Materi Aljabar dalil sisa

1. MAKALAH MATEMATIKA
“TEORAMA SISA”
Disusun Oleh :
Nama : Hurairoh Rhomodon 06081281419039
: M. Agung Firman Sampurna 06081281419038
: Rima Febriani 06081281419077
Dosen Pembimbing : Dra. Cecil Hiltri Martin M.Si. 196403111988032001
: Dra. Nyimas Aisyah M.Pd 196411101991022001
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
TAHUN AJARAN 2014

2. Teorema Sisa
A. Pendahuluan
1. Sisa Pembagian (𝑥 − 𝑘)
Bukti: Hasil pembagian 𝑓( 𝑥) oleh ( 𝑥 − 𝑘) dapat ditulis sebagai
𝑓( 𝑥) ≡ ( 𝑥 − 𝑘) 𝑔( 𝑥) + 𝑠
Dengan 𝑠 merupakan bilangan yang menyatakan sisa dan 𝑔( 𝑥)
menyatakan hasil bagi. Kesamaan ini berlaku bagi sembarang 𝑥 ,
khususnya 𝑥 = 𝑘, yang memberikan nilai
𝑓( 𝑥) = 0 + 𝑠
Perhatikan tanda ≡ menjadi =.
Jadi sisa 𝑠 = 𝑓( 𝑘).
Teorema Sisa digunakan dalam penyelesaian pembagian bentuk
Aljabar. Lebih ringkasnya, kunci yang penting dalam teorema sisa adalah
“nilai fungsi sama dengan sisa pembagian”, jadi apabila suatu fungsi
berderajat satu, artinya adalah “nilai fungsi = nol”. Bentuk pembagian
secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut :
“Fungsi yang dibagi = pembagi × hasil pembagian + sisa”
𝐹 ( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑎) 𝐻( 𝑥) + 𝑆
𝐹 ( 𝑎) = ( 𝑎 − 𝑎) 𝐻( 𝑎) + 𝑆
𝐹 ( 𝑎) = 𝑆
Misalkan 𝑓( 𝑥) suku banyak. Sisa pembagian 𝑓( 𝑥) oleh 𝑥 − 𝑘
adalah 𝑓( 𝑘) yaitu nilai sukubanyak 𝑓 di 𝑥 = 𝑘.

3. Jika habis dibagi maka sisa pembagian sama dengan nol, sehingga
𝐹 ( 𝑎) = 0
Contoh 1.1
𝑥2
− 12𝑥 + 𝑘 = 0 habis dibagi oleh ( 𝑥 − 2), tentukanlah nilai k!
Pembagian suku banyak dengan teorema sisa dan teorema faktor
berkaitan erat, intinya dalam pembagian suku banyak adalah sisa
pembagian. Menentukan sisa pembagian dapat dilakukan melalui
pembagian secara Horner maupun dengan menggunakan subtitusi untuk
mendapat nilai fungsi. Cara mana yang akan digunakan bergantung
kebutuhannya. Pada contoh soal diatas kita cukup menggunakan cara
subtitusi, caranya adalah sebagai berikut:
𝐹 ( 𝑥) = ( 𝑥 − 𝑎) 𝐻( 𝑥) + 𝑆
𝑥2
− 12𝑥 + 𝑘 = ( 𝑥 − 2) 𝐻( 𝑥)+ 0 , sisanya 0 karena habis dibagi
Subtitusikan 𝑥 = 2
22
+ 12(2) + 𝑘 = (2 − 2) 𝐻( 𝑥)
4 − 24 + 𝑘 = (0) 𝐻(𝑥)
−20 + 𝑘 = 0
𝑘 = 20
Contoh 1.2
𝑥3
− 12𝑥 + 𝑘 = 0 habis dibagi oleh ( 𝑥 − 2), dan habis pula dibagi oleh...
Seperti yang sudah disebutkan diatas tadi, bahwa menggunakan
cara penyelesaian harus sesuai kebutuhan, oleh sebab itu contoh nomor 2
harus menggunakan cara Horner

4. Penyelesaiannya sebagai berikut :
2 1 0 -12 K
2 4 -16
1 2 -8 𝑘 − 16 = 0
𝑘 = 16
(sisa pembagian)
Hasil bagi : 𝑥2
+ 2𝑥 − 8 = ( 𝑥 − 4)( 𝑥 + 2)
Jadi 𝑥3
− 12𝑥 + 𝑘 = 0 selain habis dibagi ( 𝑥 − 2) akan habis juga jika
dibagi ( 𝑥 + 2) atau dibagi ( 𝑥 − 4).
Dari perhitungan contoh di atas terlihat bahwa 𝑓(2) = 16 yang merupakan
sisa pembagian 𝑓( 𝑥) oleh ( 𝑥 − 2).
2. Sisa pembagian oleh (ax + b)
Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan sisa pembagian 𝑓( 𝑥) oleh
𝑎𝑥 + 𝑏 melalui bentuk
𝑓( 𝑥) ≡ ( 𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑔( 𝑥) + 𝑠
Dengan 𝑠 menyatakanbilangan yang merupakan sisa dan 𝑔( 𝑥)
merupakan hasil bagi. Sisa pembagian dapat dicari dengan
mensubtitusikan nilai 𝑥 sehingga suku pertama diruas kanan sama dengan
Sisapembagiansukubanyak 𝑓( 𝑥) oleh( 𝑎𝑥 + 𝑏) adalah 𝑓 −
𝑎
𝑏
.

