2. TRIGONOMETRI
1. Pengertian Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro =
mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan
sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.
Menurut Edward J. Byng bahwa trigonometri adalah ciptaan orang arab.
Oleh karena itu, banyak kata-kata dalam trigonometri yang menggunakan
istilah
dari
Arab.
Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada
ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang,
trigonometri adalah bagian dari geometri. Dan, pada mulanya trigonometri
dikaji sebagai cabang astronomi tetapi akhirnya trigonometri berdiri sendiri
sebagai sebuah disiplin ilmu. Sejarah Trigonometri
2. Sejarah Awal Trigonometri
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan
peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan
India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk
menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah
matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri
dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga,
Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel
trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Matematikawan Yunani lainnya,
Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih
lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah
karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan
memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
3. Konsep Trigonometri
Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisisisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki
perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada
dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.
Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu
dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang
dari nol derajat). Untunk Ukuran Sudut sendiri, 1 putaran = 360 derajat (360°)
= 2π radian
3. 4. Kuadran pada Trigonometri
Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi
dalam 4 daerah
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran
memenuhi aturan seperti pada gambar:
Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a
(k = bilangan bulat > 0)
Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip
Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah:
sin ↔ cos
tan ↔ cot
sec ↔ csc
Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap
Sudut dengan nilai negatif
Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah
jarum jam
Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di
kuadran IV
4. Contoh:
Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II
sehingga nilai cos-nya negatif)
Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2
Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1
(225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif)
Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2
5. Hubungan Fungsi Trigonometri
a. Perbandingan trigonometri
Catatan:
Sin = sinus
Cos = cosinus
Tan/Tg = tangens
Sec = secans
Cosec/Csc = cosecans
Cot/Ctg = cotangens
Dari gambar tersebut dapat diperoleh:
5. (sec merupakan kebalikan dari cos,
csc merupakan kebalikan dari sin, dan
cot merupakan kebalikan dari tan)
Contoh:
Dari segitiga berikut ini:
Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan
trigonometri untuk sudut A!
Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:
Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa
* tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6
7. Contoh :
Turunan dari sin 6x . cos 2x adalah ......
Soal seperti ini bisa diselesaikan dengan menggunakan cara diatas. Kita lihat yang ada
sin . cos, yang sama adalah penjumlahan ;
<=> sin (a+b) + sin (a-b) = 2 sin a. cos b
Nah, bisa diselesaikan dengan cara dibawah :
Sekarang, baru kita turunkan nilainya.
turunan sin ax = 1/a. cos ax
8. d. Aturan-Aturan pada Segitiga ABC
Aturan sinus
Dari segitiga ABC di atas:
Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus:
Aturan Cosinus
Dari segitiga ABC di atas:
Sehingga, secara umum:
e. Luas Segitiga
Dari segitiga ABC di atas diperoleh:
Sehingga, secara umum:
9. f. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut
Dari gambar segitiga ABC berikut:
AD = b.sin α
BD = a.sin β
CD = a.cos β = b.cos α
Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))°
11. Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:
Penurunan dari rumus cos2α:
h. Rumus Perkalian Fungsi Sinus dan Kosinus
Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus
baru sebagai berikut:
12. Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh:
i. Rumus Jumlah dan Selisih Fungsi Sinus dan Kosinus
Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah
dan selisih fungsi sinus dan kosinus.
13. Maka akan diperoleh rumus-rumus:
Contoh-contoh soal:
(1) Tanpa menggunakan daftar, buktikan bahwa:
.
