Materi Aljabar Persamaan Linear

1. PERSAMAAN LINEAR
Disusun Oleh :
Nama : Muhammad Urip Sutanto
Monalisa
M. Rizky Tama Putra
Kelompok : 7 (Tujuh)
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2015

2. Persamaan Linear
Persamaan Linear
Persamaan linear merupakan sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya
mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan serta
variabelnya berpangkat satu. Persamaan ini dikatakan linear karena jika kita
gambarkan dalam koordinat cartesius berbentuk garis lurus. Sistem persamaan
linear disebut sistem persamaan linear satu variabel karena dalam sistem tersebut
mempunyai satu variabel. Bentuk umum persamaan linear satu variabel yaitu
a ≠ 0
Didalam persamaan di atas a itu ialah koefisien dari x, sedang b merupakan suku
yang diketahui.
ax = - b .................(1)
x = −
b
a
oleh sebab pembagian dengan bilangan yang bukan nol itu hanya memberikan
hasilbagi sebuah saja, maka akar persamaan linear itu tidak lebih daripada satu.
Biasanya sebuah persamaan linear itu segera dikembalikan kedalam bentuk (1),
artinya, suku-suku yang mengandung variabel dipindahkan ke ruas pertama,
sedangkan suku-sukunya yang lain dipindahkan ke ruas yang ke dua.
Perhatikan contoh berikut ini:
1.
(𝑥−5)
2
−
( 𝑥−4)
3
=
( 𝑥−3)
2
− (𝑥 − 2)
Jawab: kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan 6, maka persamaan itu
menjadi:
ax + b = 0

3. 3( 𝑥 − 5) − 2( 𝑥 − 4) = 3( 𝑥 − 3) − 6( 𝑥 − 2)
3𝑥 − 15 − 2𝑥 + 8 = 3𝑥 − 9 − 6𝑥 + 12
𝑥 − 7 = −3𝑥 + 3
4𝑥 = 10
Jadi, 𝑥 =
10
4
𝑎𝑡𝑎𝑢
5
2
2. 3𝑥2
= ( 𝑥 + 1)2
+ ( 𝑥 + 2)2
+ ( 𝑥 + 3)2
Jalan: mula-mula tanda kurung dihilangkan, maka:
3𝑥2
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1 + 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 + 𝑥2
+ 6𝑥 + 9
3𝑥2
= 3𝑥2
+ 12𝑥 + 14
12𝑥 = −14
𝐽𝑎𝑑𝑖, 𝑥 = −
14
12
𝑎𝑡𝑎𝑢 −
7
6
3.
( 𝑥+𝑎)
5
−
( 𝑥−𝑎)
6
= 7 −
2𝑥+𝑎
10
Jalan: kalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan 30, maka persamaan itu
menjadi:
6( 𝑥 + 𝑎) − 5( 𝑥 − 𝑎) = 210 − 3(2𝑥 + 𝑎)
6𝑥 + 6𝑎 − 5𝑥 + 5𝑎 = 210 − 6𝑥 − 3𝑎
𝑥 + 11𝑎 = 210 − 6𝑥 − 3𝑎
7𝑥 = 210 − 14𝑎
Jadi, 𝑥 = 30 − 2𝑎
4. (𝑥2
− 4)(7𝑥 + 5) = (𝑥2
− 4)(2 − 9𝑥)
Jalan: setelah dijabarkan menjadi nol persamaan itu menjadi:
( 𝑥2
− 4)(16𝑥 + 3) = 0

4. ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 2)(16𝑥 + 3) = 0
Jadi, akar-akar persamaan-persamaan itu ialah:
𝑥1 = 2 , 𝑥2 = −5 , 𝑥3 = −
3
16
Dua Persamaan dengan Dua Variabel
Persamaan linear dengan dua variabel x dan y,
Contoh soal:
1. Menggunakan cara persamaan
5x + 6y = 27
2x + 3y = 12
Jawab:
 5x + 6y = 27
5x = 27 – 6y
𝑥 =
27 − 6𝑦
5
 2x + 3y =12
2x = 12 – 3y
𝑥 =
12 − 3𝑦
2
27 − 6𝑦
5
=
12 − 3𝑦
2
Kedua ruas dikalikan 10 maka:
2 (27 – 6y) = 5 (12 – 3y)
54 – 12y = 60 – 15y
3y = 6
y = 2
x = 3
jadi, hasil dari persamaan di atas adalah x = 3 dan y = 2
ax + by = c

