Econ ch 7

1. Олон Хүчин Зүйлийн Регрессийн шинжилгээ:
Үнэлэлтийн Асуудал

2. • Хамгийн энгийн олон хүчин зүйлийн регрессийн загвар нь нэг
хамааран хувьсагч, хоёр тайлбарлагч хувьсагч бүхий гурван
хувьсагчтай регресс юм. Энэ бүлэгт бид энэ загварыг судлах болно.
Бид параметрүүдийн хувьд шугаман, хувьсагчдын хувьд шугаман
болон шугаман бус байж болох олон хүчин зүйлийн шугаман
регрессийн загваруудыг авч үзнэ.

3. ГУРВАН ХУВЬСАГЧИЙН ЗАГВАР:
ТЭМДЭГЛЭГЭЭ БА УРЬДЧИЛСАН НӨХЦӨЛ
• Хоёр хувьсагчийн эх олонлогийн регрессийн функцийгХоёр хувьсагчийн эх олонлогийн регрессийн функцийг (2.4.2)(2.4.2) өргөтгөнөргөтгөн
3 хувьагчийн3 хувьагчийн PRFPRF-г бичвэл-г бичвэл
• YYii = β= β11 + β+ β22XX2i2i + β+ β33XX3i3i + u+ uii (7.1.1)(7.1.1)
• ββ22 баба ββ33 коэффициентүүдийгкоэффициентүүдийг регрессийн тухайн коэффициентүүдрегрессийн тухайн коэффициентүүд гэдэггэдэг..
Сонгодог шугаман регрессийн загварын хүрээндСонгодог шугаман регрессийн загварын хүрээнд::
• uuii –ийн дундаж утга нь тэг–ийн дундаж утга нь тэг
• E(uE(uii | X| X2i2i , X, X3i3i) = 0) = 0 ii бүрийн хувьдбүрийн хувьд (7.1.2)(7.1.2)
• Сериал корреляци байхгүй, эсвэлСериал корреляци байхгүй, эсвэл
• cov (cov (uuii , u, ujj ) = 0) = 0 ii ≠≠ jj (7.1.3)(7.1.3)
• Хомоскедастик, эсвэлХомоскедастик, эсвэл
• var (var (uuii) =) = σσ22
(7.1.4)(7.1.4)
• uuii болонболон XX хувьсагч бүрийн хоорондох ковариац тэгхувьсагч бүрийн хоорондох ковариац тэг,, эсвэлэсвэл
• cov (cov (uuii , X, X2i2i) = cov (u) = cov (uii , X, X3i3i) = 0) = 0 (7.1.5)(7.1.5)
• Тодорхойлолтын хазайлт байхгүйТодорхойлолтын хазайлт байхгүй,, эсвэлэсвэл
• Загвар зөв тодорхойлогдсонЗагвар зөв тодорхойлогдсон (7.1.6)(7.1.6)

4. • XX хувьсагчид хоорондоо коллинеар бишхувьсагчид хоорондоо коллинеар биш
• XX22 болонболон XX33 хоорондоо шугаман хамааралгүйхоорондоо шугаман хамааралгүй (7.1.7)(7.1.7)
• XX22 and Xand X33 хоорондоо шугаман хамааралгүй гэсэн урьдчилсан нөхцөлхоорондоо шугаман хамааралгүй гэсэн урьдчилсан нөхцөл
(7.1.7)(7.1.7) коллинеар биш, мултиколлинеар биш гэсэн үг юмколлинеар биш, мултиколлинеар биш гэсэн үг юм..
• Албан бусаар коллинеар биш гэдэг нь тайлбарлагч хувьсагчдын альАлбан бусаар коллинеар биш гэдэг нь тайлбарлагч хувьсагчдын аль
нь ч загварын үлдсэн тайлбарлагч хувьсагчидтай шугаман хослолоорнь ч загварын үлдсэн тайлбарлагч хувьсагчидтай шугаман хослолоор
бичигдэхгүй гэсэн үг. Албан ёсоор бол коллинеар биш гэдэг нь дараахбичигдэхгүй гэсэн үг. Албан ёсоор бол коллинеар биш гэдэг нь дараах
тэгшитгэл тэг байхтэгшитгэл тэг байх λλ22 баба λλ33 байх ёсгүй гэсэн үгбайх ёсгүй гэсэн үг
• λλ22XX2i2i ++ λλ33XX3i3i = 0= 0 (7.1.8)(7.1.8)
• Хэрэв ийм шугаман хамаарал байвалХэрэв ийм шугаман хамаарал байвал XX22 баба XX33 ньнь коллинеарколлинеар буюубуюу
шугаман хамааралтай байнашугаман хамааралтай байна.. Өөрөөр болӨөрөөр бол (7.1.8)(7.1.8) ньнь λλ22 = λ= λ33 = 0= 0 үед үнэнүед үнэн
байх тул энэ үедбайх тул энэ үед XX22 баба XX33 шугаман хамааралгүй байнашугаман хамааралгүй байна..
• XX2i2i = −4X= −4X3i3i эсвэлэсвэл XX2i2i + 4X+ 4X3i3i = 0= 0 (7.1.9)(7.1.9)
• Хэрэв хоёр хувьсагч шугаман хамааралтай ба хоёулаа загварт орсонХэрэв хоёр хувьсагч шугаман хамааралтай ба хоёулаа загварт орсон
бол төгс коллинеар болох ба хоёр тайлбарлагч хувьсагчдын хоорондбол төгс коллинеар болох ба хоёр тайлбарлагч хувьсагчдын хооронд
шугаман хамаарал байнашугаман хамаарал байна..

