67 FPB or FPT.ppt

03 Faktor Persekutuan Terbesar
(Pembagi Bersama Terbesar)
(FPB/PBB/FPT)
FPB = ?

FAKTOR BILANGAN
Pengertian Faktor Bilangan adalah
bilangan-bilangan bulat yang habis
membagi bilangan itu.
Perhatikan faktor bilangan 18 dan 27
berikut:
faktor dari 18 adalah 1, 2, 3, 6, 9
faktor dari 27 adalah 1, 3, 9, 27

FPB (27, 18) = ?
atau
(27, 18) = ?

Definisi:[faktor persekutuan (FP)]
x, y, z  Z (dibaca: x, y, dan z elemen-elemen
bilangan Bulat), z disebut faktor persekutuan
dari x dan y jika dan hanya jika zx (diibaca: z
habis membagi x) dan zy (z habis membagi y)
atau
z = FP(x, y)  zx dan zy

Definisi:
Perluasan: Persekutuan lebih dari 2 bilangan)
[faktor persekutuan (FP)]
x1, x2, x3, …, xn, z  Z, z disebut faktor persekutuan
dari x1, x2, x3, …, xn jika dan hanya jika zxi,  i = 1, 2, 3, …, n.
atau
z = FP(x1, x2, x3, …, xn) zxi,  i = 1, 2, 3, …, n.

Definisi:
[faktor persekutuan Terbesar (FPB)]
x, y, z  Z, z disebut faktor persekutuan
terbesar dari x dan y yang keduanya tidak nol
(ditulis “z = FPB(x, y)”)  z = FP(x, y), dan
jika  w = FP(x, y) maka w  z.

Definisi:
perluasan: lebih dari 2 bilangan
[faktor persekutuan Terbesar (FPB)]
x1, x2, x3, …, xn, z  Z, z disebut faktor persekutuan
terbesar dari x1, x2, x3, …, dan xn yang semuanya tidak
nol (ditulis “z = FPB(x1, x2, x3, …, xn)”) jika dan hanya jika
z = FP(x1, x2, x3, …, xn), dan
jika  w = FP(x1, x2, x3, …, xn) maka w  z.

Cara Mencari FPB: antara lain
I. Menuliskan Faktor-Faktor bilanganya
II. Menuliskan Fatorisasi Prima bilangannya

Contoh 1: Tentukan FPB(6, 15) ?

Faktor Persekutuan Terbesar
Penyelesaian:
Cara I
Faktor-faktor dari 6 adalah {1, 2, 3, 6} dan
faktor-faktor dari 15 adalah {1, 3, 5, 15} sehingga FP(6, 15)
adalah {1, 3} karena 3 yang terbesar maka FPB(6, 15) = 3

Cara II
6 = 2.3 dan 15 = 3.5. Karena 3 merupakan faktor
persektutuan dari 6 dan 15 maka FPB(6, 15) = 3.

Penyelesaian:
Cara II
108 = 22.33 dan 300 = 22.3.52 maka FPB(108, 300) = 22.3 = 12.

Catatan:
Jika FPB(x, y) = 1 maka x dan y disebut
relatif prima (saling prima)

Catatan:
Jika FPB(x, y) = 1 maka x dan y disebut
relatif prima (saling prima)
Contoh III.5: Tentukan FPB(8, 15) ?
Faktor-faktor dari 8 adalah {1, 2, 4, 8} dan
faktor-faktor dari 15 adalah {1, 3, 5, 15}
sehingga FP(8, 15) = 1 dan karena juga
FPB(8, 15) = 1.
8 dan 15 disebut saling prima

Teorema: Jika FPB(x, y) = z maka FPB(x : z, y : z) = 1.

Teorema: Jika FPB(x, y) = z maka FPB(x : z, y : z) = 1
Bukti:
Karena FPB(a, b) selalu bilangan bulat positif dan 1a, 1b a dan b
maka F(a, b)  1. Jadi
FPB(x : z, y : z)  1. (I)
Selanjutnya tinggal kita tunjukkan FPB (x : z, y : z)  1.
Misalkan FPB(x:z, y:z) = w maka w(x:z) dan w(y:z), berarti  p, q Z
sehingga
x : z = p.w dan y : z = q.w atau
x = z.p.w = (z.w)p dan y = z.q.w = (z.w)q.
Dua persamaan x = (z.w)p dan y = (z.w)q berarti (z.w)x dan (z.w)y.
(z.w)x dan (z.w)y maka z.w = FP(x, y). Karena z = FPB(x, y) maka
z.w  z. Karena w bilangan bulat positif maka w  1. Jadi
FPB(x:z, y:z)  1 (II)
Dari (I) dan (II) dapat disimpulkan FPB(x:z, y:z) = 1. (teorema terbukti)

Teorema: penggunan algoritma Euclides
Jika y = qx + r maka FPB(y, x) = FPB(x, r).