5. 2. Menggunakan cara substitusi
3x + 2y = 9
9x – 8y = -8
Jawab:
 3x + 2y = 9 ....(1)
 9x – 8y = -8
9x = 8y – 8
𝑥 =
8𝑦−8
9
.....(2)
Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) maka:
3x + 2y = 9
3(
8𝑦 − 8
9
) + 2𝑦 = 9
Kedua ruas dikalikan 9 maka:
3 (8y – 8) + 18y = 81
24y – 24 + 18y = 81
42y = 81 + 24
42y = 105
𝑦 =
105
42
𝑎𝑡𝑎𝑢
5
2
𝑥 =
4
3
Jadi, hasil dari persamaan di atas adalah x =
4
3
dan y =
5
2
3. Menggunakan cara eliminasi
5x – 2y = 28
3x + 7y = -16
Jawab:
5x – 2y = 28 x3 15x – 6y = 84
3x + 7y = -16 x5 15x + 35y = -80
-41y = 164
y = -4
x = 4

6. Pertidaksamaan Linear
Pertidaksamaan linear merupakan kalimat terbuka dalam matematika yang
terdiri dari variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan.
Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel yaitu :
dengan a koefisien untuk x, b koefisien dari y dan c
konstanta dimana a,b,c anggota bilangan riil dan 𝑎 ≠
0, 𝑏 ≠ 0 .
contoh soal:
1. 2x + 5 < 3x – 7
Jawab:
2x + 5 < 3x – 7
-3x < -12
x > 4
2. 2x – 5 ≥ 3x – 7, x2 < 9
Jawab:
 2x – 5 ≥ 3x -7
-x ≥ -2
x ≤ 2
 𝑥2
< 9
𝑥2
− 9 < 0
( 𝑥 + 3)( 𝑥 − 3) < 0
ax+by>c
ax+by<c
ax+by≥c
ax+by≤c

7. Hp: {x| −3 < 𝑥 ≤ 2}
3.
4𝑥+19
𝑥−1
> 3
Jawab:
4𝑥 + 19 − 3( 𝑥 − 1)
𝑋 − 1
> 0
4𝑥 + 19 − 3𝑥 + 3
𝑥 − 1
> 0
𝑥 + 22
𝑥 − 1
> 0
Harga nol pembilang : x + 22 = 0
x = -22
harga nol penyebut : x – 1 = 0
x = 1
Hp: { x| x < -22 atau x > 1}
Latihan Soal
Selesaikanlah persamaan-persamaanberikut!
1. ( 𝑥 + 2)2 − 𝑥( 𝑥 + 1) = ( 𝑥 + 1)( 𝑥 + 2) − ( 𝑥2 − 2)
2.
𝑎(𝑎−𝑥)
𝑏
−
𝑏( 𝑏−𝑥)
𝑎
= 𝑥
3. ( 𝑥2 + 3𝑥 − 4)(7𝑥 + 5) = ( 𝑥2 + 3𝑥 − 4)(2 − 9𝑥)
4. 𝑥2 − 9 = 3( 𝑥 + 3)
5. ax + by = 2ab
bx + ay = a2
+ b2
(a2
≠ b2
)
6.
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 2
𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0

8. 7. ( a + c )x – by = bc
x + y = a + b
8. 4 – 3x ≤ 5𝑥 + 2
9. 𝑥2 + 3𝑥 − 18 ≥ 0
10.
4𝑥+23
𝑥−2
≤ −3
JAWABAN
1. x = 0
2. x =
𝑏3 −𝑎3
𝑏2 −𝑎𝑏−𝑎2
3. x1 = 1, x2 = -4, x3 = -
3
16
4. x1 = 6, x2 = -3
5. 𝑥 =
𝑎2 𝑏−𝑏3
𝑎2−𝑏2
dan 𝑦 =
𝑎3−𝑎𝑏2
𝑎2−𝑏2
6. x = a dan y = b
7. 𝑥 =
𝑏2+𝑎𝑏+𝑏𝑐
𝑎+𝑏+𝑐
dan 𝑦 =
𝑎2+𝑏2+𝑎𝑏2+𝑎𝑐+𝑏𝑐+𝑏
𝑎+𝑏+𝑐
8. 𝑥 ≥
1
4
9. 𝑥 ≤ −6 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 3
10. −
17
7
≤ 𝑥 < 2
Referensi
Wijdenes, P. Aljabar Rendah. Pradnjaparamita: Jakarta, 1963.