5. • (7.1.1)(7.1.1)-д-д Y, XY, X22,, баба XX33 нь өрхийн хэрэглээний зардал, орлого, хэрэглэгчийннь өрхийн хэрэглээний зардал, орлого, хэрэглэгчийн
баялаг гэебаялаг гэе.. Хэрэв орлого болон баялгийн хооронод шугаман хамааралХэрэв орлого болон баялгийн хооронод шугаман хамаарал
байгаа бол бидэнд хоёр бишбайгаа бол бидэнд хоёр биш зөвхөн ганц үл хамааран хувьсагчзөвхөн ганц үл хамааран хувьсагч байнабайна
гэсэн үг ба орлого болон баялгийн тус бүрийн хэрэглээнд үзүүлэхгэсэн үг ба орлого болон баялгийн тус бүрийн хэрэглээнд үзүүлэх
нөлөөг үнэлэх боломжгүй болно.нөлөөг үнэлэх боломжгүй болно.
• XX3i3i = 2X= 2X2i2i гэегэе
• РегрессРегресс (7.1.1)(7.1.1) дараах хэлбэртэй болнодараах хэлбэртэй болно
• YYii = β= β11 + β+ β22XX2i2i + β+ β33(2X(2X2i2i) + u) + uii
• == ββ11 + (β+ (β22 + 2β+ 2β33))XX2i2i + u+ uii (7.1.10)(7.1.10)
• == ββ11 + α+ αXX2i2i + u+ uii
• ЭндЭнд α = (βα = (β22 + 2β+ 2β33).). Энэ нь бидэнд гурав биш хоёр хувьсагч байна гэсэн үгЭнэ нь бидэнд гурав биш хоёр хувьсагч байна гэсэн үг..
• Үүнээс гадна хэрэв бидҮүнээс гадна хэрэв бид (7.1.10)(7.1.10) регрессийг байгуулжрегрессийг байгуулж αα-г олвол энэ нь-г олвол энэ нь XX22
(= β(= β22)) баба X3 (= βX3 (= β33))-ийн тус бүрийн-ийн тус бүрийн YY-д үзүүлэх нөлөөг үнэлэх боломжгүй-д үзүүлэх нөлөөг үнэлэх боломжгүй
болох баболох ба αα ньнь XX22 баба XX33-ийн-ийн YY-д үзүүлэх хамтын нөлөөг илэрхийлнэ-д үзүүлэх хамтын нөлөөг илэрхийлнэ..

6. ОХЗ-ийн регрессийн тэгшитгэлийн тайлбар
• YY-ийн нөхцөлт дунджийг-ийн нөхцөлт дунджийг (7.1.1)(7.1.1)-ийн хоёр талаас авбал-ийн хоёр талаас авбал
• E(YE(Yii | X| X2i2i, X, X3i3i) =) = ββ11 + β+ β22XX2i2i ++ ββ33ii XX3i3i (7.2.1)(7.2.1)
• Хоёр хувьсагчийн тохиолдолд ОХЗ-ийн регрессийн шинжилгээ ньХоёр хувьсагчийн тохиолдолд ОХЗ-ийн регрессийн шинжилгээ нь
тайлбарлагч хувьсагчдын бэхлэгдсэн утгын нөхцөлд суурилсантайлбарлагч хувьсагчдын бэхлэгдсэн утгын нөхцөлд суурилсан
шинжилгээ ба бидний олох зүйл нь тайлбарлах хувьсагдын өгөгдсөншинжилгээ ба бидний олох зүйл нь тайлбарлах хувьсагдын өгөгдсөн
утганд Ү-ийн дундаж утга юмутганд Ү-ийн дундаж утга юм ..

