Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
BAB 5
Trigonometri
Standar Kompetensi:
 Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri
dalam pem...
UKURAN SUDUT

Ukuran Sudut dalam Derajat
Satu derajat (ditulis = 1) didefinisikan sebagi ukuran
besar sudut yang disapu ol...
Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran
derajat, dinyatakan dalam ukuran menit dan
ukuran detik.
a. 1 derajat = 6...
Ukuran Sudut dalam Radian

panjang busur PQ

MP
panjang busur PQ
Nilai perbandingan
MP

=

panjang busur P Q

MP

dinya...
Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian
dan Sebaliknya
Besar sudut PMQ dalam ukuran radian



panjang busur PQ
MP

...
Perbandingan-perbandingan Trigonometri
B

a) sin a

c

a
C

b

a

A

a
c

b) cos a

β

= sisi di hadapan sudut a =
hip...
1. Rumus Kebalikan
a) sin a
b) cos a
c) tan a

1
=
cosec a
1
=
sec a
1
=
cot a

d) cot a

1
=
tan a

e) sec a

1
...
Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut Khusus
Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) ad...
1. Nilai Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut 0°
a) sin 0 °

= Y=0

b) cos 0 °

= 1, dan

c) tan 0 °

= sin 0 ° = 0 = 0
c...
2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30 °
(OP’)2 + (PP)2 = (OP)2

(OP’)2 = (OP)2 - (PP’)2


(OP’)2 = 12- ( 1 )...
3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45
y
1
0



(OP)2 + (PP)2 = (OP)2

x2 + y2 = 1

P(x,y)



2x2 = 1


...
4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut
60
y

P(x,y)


1

2
y

0

OP = OP =1

60 
x

P

 Q(1,0)
x

α = 60...
5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90
Jika sudut α = 90, maka kaki

sudut OP berimpit dengan sumbu Y
positi...
Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran
Y


P(x,y)

x2
+y

2

(ja

ra
k)

A

r=

0



y (ordinat)

α°


...
Tanda-Tanda Perbandingan
Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat
Y
II

I

sin, positif
cosec,
positif

semua positif

0
...
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk
Sudut-sudut Berelasi
1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi
Misalkan suatu sudut besarnya ...
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α)
a) sin (90  α)

Y
Q

 Q(x,y)

b) cos (90  α)

1 1  P(x,y)
...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (90 + α)
x
= 1 = cos α
y
b) cos (90 + α)
=
=  y = sin α
1
1
x
c) tan...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (180  α)
a) sin (180  α)
b) cos (180  α)
c) tan (180  α)
d) cot (1...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (180 + α)
a) sin (180 + α)

= sin α

b) cos (180 + α) = cos α
c) tan...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (270  α)
a) sin (270  α) = cos α
b) cos (270  α) = sin α
c) tan (...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (270 + α)
a) sin (270 + α) = cos α
b) cos (270 + α) = sin α
c) tan (2...
Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (α)
a) sin (α) =
b) cos (α) =
c) tan (α) =
d) cot (α) =

y
1
x
1
y
x

=...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (n 360  α)

a) sin (n  360  α) = sin ( α) = sin α
b) cos (n  360...
Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (n 360 + α)

a) sin (n  360 + α) = sin α
b) cos (n  360 + α) = cos α...
Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan
kebalikan
a) sin α =
b) cos α =

1
atau cosec α ...
Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri dasar yang diperoleh
dari hubungan teorema Pythagoras
a) sin α + cos2 α = ...
Grafik Fungsi Trigonometri
1. Grafik Fungsi y = sin x (0  x  360)
2. Grafik Fungsi y = cos x (0  x  360)
3. Grafik Fungsi y = tan x (0  x  360)
Aturan Sinus
C

a

P

Persamaan ini disebut aturan sinus
atau dalil sinus.

a
A

c

c

=
=
sin A sin B sin C

Q
b

b

B

R...
Aturan Kosinus
a2 = b2 + c2  2bc cos A

b2 = a2 + c2  2ac cos B

c2 = a2 + b2  2ac cos C

Persamaan-persamaan ini diseb...
Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang
dapat dinyatakan dengan persamaan
a2 = b2 + c2  2bc cos A

b2 = a2 + c2  2...
Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c
(ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C
dapat ditentukan melalui pe...
Luas Segitiga dengan Dua Sisi
dan Satu Sudut Diketahui
L

=

1
2

bc

sin A

L

=

1
2

ac

sin B

L

=

1
2

ab

sin C
Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan
Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui
Langkah 1:
Tentukan besar sudut-sudut yang belum
...
Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan
Satu Sisi Diketahui
Luas ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang
satu sisi yang...
Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Luas ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a,
sisi b, dan sisi c)...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Trigonometri - KELAS X

