ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability)

1
วิธีนับ
•แฟกทอเรียล
(Factorial)
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน
(Permutation)
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
วิธีจัดหมู
(Combination)
ทฤษฎีบททวินามความนาจะเปน
•SampleSpace
•Event
•การทดลองสุม
สมบัติที่สําคัญของความนาจะเปน
โจทยปญหา

2
ความนาจะเปน
1. กฎเกณฑเบื้องตนเกี่ยวกับการนับ
จํานวนวิธีที่เราใชในการนับ แบงออกเปนหลักการคูณ และ หลักการบวก ในการนับจํานวน
วิธีที่ตองมีขั้นตอนการนับ หลายขั้นตอน และมีการทํางานที่ตอเนื่องกันได เราสามารถใชหลักการ
คูณการทํางานแตละขั้นตอน ออกมาเปนจํานวนวิธีนับรวมได เชน การนับจํานวนวิธีใสเสื้อและ
กางเกง กอนออกจากบาน ถามีเสื้อ 3 ตัว 3 สี และมีกางเกง 3 ตัว 3 สี เชนเดียวกัน เราสามารถ
นับจํานวนวิธีการแตงตัวกอนออกจากบานได โดยมีการทํางานตามขั้นตอนตางๆดังนี้
ขั้นตอน 1 ขั้นตอนการใสเสื้อ -สามารถเลือกใสเสื้อได 3 แบบ
ขั้นตอน 2 ขั้นตอนการใสกางเกง –สามารถเลือกใสกางเกงได 3 แบบ เชนเดียวกัน
รวมจํานวนวิธีที่จะเลือกทั้งเสื้อและกางเกงได 3x3 = 9 แบบ
ถาการทํางานมี r ขั้นตอน คือ ขั้นตอน 1 สามารถทํางานได n1 วิธี
ขั้นตอนที่ 2 สามารถทํางานได n2 วิธี,
ขั้นตอนที่ 3 สามารถทํางานได n3 วิธี,…
ขั้นตอนที่ r สามารถทํางานได nr วิธี⇒ สามารถนับจํานวนวิธีการทํางานรวมได
1 2 3 4 ... rn n n n n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ตัวอยาง เชน
1. มีหีบอยู 5 ใบ ถาเรานําลูกบอล 3 ลูกใสลงในหีบจะมีวิธีการใสไดกี่วิธี
วิธีทํา
1) นําลูกบอลลูกแรก เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 แบบ คือ
2) นําลูกบอลลูกที่ 2 เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 วิธี เชนกัน
1 2 3 4 5

3
3) นําลูกบอลลูกที่ 3 เลือกใสหีบ สามารถเลือกได 5 วิธี เชนกัน
รวมจํานวนวิธีทั้งหมด เทากับ 5x5x5=125 วิธี
2. กําหนดใหใชตัวเลข 0,1,2,3,4 และ 5 สรางจํานวนที่มี 3 หลัก (ตั้งแต 100 ถึง
999) โดยมีเงื่อนไขตอไปนี้
ก. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากัน
ข. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากันและเปนจํานวนคี่
ค. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากันและมีคามากกวา 300
ง. ตัวเลขที่ใชในแตละหลักตองไมซ้ํากัน และเปนจํานวนที่ 10 หารลงตัว
ก. สรางจํานวนที่มี 3 หลัก (100-999) ไมซ้ํา
-ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ 1,2,3,4,5
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขไดจํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป
แลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 …. เลือกไปแลว 1 เหลือ 5)
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขไดจํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอย
และหลักสิบไปแลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5 …. เลือกไปแลว 2 เหลือ 4)
∴สามารถสรางได 5x5x4=100 จํานวน
ข. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และเปนจํานวนคี่
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 3 ตัว คือ 1,3,5
-ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย
ไปแลว และหามเปนศูนย(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5……เลือกไปแลว 1 และหาม
เปนศูนย เหลือ 4)
5 5 4
(1,2,3,4,5)
× ×
4 4 3
(1,3,5)
× ×

4
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย
และหลักรอยไปแลว(ทั้งหมดมี 6 ตัว คือ 0,1,2,3,4,5……เลือกไปแลว 2 เหลือ 4)
ค. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และมีคามากกวา 300
-ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 3 ตัว คือ 3,4,5
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป
แลวจากทั้งหมด 6 ตัว
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอย
และหลักสิบไปแลว
ง. สรางจํานวน 3 หลักไมซ้ํากัน และเปนตัวเลขที่ 10 หารลงตัว
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 1 ตัว คือ 0 (ตัวเลขที่ 10 หารลงตัว ตองลง
ทายดวย 0)
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 5 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวยไป
แลวจากทั้งหมด 6 ตัว
- ตัวเลขหลักรอย สามารถเลือกตัวเลขได จํานวน 4 ตัว คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักหนวย
และหลักสิบไปแลว 2 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว
3 5 4
(3,4,5)
× ×
4 5 1
(0)
× ×