Bukti:
Misalkan FPB(y, x) = z berarti zy dan zx. Dari algoritma
pembagian jika y = qx + r, karena zy dan zx maka zr
maka z = FP(x, r). Misalkan v = FP(x, r), akan ditujukkan v
 z. v = FP(x, r) berarti vx dan vr. Karena y = qx + r,
maka vy. Akibatnya v = FP(y, x). Mengingat FPB(y, x) = z
berarti v  z. Ini berarti z = FPB(x, r).
Jadi FPB(y, x) = FPB(x, r) = z. (teorema terbukti)

Contoh: Tentukan FPB(4652, 232) ?
Penyelesaian:
Dengan algoritma pembagian dari pasangan bilangan-bilangan
4652 dan 232, kita peroleh 4652 = 20.232 + 12.
Menurut teorema penggunan algoritma, didapat
FPB(4652, 232) = FPB(232, 12).
Dan algoritma pembagian dapat dilanjutkan lagi dengan
pasangan bilangan-bilangan 232 dan 12, kita peroleh
232 = 19.12 + 4
Menurut teorema penggunan algoritma, didapat
FPB(232, 12) = FPB(12, 4), =4.
Jadi FPB(4652, 232) = 4.

Teorema:
Jika FPB(x, y) = rj maka ada bilangan-bilangan
bulat m dan n sedemikian hingga mx + ny = rj.

Teorema:
Contoh: Tuliskan FPB(1122, 105) dalam bentuk
m.1122 + n.105
Penyelesaian :
1122 = 10.105 + 72
105 = 1.72 + 33
72 = 2.33 + 6
33 = 5.6 + 3
6 = 2.3.

Teorema:
m.1122 + n.105
Penyelesaian : 1
122 = 10.105 + 72  72 = 1122 – 10.105
(i) 105 = 1.72 + 33  33 = 105 – 1.72
(ii) 72 = 2.33 + 6  6 = 72 – 2.33
(iii) 33 = 5.6 + 3  3 = 33 – 5.6
(iv) 6 = 2.3
Jadi FPB(1122, 105) = 3.

Teorema:
m.1122 + n.105
Jika lima persamaan di atas dimasukkan berturut-
turut dari persamaan terakhir, maka kita peroleh
3 = 33 – 5.6 (dari iv)
= 33 – 5(72 – 2.33) (dari iii)
= 11. 33 – 5.72
= 11(105 – 1.72) – 5.72 (dari ii)
= 11.105 – 16.72
= 11.105 – 16(1122 – 10.105) (dari i)
= 171.105 – 16.1122
Jadi FPB(1122, 105) = 3 = 171.105 – 16.1122.

Teorema:
Jika mx + ny = 1 maka FPB(x, y) = 1

Teorema:
Jika mx + ny = 1 maka FPB(x, y) = 1
Bukti:
Misalkan w = FPB(x, y), maka w1. Karena w = FPB(x, y),
maka w adalah bilangan bulat positif.
Jadi haruslah w =1. (teorema terbukti)

Teorema:
Untuk setiap bilangan bulat k, berlaku:
FPB(x, y) = FPB(x, y + kx)

Teorema:
Bukti:
Misalkan FPB(x, y) = z dan FPB(x, y + kx) = w, maka m, n Z
sehingga: z = mx + ny
Oleh karena itu, diperoleh
z = mx – knx + ny + knx
= x(m – kn) + n(y + kx).
Akibatnya FPB(x, y + kx)z atau wz.
Karena FPB(x, y) = z mak zx dan zy, dan diperoleh z(y + kx). Akibatnya:
z = FP(x, y + kx).
Karena FP(x, y + kx)FPB(x, y +kx), maka diperoleh zw.
Dari wz dan zw, maka z =  w. Akan tetapi
z = FPB(x, y) dan w = FPB(x, y + kx), karena z dan w keduanya bilangan
bulat positi. Maka dapat disimpulkan z = w. (teorema terbukti)

Teorema:
Contoh:
Jika FPB(6, 15) = 3, tentukan FPB(6, 45) ?
Penyelesaian:
Karena FPB(6, 45) = FPB(6, 15 + 5.6)
Maka FPB (6, 45) = FPB(6, 15 + 5.6) = FPB(6, 15) = 3
Jadi FPB(6, 45) = 3.

Teorema:
Jika ypx dan FPB(x, y) = 1 maka yp.

Teorema:
Jika ypx dan FPB(x, y) = 1 maka yp.
Bukti:
FPB(x, y) = 1 maka ada bilangan-bilangan bulat m dan n
sedemikian hingga
1 = mx + ny (I)
Jika kedua ruas persamaan (III.6) dikalikan dengan p,
maka kita peroleh
p = p(mx + ny) = m(px) + p(ny)
Karena ypx maka ym(px) dan yp(ny). Karenanya
y[m(px) + p(ny)] atau y p. (teorema
terbukti)

Teorema:
Jika zx dan wx, FPB(z, w) = 1 maka zwx.