  • Login to see the comments

Trigonometri - KELAS X

  1. 1. BAB 5 Trigonometri Standar Kompetensi:  Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar:  Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.  Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri.  Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan penafsirannya.
  2. 2. UKURAN SUDUT Ukuran Sudut dalam Derajat Satu derajat (ditulis = 1) didefinisikan sebagi ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh 1 putaran. 360 1 = 1 putaran 360
  3. 3. Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, dinyatakan dalam ukuran menit dan ukuran detik. a. 1 derajat = 60 menit atau 1 menit = 1 60 Ditulis: 1 = 60’ b.1 menit = 60 detik atau 1’ = 1  60 atau 1 detik = 1 60 Ditulis: 1’ = 60” derajat atau 1” = 1 60 ‘ menit
  4. 4. Ukuran Sudut dalam Radian panjang busur PQ MP panjang busur PQ Nilai perbandingan MP = panjang busur P Q MP dinyatakan dalam ukuran radian. Nilai perbandingan panjang busur PQ r = r MP = 1 Satu radian (ditulis: 1 rad didefinisikan sebagi ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran.
  5. 5. Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya Besar sudut PMQ dalam ukuran radian  panjang busur PQ MP  r Q PMQ = r sebab panjang busur PQ = setengah keliling lingkaran  PMQ = PMQ = 180  r M  radian Kesimpulan:  a. 1 = radian 180 3,14159 c. 1 = ~ radian = 0,017453 radian 180 atau b. 1 radian = 180  d. 1 radian = ~ 180 3,14159 = 57,296  P
  6. 6. Perbandingan-perbandingan Trigonometri B a) sin a c a C b a A a c b) cos a β = sisi di hadapan sudut a = hipotenusa = sisi di dekat sudut a hipotenusa = b c c) tan a = sisi di hadapan sudut a sisi di dekat sudut a = a d) cot a e) sec a f) cosec a = = = sisi di dekat sudut a sisi di hadapan sudut a hipotenusa sisi di dekat sudut a hipotenusa sisi di hadapan sudut a = = = b b a c b c a
  7. 7. 1. Rumus Kebalikan a) sin a b) cos a c) tan a 1 = cosec a 1 = sec a 1 = cot a d) cot a 1 = tan a e) sec a 1 = cos a f) cosec a 1 = sin a 2. Rumus Perbandingan a) tan a sin a = cos a b) cot a cos a = sin a
  8. 8. Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut khusus : 0°, 30 °, 45 °, 60 °, dan 90 °. Lingkaran Satuan y α = PP = y, 1 = OP  b) cos α = OP = x = x, dan OP 1  y c) tan α = PP = x , dengan catatan x  0 OP   a) sin
  9. 9. 1. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0° a) sin 0 ° = Y=0 b) cos 0 ° = 1, dan c) tan 0 ° = sin 0 ° = 0 = 0 cos 0 ° 1  0 P(1,0) 1 x
  10. 10. 2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30 ° (OP’)2 + (PP)2 = (OP)2  (OP’)2 = (OP)2 - (PP’)2  (OP’)2 = 12- ( 1 )2 = 2  3 4 OP’ = 1 3 2 OP’ menyatakan absis titik P atau x = Untuk a = 30° maka koordinat titik P adalah ( 1 2 sin 30 ° = 1 2 cos 30 ° = 1 2 tan 30 ° = 3 Sin 30 = cos 30 1 2 1 2 3 = 1 3 = 1 3 3 1 2 3, ½ ), sehingga diperoleh: 3.
  11. 11. 3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45 y 1 0  (OP)2 + (PP)2 = (OP)2  x2 + y2 = 1 P(x,y)  2x2 = 1  x2 = y 45 x  x P 1 2 x=1 = 2  1 2 Karena x = y, maka y =1 2 2. 2 Untukα  = 45 maka koordinat P adalah ( 1 2 2 sin 45 = 1 2 cos 45 = 1 2 tan 45 sin 45 = = cos 45 2 , dan 1 2 1 2 2 2 = 1 2, 1 2 2 ), sehingga diperoleh:
  12. 12. 4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60 y P(x,y)  1 2 y 0 OP = OP =1 60  x P  Q(1,0) x α = 60 maka koordinat titik P adalah  Untuk ( 1 , 2 sin 60 1 2 3), sehingga , 1 2 = 1 1 2 3 = (cos 60°, sin 60°) 3 2 cos 60 = 1 2 tan 60 sin 60 = = cos 60 3 1 2 1 2 = 3
  13. 13. 5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90 Jika sudut α = 90, maka kaki  sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif. y  P(0,1) 1 0 90 x Koordinat titik P adalah (0,1), sehingga (0,1) = (cos 90, sin 90 ) sin 90 = 1 cos 90 = 0, dan 1 (tidak didefinisikan) tan 90 = sin 90= cos 90 0
  14. 14. Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran Y  P(x,y) x2 +y 2 (ja ra k) A r= 0  y (ordinat) α°  x (absis) x a) sin α ° ordinat = jarak y = r d) cot α ° absis = ordinat = x y b) cos α ° absis = jarak x = r e) sec α ° jarak = ordinat = r x c) tan α ° ordinat = absis = f) cosec α ° jarak = ordinat = r y y x
  15. 15. Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat Y II I sin, positif cosec, positif semua positif 0 III X IV tan, positif cos, positif cot, positif sec, positif
  16. 16. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi 1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi Misalkan suatu sudut besarnya α. Sudut lain yang besarnya (90  α) dikatakan berelasi dengan sudut α dan sebaliknya. Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut yang besarnya: a. (90 + α ) b. (180  α) c. (270  α) d. (360  α) e. α