5
กรณีการนับ แบบใชวิธี หลักการบวก คือจะออกแบบวิธีนับแยกเปนกรณี วามีทั้งหมดกี่กรณี
และนับจํานวนวิธีในแตละกรณี วามีจํานวนแบบวิธีเทาใด แลวนํามาบวกกัน เชน จากตัวอยางขอที่
แลว
จงหาจํานวนวิธีสรางตัวเลข 3 หลัก ที่แตละหลักไมซ้ํากัน และมีคามากกวา 350 แบงเปน
กรณีที่ 1 –ตัวเลขในหลักรอย เปน 3 มีจํานวนวิธีในการสรางดังนี้
-ตัวเลขหลักรอยเปน 3 สามารถเลือกได 1 วิธี
-ตัวเลขหลักสิบเปน 5 สามารถเลือกได 1 วิธี
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกได 4 ตัว คือ 0,1,2,4
∴สามารถสรางได 1x1x4= 4 จํานวน
กรณีที่ 2 –ตัวเลขในหลักรอย เปน 4,5 มีจํานวนวิธีในการสรางดังนี้
-ตัวเลขหลักรอยเปน 4,5 สามารถเลือกได 2 วิธี
-ตัวเลขหลักสิบ สามารถเลือกได 5 วิธี คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยไป 1 ตัวจาก
ทั้งหมด 6 ตัว
-ตัวเลขหลักหนวย สามารถเลือกได 4 วิธี คือ ตัวเลขที่เหลือจากการเลือกหลักรอยและหลักสิบไป
2 ตัวจากทั้งหมด 6 ตัว
∴สามารถสรางได 2x5x4= 40 จํานวน
รวมจํานวนวิธีทั้งหมดโดยใชหลักการบวกทั้ง 2 กรณี คือ 4+40= 44 จํานวน
2. แฟกทอเรียล (Factorial)
เราใชสัญลักษณ !n แทนแฟคทอเรียล มีความหมายดังนี้
! ( 1)( 2)( 3)...(2)(1)n n n n n= − − −
1 1 4
(5)
× ×
(3) (0,1,2,4)
2 5 4× ×
(4,5)

6
1. จงหาคาของ 5!
5!=5x4x3x2x1
2. จงหาคาของ
5!
3!2!
5!
3!2!
=
5 4 3 2 1
3 2 1 2 1
× × × ×
× × × ×
3. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (Permutation)
3.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งที่แตกตางกันทั้งหมด
เราใชสูตร r
!
P
( )!
n n
n r
=
− หมายถึง มีของ n สิ่ง เลือกมา r อยางแลวจัดเรียงสับเปลี่ยน
เปนเสนตรง
และในการวางสิ่งของ n สิ่ง เรียงเปนเสนตรง เราสามารถทําได n! วิธี
1. ในการแขงขันวิ่งระยะทาง 100 ม. มีผูเขาแขงขัน 8 คน จะมีกี่วิธีที่ผูเขาแขงขันไดรับ
เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง ถาผูเขาแขงขันมีโอกาสที่จะชนะเทาๆกันทุก
คน
วิธีทํา จากจํานวนผูเขาแขงขัน 8 คน จะมีเพียง 3 คน ที่จะไดรับรางวัล 3 รางวัลที่แตกตางกันคือ
เหรียญทอง เหรียญเงิน และเหรียญทองแดง
ใชสูตร r
!
P
( )!
n n
n r
=
−
8
3
8!
P
(8 3)!
=
−
8
3
8!
P 8 7 6 336
5!
= = × × =
3.1 วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสนของสิ่งที่มีบางสวนซ้ํากัน
เราใชสูตร
1 2 3
!
! ! !... !r
n
n n n n โดยของ n สิ่งมีของซ้ํากัน n1,n2,…,nr สิ่ง

7
1. จะมีวิธีนําตัวอักษรในคําวา MISSISSIPPI มาเรียงสับเปลี่ยนกันใหมทั้งหมดไดกี่วิธี
โดยไมจําเปนตองมีความหมาย(ตัวอักษรในคําวา MISSISSIPPI มีทั้งหมด 11
ตัว)
มีอักษรทั้งหมด 11 ตัว
มี m 1 ตัว
มี I 4 ตัว
มี S 4 ตัว
มี P 2 ตัว
4. วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
ใชสูตร ( 1)!n − เมื่อ n คือ สิ่งของที่นํามาเรียงเปนวงกลมทั้งหมด
1. จงหาจํานวนวิธีที่สามารถจัดคน 6 คน นั่งรอบโตะกลม
วิธีทํา ( 1)! (6 1)! 5!n⇒ − = − =
2. จงหาจํานวนวิธีในการจัดคน 6 คน นั่งเปนวงกลม โดยที่ นาย ก. และ นาย ข.
ก. ตองนั่งติดกัน
ข. หามนั่งติดกัน
วิธีทํา ก. นั่งติดกัน วาดรูป
⇒ นําคน 5 คน มานั่งเรียงกันเปนวงกลม (5 1)! 4! 24⇒ − = = วิธี
⇒ สลับที่ ก และ ข ได 2! วิธี
⇒ รวมจํานวนวิธี 24(2!)= วิธี
11!
34,650
1!4!4!2!
⇒ = วิธี
ก ข
นํา นาย ก และนาย ข มาผูก
ติดกันนับเปน 1 คน จะเหลือ
คนทั้งหมด 5 คน (จาก
ทั้งหมด 6 คน)

8
ข. หามนั่งติดกัน
(จํานวนวิธีที่ ก และ ข หามนั่งติดกัน) = (จํานวนวิธีทั้งหมด)-(จํานวนวิธีที่ ก และ ข นั่งติดกัน)
(6 1)! 24(2!)
5! (24)(2!)
120 48
72
= − −
= −
= −
=
5. วิธีจัดหมู(Combination)
หมายถึง วิธีการเลือกสงของจํานวน r สิ่ง จากของทั้งหมด n สิ่ง จะสามารถเลือกไดดังนี้
r
!
!( )!
n n
C
r n r
=
−
1. มีนักเรียนอยูในหองทั้งหมด 30 คน ตองการเลือกนักเรียนมา 2 คน จะมีวิธีการเลือกกี่
แบบ
1) พิจารณาโจทย เปนการเลือกของ 2 สิ่ง จากสิ่งของทั้งหมด 30 สิ่ง โดยไมสนใจลําดับ
2) จะมีวิธีการเลือกได
30
2
30!
2!(30 2)!
C =
−
30!
2!(28)!
30 29
2
435
=
×
=
=
2. เสนขนานชุดหนึ่งมี 4 เสน ตัดกับเสนขนานอีกชุดหนึ่งซึ่งมี 3 เสน ทําใหเกิดรูปสี่เหลี่ยม
ดานขนานกี่รูป
1) พิจารณาวาสี่เหลี่ยมดานขนาน 1 รูป เกิดจากเสนขนานในแนวตั้ง 2 เสน ตัดกับเสนขนาน
ในแนวนอน 2 เสน
2) ออกแบบการทํางานโดย
แบบ

