Dokumen tersebut membahas tentang pengertian dan operasi-operasi dasar pada polinomial seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, serta teorema-teorema terkait seperti teorema faktor dan teorema Vieta."

1. POLINOMIAL
Dwito Ghanindra, Kevin Bernadus, So
Yuan
XI Science 1

2. Pengertian Polinomial
2
A

3. Pengertian Polinomial
Polinomial atau suku banyak adalah pernyataan matematika
yang melibatkan jumlahan perkalian pangkat dalam satu atau
lebih variabel dengan koefisien. Pangkat tertinggi pada suatu
polinomial menunjukkan orde atau derajat dari polinomial
tersebut.
Bentuk umum suku banyak:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0
3

4. Operasi Aljabar pada
Polinomial
4
B

5. 1. Penjumlahan dan Pengurangan
Operasi penjumlahan dan pengurangan polinom
dilakukan dengan cara menjumlah/mengurang
koefisien suku-suku yang mempunyai variabel
dengan pangkat yang sama.
5

6. 1. Penjumlahan dan Pengurangan
Contoh #1:
Tentukan hasil penjumlahan polinomial dari x3 - 3x2 + 2x + 1 dan -x3 + 4x2 + x - 8.
(x3 - 3x2 + 2x + 1) +(-x3 + 4x2 + x - 8)
= (1+(-1))x3 + (-3+4)x2 + (-2+1)x + (1+(-8))
= (0)x3 + (1)x2 + (-1)x + (-7)
= x2 - x - 7
6

7. 1. Penjumlahan dan Pengurangan
Contoh #2:
Tentukan hasil pengurangan polinomial 2x3 + 4x2 - 5x + 7 dengan x3 - 2x2 + 3x - 9.
(2x3 + 4x2 - 5x + 7) - (x3 - 2x2 + 3x -9)
= (2-1)x3 + (4-(-2))x2 + (-5-3)x + (7-(-9))
= (1)x3 + (6)x2 + (-8)x + (16)
= x3 + 6x2 - 8x + 16
7

8. 2. Perkalian
Operasi perkalian suku banyak dilakukan dengan cara mengalikan semua
suku-suku secara bergantian.
Contoh: Tentukan hasil perkalian polinomial dari x2 - 2x + 3 dan 4x + 5.
(x2 - 2x + 3)(4x + 5)
= (x2)(4x) + (x2)(5) + (-2x)(4x) + (-2x)(5) + (3)(4x) + (3)(5)
= 4x3 + 5x2 - 8x2 - 10x + 12x +15
= 4x3 - 3x2 + 2x +15
8

9. 3. Kesamaan
Dua polinom dikatakan sama jika memiliki derajat yang sama dan suku-suku
yang bersesuaian juga sama. Kesamaan polinom bisa juga dijelaskan sebagai
berikut.
Misal f(x) dan g(x) adalah dua polinom berderajat n yang secara umum
dinyatakan sebagai berikut.
f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
g(x) = pnxn + pn-1xn-1 + … + p1x + p0
Jika f(x)=g(x) maka berlaku: an=pn, an-1=pn1, …, a1=p1, a0=p0.
9

10. 3. Kesamaan
Contoh: Tentukan nilai a dan b dari kesamaan polinom (x+a)(x+2) = x2 + 7x + b.
(x+a)(x+2) = x2 + 7x + 5
x2 + 2x + ax + 2a = x2 + 7x + b
x2 + (2+a)x + (2a) = x2 + 7x + b
Maka, 2+a = 7 dan 2a=b.
a = 7 - 2 = 5
b = 2a = 2(5) = 10
10

11. Pembagian Polinomial
11
C

12. 1. Skema Horner
Perhatikan cara menentukan nilai polinomial f(x) = 2x^{3} – 3x^{2}+ x + 6
untuk x = –2 menggunakan cara skema Horner berikut.
12

13. 2. Teorema Faktor
Misalkan f(x) adalah suatu suku banyak, (x-k) merupakan faktor
dari f(x) jika dan hanya jika f(k)=0.
Kesimpulan:
1. Jika (x-k) merupakan faktor dari f(x), maka f(k)=0.
2. Jika f(k)=0, maka (x-k) merupakan faktor dari f(x).
13

14. 2. Teorema Faktor
Contoh:
Untuk menunjukkan bahwa (x - 1) merupakan faktor dari f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1,
cukup ditunjukkan bahwa f(1) = 0. Perhatikan perhitungan berikut.
f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1
f(1) = (1)3 - 3(1)2 + 3(1) - 1
f(1) = 1 - 3 + 3 - 1
f(1) = 0
Dengan demikian, (x - 1) merupakan faktor dari f(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1.
14

15. Teorema Vieta
15
D

16. Persamaan Kuadrat
Jika terdapat persamaan suku banyak berderajat 2 yaitu ax2 + bx + c = 0
dan akar-akarnya adalah x1 dan x2, maka berlaku:
x1 + x2 = -b/a
x1x2 = c/a
16

17. Persamaan Kubik
Jika terdapat persamaan suku banyak berderajat 3 yaitu ax3 + bx2 + cx + d = 0
dan akar-akarnya adalah x1, x2, dan x3, maka berlaku:
x1 + x2 + x3 = -b/a
x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a
x1x2x3 = -d/a
17

18. Persamaan Kuartik
Jika terdapat persamaan suku banyak berderajat 4 yaitu ax3 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
dan akar-akarnya adalah x1, x2, x3, dan x4 maka berlaku:
x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a
x1x2 + x1x3 + x1x4 + x2x3 + x2x4 + x3x4 = c/a
x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = -d/a
x1x2x3x4 = e/a
18

19. Persamaan Umum
Jika terdapat persamaan suku banyak berderajat n yaitu anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 =
0 dan akar-akarnya adalah x1, x2, …, xn maka berlaku:
19

20. Teorema Vieta
Contoh #1: Jika polinom x2 + 9x + 5 = 0 memiliki akar-akar yaitu x1 dan x2,
maka carilah nilai dari x1
2 + x2
2.
Dari teorema Vieta, kita tahu bahwa x1 + x2 = -9 dan x1x2 = 5.
x1
2 + x2
2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2
x1
2 + x2
2 = (-9)2 - 2(5)
x1
2 + x2
2 = 81 - 10
x1
2 + x2
2 = 71 20

21. Teorema Vieta
Contoh #2: Jika x1, x2dan x3 merupakan akar-akar dari polinom 5x3 - 11x2 + 7x + 3 =
0, maka carilah nilai dari x1(1 + x2 + x3) + x2(1 + x1 + x3) + x3(1 + x1 + x2).
Dari teorema Vieta, kita tahu bahwa x1 + x2 + x3 = -(-11)/5 = 11/5 dan
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7/5.
x1(1 + x2 + x3) + x2(1 + x1 + x3) + x3(1 + x1 + x2)
= x1 + x2 + x3 + 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 11/5 + 2(7/5) = 11/5 + 14/5 = 25/5
= 5 21

22. Teorema Vieta
Contoh #3: Jika x1, x2dan x3 merupakan akar-akar dari polinom 7x3 + 5x2 + 4x + 2 =
0,
maka carilah nilai dari . .
Dari teorema Vieta, kita tahu bahwa x1x2 + x1x3 + x2x3 = 4/7 dan x1x2x3 = -2/7.
22

23. 23
TERIMA KASIH!