Dokumen tersebut membahas tentang faktor persekutuan terbesar (FPB) antara dua bilangan atau lebih. FPB didefinisikan sebagai faktor terbesar yang dapat membagi dua bilangan atau lebih. Diberikan pula cara menemukan FPB dengan menuliskan faktor-faktor dan faktorisasi prima bilangan, serta beberapa teorema terkait FPB seperti algoritma Euclides, relasi antara FPB dan pembagian bilangan, dan hubungan F
2. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
FAKTOR BILANGAN
Pengertian Faktor Bilangan adalah
bilangan-bilangan bulat yang habis
membagi bilangan itu.
Perhatikan faktor bilangan 18 dan 27
berikut:
faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9
faktor dari 27 adalah 1, 3, 9, 27
5. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi:[faktor persekutuan (FP)]
x, y, z Z (dibaca: x, y, dan z elemen-elemen
bilangan Bulat), z disebut faktor persekutuan
dari x dan y jika dan hanya jika zx (diibaca: z
habis membagi x) dan zy (z habis membagi y)
atau
z = FP(x, y) zx dan zy
6. 04 Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi:
Perluasan: Persekutuan lebih dari 2 bilangan)
[faktor persekutuan (FP)]
x1, x2, x3, …, xn, z Z, z disebut faktor persekutuan
dari x1, x2, x3, …, xn jika dan hanya jika zxi, i = 1, 2, 3, …, n.
atau
z = FP(x1, x2, x3, …, xn) zxi, i = 1, 2, 3, …, n.
7. 04 Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi:
[faktor persekutuan Terbesar (FPB)]
x, y, z Z, z disebut faktor persekutuan
terbesar dari x dan y yang keduanya tidak nol
(ditulis “z = FPB(x, y)”) z = FP(x, y), dan
jika w = FP(x, y) maka w z.
8. 04 Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi:
perluasan: lebih dari 2 bilangan
[faktor persekutuan Terbesar (FPB)]
x1, x2, x3, …, xn, z Z, z disebut faktor persekutuan
terbesar dari x1, x2, x3, …, dan xn yang semuanya tidak
nol (ditulis “z = FPB(x1, x2, x3, …, xn)”) jika dan hanya jika
z = FP(x1, x2, x3, …, xn), dan
jika w = FP(x1, x2, x3, …, xn) maka w z.
9. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Cara Mencari FPB: antara lain
I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya
II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya
10. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Cara Mencari FPB: antara lain
I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya
II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya
Contoh 1: Tentukan FPB(6, 15) ?
11. Faktor Persekutuan Terbesar
Cara Mencari FPB: antara lain
I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya
II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya
Contoh 1: Tentukan FPB(6, 15) ?
Penyelesaian:
Cara I
Faktor-faktor dari 6 adalah {1, 2, 3, 6} dan
faktor-faktor dari 15 adalah {1, 3, 5, 15} sehingga FP(6, 15)
adalah {1, 3} karena 3 yang terbesar maka FPB(6, 15) = 3
12. Faktor Persekutuan Terbesar
Cara Mencari FPB: antara lain
I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya
II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya
Contoh 1: Tentukan FPB(6, 15) ?
Cara II
6 = 2.3 dan 15 = 3.5. Karena 3 merupakan faktor
persektutuan dari 6 dan 15 maka FPB(6, 15) = 3.
13. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Cara Mencari FPB: antara lain
I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya
II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya
Contoh 2: Tentukan FPB(108, 300) ?
Penyelesaian:
Cara II
108 = 22.33 dan 300 = 22.3.52 maka FPB(108, 300) = 22.3 = 12.
14. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Catatan:
Jika FPB(x, y) = 1 maka x dan y disebut
relatif prima (saling prima)
15. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Catatan:
Jika FPB(x, y) = 1 maka x dan y disebut
relatif prima (saling prima)
Contoh III.5: Tentukan FPB(8, 15) ?
Faktor-faktor dari 8 adalah {1, 2, 4, 8} dan
faktor-faktor dari 15 adalah {1, 3, 5, 15}
sehingga FP(8, 15) = 1 dan karena juga
FPB(8, 15) = 1.
8 dan 15 disebut saling prima
16. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema: Jika FPB(x, y) = z maka FPB(x : z, y : z) = 1.
17. Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema: Jika FPB(x, y) = z maka FPB(x : z, y : z) = 1
Bukti:
Karena FPB(a, b) selalu bilangan bulat positif dan 1a, 1b a dan b
maka F(a, b) 1. Jadi
FPB(x : z, y : z) 1. (I)
Selanjutnya tinggal kita tunjukkan FPB (x : z, y : z) 1.
Misalkan FPB(x:z, y:z) = w maka w(x:z) dan w(y:z), berarti p, q Z
sehingga
x : z = p.w dan y : z = q.w atau
x = z.p.w = (z.w)p dan y = z.q.w = (z.w)q.
Dua persamaan x = (z.w)p dan y = (z.w)q berarti (z.w)x dan (z.w)y.