9
2.1) เลือกเสนขนานในแนวตั้งจํานวน 2 เสน จากทั้งหมด 4 เสน
4
2
4 3 2!
6
2!2!
C
× ×
⇒ = = วิธี
2.2) เลือกเสนขนานในแนวนอนจํานวน 2 เสน จากทั้งหมด 3 เสน
3
2
3 2!
3
2!1!
C
×
⇒ = = วิธี
2.3) รวมวิธีการทํางาน 6 3 18⇒ × = วิธี
3) เสนขนาน 4 เสน ตัดกับเสนขนาน 3 เสน สามารถทําใหเกิดรูปสี่เหลี่ยมดานขนานจํานวน
ทั้งหมด 18 รูป
3. มีลูกตุมขนาดตางๆกัน คือ ขนาด 2,6,10,11,15 และ 19 กิโลกรัม จะใชตุมน้ําหนัก
เหลานี้ชั่งของไดทั้งหมดกี่วิธี
1) ออกแบบการทํางาน โดยแบงเปนกรณีการทํางาน ไดดังนี้
1.1) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใชเพียง 1 ลูก
6
1C⇒ วิธี
1.2) เลือกลูกตุมน้ําหนักมาใช 2 ลูก
6
2C⇒ วิธี
6
3C⇒ วิธี
6
4C⇒ วิธี
6
5C⇒ วิธี
6
6C⇒ วิธี
2) จะมีวิธีการใชตุมน้ําหนักเหลานี้ชั่งของได
6 6 6 6 6 6
1 2 3 4 5 6
6 15 20 15 6 1
63
C C C C C C= + + + + +
= + + + + +
=
4. มีคน 10 คน ตองเดินทางไปตางจังหวัดดวยรถยนต 3 คัน ซึ่งจุคนได 2,4 และ 5 คน
ตามลําดับ จะมีกี่วิธีที่จะจัดคนทั้ง 10 คน ขึ้นรถ 3 คันนี้
1) พิจารณาวา รถยนตทั้ง 3 คัน จุคนรวมกันได 2+4+5=11 คน เมื่อนําคน 10 คน ให
ขึ้นรถทั้ง 3 คัน จะตองมีที่วาง 1 ที่เหลืออยู
2) ออกแบบการทํางานดังนี้
วิธี

10
2.1) เลือกที่วาง 1 ที่ที่เหลืออยู ใหอยูบนรถคันที่จุคนได 2 คน นั่นคือ
รถยนตที่จุคนได 2 คน จะมีคนนั่ง 1 คน
10 9 5
1 4 5 10 126 1 1,260C C C⇒ × × = × × =
10 8 5
2 3 5 45 56 1 2,520C C C⇒ × × = × × =
10 8 4
2 4 4 45 70 1 3,150C C C⇒ × × = × × =
3) รวมจํานวนวิธี = 1,260+2,520+3,150=6,930 วิธี
5. มีนักเรียน 12 คน จะมีกี่วิธีที่จะแบงนักเรียนเพื่อทําแบบทดสอบ 3 ชุด ที่ไมเหมือนกัน
โดยใหทําชุดละ 4 คน
1) ออกแบบการทํางาน
1.1) เลือกนักเรียน 4 คน มาทําแบบทดสอบชุดที่ 1
12
4C⇒ วิธี
8
4C⇒ วิธี
4
4C⇒ วิธี
2) รวมจํานวนวิธี
12 8 4
4 4 4 34,650C C C⇒ × × = วิธี
10 คน
วิธี
10 คน
วิธี
10 คน
วิธี

11
6. ทฤษฎีบททวินาม
ถา n เปนจํานวนเต็มบวก
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 ( 1) 1 ( 2) 2 ( 1) 0
0 1 2 1( ) ...n n n n n n n n n n n
n na b a b a b a b ab a b− − −
−+ = + + + + +
หรือถาใช 1rT + แทนพจนที่ r+1 ของการกระจาย ( )n
a b+ จะไดวา
( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
1. จงกระจาย
5
(1 )x+
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 0 5 4 1 5 3 2 5 2 3 5 1 4 5 0 5
0 1 2 3 4 5(1 ) (1) (1) (1) (1) (1) (1)x x x x x x x+ = + + + + +
2 3 4 5
1 5 10 10 5x x x x x= + + + + +
2. จงหา ส.ป.ส. ของ
2
x ในการกระจาย
101
( )x
x
+
วิธีทํา ใชสูตร ( ) ( )
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่ a x= และ
1
b
x
= และ n=10
( )
( )
( )
( )
10 (10 )
1
10 (10 ) ( )
1
10 (10 )
1
10 (10 2 )
1
1
r
r
r r
r r
r r
r r
r r
r
r r
T x
x
T x x
T x
T x
−
+
− −
+
− −
+
−
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=
=
แสดงวา
(10 2 ) 2r
x x−
= ⇒ สามารถหาคา r ไดคือ

12
10 2 2
8 2
4
r
r
r
− =
=
∴ =
( )10 (10 2 )
1
r
r rT x −
+⇒ = เมื่อ r=4
( )
( )
10 (10 2(4))
4 1 4
10 2
5 4
2
5 210
T x
T x
T x
−
+ =
=
=
∴ พจนที่ 5 มีสัมประสิทธของ
2
x เทากับ 210
3. จงหา ส.ป.ส. ของ
2
3 10
( )
a
x
x
+
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่
3
a x= และ
a
b
x
= และ n=10
( )( )
( )
( )
( )
(10 )10 3
1
10 (30 3 ) ( )
1
10 (30 3 ) ( )
1
10 (30 4 )
1
r
r
r r
r r r
r r
r r r
r r
r r
r r
a
T x
x
T x a x
T a x x
T a x
−
+
− −
+
− −
+
−
+
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=
=
เทียบ
(30 4 ) 2r
x x−
=
30 4 2r⇒ − =
28 4
7
r
r
=
∴ =
( )10 (30 4 )
1
r r
r rT a x −
+⇒ = เมื่อ r=7