7. РЕГРЕССИЙН ТУХАЙН КОЭФФИЦИЕНТИЙН УТГА
• ββ22 ньнь XX33 –ийн Ү-т үзүүлэх нөлөөг арилгасны дараа–ийн Ү-т үзүүлэх нөлөөг арилгасны дараа XX22 -ийн нэгжээрх-ийн нэгжээрх
өөрчлөлт Ү-ийн дундаж утганд үзүүлэх “шууд” эсвэл “цэвэр” нөлөөгөөрчлөлт Ү-ийн дундаж утганд үзүүлэх “шууд” эсвэл “цэвэр” нөлөөг
хэмждэгхэмждэг..
• ββ33 ньнь XX22 –ийн Ү-т үзүүлэх нөлөөг арилгасны дараа–ийн Ү-т үзүүлэх нөлөөг арилгасны дараа XX33 –ийн нэгжээрх–ийн нэгжээрх
өөрчлөлт Ү-ийн дундаж утганд үзүүлэх “шууд” эсвэл “цэвэр” нөлөөгөөрчлөлт Ү-ийн дундаж утганд үзүүлэх “шууд” эсвэл “цэвэр” нөлөөг
хэмждэгхэмждэг..
• Тайлбарлагч хувьсагчийн нөлөөг хэрхэн тогтмол гэж авч үзэх вэТайлбарлагч хувьсагчийн нөлөөг хэрхэн тогтмол гэж авч үзэх вэ??
Хүүхдийн эндэгдлийн жишээндХүүхдийн эндэгдлийн жишээнд Y =Y = хүүхдийн эндэгдэлхүүхдийн эндэгдэл (CM), X(CM), X22 == нэгнэг
хүнд ногдох ҮНБхүнд ногдох ҮНБ (PGNP),(PGNP), баба XX33 == эмэгтэйчүүдийн бичиг үсэгэмэгтэйчүүдийн бичиг үсэг
тайлагдалттайлагдалт (FLR).(FLR).
• FLRFLR-ийн нөлөөг тогтмол гэвэл-ийн нөлөөг тогтмол гэвэл CMCM-ийн-ийн PGNPPGNP-д харгалзах регрессийн-д харгалзах регрессийн
тухайн коэффициентыг олъётухайн коэффициентыг олъё. FLR. FLR ньнь PGNPPGNP шигшиг CMCM-д нөлөөлдөг тул-д нөлөөлдөг тул
CMCM болонболон PGNPPGNP-ээс-ээс FLRFLR-ийн шугаман нөлөөг арилгахын тулд-ийн шугаман нөлөөг арилгахын тулд CMCM--
ийнийн FLRFLR-аас хамаарах,-аас хамаарах, PGNPPGNP-ийн-ийн FLRFLR-аас хамаарах регрессийг тусад-аас хамаарах регрессийг тусад
нь байгуулж эдгээр регрессийн үлдэгдлүүдийг харнань байгуулж эдгээр регрессийн үлдэгдлүүдийг харна.. Дараах регрессДараах регресс
олдоноолдоно::

8. • CMCMi = 263.8635 − 2.3905 FLRi = 263.8635 − 2.3905 FLRii + ˆu+ ˆu1i1i (7.3.1)(7.3.1)
• se = (12.2249) (0.2133)se = (12.2249) (0.2133) rr22
= 0.6695= 0.6695
• ЭндЭнд ˆˆuu1i1i нь энэ регрессийн үлдэгдлийг илэрхийлнэнь энэ регрессийн үлдэгдлийг илэрхийлнэ..
• PGNPPGNPii = −39.3033 + 28.1427 FLR= −39.3033 + 28.1427 FLRii + ˆu+ ˆu2i2i (7.3.2)(7.3.2)
• se = (734.9526) (12.8211)se = (734.9526) (12.8211) rr22
= 0.0721= 0.0721
• ЭндЭнд uuˆˆ2i2i нь энэ регрессийн үлдэгдлийг илэрхийлнэ.нь энэ регрессийн үлдэгдлийг илэрхийлнэ. ОдооОдоо
• ˆˆuu1i1i = (CM= (CMii − 263.8635 + 2.3905 FLR− 263.8635 + 2.3905 FLRii)) (7.3.3)(7.3.3)
• FLRFLR-ийн нөлөөг арилгасны дараах-ийн нөлөөг арилгасны дараах CMCM-ийн үлдсэн хэсэг-ийн үлдсэн хэсэг.. Үүний нэгэнҮүний нэгэн
адиладил,,
• ˆˆuu2i2i = (PGNP= (PGNPii + 39.3033 − 28.1427 FLR+ 39.3033 − 28.1427 FLRii)) (7.3.4)(7.3.4)
• FLRFLR-ийн нөлөөг арилгасны дараах-ийн нөлөөг арилгасны дараах PGNPPGNP-ийн үлдсэн хэсгийг-ийн үлдсэн хэсгийг
илэрхийлнэилэрхийлнэ.. ИймээсИймээс,, хэрэв бид одоохэрэв бид одоо uuˆˆ1i1i -г-г uuˆˆ2i2i –с хамааруулан регресс–с хамааруулан регресс
байгуулвалбайгуулвал PGNPPGNP-ийн-ийн CMCM-д үзүүлэх цэвэр нөлөөг олно-д үзүүлэх цэвэр нөлөөг олно.. Регрессийн үрРегрессийн үр
дүндүн::
• uuˆˆ1i1i = −0.0056 u= −0.0056 uˆˆ2i2i (7.3.5)(7.3.5)
• se = (0.0019)se = (0.0019) rr22
= 0.1152= 0.1152