(z.w)x dan (z.w)y maka z.w = FP(x, y). Karena z = FPB(x, y) maka
z.w z. Karena w bilangan bulat positif maka w 1. Jadi
FPB(x:z, y:z) 1 (II)
Dari (I) dan (II) dapat disimpulkan FPB(x:z, y:z) = 1. (teorema terbukti)
18. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema: penggunan algoritma Euclides
Jika y = qx + r maka FPB(y, x) = FPB(x, r).
19. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema: penggunan algoritma Euclides
Jika y = qx + r maka FPB(y, x) = FPB(x, r).
Bukti:
Misalkan FPB(y, x) = z berarti zy dan zx. Dari algoritma
pembagian jika y = qx + r, karena zy dan zx maka zr
maka z = FP(x, r). Misalkan v = FP(x, r), akan ditujukkan v
z. v = FP(x, r) berarti vx dan vr. Karena y = qx + r,
maka vy. Akibatnya v = FP(y, x). Mengingat FPB(y, x) = z
berarti v z. Ini berarti z = FPB(x, r).
Jadi FPB(y, x) = FPB(x, r) = z. (teorema terbukti)
20. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema: penggunan algoritma Euclides
Jika y = qx + r maka FPB(y, x) = FPB(x, r).
Contoh: Tentukan FPB(4652, 232) ?
Penyelesaian:
Dengan algoritma pembagian dari pasangan bilangan-bilangan
4652 dan 232, kita peroleh 4652 = 20.232 + 12.
Menurut teorema penggunan algoritma, didapat
FPB(4652, 232) = FPB(232, 12).
Dan algoritma pembagian dapat dilanjutkan lagi dengan
pasangan bilangan-bilangan 232 dan 12, kita peroleh
232 = 19.12 + 4
Menurut teorema penggunan algoritma, didapat
FPB(232, 12) = FPB(12, 4), =4.
Jadi FPB(4652, 232) = 4.
21. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, y) = rj maka ada bilangan-bilangan
bulat m dan n sedemikian hingga mx + ny = rj.
22. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, y) = rj maka ada bilangan-bilangan
bulat m dan n sedemikian hingga mx + ny = rj.
Contoh: Tuliskan FPB(1122, 105) dalam bentuk
m.1122 + n.105
Penyelesaian :
1122 = 10.105 + 72
105 = 1.72 + 33
72 = 2.33 + 6
33 = 5.6 + 3
6 = 2.3.
23. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, y) = rj maka ada bilangan-bilangan
bulat m dan n sedemikian hingga mx + ny = rj.
Contoh: Tuliskan FPB(1122, 105) dalam bentuk
m.1122 + n.105
Penyelesaian : 1
122 = 10.105 + 72 72 = 1122 – 10.105
(i) 105 = 1.72 + 33 33 = 105 – 1.72
(ii) 72 = 2.33 + 6 6 = 72 – 2.33
(iii) 33 = 5.6 + 3 3 = 33 – 5.6
(iv) 6 = 2.3
Jadi FPB(1122, 105) = 3.
24. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, y) = rj maka ada bilangan-bilangan
bulat m dan n sedemikian hingga mx + ny = rj.
Contoh: Tuliskan FPB(1122, 105) dalam bentuk
m.1122 + n.105
Jika lima persamaan di atas dimasukkan berturut-
turut dari persamaan terakhir, maka kita peroleh
3 = 33 – 5.6 (dari iv)
= 33 – 5(72 – 2.33) (dari iii)
= 11. 33 – 5.72
= 11(105 – 1.72) – 5.72 (dari ii)
= 11.105 – 16.72
= 11.105 – 16(1122 – 10.105) (dari i)
= 171.105 – 16.1122
Jadi FPB(1122, 105) = 3 = 171.105 – 16.1122.
26. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika mx + ny = 1 maka FPB(x, y) = 1
Bukti:
Misalkan w = FPB(x, y), maka w1. Karena w = FPB(x, y),
maka w adalah bilangan bulat positif.
Jadi haruslah w =1. (teorema terbukti)
27. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Untuk setiap bilangan bulat k, berlaku:
FPB(x, y) = FPB(x, y + kx)
28. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Untuk setiap bilangan bulat k, berlaku:
FPB(x, y) = FPB(x, y + kx)
Bukti:
Misalkan FPB(x, y) = z dan FPB(x, y + kx) = w, maka m, n Z
sehingga: z = mx + ny
Oleh karena itu, diperoleh
z = mx – knx + ny + knx
= x(m – kn) + n(y + kx).
Akibatnya FPB(x, y + kx)z atau wz.
Karena FPB(x, y) = z mak zx dan zy, dan diperoleh z(y + kx). Akibatnya:
z = FP(x, y + kx).
Karena FP(x, y + kx)FPB(x, y +kx), maka diperoleh zw.
Dari wz dan zw, maka z = w. Akan tetapi
z = FPB(x, y) dan w = FPB(x, y + kx), karena z dan w keduanya bilangan
bulat positi. Maka dapat disimpulkan z = w. (teorema terbukti)
29. Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Untuk setiap bilangan bulat k, berlaku:
FPB(x, y) = FPB(x, y + kx)
Contoh:
Jika FPB(6, 15) = 3, tentukan FPB(6, 45) ?
