Dokumen tersebut membahas tentang teorema faktor dan akar-akar rasional dari persamaan sukubanyak. Teorema faktor menyatakan hubungan antara faktor sukubanyak dengan nilai nol persamaannya, sedangkan akar-akar rasional adalah faktor-faktor bulat dari koefisien paling besar. Dokumen ini juga menjelaskan cara menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar suatu persamaan.

1. Suku Banyak
1
Dan
Teorema Faktor

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
2
Menentukan
faktor, akar-akar
serta jumlah dan hasil kali
akar-akar
persamaan sukubanyak

3. Teorema Faktor
Jika f(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika P(k) = 0
3

4. 4
Artinya:
1.Jika (x – k) merupakan faktor,
maka nilai P(k) = 0
sebaliknya,
2. jika P(k) = 0 maka (x – k)
merupakan faktor

5. Contoh 1:
Tunjukan (x + 1) faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0
P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
5
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.

6. Cara lain untuk menunjukan
(x + 1) adalah faktor dari
x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan
pembagian horner:
1
4 2 -1 koefisien
-1
Suku banyak +
6
-1
3
-3
-1
10
P(-1) = 0
berarti (x + 1)
artinya dikali (-1) faktornya

7. Contoh 2:
Tentukan faktor-faktor dari
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka
nilai k yang mungkin adalah
pembagi bulat dari 6, yaitu
7

8. pembagi bulat dari 6 ada 8
yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.
Nilai-nilai k itu kita substitusikan
ke P(x), misalnya k = 1
diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
8
= 2 – 1 – 7 + 6
= 0

9. Oleh karena P(1) = 0, maka
(x – 1) adalah salah satu faktor
dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain,
kita tentukan hasil bagi P(x)
oleh (x – 1) dengan
pembagian horner:
9

10. 10
Koefisien sukubanyak
P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
adalah
2 -1 -7 6
k = 1
+
 2
0
Koefisien hasil bagi
2
1
1
-6
-6
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6

11. Karena hasil baginya adalah
H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)
dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah
(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)
11

12. Contoh 3:
Diketahui (x – 2) adalah faktor
P(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.
Salah satu faktor yang lainnya
adalah…. a. x + 3
12
b. x – 3
c. x – 1
d. 2x – 3
e. 2x + 3

13. Jawab:
Kita tentukan terlebih dahulu
koefisien x2 yaitu a = ?
Jika (x – 2) faktornya P(x) maka
13
P(2) = 0
Þ 2.23 + 22 + 2a - 6 = 0
16 + 4 + 2a - 6 = 0
2a + 14 = 0
2a = -14 Þ a = -7

14. P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6
berarti koefisien P(x) adalah
14
2 1 -7 -6
k = 2
+
2
 0
Koefisien hasil bagi
4
5
10
3
6
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3
= (2x + 3)(x + 1)
Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3

15. Contoh 4:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi
oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai
a + b adalah….
a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9
15

16. Jawab:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0
16
1 – a + b – 2 = 0
-a + b = 1….(1)
dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36

17. (-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
- 8 – 4a – 2b – 2 = -36
17
- 4a – 2b = -36 + 10
-4a – 2b = -26
2a + b = 13….(2)

18. Persamaan (1): -a + b = 1
Persamaan (2): 2a + b = 13
-3a = -12
18
a = 4
b = 1 + 4 = 5
Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9

19. Akar-akar Rasional
Persamaan Sukubanyak
Salah satu penggunaan teorema
faktor adalah mencari akar-akar
sebuah persamaan sukubanyak,
karena ada hubungan antara
faktor dengan akar-akar
persamaan sukubanyak
19

20. Jika P(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika k akar dari
persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol
dari persamaan sukubanyak:
20
P(x) = 0

21. Teorema Akar-akar Rasional
0
21
Jika
P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao
dan
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
maka
n
bulat dari a
bulat dari a
faktor
faktor
k =

22. Contoh 1:
Tunjukan -3 adalah salah satu
akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian
tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
Untuk menunjukan -3 akar dari
P(x), cukup kita tunjukan bahwa
P(-3) = 0
22

23. 23
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6
= -27 + 21 + 6
= 0
Oleh karena P(-3) = 0,
maka -3 adalah akar dari
Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0

24. 24
Untuk menentukan
akar-akar yang lain,
kita tentukan terlebih dahulu
hasil bagi
P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3
dengan pembagian Horner
sebagai berikut

25. P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah
25
1 0 -7 6
k = -3
+
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
=(x – 1)(x – 2)
1
-3
- 3
9
2
-6
 0
Koefisien hasil bagi

26. Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak
tsb dapat ditulis menjadi
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain
adalah x = 1 dan x = 2
26

27. Contoh 2:
Banyaknya akar-akar rasional
dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0
adalah….
a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o
27

28. Jawab:
Karena persamaan sukubanyak
berderajat 4, maka akar-akar
rasionalnya paling banyak ada 4
yaitu faktor-faktor bulat dari 2.
Faktor-faktor bulat dari 2 adalah
1, -1, 2 dan -2
28

29. Dari 4 kemungkinan yang akan
menjadi akar-akar rasional
persamaan sukubanyak tsb,
kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0
adalah 1, 0, -3, 0, dan 6
29

30. +
30
1 0 -3 0 2
k = 1
1
1
1
1
-2
-2
- 2 0
-2
Ternyata P(1) = 0, berarti
1 adalah akar rasionalnya,
Selanjutnya kita coba -1.
Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

31. 31
1 1 -2 -2
k = -1
+
1
-1
0
0
-2
2
0
Ternyata P(-1) = 0, berarti
-1 adalah akar rasionalnya,
Sehingga:
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0

32. (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi
(x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,
tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya
ada 2 yaitu 1 dan -1.
32

33. Jumlah dan Hasil Kali
33
Akar-akar
Persamaan Sukubanyak

34. c
34
Jika akar-akar
Persamaan Sukubanyak:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
adalah x1, x2, dan x3 maka
x1 + x2 + x3 =
-b
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
x1.x2.x3 =
a
a
-d
a

35. Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan
x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
x1 + x2 + x3 =
35
=
-b
a
-- 3 = 3
1

36. Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan
2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
x1.x2.x3 =
36
=
-d
a
-- 8 = 4
2

37. Contoh 3:
Salah satu akar persamaan
x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2
Jumlah akar-akar persamaan
tersebut adalah….
37

38. Jawab:
-2 adalah akar persamaan
x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →
-2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga:
(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
38

39. -8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0 ® 4p = 12® p = 3
Persamaan tersebut:
x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya:
x1 + x2 + x3 =
39
=
-b
a
-3 = -3
1

40. Contoh 4:
Akar-akar persamaan
x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2,
dan x3. Nilai x1
40
2 + x2
2 + x3
2 =….

41. 41
Jawab:
x2 + x1
2
2 + x3
2 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
x3 – 4x2 + x – 4 = 0
x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1

42. 42
x+ x+ x= 4
1 2 3 xx+ xx+ xx= 1
12 13 23 Jadi:
x2 + x2 + x1
2
3
2 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14

43. 43