9. • ТэмдэглэлТэмдэглэл:: ЭндЭнд OLSOLS үлдэгдлүүдүлдэгдлүүд uuˆˆ1i1i баба uuˆˆ2i2i –ийн дундаж утга тэг учир–ийн дундаж утга тэг учир
энэ регресс нь тогтмол коэффициентгүй байнаэнэ регресс нь тогтмол коэффициентгүй байна..
• Өнцгийн коэффициентӨнцгийн коэффициент −0.0056−0.0056 ньнь PGNPPGNP-ийн нэгж өөрчлөлтийн-ийн нэгж өөрчлөлтийн CMCM-д-д
үзүүлэх “жинхэнэ” буюу цэвэр нөлөөг илэрхийлнэ. Энэ ньүзүүлэх “жинхэнэ” буюу цэвэр нөлөөг илэрхийлнэ. Энэ нь CMCM-ийн-ийн
PGNPPGNP-д харгалзах тухайн регрессийн коэффициент-д харгалзах тухайн регрессийн коэффициент,, ββ22..
• CMCM-ийн-ийн FLRFLR-д харгалзах тухайн регрессийн коэффициентийг олохын-д харгалзах тухайн регрессийн коэффициентийг олохын
тулд дээрх процедурыг хуулбарлан эхлээдтулд дээрх процедурыг хуулбарлан эхлээд CMCM-г-г PGNPPGNP-тэй халз регресс-тэй халз регресс
байгуулан уг регрессийн үлдэгдлийг авчбайгуулан уг регрессийн үлдэгдлийг авч ((uuˆˆ1i1i),), дараа ньдараа нь FLRFLR-г-г PGNPPGNP--
тэй халз регресс байгуулан уг регрессийн үлдэгдлийгтэй халз регресс байгуулан уг регрессийн үлдэгдлийг (( uuˆˆ2i2i)) олж, дарааолж, дараа
ньнь uuˆˆ1i1i-г-г uuˆˆ2i2i-той халз регресс байгуулна.-той халз регресс байгуулна.
• Аз болоход бид үүнийг хийх шаардлагагүй, дараагийн хэсэгт авч үзэхАз болоход бид үүнийг хийх шаардлагагүй, дараагийн хэсэгт авч үзэх
OLSOLS процедураар харьцангуй богино хугацаанд ижил аргаар хийжпроцедураар харьцангуй богино хугацаанд ижил аргаар хийж
чадна.чадна.

10. ТУХАЙН РЕГРЕССИЙН КОЭФФИЦИЕНТҮҮДИЙН
OLS БА ML ҮНЭЛЭЛТ
• OLS үнэлэлтүүд
• OLS үнэлэлтүүдийг олохын тулд эхлээд түүврийн регрессийн
функцийг бичье.
• (7.1.1)-ийн PRF-д харгалзах (SRF) нь:
• Yi = βˆ1 + βˆ2X2i + βˆ3X3i +uˆi (7.4.1)
• энд uˆˆi нь үлдэгдэл, стохастик зөрүүгийн утга ui–ийн түүврийн хэсэг.
• Бүлэг 3-т тэмдэглэсэнчлэн OLS процедур нь үлдэгдлийн квадрат
нийлбэр (RSS) Σuˆ2
i хамгийн бага байх үеийн үл мэдэгдэх параметрийн
утгыг сонгохоос бүрдэнэ. Тэмдэглэвэл,
• Min Σuˆ2
i = Σ(Yi − βˆ1 − βˆ2X2i− βˆ3X3i)2
(7.4.2)