13
( )
( )
( )
10 7 (30 4(7))
7 1 7
10 7 2
8 7
7 2
8 120
T a x
T a x
T a x
−
+ =
=
=
∴ สัมประสิทธของ
2
3 10
( )
a
x
x
+ เทากับ
7
120a
4. จงหาพจนที่ 5 จากการกระจาย
2 6
( 2 )x y−
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่
2
a x= และ 2b y= − และ n=6 และ r+1=5 นั่นคือ r=4
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
(6 4) 46 2
4 1 4
2 46 2
5 4
46 4 4
5 4
4 4
5
4 4
5
2
2
2
(15)(16)
240
T x y
T x y
T x y
T x y
T x y
−
+ = −
= −
= −
=
=
5. จากการกระจาย
2 8
( 2 )x x+ จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มี 4
x
1
n n r r
r rT a b−
+ =
โดยที่
2
a x= และ 2b x= และ n=8
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
(8 )8 2
1
8 (16 2 )
1
(16 2 )
8 2
1
3
(16 )
8 2
1
2
2
2
2
rr
r r
r
r r
r r
r
r
r
r r
r
r
r r
T x x
T x x
T x
T x
−
+
−
+
− +
+
−
+
=
=
=
=

14
เทียบ
3
(16 )
42
r
x x
−
=
3
16 4
2
r
⇒ − =
3
12
2
8
r
r
=
∴ =
( )
3
(16 )
8 2
1 2
r
r
r rT x
−
+⇒ = เมื่อ r=8
( )
( )
3(8)
(16 )
8 8 2
8 1 8
8 8 4
9 8
4
9
2
2
256
T x
T x
T x
−
+ =
=
=
∴ส.ป.ส. ของพจนที่มี 4
x เทากับ 256
7. ความนาจะเปน
การทดลองสุม คือ การทดลองที่ผลลัพธจะสามารถเกิดขึ้นไดแตกตางกันหลายอยาง แตเราไม
ทราบวาผลลัพธใดจะเกิดขึ้น
ผลลัพธ คือ ผลที่เกิดขึ้นหลังจากการทดลองสุมไดเสร็จสิ้นเรียบรอยแลว
ปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) คือ เซตของผลลัพธที่อาจจะเกิดขึ้นไดทั้งหมดจาก
การทดลองสุม และเปนสิ่งที่เราสนใจจะนําไปศึกษา เขียนแทนดวยสัญลักษณ S

15
เหตุการณ(Event) คือ สับเซตของปริภูมิตัวอยาง เขียนแทนดวยสัญลักษณ E
การหาความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ คือ การหาวาโอกาสที่จะเกิดเหตุการณดังกลาวนั้นมี
มากนอยเพียงใด ซึ่งก็คือ
ความนาจะเปนของเหตุการณ A เขียนแทนดวย P(A) มีคาเทากับ
( )P A = =
( )
( )
n A
n S
1) ทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) ของลูกเตาที่หงายขึ้น
{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,
S =
4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
2) ทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) ของผลรวมของแตมบน
ลูกเตาทั้งสองลูก
วิธีทํา {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}S =
3) ในการทอดลูกเตา 2 ลูก จงหาเซตของเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนลูกเตามีคานอยกวา
5
E(ผลรวมของแตมนอยกวา 5)={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)}
จํานวนสมาชิกใน A
จํานวนสมาชิกในปริภูมิตัวอยาง

16
4) ในการทอดลูกเตาที่สมดุล 2 ลูก จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของแตมบนลูกเตาทั้ง 2
ลูก มีคามากกวา 3
1) หาเซตของเหตุการณที่ผลรวมของแตมบนลูกเตามีคามากกวา 3
E(ผลรวมของแตมมากกวา 3) = {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),
(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),
(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),
(6,4),(6,5),(6,6)}
n(E)=33
2) หา Sample Space ของการทอดลูกเตา 2 ลูก ได
n(S)=36
3) หาความนาจะเปนของเหตุการณผลรวมของแตมมีคามากกวา 3
( ) 33 11
( ) 36 12
n E
P
n S
= = =
5. ถาเราเลือกหลอดไฟ 3 หลอด จากหลอดไฟ 15 หลอด ซึ่งในหลอดไฟ 15 หลอดนี้ มี
หลอดไฟเสียอยู 5 หลอด จงหา
ก. ความนาจะเปนที่หลอดไฟทั้ง 3 หลอด ไมเสียเลย
ข. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียเพียง 1 หลอด
ค. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียทั้ง 3 หลอด
ก. ความนาจะเปนที่หลอดไฟทั้ง 3 หลอดไมเสียเลย
( )
( )
10
3
15
3
( ) 120 24
( ) 455 91
n E
P
n S
= = = =

17
ข. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียเพียง 1 หลอด
( )( )
( )
5 10
1 2
15
3
( ) 5 45 225 45
( ) 455 455 91
n E
P
n S
×
= = = = =
ค. ความนาจะเปนที่หลอดไฟเสียทั้ง 3 หลอด
( )
( )
5
3
15
3
( ) 10 2
( ) 455 91
n E
P
n S
= = = =
6. ถาจัดสามี- ภรรยา 4 คู นั่งเกาอี้รอบโตะกลมแลว จงหาความนาจะเปนที่สามีคนหนึ่งนั่ง
ติดกับภรรยาของเขา
1) หาจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่สามีคนหนึ่งนั่งติดกับภรรยาของเขา(n(E))
2) หาจํานวนวิธี(Sample Space) ของการจัดสามี-ภรรยา 4 คู นั่งรอบโตะกลม
(n(S))
3)
( ) 6!2! 2
( ) 7! 7
n E
P
n S
= = =
สามี-ภรรยา
(7-1)!2!
=6!2!
แทนคน1คน
(8-1)!
=7!