Penyelesaian:
Karena FPB(6, 45) = FPB(6, 15 + 5.6)
Maka FPB (6, 45) = FPB(6, 15 + 5.6) = FPB(6, 15) = 3
Jadi FPB(6, 45) = 3.
31. Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika ypx dan FPB(x, y) = 1 maka yp.
Bukti:
FPB(x, y) = 1 maka ada bilangan-bilangan bulat m dan n
sedemikian hingga
1 = mx + ny (I)
Jika kedua ruas persamaan (III.6) dikalikan dengan p,
maka kita peroleh
p = p(mx + ny) = m(px) + p(ny)
Karena ypx maka ym(px) dan yp(ny). Karenanya
y[m(px) + p(ny)] atau y p. (teorema
terbukti)
33. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika zx dan wx, FPB(z, w) = 1 maka
zwx.
Bukti:
zx berarti ada bilangan bulat p
sedemikian hingga x = pz. wx berarti wpz,
karena FPB(z, w) = 1 maka wp, misalkan p =
kw, dengan k sembarang bilangan bulat, maka
x = pz = (kw)z = (wz)k
x = (wz)k, untuk sebarang bilangan bulat k,
berarti wzx. (jadi teorema terbukti)
34. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka FPB(xy, z) =1.
35. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka (xy, z) =1.
Bukti:
Menurut teorema terdapat bilangan-bi;angan m0, n0,
m1, n1 sedekian hingga
1 = m0x + n0z = m1y + n1z
maka
(m0x)(m1y) = (1 - n0z)(1 - n1z)
= 1 – n2z
(I)
dimana n2 = n0 + n1 - n0n1z. Dari persamaan (I) di atas
diperoleh m0m1xy + n2z = 1, misalkan d sembarang
bilangan bulat sedemikian hingga dxy dan dz akibatnya
d(m0m1xy + n2z). Karena m0m1xy + n2z = 1 maka d1 ini
hanya dipenuhi oleh d = 1. Karenanya FPB(xy, z) = 1.
(jadi teorema terbukti).
36. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Teorema:
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka (xy, z) =1.
Contoh:
Tentukan FPB(500, 9)?
Penyelesaian:
Karena FPB(20, 9) = 1 dan FPB(25, 9) = 1 maka
FPB(500, 9) = FPB(20.25, 9) = 1.
37. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Soal Latihan:
1. Tentukan FPB dari :
(a) 57 dan 90 (b) 66 dan 90 (c) 126 dan 132 (d) 48 dan 130
(e) 84 dan 92 (f) 28 dan 16 (g) 46 dan 38
2. Misalkan x bilangan bulat. Tentukan :
(a) FPB(1, x) (b) FPB(0, x) (c) FPB(x, x2)
3.Tentukan FPB dari :
(a) 144, 72 dan 36 (b) 28, 63 dan 42 (c) 42, 96, 104 dan 18
4.Dengan menggunakan algoritma Euclides, Tentukan FPB dari :
(a) 2464 dan 7469 (b) 1109 dn 4999 (c) 486 dan 522
(d) 2689 dan 4001 (e) 2997 dan 3987 (f) 912 dan 19.656
5.Misalkan w = FPB(x, y, z). Tunjukkan terdapat s, t, dan q sehingga:
sx + ty + qz = w.
38. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Soal Latihan:
6.Tentukan nilai-nilai x, y dan z sehingga :
(a) 314x + 159 y = 1 (b) 243x + 198y = 9 (c) 13x + 64 y = 1
(d) 93x – 81y = 3 (e) 71x – 50y = 1 (f) 6x + 10y + 15z = 1
7.Buktikan jika xy dan x > 0 maka FPB(x, y) = x.
8.Buktikan FPB(FPB(x, y), y) = FPB(x, y).
9.Buktikan jika FPB(x, y) = 1 dan zx maka FPB(z, y) =1.
10.Misalkan x dan y bilangan bulat positif. Tunjukkan bahwa
xy jika dan hanya jika FPB(x, y) = x.
11.Buktikan bahwa jika mx + ny = z maka FPB(x, y)z.
39. 03 Faktor Persekutuan Terbesar
Soal Latihan:
12.Buktikan bahwa jika zxy dan FPB(z, x) = w maka zyw.
13.Buktikan bahwa FPB(x, x + y) = jika dan hanya jika FPB(x, y) = 1.
14.Jika benar 6x dan 7x, benarkah 42x ?. Mengapa ?.
15.Buktikan bahwa terdapat tak terhingga bilangan bulat x dan y yang
memenuhi: x + y = 100 dan FPB(x, y) = 5.
16.Buktikan tak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi:
x + y = 100 dan FPB(x, y) =3.
17.Evaluasilah FPB(x, x + 1) untuk setiap x bilangan bulat positif.
18.Misalkan z dan w bilangan-bilangan bulat positif. Buktikan ada
bilangan bulat x dan y yang memenuhi x + y = z dan
FPB(x, y) = w jika dan hanya jika wz.
19. Buktikan bahwa jika n >1 suatu bilangan prima maka untuk setiap
bilangan bulat a berlaku FPB(a,n) = 1 atau n | a.