11. • (7.4.2)-г минимумчилж үнэлэлтүүдийг олох хамгийн энгийн процедур
нь үл мэдэгдэх параметрүүдийн хувьд үүнийг ялгаж, үр дүнгийн
илэрхийллүүдийг тэг гэж үзэн тэдгээрийг нэгэн зэрэг шийдэх явдал
юм. Энэ процедур нь дараах нормал тэгшитгэлүүдийг өгдөг
• Y¯ = βˆ1 + βˆ2X¯2 + βˆ3X¯3 (7.4.3)
• ΣYi X2i = βˆ1 ΣX2i + βˆ2 ΣX2
2i + βˆ3 ΣX2i X3i (7.4.4)
• ΣYi X3i = βˆ1 ΣX3i + βˆ2 ΣX2i X3i + βˆ3 ΣX2
3i (7.4.5)
• Тэгшитгэл (7.4.3)-аас бид дараахыг харж болно
• βˆ1 = Y¯ − βˆ2X¯2 − βˆ3X¯3 (7.4.6)
• Эх олонлогийн тогтмол параметр β1–ийн OLS үнэлэлт юм.
• (7.4.3) - (7.4.5) нормаль тэгшитгэлүүдээс дараах томъёонууд гарч ирнэ:

12. • Эх олонлогийн тухайн регрессийн коэффициентүүд болох β2 ба β3 –ийн
OLS үнэлэлтүүд юм.
• Дашрамд, дараахыг тэмдэглэе:
• (1) X2 ба X3–ийн үүргийг солиход нэг нь нөгөөгөөсөө олдож болох тул
тэгшитгэл (7.4.7) ба (7.4.8) нь тэгш хэмтэй байна;
• (2) Эдгээр тэгшитгэлүүдийн хуваариуд нь ижил; ба
• (3) Гурван хувьсагчийн тохиолдол нь хоёр хувьсагчийн тохиолдлын
ердийн өргөтгөл юм.

13. OLS үнэлэлтүүдийн дисперс ба стандарт алдаа
• Хоёр хувьсагчийн тохиолдолд бидэнд стандарт алдаа хоёр зорилгоор
хэрэгтэй: итгэх завсар байгуулах болон статистик таамаглал шалгах.
Холбогдох томъёонууд дараах байдалтай байна:

15. • σ2
–ийн хазайлтгүй үнэлэлт дараах тэгшитгэлээр өгөгдсөн:
• σˆ2
= Σuˆ2
i/(n− 3) (7.4.18)
• Σuˆ2
i –ийг үнэлэхийн тулд бид эхлээд β1, β2, ба β3 –г үнэлэх ёстой тул 3
чөлөөний зэргийг хэрэглэж байгаа тул чөлөөний зэрэг одоо (n− 3) болно.
σˆ2
үнэлэлт үлдэгдэл боломжтой үед (7.4.18)-аас тооцогдох боловч энэ нь
дараах харилцааг ашигласнаар илүү хялбар олдоно:
• Σuˆ2
i = Σ y2
i − βˆ2Σyix2i − βˆ3 Σ yix3i (7.4.19)
• (3.3.6)-д өгөгдсөн хамаарлын гурван хувьсагчтай тохиолдол

16. • Энгийн хамгийн бага квадрат үнэлэлтүүдийн шинж чанарууд
• 1. Гурван хувьсагчийн регрессийн шулуун (гадаргуу) Y¯, X¯2, ба X¯3
дунджуудыг дайран гарах нь (7.4.3)-аас тодорхой байна. Энэ шинж
чанар ерөнхийдөө хэрэгжинэ. Иймээс k-хувьсагчийн шугаман
регрессийн загварт [хамааран хувьсагч ба (k−1) тайлбарлагч хувьчагч]
• Yi = β1 + β2X2i + β3X3i +· · ·+βkXki + ui (7.4.20)
• тул
• βˆ1 = Y¯ − β2X¯2 − β3Xˆ3 −· · ·−βkX¯k (7.4.21)

17. • 2. Үнэлсэн Yi (= Yˆi)-ийн дундаж утга бодит Yi –ийн дундаж утгатай
тэнцүү:
• Yˆi = βˆ1 + βˆ2X2i + βˆ3X3i
• = (Y¯ − βˆ2X¯2 − βˆ3X¯3) + βˆ2X2i + βˆ3X3i
• = Y¯ + βˆ2(X2i − X¯2) + βˆ3(X3i − X¯3) (7.4.22)
• = Y¯ + βˆ2x2i + βˆ3x3i
• (7.4.22)-ийн хоёр талаас нийлбэр авч түүврийн хэмжээнд хуваавал Y¯ˆ
= Y¯ болно. (7.4.22)-оос тэмдэглэвэл
• yˆi = βˆ2x2i + βˆ3x3i (7.4.23)
• энд yˆi = (Yˆi − Y¯). Иймээс SRF (7.4.1)-г хазайлтаар илэрхийлвэл:
• yi = yˆi +uˆi = βˆ2x2i + βˆ3x3i +uˆi (7.4.24)

