2. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
หมายเหตุ ในกรณีที่มีสมาชิกเหมือนกัน เราจะเขียนสมาชิกนั้นเพียงตัวเดียว เช่น
{ 1, 1, 5, 7} เขียนเป็น { 1, 5, 7}
{ 1, 2, 2, 3, 3} เขียนเป็น { 1, 2, 3}
ในการเขียนเซตโดยทั่วไปจะแทนเซตด้วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น A, B, C และแทนสมาชิก
ของเซตด้วยตัวพิมพ์เล็ก เช่น a, b, c เช่น
A = { 1, 4, 9, 16, 25, 36} หมายถึง A เป็นเซตของกาลังสองของจานวนนับหกจานวนแรก
B = { a, e, i, o, u} หมายถึง B เป็นเซตของสระในภาษาอังกฤษ
C = { 1, 2, 3, 4,…, 20} หมายถึง C เป็นเซตของจานวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 20
= { 1, 2, 3, 4,… } หมายถึง
เป็นเซตของจานวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก
1. เซตของเดือนที่มี 28 วัน A = { กุมภาพันธ์ }
2. เซตของจานวนนับที่น้อยกว่า 5 B = { 1, 2, 3, 4}
3. เซตของพยัญชนะในภาษาไทย ……………………………………………….
4. เซตของจานวนนับที่มากกว่า 10 ……………………………………………….
5. เซตของจานวนเต็ม .........................................................................
1.2 การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกพร้อมทั้งบอกสมบัติ
หรือบอกเงื่อนไขการเป็นสมาชิก โดยใช้เครื่องหมาย “ | ” คั่นระหว่างตัวแปร และเงื่อนไข ซึ่ง เครื่องหมาย “ | ” แทน
คาว่า
โดยที่ เช่น
A = { x | x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ}
อ่านว่า A เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นพยัญชนะสามตัวแรกในภาษาอังกฤษ
B = { x | x เป็นจานวนเต็มลบที่มากกว่า -6 }
อ่านว่า B เท่ากับเซตของ x โดยที่ x เป็นจานวนเต็มลบที่มากกว่า -6
ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนเซตต่อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก
1. A = { 2, 4, 6, 8, 10} A = { x | x เป็นจานวนคู่บวกที่น้อยกว่า 12
2. B = { 1, 3, 5, 7} B = { x | x เป็นจานวนคี่บวกที่น้อยกว่า 9}
3. C = { 1, 4, 9, 16, …, 100} …………………………………………………………
4. D = { 8, 7, 6, 5,…} …………………………………………………………
3. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
2. สมาชิกของเซต
จะใช้สัญลักษณ์ “” แทนคาว่าเป็นสมาชิก เช่น
A = { 2, 4, 6, 8}
จะได้ว่า 2 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 2 A
4 เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 4 A
คาว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “” เช่น
5 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 5 A
7 ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย 7 A
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ A = { ก, ข, ค, { ง} } ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ก A
2. ข A
3. ค A
4. ง A
5. { ง } A
6. { ข } A
7. { ค } A
3. จานวน สมาชิกของเซต
ตัวอย่าง ให้ A = {1, 2, 3, 4 }
จะได้ว่า A มีสมาชิก 4 ตัว คือ 1 , 2 , 3 และ 4 เราจะใช้ n (A) เพื่อบอกจานวนสมาชิกของเซต A
นั่นคือ n(A) = 4 ตัว
จงบอกจานวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้
A = {2148}
B = {x | x เป็นจานวนเต็มบวกที่อยู่ระหว่าง 20 และ 30}
C = { 1 , 12 , 123 , 1234 }
4. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
เซตว่าง,เซตจากัด,เซตอนันต์ และการเท่ากันของเซต
1.1 เซตว่าง (Empty set หรือ Null set)
บทนิยาม เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซตว่าง
คือ { } หรือ (สัญลักษณ์ เป็นอักษรกรีก อ่านว่า ฟี (phi)
ตัวอย่างของเซตว่าง ได้แก่
A = {x | x2
< 0 }
B = {x | 2x2