5. nol. Dalam hal ini nilai 𝑥 adalah yang memenuhi ( 𝑎𝑥 + 𝑏) = 0 atau 𝑥 =
−
𝑎
𝑏
.
Contoh 2.1
Hitunglah sisa pembagian 𝑥4
− 5𝑥2
+ 39𝑥 − 8 dengan ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 3)
Jawab
𝑥4
− 5𝑥2
+ 39𝑥 − 8 = ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 3) 𝑄( 𝑥)+ (𝑝𝑥 + 𝑞)
ambil 𝑥 = 1 didapat
14
− 5(1)2
+ 39(1)− 8 = (1 − 1)(1 + 3) 𝑄(1) + (𝑝(1) + 𝑞)
1 − 5 + 39 − 8 = 𝑝 + 𝑞
𝑝 + 𝑞 = 27 . . . . (1)
Ambil 𝑥 = −1 didapat
(−1)4
− 5(−1)2
+ 39(−1)− 8 = (−1 − 1)(−1+ 3) 𝑄(−1)+
(𝑝(−1)+ 𝑞)
1 − 5 − 39 − 8 = −𝑝 + 𝑞
−51 = −𝑝 + 𝑞
𝑝 − 𝑞 = 51 . . . . (2)
𝑝 + 𝑞 = 27
𝑝 − 𝑞 = 51
2𝑝 = 78
𝑝 = 39
𝑞 = −12
Jadi sisa pembagian 𝑥4
− 5𝑥2
+ 39𝑥 − 8 dengan ( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 3) adalah
39𝑥 − 12

6. B. Latihan Soal dan Kunci Jawaban
1. Hitunglah a dan b, jika 𝑥3
− 𝑎𝑥2
+ 5𝑥 + 𝑏 habis dibagi 𝑥2
− 2𝑥 − 3
Jawaban:
𝑎 = 6 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 12
2. Jika 𝑥5
+ 𝑎𝑥3
+ 𝑏 dibagi dengan 𝑥2
− 1, maka sisanya 2𝑥 + 1. Hitunglah
a dan b
Jawaban :
𝑎 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 1
3. Hitunglah 𝑝, Jika 𝑥2
− 12𝑥 + 𝑝 habis dibagi 𝑥 + 2
Jawaban:
𝑝 = 8
4. Hitunglah sisa pembagian-pembagian berikut:
( 𝑥7
+ 3𝑥5
+ 1) ÷ ( 𝑥2
− 1)
( 𝑥9
+ 5𝑥2
− 4) ÷ ( 𝑥8
− 𝑥)
Jawaban:
4𝑥 + 1
6𝑥2
− 4
5. Hitunglah hasil bagi berikut :
( 𝑎4
+ 𝑏4) ÷ (𝑎 − 𝑏)
( 𝑎5
+ 𝑏5) ÷ (𝑎 + 𝑏)
Jawaban:
(𝑎3
+ 𝑎2
𝑏 + 𝑎𝑏2
+ 𝑏3
)
(𝑎4
− 𝑎3
𝑏 + 𝑎2
𝑏2
− 𝑎𝑏3
+ 𝑏4
)
6. Hitunglah sisa pembagian (𝑥6
− 1) oleh (𝑥2
− 𝑥 − 2)
Jawaban:
21𝑥 + 21
7. Suku banyak 𝑃( 𝑥) = 𝑥3
− 4𝑥2
+ 𝑥 + 𝑝 dan 𝑄( 𝑥) = 𝑥2
+ 3𝑥 − 2 dibagi
(𝑥 + 1) menghasilkan sisa yang sama. Tentukan konstanta P!
Jawaban: 2
8. Suku banyak 𝐹( 𝑥) = 2𝑥3
+ 5𝑥2
+ 𝑎𝑥 + 𝑏 dibagi (𝑥 + 1) sisanya 1 dan
jika dibagi ( 𝑥 − 2) sisanya 43. Tentukan niali konstanta 𝑎 dan !
Jawaban: 𝑎 = 3dan 𝑏 = 1
9. Suku banyak 𝑄( 𝑥) = 𝑎𝑥3
− 7𝑥 + 𝑏 dibagi (𝑥 − 1) sisanya 1 dan dibagi
( 𝑥 + 2) sisanya 4. Tentukan nilai konstanta 𝑎 dan b.
Jawaban: 𝑎 = 2 dan 𝑏 = 6

7. 10. Suku banyak 𝐹(𝑥) jika dibagi (𝑥 − 1) bersisa 8, jika dibagi ( 𝑥 + 2)
bersisa -1 dan jika dibagi (𝑥2
+ 𝑥 − 2) hasil baginya ( 𝑥2
+ 1).
Tentukanlah 𝐹( 𝑥)!
Jawaban:
𝑥4
+ 𝑥3
− 𝑥2
+ 4𝑥 + 5
C. Sumber
Alders, C. J. 1987. Ilmu Aljabar Jilid 2. Jakarta: Pradnya Paramita.
Martono, dkk. 2007. Matematika dan Kecakapan Hidup. Jakarta: Ganeca
Exact.
Sulistiyono, dkk.2007.Matematika SMA dan MA untuk Kelas XI
Semester 2. Jakarta : Esis.
Wijdenes, P.1968.Aldjabar Rendah Djilid 1. Jakarta: Pradnja Paramita.