18. • 3. Σuˆi = u¯ˆ = 0, (7.4.24)-с баталж болно.
• 4. Үлдэгдэл uˆi нь X2i ба X3i –тай корреляци хамааралгүй
• Σuˆi X2i = Σuˆi X3i = 0
• 5. Үлдэгдэл uˆi нь Yˆi –тэй корреляци хамааралгүй
• ΣuˆiYˆi = 0.

19. • 6. (7.4.12) ба (7.4.15)-аас r23 буюу X2 ба X3 –ийн хоорондох корреляцийн
коэффициент 1 рүү өсөхөд σ2
ба Σx2
2i буюу Σx2
3i –ийн өгөгдсөн утгуудын
хувьд βˆ2 ба βˆ3 –ийн дисперс өснө. Хязгаартаа r23 = 1 (жишээ нь, төгс
коллинеар) үед эдгээр дисперсүүд хязгааргүй болно.
• 7. Сонгодог шугаман регрессийн загварын өгөгдсөн урьдчилсан
таамаглалыг 7.1-р хэсэгт тусгасан бөгөөд тухайн регрессийн
коэффициентүүдийн OLS үнэлэлтүүд зөвхөн шугаман, хазайлтгүй бус
бүх шугаман хазайлтгүй үнэлэлтүүдийн ангид хамгийн бага дисерстэй
байна. Товчоор, тэд BLUE байна: Өөрөөр, тэд Гаусс-Марковын
теоремийг хангана.

20. ОЛОН ХЭМЖЭЭСТ ДЕТЕРМИНАЦИЙН КОЭФФИЦИЕНТ R2 БА
ОЛОН ХЭМЖЭЭСТ КОРРЕЛЯЦИЙН КОЭФФИЦИЕНТ R
• Гурван хувьсагчийн загварт бид Ү-ийг X2 ба X3 хувьсагчид хамтдаа
тайлбарлах хувийг мэдэхийг хүсдэг. Энэ мэдээллийг олон хэмжээст
детерминацийн коэффициент өгөх ба R2
-аар тэмдэглэдэг. Ерөнхийдөө
r2
-тай нэгэн адил юм.
• R2
-г гарган авахын тулд бид 3.5-р хэсэгт өгөгдсөн r2
-ийн гаргалгааг
дагаж болно.
• Yi = βˆ1 + βˆ2X2i + βˆ3X3i +uˆI (7.5.1)
• = Yˆi +uˆi
• Yˆi нь жинхэнэ E(Yi | X2i , X3i)-ийн үнэлэлт. Тэгшитгэл (7.5.1)-г хазайлтаар
илэрхийлвэл:
• yi = βˆ2x2i + βˆ3x3i +uˆI = (7.5.2)
• = yˆi + uˆi
• (7.5.2)-ийн хоёр талыг квадрат зэрэг дэвшүүлэн нийлбэр авбал:
• Σy2
i= Σyˆ2
i + Σuˆ2
i + 2Σ yˆi uˆi (7.5.3)
• = Σyˆ2
i + Σuˆ2
i

21. • Тэгшитгэл (7.5.3) бүтэн квадрат нийлбэр (TSS) нь (ESS) + (RSS)-тэй
тэнцүү болохыг харуулж байна. Одоо (7.4.19)-с ˆu2
i рүү орлуулвал:
• Σy2
i = Σyˆ2
i + Σy2
i − βˆ2Σyix2i − βˆ3Σyix3i
• дахин засварласнаар
• ESS = Σyˆ2
i = βˆ2Σyix2i+ βˆ3Σyix3i (7.5.4)
• Одоо тодорхойлолтын дагуу
• R2
=ESS/TSS
• = (βˆ2Σyix2i+ βˆ3Σyix3i) / Σ y2
i (7.5.5)

22. • R2
нь r2
шиг 0 ба 1 хооронд утгаа авна. Хэрэв 1 бол нийцтэй регрессийн
шулуун нь Ү-ийн хэлбэлзлийг 100 хувь тайлбарлана. Нөгөө талаас
хэрэв 0 бол загвар Ү-ийн хэлбэлзлийг огт тайлбарлахгүй. R2
1 рүү
дөхөхөд загвар илүү сайн нийцтэй байна гэж хэлдэг.
• Гурав ба түүнээс олон хувьсагчийн R нь олон хэмжээст корреляцийн
коэффициент ба энэ нь Ү болон тайлбарлагч хувьсагчдын хоорондын
хамаарлын зэргийг хэмждэг.
• R үргэлж эерэг утга авна. Практикт R-ийн ач холбогдол бага байдаг.
Илүү утга учиртай тоо нь R2
.