+ 3 = x – 3}
C = {x | x เป็นจังหวัดในประเทศไทยที่ขึ้นต้นด้วย “ ข ”}
1.2 เซตจากัด (Finite set)
บทนิยาม เซตจากัด คือ เซตซึ่งมีจานวนสมาชิกเป็นจานวนเต็มบวกหรือศูนย์
ตัวอย่างเซตจากัด ได้แก่
A = {0, 2, 4, . . . , 10} , n(A) = 11
B = {x I+
| x < 5} , n(B) = 4
C = {x | x เป็นพยัญชนะในคาว่า “ เซตว่าง ”} , n(C) = 4
1.3 เซตอนันต์ (Infinite set)
บทนิยาม เซตอนันต์ คือ เซตซึ่งไม่ใช่เซตจากัด
ตัวอย่างของเซตอนันต์ ได้แก่
A = {x | x เป็นจานวนเต็มบวก และ x 7}
B = {x | x เป็นจานวนเฉพาะที่มากกว่า 5}
5. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
C = {3, 7, 11, 15, . . .}
ข้อตกลงที่เกี่ยวกับเซต
1) เซตว่างเป็นเซตจากัด
2) การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนิยมเขียนสมาชิกแต่ละตัวเพียงครั้งเดียวเท่านั้น
เช่น เซตของเลขโดดที่อยู่ในจานวน 2, 3 ,2 คือ {2, 3}
3) เซตของจานวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอและใช้กันทั่ว ๆ ไป มีดังนี้
I เป็นเซตของจานวนเต็ม หรือ I = {. . . , -2, -1, 0, 1, 2, . . .}
I+
เป็นเซตของจานวนเต็มบวก หรือ I+
= {1, 2, 3, . . .}
I-
เป็นเซตของจานวนเต็มลบ หรือ I-
= {-1, -2, -3, . . .}
N เป็นเซตของจานวนนับ หรือ N = {1, 2, 3, . . .}
P เป็นเซตของจานวนเฉพาะ หรือ P = {2, 3, 5, 7, . . .}
เซตที่เท่ากัน (equal sets or identical sets)
บทนิยาม เซต A เท่ากับเซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิก
ของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A
เซต A เท่ากับเซต B เขียนแทนด้วย A = B
จากบทนิยาม เซต A เท่ากับเซต B หมายความว่า เซต A และเซต B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว และเซต
A ไม่เท่ากับเซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิก
อย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่ใช้สมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย A B
ตัวอย่างที่ 1 กาหนด A = {2, 3} , B = {x | x2
– 5x + 6 = 0}
จงแสดงว่า เซต A เท่ากับเซต B
วิธีทา A = {2, 3}
B = {x | x2
– 5x + 6 = 0}
x2
– 5x + 6 = 0
(x – 2)(x – 3) = 0
x = 2 หรือ x = 3
6. คณิตพื้นฐาน ค 31101 ม. 4
B = {2, 3}
ดังนั้น A = B
ตัวอย่างที่ 2 กาหนด A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6} ,
C = {1, 2, 4, 5, 5, 6, 7, 6} จงหาว่ามีเซตใดบ้างที่เท่ากัน
วิธีทา A = {1, 1, 2, 4, 5, 6} , B = {2, 1, 2, 4, 5, 6}
จะได้ A = B เพราะว่ามีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว
แต่ A C , B C เพราะว่า 7 A และ 7 B
สับเซต
นิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A B
แต่ถ้า สมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของ A ไม่เป็นสมาชิกของ B เราจะกล่าวว่า A ไม่เป็นสับเซตของ B เขียนแทน
ด้วย A B
*** สิ่งที่ควรรู้ *** เซตว่าง ( ) เป็นสับเซตของทุก ๆ เซต
ตัวอย่างที่ กาหนด A = {1 , 2 , 3} , B = {2 , 3 , 4} , C = {1 , 2 , 3 , 4} , D = {2 , 3 , 4 }
จงพิจารณาหาสับเซตที่เป็นไปได้จะได้ว่า
A C , B D , B C
1) ถ้า A C แล้ว A ≠ C เรียกว่า A เป็นสับเซตแท้ของ B (Proper Subsets)
2) ถ้า B D แล้ว B = D เรียกว่า B เป็นสับเซตไม่แท้ของ D (Proper Subsets)
วิธีการหาสับเซต
ให้นาสมาชิกของเซตนั้น ๆ มาใส่เครื่องหมาย { } ทีละ 1 ตัว หรือ 2 ตัว หรือ 3 ตัว ....
แล้วแต่ว่าเซตนั้นจะมีสมาชิกกี่ตัว
ตัวอย่าง1) จงหาสับเซตทั้งหมดของ A = {1, 2}
n(A) = 2 จะได้ว่า มีสับเซตทั้งหมด 22
= 4 ตัว ดังนี้
ดังนั้น สับเซตทั้งหมด คือ {1} , {2} , {1, 2} และ
หมายเหตุ และ ตัวมันเอง จะเป็นสับเซตเสมอ