18
สมบัติที่สําคัญของความนาจะเปน
ให A เปนเหตุการณใดๆ(Event) และ S เปนปริภูมิตัวอยาง(Sample Space) โดยที่
A S⊂
1) 0 ( ) 1P A≤ ≤
2) ถา A = ∅ แลว ( ) 0P A =
3) ถา A S= แลว ( ) 1P A =
4) ( ) 1 ( )P A P A′= −
5) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ หรือ
( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = + เมื่อ A B∩ = ∅
เรียก A และ B วาเปนเหตุการณที่ไมเกิดรวมกัน(Mutually exclusive
events)
6) ( ) ( ) ( )P A B P A P A B− = − ∩
1. ความนาจะเปนที่นักเรียนคนหนึ่งจะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบฟรีสไตลเทากับ
1
5
ความนาจะเปนที่นักเรียนผูนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบผีเสื้อเทากับ
3
7
ความนาจะ
เปนที่เขาจะชนะทั้ง 2 ประเภท เทากับ
2
5
จงหาความนาจะเปนที่นักเรียนผูนี้จะชนะการ
แขงขันวายน้ําอยางนอย 1 ประเภท จาก 2 ประเภทดังกลาว
ให A = ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบฟรีสไตล
B = ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะในการแขงขันวายน้ําแบบผีเสื้อ
∴ความนาจะเปนที่นักเรียนคนนี้จะชนะการแขงขันวายน้ําอยางนอย 1 ประเภท คือ
( )P A B∪
จาก ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩
1 3 2
( )
5 7 5
8
( )
35
P A B
P A B
∪ = + −
∴ ∪ =

19
แบบฝกหัด
1. นางสาวอั้มมีเสื้อ 10 แบบ มีกระโปรง 8 แบบ และมีรองเทา 5 คู นางสาวอั้มจะมีวิธีการ
แตงตัวกี่แบบ
2. โยนลูกเตา 3 ลูก และโยนเหรียญ 5 เหรียญพรอมกัน จะมีวิธีการออกแตมของลูกเตาและ
การออกหนาของเหรียญกี่วิธี

20
3. จงหาจํานวนวิธีจะสรางจํานวน 3 หลักจากเลขโดด 4 ตัว คือ 4,7,8,9 โดย
3.1) ไมมีเงื่อนไข
3.2) เลขตองไมซ้ํากัน
3.3) เลขตองไมซ้ํากัน และจํานวนนั้นตองไมเกิน 800

21
4. จํานวนเต็ม 4 หลัก ที่มีคาระหวาง 2000 ถึง 5000 โดยแตละหลักไมมีตัวเลขใดซ้ํากัน
เลย จะมีกี่จํานวน
5. จากตัวเลข 0,1,2,3,4,5 ถานํามาสรางตัวเลข 3 หลัก จะไดกี่วิธี ถา
5.1) ถาตัวเลขใชซ้ํากันได
5.2) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได

22
5.3) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขคี่
5.4) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขคู

23
5.5) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่มากกวา 300
5.6) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่นอยกวา 250

24
5.7) ถาตัวเลขใชซ้ํากันไมได และเปนเลขที่มากกวา 150 แตนอยกวา 450
6. ในการแจกขนม 3 ชิ้นใหกับเด็ก 6 คน จะแจกไดกี่วิธี เมื่อ
6.1) แจกอยางไรก็ได
6.2) ไมแจกซ้ําคน

25
6.3) มีการแจกซ้ําคน
7. ในการโยนลูกเตา 2 ลูก 1 ครั้ง จงหาจํานวนวิธีที่ลูกเตาจะขึ้นแตมตามเงื่อนไขดังนี้
7.1) ผลรวมของแตมเปนเลขคู
7.2) ผลรวมของแตมเปนเลขคี่

26
7.3) ผลรวมของแตมนอยกวา 10
8. คน 3 คน ตองการขึ้นลิฟทซึ่งมีอยู 5 ตัว จะมีวิธีการขึ้นลิฟทกี่วิธี เมื่อ
8.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม
8.2) แตละคนขึ้นลิฟทไมซ้ํากัน

27
8.3) มีอยางนอย 2 คน ขึ้นลิฟทตัวเดียวกัน
8.4) ไมขึ้นลิฟทตัวเดียวกันทั้ง 3 คน

28
9. ขอสอบชุดหนึ่งเปนขอสอบกาถูกกาผิด จํานวน 10 ขอ จะมีวิธีการทํากี่วิธี เมื่อ
9.1) ไมมีเงื่อนไขเพิ่มเติม และตองตอบทุกขอ
9.2) กาถูก 1 ขอ และกาผิด 9 ขอ
9.3) ตองตอบทุกขอ และ กาถูกและกาผิดอยางนอย 1 ขอ

29
10. ในการสรางจํานวน 3 หลัก จากตัวเลข 0,1,2,5,6,7 จะมีวิธีการสรางกี่วิธี เมื่อ
10.1) ใชเลขซ้ํากันได
10.2) หามใชเลขซ้ําและเปนเลขคู

30
10.3) หามใชเลขซ้ํา และเปนเลขคี่ที่มีคาอยูระหวาง 200-600
11. ในการสรางคําที่ประกอบดวยตัวอักษร 3 ตัว โดยไมคํานึงถึงความหมายโดยใช
ตัวอักษรจากคําวา AMOUNT โดยไมใชอักษรซ้ํากัน จะสามารถสรางคําไดกี่คํา เมื่อ