23. ЖИШЭЭ 7.1: ХҮҮХДИЙН ЭНДЭГДЭЛ БА НЭГ ХҮНД НОГДОХ ҮНБ,
ЭМЭГТЭЙЧҮҮДИЙН БИЧИГ ҮСЭГ ТАЙЛАГДАЛТЫН ХАМААРАЛ
• Бүлэг 6-д бид хүүхдийн эндэгдэл (CM) ба нэг хүнд ногдох ҮНБ (PGNP)-
ий хамаарлын төлөвийг авч үзсэн. Бид PGNP нь CM-д сөрөг нөлөө
үзүүлж байгааг харсан. Одоо эмэгтэйчүүдийн бичиг үсэг тайлагдалтын
түвшинг (FLR) авч үзье. Бид FLR мөн адил CM-д сөргөөр нөлөөлнө
гэж хүлээж байгаа. Одоо бид загвартаа хувьсагчдыг хоёуланг нь авч
үзвэл тайлбарлагч хувьсагч тус бүрийн нөлөөг цэвэрлэх хэрэгтэй. Энэ
нь бид тайлбарлагч хувьсагч тус бүрийн тухайн регрессийн
коэффициентийг үнэлэх хэрэгтэй. Иймээс бидний загвар:
• CMi = β1 + β2PGNPi+ β3FLRi + ui (7.6.1)
• Хүснэгт 6.4-т шаардлагатай мэдээлэл өгөгдсөн. CM нь 1000 амьд
төрөлтөд ногдох хүүхдийн эндэгдлийн тоо, PGNP нь 1980 оны нэг хүнд
ногдох ҮНБ, ба FLR нь хувиар хэмжигдсэн. Бидний жишээнд 64 орныг
авч үзсэн.

24. • Eviews3 статистик багцыг ашиглан дараах үр дүнг гарган авсан:
• CMi= 263.6416 − 0.0056 PGNPi − 2.2316 FLRi
• se = (11.5932) (0.0019) (0.2099)
• R2
(7.6.2) = 0.7077 R¯2
= 0.6981
• PGNP-ийн тухайн өнцгийн коэффициент нь −0.0056 ба энэ нь өмнө авч
үзсэн гурван алхамт процедураас олдсонтой яг адил байна. Гэхдээ бид
гурван алхамт ярвигтай процедургүйгээр хийж болно.

25. • 0.0056 нь FLR тогтмол үед PGNP-ийн тухайн регрессийн коэффициент,
PGNP нэг доллараар өсөхөд хүүхдийн эндэгдэл дунджаар 0.0056
нэгжээр буурна. Илүү эдийн засгийн тайлбар хийхийн тулд хэрэв нэг
хүнд ногдох GNP мянган доллараар өсвөл 5 хүртэлх насны
хүүхдүүдийн эндэгдлийн тоо мянган амьд төрөлтөд дунджаар 5.6
нэгжээр буурна.
• Коэффициент −2.2316 нь PGNP-ийн нөлөө тогтмол үед эмэгтэйчүүдийн
бичиг үсэг тайлагдалтын түвшин нэг хувиар өсөхөд 5 хүртэлх насны
хүүхдийн эндэгдэл мянган амьд төрөлт тутамд дунджаар 2.23 нэгжээр
буурна.
• Тогтмол параметр 263 нь механикаар тайлбарлавал хэрэв PGNP болон
FLR-ийн утга тэг бол хүүхдийн дундаж эндэгдэл мянган амьд төрөлт
тутамд 263 байхыг илэрхийлнэ. R2
утга 0.71 байгаа нь хүүхдийн
эндэгдлийн хэлбэлзлийн 71 орчим хувь нь PGNP болон FLR-р
тайлбарлагдаж байгааг харуулах ба R2-ийн хамгийн их утга 1 байхыг
харгалзвал энэ нь нэлээн өндөр утга юм.

