagai
suara yang konstruktif, bukti konstruktif Euclid sering diartikan keliru sebagai metode
nonconstructive misalnya, beberapa bukti Pythagorean nomor irasional yang terlibat, yang
biasanya diperlukan pernyataan seperti "Cari ukuran umum terbesar dari ... "
Euclid sering digunakan bukti oleh kontradiksi . Geometri Euclidean juga memungkinkan
metode superposisi, di mana angka ditransfer ke titik lain di ruang angkasa. Misalnya,
proposisi I.4, pada kongruensi segitiga dengan aksioma sisi-sudut-sisi, terbukti dengan
memindahkan salah satu dari dua segitiga sehingga salah satu sisinya bertepatan dengan sisi
segitiga sama lain, dan kemudian membuktikan bahwa sisi lain bertepatan juga . Beberapa
perawatan modern menambahkan seperenam postulat, kekakuan segitiga, yang dapat
digunakan sebagai alternatif untuk superposisi.
H. Sistem pengukuran dan aritmatika
Geometri Euclidean memiliki dua tipe dasar pengukuran: sudut dan jarak. Skala sudut adalah
mutlak, dan Euclid menggunakan sudut yang tepat sebagai unit dasarnya, sehingga, misalnya,
sebuah sudut 45 derajat akan disebut sebagai setengah dari sudut kanan. Skala jarak relatif,
satu sewenang-wenang mengambil segmen garis dengan panjang tertentu sebagai unit, dan
jarak lainnya disajikan dalam kaitannya dengan hal itu.
Sebuah garis dalam geometri Euclidean adalah model garis bilangan real . Sebuah segmen
garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik akhir, dan berisi setiap titik pada
garis antara titik akhir. Penambahan diwakili oleh konstruksi di mana satu segmen garis akan
disalin ke akhir dari suatu segmen garis untuk memperpanjang panjangnya, dan juga untuk
pengurangan. Pengukuran luas dan volume berasal dari jarak. Sebagai contoh, sebuah persegi
panjang dengan lebar 3 dan panjang 4 memiliki luas yang mewakili produk, 12. Karena
interpretasi geometris dari perkalian terbatas pada tiga dimensi, tidak ada cara langsung
menafsirkan produk dari empat atau lebih angka, dan Euclid dihindari produk tersebut,
meskipun mereka tersirat, misalnya, dalam bukti buku IX, proposisi 20.
7. 7
Contoh kongruensi. Dua angka di sebelah kiri adalah kongruen, sementara yang ketiga adalah
serupa kepada mereka. Angka terakhir adalah tidak. Perhatikan bahwa kongruensi mengubah
beberapa sifat, seperti lokasi dan orientasi, tetapi membiarkan yang lain tidak berubah, seperti
jarak dan sudut . Jenis kedua sifat ini disebut invariants dan pelajaran itu adalah inti dari
geometri.
Euclid mengacu pada sepasang garis, atau sepasang bangun planar atau padat, sebagai "sama"
(ἴσος) jika panjang mereka, daerah, atau volume adalah sama, dan juga untuk sudut. Istilah
lebih kuat " kongruen "mengacu pada ide bahwa bangun dengan seluruh ukuran yang sama
dan bentuk sebagai bentuk lain. Atau, dua bangun yang kongruen jika bangun tersebut dapat
dipindahkan di atas yang lain sehingga cocok dengan persis. (Flipping di atas diperbolehkan.)
Jadi, misalnya, persegi panjang 2x6 dan 3x4 persegi panjang adalah sama tetapi tidak
kongruen, dan huruf R adalah kongruen dengan bayangannya. Angka yang akan kongruen
kecuali untuk ukuran mereka yang berbeda disebut sebagai serupa.