31
11.2) มีสระอยางนอย 1 ตัว
11.3) ขึ้นตนดวยสระและลงทายดวยพยัญชนะ

32
12. ในการเลือกหัวหนาหองและรองหัวหนาหองอยางนอย 1 คน (เด็ก 1คนเปนได
แคตําแหนงเดียวเทานั้น) จากนักเรียนชั้น ป.1/1 ซึ่งมีเด็กนักเรียนชาย 4 คน เด็กนักเรียน
หญิง 6 คน จะมีวิธีเลือกกี่วิธี เมื่อ
12.2) ใหหัวหนาหองเปนผูชาย
12.3) มีผูหญิงไดรับตําแหนงอยางนอย 1 คน

33
13. ครูพัฒนาตองการสงจดหมาย 5 ฉบับ ลงตู 3 ตู จะทําไดกี่วิธี
14. ในการเดินทางจากจังหวัดบุรีรัมยไปจังหวัดเชียงใหม มีถนนจากจังหวัดบุรีรัมยไป
ยังจังหวัดพิษณุโลกจํานวน 3 สาย และมีถนนจากจังหวัดพิษณุโลกไปยังจังหวัดเชียงใหม
จํานวน 2 สาย ถาผูปกครองนักเรียนขับรถยนตจากจังหวัดบุรีรัมยไปยังจังหวัดเชียงใหม
โดยผานจังหวัดพิษณุโลก ผูปกครองจะสามารถเดินทางไดกี่วิธี

34
15. รถยนตมีที่นั่งขางหนา 2 ที่ ขางหลัง 3 ที่ ชาย 5 คนที่ขับรถเปน 2 คน ตองการ
ขึ้นรถคันนี้ อยากทราบวาพวกเขามีวิธีการนั่งไดกี่วิธี
16. ชาย 2 คน ตองการเขาและออกสวนสนุกที่มีประตูทั้งหมด 8 ประตู อยากทราบ
วาชายทั้ง 2 คน จะทําไดกี่วิธี เมื่อ
16.1) ไมมีเงื่อนไขใดๆ

35
16.2) ทั้ง 2 คน เขาออกดวยวิธีเหมือนกันได แตเขาประตูใดแลวออกประตูนั้นไมได
16.3) ทั้ง 2 คนเขาออกดวยวิธีที่ตางกัน โดยที่เขาปรนะตูใดแลวสามารถออกประตูนั้นได

36
17. ถาตองการสรางคําที่ประกอบดวยตัวอักษรที่ตางกัน 4 ตัว โดยสรางตัวอักษร
เหลานี้มาจากคําวา PROBABILITY จะสรางไดทั้งหมดกี่คํา โดยไมคํานึงถึง
ความหมายของคําเหลานี้
17.1) อักษรทั้ง 4 ตัว เปนตัวใดก็ได
17.2) คํานั้นจะตองขึ้นตนและลงทายดวยพยัญชนะ

37
18. จงเขียนจํานวนตอไปนี้ในรูปแฟคทอเรียล
18.1) 7 6 5 4 3 2 1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
18.2) 6 7 8⋅ ⋅
18.3) ( 3) ( 2) ...n n n+ ⋅ + ⋅ ⋅
18.4)
2 2 2
(3 5) (3 4) (3 3)n n n+ ⋅ + ⋅ +
19. จงหาคา n จากสมการตอไปนี้
19.1) ! 720n =

38
19.2)
( 2)!
120
( 1)!
n
n
+
=
−
19.3)
! ( 1)!
( 3)! ( 5)!
n n
n n
−
=
− −
19.4) ( 1)! 8( 2)!( 1)! !n n n n− − − − =

39
20. 149!มี 0 ลงทายทั้งหมดกี่ตัว
21. มีคน 8 คน จะมีวิธีการจัดคนเขาแถวกี่วิธี เมื่อ
21.1) นําคนมาจัดแถวเพียง 5 คน
21.2) ใชคนทั้ง 8 คนในการจัดแถว

40
21.3) จัดคนทั้งหมดเปน 2 แถว แถวละ 4 คน
22. จากอักษรคําวา “Mississippi”
22.1) ถานํามาเรียงสลับกันทั้งหมดไดกี่วิธี
22.3) ถานํามาเรียงกันทีละ 4 ตัวไดกี่วิธี

41
23. มีดินสอสีที่แตกตางกัน 5 แทง นํามาเรียงสับเปลี่ยนทีละ 3 แทง จะมีวิธีเรียง
สับเปลี่ยนไดกี่วิธี
24. มีตําแหนงงานวางอยู 5 ตําแหนง สําหรับชาย 3 ตําแหนง สําหรับหญิง 2
ตําแหนง ถามีผูสมัครที่เปนชาย 7 คน และเปนหญิง 4 คน จะมีวิธีบรรจุคนเหลานี้เขา
ทํางานไดกี่วิธี

42
25. มีชาย 3 คน และหญิง 2 คน จะมีวิธีที่จะจัดใหคนทั้ง 5 มายืนเปนแถว โดยที่
ชายทั้ง 3 คน ตองยืนติดกัน และหญิง 2 คนยืนติดกันดวย
26. มีอักษร E 3 ตัว F 4 ตัว และ G 5 ตัว จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรเหลานี้
ไดกี่วิธี

43
27. มีหนังสือเลข 2 เลม เคมี 3 เลม และฟสิกส 4 เลม จะมีวิธีจัดเรียงหนังสือกี่วิธี
เมื่อ
27.1) จัดอยางไรก็ได
27.2) หนังสือฟสิกสอยูติดกันเสมอ
27.3) วิชาเดียวกันอยูติดกัน
27.4) หนังสือเคมีไมอยูติดกัน

44
27.5) หนังสือเลขอยูริม 2 ขาง
27.6) หนังสือเลขติดกัน แตหนังสือเคมีอยูติดกันทั้ง 4 เลมไมได
28. ชาย 6 คน หญิง 6 คน ตอคิวเขาซื้ออาหาร จะมีวิธีตอคิวกี่วิธี เมื่อ
28.1) เพศเดียวกันยืนติดกัน