  17. 17. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α) a) sin (90  α) Y Q  Q(x,y) b) cos (90  α) 1 1  P(x,y) α y c) α   0 x P x tan (90  α) d) cot (90  α) e) sec (90  α) f) cosec (90  α) = y r y = 1 = x y y = x = 1 y = = cos α = sin α = cot α = tan α = cosec α 1 = sec α x
  18. 18. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 + α) x = 1 = cos α y b) cos (90 + α) = =  y = sin α 1 1 x c) tan (90 + α) = y =  x = cot α y y d) cot (90 + α) = =  x = tan α y x e) sec (90 + α) = 1 =  1 = cosec α y y 1 = sec α f) cosec (90 + α) = x a) sin (90 + α)
  19. 19. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180  α) a) sin (180  α) b) cos (180  α) c) tan (180  α) d) cot (180  α) y = sin α 1 =  x = cos α = x 1 1 =  x = tan α = x y y = = y -x = y = cot α x 1 = 1 = = sec α x x 1 = cosec α f) cosec (180  α) = y e) sec (180  α)
  20. 20. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 + α) a) sin (180 + α) = sin α b) cos (180 + α) = cos α c) tan (180 + α) = tan α d) cot (180 + α) = cot α e) sec (180 + α) = sec α f) cosec (180 + α) = cosec α
  21. 21. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270  α) a) sin (270  α) = cos α b) cos (270  α) = sin α c) tan (270  α) = cot α d) cot (270  α) = tan α e) sec (270  α) = cosec α f) cosec (270  α) = sec α
  22. 22. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 + α) a) sin (270 + α) = cos α b) cos (270 + α) = sin α c) tan (270 + α) = cot α d) cot (270 + α) = tan α e) sec (270 + α) = cosec α f) cosec (270 + α) = sec α
  23. 23. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (α) a) sin (α) = b) cos (α) = c) tan (α) = d) cot (α) = y 1 x 1 y x = y 1 =  sin α = cos α =  y = tan α x x x =  =  cot α  y y 1 =  sec α x 1 1 f) cosec ( α) = = =  cosec α y y e) sec ( α) =
  24. 24. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360  α) a) sin (n  360  α) = sin ( α) = sin α b) cos (n  360  α) = cos (α) = cos α c) tan (n  360  α) = tan (α) =  tan α d) cot (n  360  α) = cot (α) =  cot α e) sec (n  360  α) = sec (α) = sec α f) cosec (n 360  α) = cosec ( α) =  cosec α
  25. 25. Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 + α) a) sin (n  360 + α) = sin α b) cos (n  360 + α) = cos α c) tan (n  360 + α) = tan α d) cot (n  360 + α) = cot α e) sec (n  360 + α) = sec α f) cosec (n  360 + α) = cosec α
  26. 26. Identitas Trigonometri Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan kebalikan a) sin α = b) cos α = 1 atau cosec α = 1 cosec α sin α 1 sec α c) tan α = 1 cot α atau sec α = 1 cot α atau cot α = 1 tan α
  27. 27. Identitas Trigonometri Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan teorema Pythagoras a) sin α + cos2 α = 1 b) 1 + tan2 α = sec2 α c) 1 + cot2 α = cosec2 α
  28. 28. Grafik Fungsi Trigonometri 1. Grafik Fungsi y = sin x (0  x  360)
  29. 29. 2. Grafik Fungsi y = cos x (0  x  360)
  30. 30. 3. Grafik Fungsi y = tan x (0  x  360)
  31. 31. Aturan Sinus C a P Persamaan ini disebut aturan sinus atau dalil sinus. a A c c = = sin A sin B sin C Q b b B R Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama. a b c = = sin A sin B sin C
  32. 32. Aturan Kosinus a2 = b2 + c2  2bc cos A b2 = a2 + c2  2ac cos B c2 = a2 + b2  2ac cos C Persamaan-persamaan ini disebut aturan kosinus atau dalil kosinus.
  33. 33. Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan a2 = b2 + c2  2bc cos A b2 = a2 + c2  2ac cos B c2 = a2 + b2  2ac cos C
  34. 34. Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c (ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C dapat ditentukan melalui persamaan: cos A = b2 + c2  a2 2bc cos B = cos C = a2 + c2  b2 2ac a2 + b2  c2 2ab
  35. 35. Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut Diketahui L = 1 2 bc sin A L = 1 2 ac sin B L = 1 2 ab sin C
  36. 36. Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui Langkah 1: Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus. Langkah 2: Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah satu rumus di atas.
  37. 37. Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi Diketahui Luas ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut. a2  sin B  sin L= C 2 sin A b2  sin A  sin L= C 2 sin B c2  sin A  sin L= B 2 sin C
  38. 38. Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui Luas ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a, sisi b, dan sisi c) dapat ditentukan dengan rumus: L = s(s  a)(s  b)(s  c) dengan s = 1 (a + b + c) = setengah keliling ABC. 2

×