Notasi dan terminologi Penamaan poin dan angka
Poin lazim diberi nama menggunakan huruf alfabet. Objek lainnya, seperti garis, segitiga,
atau lingkaran, diberi nama dengan daftar cukup banyak poin untuk menjemput mereka
keluar jelas dari angka yang relevan, misalnya, segitiga ABC biasanya akan menjadi segitiga
dengan simpul pada titik-titik A, B, dan C .
sudut pelengkap dan penunjang
Sudut yang jumlahnya 90 derajat adalah sudut siku-siku disebut komplementer , sedangkan
sudut yang jumlahnya 180 derajat adalah sudut lurus adalah tambahan (suplementer).
Versi Modern notasi Euclid
Dalam terminologi modern, sudut biasanya akan diukur dalam derajat atau radian .
Buku pelajaran sekolah modern sering mendefinisikan bangun terpisah yang disebut baris
(tak terbatas), sinar (semi-infinite), dan segmen garis (panjang terbatas). Euclid, daripada
membahas sebuah sinar sebagai objek yang meluas hingga tak terbatas dalam satu arah,
biasanya akan menggunakan lokusi seperti "jika baris ini diperpanjang dengan panjang yang
cukup," meskipun ia kadang-kadang disebut "garis yang tak terbatas." Sebuah "garis" dalam
Euclid dapat berupa lurus atau melengkung, dan ia menggunakan istilah yang lebih spesifik
"garis lurus" bila diperlukan.
8. 8
Beberapa hasil penting atau terkenal
Teorema Jembatan keledai menyatakan bahwa A = B dan C = D.
Jumlah dari sudut A, B, dan C adalah sama dengan 180 derajat.
Teorema Pythagoras: Jumlah dari bidang dua kotak pada kaki (a dan b) dari sebuah
segitiga siku-siku sama dengan luas persegi pada sisi miring (c).
9. 9
Teorema Thales: jika AC adalah diameter, maka sudut di B adalah sudut kanan.
Jembatan Menilai
Jembatan menilai (Pons Asinorum) menyatakan bahwa dalam segitiga sama kaki sudut di
dasar sama satu sama lain, dan, jika garis-garis lurus yang sama yang diproduksi lebih
lanjut, maka sudut bawah dasar sama satu sama lain. Namanya mungkin dikaitkan dengan
peran sering sebagai tes nyata pertama dalam Unsur-unsur kecerdasan pembaca dan sebagai
jembatan untuk proposisi keras yang diikuti. Hal ini juga mungkin dinamakan demikian
karena kemiripannya sosok geometris untuk jembatan yang curam yang hanya seekor keledai
yang dapat menyeberang.
Kongruensi segitiga
Kongruensi segitiga ditentukan dengan menentukan dua sisi dan sudut antara mereka (SAS),
dua sudut dan sisi antara mereka (ASA) atau dua sudut dan sisi yang berdekatan sesuai
(SSA). Menentukan dua sisi dan sudut yang berdekatan (SSA), bagaimanapun, dapat
menghasilkan dua segitiga yang mungkin berbeda.
Segitiga dikatakan kongruen jika mereka memiliki ketiga sisi yang sama (SSS), dua sisi dan
sudut antara mereka sama (SAS), atau dua sudut dan sisi yang sama (ASA) (Buku I, proposisi
10. 10
4, 8, dan 26). (Segitiga dengan tiga sudut yang sama umumnya serupa, tetapi belum tentu
kongruen Juga, segitiga dengan dua sisi yang sama dan sudut yang berdekatan tidak selalu
sama..)
Jumlah sudut sebuah segitiga
Jumlah sudut sebuah segitiga sama dengan sudut lurus (180 derajat).
Teorema Pythagoras
Para terkenal Teorema Pythagoras (buku I, proposisi 47) menyatakan bahwa dalam setiap
segitiga siku-siku, luas persegi yang sisinya adalah sisi miring (sisi berlawanan sudut yang
tepat) sama dengan jumlah dari bidang kotak yang sisi-sisinya bertemu di sudut 90 derajat
(kedua belah pihak yang bertemu di sudut kanan).