45
28.2) หญิงทุกคนยืนติดกัน
28.3) ชาย-หญิงยืนสลับกันทีละ 1 คน

46
28.6) หญิงยืนเปนหัวแถวและชายยืนเปนทายแถว
29. คน 7 คน มีนาย ก,ข และ ค รวมอยูดวย จงหาวิธีในการจัดเรียงคนทั้ง 7 เมื่อ
29.1) นาย ก,ข และ ค อยูแยกกัน

47
29.2) นาย ก อยูติดกับ นาย ข แตนาย ค ไมติดกับ นาย ก และ ข
29.3) นาย ก อยูติดกับนาย ข แตไมติดกับ นาย ค
29.4) นาย ข อยูติดกับ นาย ค และ นาย ก

48
29.5) นาย ก,ข และ ค หามอยูติดกัน 3 คน
30. สามี-ภรรยา 5 คู นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดกี่วิธี เมื่อ
30.1) สามี-ภรรยานั่งติดกัน
30.2) สามี-ภรรยาทุกคู นั่งตรงขามกัน

49
31. ชาย 6 คน หญิง 6 คน นั่งรอบโตะกลม จะมีวิธีการจัดกี่วิธี เมื่อ
31.1) สลับ ชาย-หญิง ทีละ 1 คน

50
32. ในการประชุมครั้งหนึ่งมีผูแทนจาก 3 ประเทศ เขารวมประชุมโดยมี ผูแทน
ประเทศละ 3 คน จํานวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดใหผูแทนแตละประเทศนั่งติดกันในการ
ประชุมโตะกลม คือเทาใด

51
33. ในการรอยพวงมาลัยเปนวงกลมพวงหนึ่ง มีดอกไมทั้งหมด 14 ดอก เปนดอก
มะลิที่แตกตางกัน 4 ดอก และดอกดาวเรืองที่แตกตางกัน 2 ดอก จะมีวิธีรอยพวงมาลัย
ทั้งหมดกี่วิธี เมื่อ
33.2) ดอกมะลิอยูติดกัน และดอกดาวเรืองอยูติดกัน

52
34. ตองการคัดเลือกคณะกรรมการ 3 คน จากคนทั้งหมด 5 คน จะไดกี่วิธี
35. โรงเรียนแหงหนึ่งมีผูสมัครเปนกรรมการนักเรียนจํานวน 8 คน โดยเปนนักเรียน
หญิงจํานวน 3 คน ชาย 5 คน จงหาจํานวนวิธีที่จะจัดผูสมัครใหเปนกรรมการนักเรียน
โดยคณะกรรมการชุดนี้มีจํานวน 5 คน ประกอบดวยหญิง 2 คน และชาย 3 คน

53
36. มหาวิทยาลัยแหงหนึ่ง จัดหลักสูตรอบรมบัณฑิตวางงาน 3 หลักสูตร โดย
หลักสูตรที่หนึ่งรับได 7 คน หลักสูตรที่สองรับได 3 คน และหลักสูตรที่สามรับได 2 คน
ในการจัดบัณฑิตวางงาน 12 คน เขาอบรมใน 3 หลักสูตร ดังกลาว จะไดทั้งหมดกี่วิธี
37. นักเรียนหองหนึ่งมีจํานวน 10 คน ครูประจําชั้นตองการเลือกนักเรียนจํานวน 3
คน ใหมาชวยทํางาน 2 อยาง คือ ลบกระดาน 1 คน และทําความสะอาดหองเรียน 2 คน
ครูประจําชั้นจะเลือกนักเรียนใหทํางานดังกลาวไดทั้งหมดกี่วิธีที่แตกตางกัน

54
38. ในการคัดเลือกนักศึกษาเพื่อเปนตัวแทนมหาวิทยาลัยไปประกวดการพูดสุนทร
พจนครั้งหนึ่ง มีผูสอบผานรอบแรกจํานวน 10 คน ในจํานวนนี้เปนนักศึกษาคณะ
มนุษยศาสตรจํานวน 6 คน ที่เหลือเปนนักศึกษาคณะอื่นๆ ถาสุมนักศึกษาที่ผานการ
คัดเลือกในรอบแรกจํานวน 3 คน เพื่อเขารับการสัมภาษณ จํานวนวิธีที่จะสุมไดนักศึกษา
คณะมนุษยศาสตรอยางนอย 1 คน เทากับเทาใด
39. ในถุงใบหนึ่งมีลูกบอล 12 ลูก เปนสีแดง 4 ลูก สีเขียว 3 ลูก และสีฟา 5 ลูก ถา
ตองการหยิบลูกบอลมา 6 ลูก จะมีวิธีการหยิบกี่วิธี เมื่อ
39.1) ไดสีเขียว 2 ลูก และสีฟา 4 ลูก

55
39.2) ไดสีแดง 2 ลูก
39.3) ไดสีเขียวอยางนอย 1 ลูก
39.4) ไมไดสีเขียวเลย

56
40. ขอสอบฉบับหนึ่งมี 2 ตอน ตอนแรกมี 5 ขอ ตอนที่สองมี 7 ขอ นักเรียนตอง
เลือกทํา 8 ขอ จะมีวิธีการทําขอสอบกี่วิธี เมื่อ
40.1) ตองทําตอนแรก 3 ขอ
40.2) ตองทําตอนแรกอยางนอย 2 ขอ
41. ในการเลือกตั้ง สส. ครั้งหนึ่ง ซึ่งมีผูแทนได 3 คน มีพรรคการเมืองสงผูสมัคร 5
พรรค พรรคละ 3 คน จะมีวิธีเลือกผูแทนทั้ง 3 คนไดกี่วิธี เมื่อ
41.1) อยูพรรคเดียวกันทั้ง 3 คน

57
41.2) อยูตางพรรคกันทั้ง 3 คน
41.3) อยูพรรคเดียวกัน 2 คน
42. ตองการหยิบไพ 5 ใบจากไพสํารับหนึ่งซึ่งมี 52 ใบ จะมีวิธีหยิบไดกี่วิธี เมื่อ
42.1) หยิบไดไพตางชนิดกันทั้งหมด