Teorema:
Jika zx dan wx, FPB(z, w) = 1 maka
zwx.
Bukti:
zx berarti ada bilangan bulat p
sedemikian hingga x = pz. wx berarti wpz,
karena FPB(z, w) = 1 maka wp, misalkan p =
kw, dengan k sembarang bilangan bulat, maka
x = pz = (kw)z = (wz)k
x = (wz)k, untuk sebarang bilangan bulat k,
berarti wzx. (jadi teorema terbukti)

Teorema:
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka FPB(xy, z) =1.

Teorema:
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka (xy, z) =1.
Bukti:
Menurut teorema terdapat bilangan-bi;angan m0, n0,
m1, n1 sedekian hingga
1 = m0x + n0z = m1y + n1z
maka
(m0x)(m1y) = (1 - n0z)(1 - n1z)
= 1 – n2z
(I)
dimana n2 = n0 + n1 - n0n1z. Dari persamaan (I) di atas
diperoleh m0m1xy + n2z = 1, misalkan d sembarang
bilangan bulat sedemikian hingga dxy dan dz akibatnya
d(m0m1xy + n2z). Karena m0m1xy + n2z = 1 maka d1 ini
hanya dipenuhi oleh d = 1. Karenanya FPB(xy, z) = 1.
(jadi teorema terbukti).

Teorema:
Jika FPB(x, z) = FPB(y, z) = 1 maka (xy, z) =1.
Contoh:
Tentukan FPB(500, 9)?
Penyelesaian:
Karena FPB(20, 9) = 1 dan FPB(25, 9) = 1 maka
FPB(500, 9) = FPB(20.25, 9) = 1.

Soal Latihan:
1. Tentukan FPB dari :
(a) 57 dan 90 (b) 66 dan 90 (c) 126 dan 132 (d) 48 dan 130
(e) 84 dan 92 (f) 28 dan 16 (g) 46 dan 38
2. Misalkan x bilangan bulat. Tentukan :
(a) FPB(1, x) (b) FPB(0, x) (c) FPB(x, x2)
3.Tentukan FPB dari :
(a) 144, 72 dan 36 (b) 28, 63 dan 42 (c) 42, 96, 104 dan 18
4.Dengan menggunakan algoritma Euclides, Tentukan FPB dari :
(a) 2464 dan 7469 (b) 1109 dn 4999 (c) 486 dan 522
(d) 2689 dan 4001 (e) 2997 dan 3987 (f) 912 dan 19.656
5.Misalkan w = FPB(x, y, z). Tunjukkan terdapat s, t, dan q sehingga:
sx + ty + qz = w.

Soal Latihan:
6.Tentukan nilai-nilai x, y dan z sehingga :
(a) 314x + 159 y = 1 (b) 243x + 198y = 9 (c) 13x + 64 y = 1
(d) 93x – 81y = 3 (e) 71x – 50y = 1 (f) 6x + 10y + 15z = 1
7.Buktikan jika xy dan x > 0 maka FPB(x, y) = x.
8.Buktikan FPB(FPB(x, y), y) = FPB(x, y).
9.Buktikan jika FPB(x, y) = 1 dan zx maka FPB(z, y) =1.
10.Misalkan x dan y bilangan bulat positif. Tunjukkan bahwa
xy jika dan hanya jika FPB(x, y) = x.
11.Buktikan bahwa jika mx + ny = z maka FPB(x, y)z.

Soal Latihan:
12.Buktikan bahwa jika zxy dan FPB(z, x) = w maka zyw.
13.Buktikan bahwa FPB(x, x + y) = jika dan hanya jika FPB(x, y) = 1.
14.Jika benar 6x dan 7x, benarkah 42x ?. Mengapa ?.
15.Buktikan bahwa terdapat tak terhingga bilangan bulat x dan y yang
memenuhi: x + y = 100 dan FPB(x, y) = 5.
16.Buktikan tak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi:
x + y = 100 dan FPB(x, y) =3.
17.Evaluasilah FPB(x, x + 1) untuk setiap x bilangan bulat positif.
18.Misalkan z dan w bilangan-bilangan bulat positif. Buktikan ada
bilangan bulat x dan y yang memenuhi x + y = z dan
FPB(x, y) = w jika dan hanya jika wz.
19. Buktikan bahwa jika n >1 suatu bilangan prima maka untuk setiap
bilangan bulat a berlaku FPB(a,n) = 1 atau n | a.

67 FPB or FPT.ppt

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 67 FPB or FPT.ppt

Similar to 67 FPB or FPT.ppt (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

67 FPB or FPT.ppt