Thales 'Teorema
Thales 'Teorema , yaitu setelah Thales dari Miletus menyatakan bahwa jika A, B, dan C
adalah titik pada lingkaran di mana garis AC adalah diameter lingkaran, maka sudut ABC
adalah sudut kanan. Penyanyi menyangka bahwa Thales membuktikan Teorema melalui
Euclid buku saya, prop 32 menurut cara Euclid buku III, prop 31. Tradisi mengatakan bahwa
Thales mengorbankan lembu untuk merayakan teorema ini.
Scaling daerah dan volume
Dalam terminologi modern, area objek pesawat sebanding dengan kuadrat dari setiap dimensi
linier. Dan volume yang solid untuk kubus. Euclid membuktikan hasil ini dalam berbagai
kasus khusus seperti luas lingkaran dan volume yang solid parallelepipedal. Euclid
ditentukan, tapi tidak semua, dari konstanta proporsionalitas yang relevan. Misalnya, itu
penggantinya Archimedes yang membuktikan bahwa bola memiliki 2/3 volume silinder
circumscribing.
J. PEMIKIRAN DAN KARYA EUCLID
Ptolemy mendirikan universitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid
untuk mengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dan
tinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkali salah satu
mentor Archimedes. Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada
Euclid apabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi. “Tidak
ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambil menyuruh pangeran
kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadi kutipan (quotation) terkenal dari
Euclid. Selanjutnya jawaban tersebut memberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang
perlu pembuktian. Euclid banyak menulis buku, diantaranya yang terkenal dan masih
tersimpan, antara lain :
11. 11
a. The Elements, pendekatan sistematik dan aksiomatik terhadap geometri
b. The Data, berhubungan dengan sifat dan implikasi dalam masalah geometris; dan terkait
dengan jilid ke-4 buku The Elements
c. On Divisions of Figures, menyangkut pembagian bidang geometris menjadi dua atau lebih
bagian yang sama atau dengan rasio tertentu
d. Catoptrics, menyangkut teori matematika cermin, yaitu bentuk gambar pada cermin
cekung
e. Phaenomena, sebuah risalah astronomi bola.
f. Optik adalah perspektif awal yang masih bertahan Yunani. Yaitu Euclid mengikuti tradisi
Platonis dimana Vision atau pandangan tersebut disebabkan oleh sinar diskrit yang berasal
dari mata. Hal-hal yang dilihat di bawah sudut yang lebih besar tampak lebih besar, di
bawah sudut yang lebih rendah tampak lebih kecil, sementara yang di bawah sudut yang
sama adalah sama.
12. 12
KESIMPULAN
Pada era Euclid matematika lebih dikenal sebagai sains dan bukan mistik. Tidak
banyak orang yang beruntung memperoleh kemasyhuran yang abadi seperti Euclid, ahli ilmu
ukur Yunani yang besar. Euclid dapat disebut juga sebagai matematikawan utama. Dia
dikenal karena peninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku The
Elements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam buku tersebut
membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masa dan matematikawaan
terbesar Yunani.
Arti penting buku The Elements tidaklah terletak pada pernyataan rumus-rumus
pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah pernah
ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan Euclid
terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara
menyeluruh dalam perencanaan penyusunan buku. Di sini yang paling utama adalah
pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya. Sesudah itu dengan cermat dan hati-
hati dia mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Dia pun
menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan
percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Perlu dicatat bahwa buku The
Elements selain terutama merupakan pengembangan dari bidang geometri yang ketat, juga di
samping itu mengandung bagian-bagian soal aljabar yang luas berikut teori penjumlahan.
13. 13
DAFTAR PUSTAKA
Diakses dari http://astutisetyoningsih.blogspot.co.id/2012/02/sejarah-geometri-euclid.html
Diakses dari http://infinitymath.blogspot.co.id/p/sejarah-geometri-euclid-sejak-zaman.html