58
42.2) หยิบไดไพโพธิ์ดํา 3 ใบ และโพธิ์แดง 2 ใบ
42.3) หยิบไดไพดอกเดียวกัน 4 ใบ
42.4) หยิบไดคูสองและตองหา

59
42.5) หยิบไดคูสอง ที่เหลือไมเปนคูหรือตอง
43. ในงานเลี้ยงแหงหนึ่ง มีคูสามี-ภรรยา รวม 6 คู ถาตองการเลือกคนเหลานั้นมา 4
คน เปนชาย 2 คน และหญิง 2 คน เพื่อจับคูเตนรํา จะมีวิธีเลือกกี่วิธี เมื่อ
43.1) ทั้ง 4 คนไมมีใครเปนสามี-ภรรยากัน
43.2) ทั้ง 4 คน นี้ มีสามี-ภรรยาอยางนอย 1 คู

60
62 1
( )
3 3
+
45. ส.ป.ส. ของ 12
x จากการกระจาย
3 81
( )
2
x
x
+ มีคาเทากับเทาใด

61
9
( )x y+
2 13
( 2 )x y−

62
48. ในการกระจาย
2 10
( 3 )a b− จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 12
b
10
2
1
( )x
x
+ จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร
5
2
x
−

63
5
(3 2 )x y− จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 3
x
51. ถา a และ b เปนส.ป.ส. ของ 2
x−
และ 4
x ของการกระจาย
4 10
2
1
( )
2
x
x
− ตามลําดับแลว
a
b
มีคาเทากับเทาใด

64
3 8
( 2 )xy y−
− พจนที่มีผลบวกของกําลังของ x กับกําลัง
ของ y เทากับ -4 มีสัมประสิทธิ์เทากับเทาใด
53. พจนที่เปนคาคงตัวที่เกิดจากการกระจาย
8
(tan 2 cot )x x− มีคาเทากับ
เทาใด

65
54. จงหาส.ป.ส.ของพจนที่มีตัวแปร 3
x จากการกระจาย
2 4
( 2 1)x x+ −
55. มีจุด 7 จุด เรียงอยูบนวงกลมวงหนึ่ง จงหาจํานวนรูปเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดเหลานี้
เปนจุดยอด

66
56. โยนเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 3 เหรียญ พรอมกัน 1 ครั้ง จงหาความนาจะเปนของ
เหตุการณดังตอไปนี้
56.1) เหรียญออกหัวอยางนอย 1 เหรียญ
56.2) เหรียญออกหัวและกอยอยางนอย 1 เหรียญ
56.3) เหรียญออกหัวมากกวาออกกอย

67
57. มีหนังสือเลขที่เหมือนกัน 3 เลม หนังสือเคมีที่เหมือนกัน 2 เลม และหนังสือ
ฟสิกสที่เหมือนกัน 4 เลม ถาตองการจัดหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือ จงหาคาความ
นาจะเปนของเหตุการณดังตอไปนี้
57.1) วิชาเดียวกันอยูติดกัน
57.2) หนังสือเคมีไมอยูติดกัน
57.3) หนังสือเลขอยูริม 2 ขาง
57.4) หนังสือฟสิกสอยูติดกัน

68
58. ในกลองใบหนึ่งมีหลอดไฟอยู 5 หลอด ในจํานวนนี้มีหลอดดีอยู 3 หลอด หลอด
เสียอยู 2 หลอด ถาหยิบหลอดไฟขึ้นมาโดยสุมจํานวน 2 หลอด จงหาความนาจะเปนที่จะ
ไดหลอดเสีย 1 หลอด และหลอดดีจํานวน 1 หลอด
59. รานจําหนายผาไหมไทยแหงหนึ่ง พบวาจากการสั่งซื้อผาไหมมารุนหนึ่งจํานวน
10 ผืน มี 2 ผืน ที่มีรอยตําหนิ ถาสุมหยิบผาไหมไทยในรุนนี้มา 5 ผืน จงหาความนาจะ
เปนที่จะไดผาไหมไทยที่มีรอยตําหนิเพียงผืนเดียว

69
60. ครอบครัวหนึ่งมีเด็ก 1 คน ผูหญิง 3 คน และผูชาย 3 คน นั่งรับประทานอาหาร
รอบโตะกลม ดังนั้นความนาจะเปนที่จะไดผูหญิงนั่งประกบเด็กเทากับเทาใด
61. สมบัติและสมชาติเลนเกมโดยแตละครั้งโยนลูกเตาคนละลูก ถาแตมที่เกิดขึ้น
รวมกันได 4 หรือ 7 สมบัติจะเปนผูชนะ แตถาแตมที่เกิดขึ้นรวมกันได 6 หรือ 11
สมชาติจะเปนผูชนะ ผลนอกจากนี้ถือวาเสมอกัน ถามีการโยนทั้งหมด 72 ครั้ง คาดวาจะ
เสมอกันกี่ครั้ง

70
62. กําหนดความนาจะเปนของเหตุการณ ,A B และ A B∩ ดังนี้
( ) 0.5
( ) 0.3
( ) 0.1
P A
P B
P A B
=
=
∩ =
แลว ( )P A B′ ′∪ มีคาเทากับเทาใด
63. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณใดๆในปริภูมิตัวอยาง ให
1
( )
2
P A = ,
3
( )
5
P B = และ
3
( )
4
P A B∪ = จงหาคาของ ( )P A B′ ′∪

71
64. กําหนดให A และ B เปนเหตุการณใดๆ จงหา ( )P A B′ ∩ เมื่อ
( ) 0.6, ( ) 0.15P A B P A B∪ = ∩ = และ ( ) 0.75P A B′∪ =

ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (19)

Similar to ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability)

Similar to ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability) (20)

More from Thanuphong Ngoapm

More from Thanuphong Ngoapm (20)

ความน่าจะเป็นและวิธีนับ(Probability)