26. • Стандартчилагдсан хувьсагчдын регресс
• Хувьсагч нь хэрэв дунджаасаа хазайх хазайлтыг нь стандарт
хазайлтад нь харьцуулсан утгаар илэрхийлэгдэж байвал стандарт
хазайлт нэгж буюу стандартчилагдсан нэгж гэж нэрлэдэг. Бидний
хүүхдийн эндэгдлийн жишээнд үр дүн дараах байдалтай байна:
• CM* = − 0.2026 PGNP*i − 0.7639 FLR*i (7.6.3)
• se = (0.0713) (0.0713) r2
= 0.7077
• Тэмдэглэл: Одтой хувьсагчууд нь стандартчилагдсан хувьсагчид.
• Энэ регрессээс FLR тогтмол үед PGNP нэг стандарт хэлбэлзлээр өсөхөд
CM дунджаар 0.2026 стандарт хазайлтаар буурахыг та харж болно.
Мөн адил PGNP тогтмол үед FLR нэг стандарт хазайлтаар өсөхөд CM
дунджаар 0.7639 стандарт хазайлтаар буурна. Харьцуулан харвал
эмэгтэйчүүдийн бичиг үсэг тайлагдалт нь нэг хүнд ногдох ҮНБ-ээс
илүү хүүхдийн эндэгдэлд нөлөөлж байна.

27. ОЛОН ХЭМЖЭЭСТ РЕГРЕССИЙН ХҮРЭЭН ДЭХ ЭНГИЙН
РЕГРЕСС: ТОДОРХОЙЛОЛТЫН ХАЗАЙЛТ
• (7.6.1) нь нэг хүнд ногдох ҮНБ болон эмэгтэйчүүдийн бичиг үсэг
тайлагдалтаас хамаарах хүүхдийн эндэгдлийн төлөвийг тайлбарладаг
зөв загвар гэж үзье. Бид FLR-г үл харгалзан дараах энгийн регрессийг
үнэлье:
• Yi = α1 + α2X2i + u1i (7.7.1)
• энд Y = CM ба X2 = PGNP.
• (7.6.1) нь зөв загвар үед (7.7.1)-г үнэлэх нь X3 хувьсагчийг орхисноор
тодорхойлолтын алдаанд хүргэнэ.

28. • Одоо бид X3 (FLR) хувьсагчийг загварт орхигдуулсан гэдгийг мэдэж
байгаа үед (7.7.1) дэх PGNP-ийн коэффициент CM-д үзүүлэх PGNP-ийн
жинхэнэ нөлөөний хазайлтгүй үнэлэлтээр хангах уу? Та ерөнхийдөө αˆ2
нь жинхэнэ β2-ийн хазайлтгүй үнэлэлт болохгүй гэж сэжиглэж байгаа.
• (7.7.1) регрессийг байгуулахад дараах үр дүн гарсан.
• CMi= 157.4244 − 0.0114 PGNPi (7.7.2)
• se = (9.8455) (0.0032) r2
= 0.1662
• Дараахыг ажигла:
• 1. Абсолют утгаараа PGNP коэффициент 0.0056-с 0.0114 болж бараг
хоёр дахин өслөө.
• 2. Стандарт алдаанууд ялгаатай байна.
• 3. Тогтмол параметрүүд ялгаатай байна.
• 4. r2
утгууд эрс ялгаатай байна, хэдий энэ нь ерөнхийдөө тайлбарлагч
хувьсагчдын тоо өсөхөд r2
утга өсдөг тохиолдол юм.

29. • Одоо PGNP-г харгалзахгүйгээр хүүхдийн эндэгдлийг эмэгтэйчүүдийн
бичиг үсэг тайлагдалтын түвшингээс хамааруулан регресс байгуулъя.
Та дараах үр дүнг олж авна:
• CMi = 263.8635 − 2.3905 FLRi
• se = (21.2249) (0.2133) r2
= 0.6696 (7.7.3)
• Дахин хэрэв та энэ регрессийн үр дүнг (буруу тодорхойлогдсон) зөв
олон хэмжээст регрессийн үр дүнтэй харьцуулвал хэдий үр дүнгүүд
ялгаатай боловч (7.7.2) регрессийн тохиолдол шиг мэдэгдэхүйц биш
болохыг харах болно. Тэмдэглэвэл зохих чухал асуудал нь хэрэв та
тохирохгүй загвар сонговол ноцтой үр дагаварт хүргэж болох юм.

30. R2
БА ЗАСВАРЛАГДСАН R2
• R2
-ийн нэг чухал шинж нь тайлбарлагч хувьсагчдын тоо өсөхөд R2
бараг байнга өсдөг ба хэзээ ч буурдаггүй. Өөрөөр хэлбэл, Х
хувьсагчийг нэмэхэд R2
буурдаггүй.
• Регресс (7.7.2) эсвэл (7.7.3)-г (7.6.2)-той харьцуулъя. Детерминацийн
коэффициентийн дагуу:
• R2
= ESS / TSS = 1 − (RSS / TSS) (7.8.1)
• = 1 − (Σuˆ2
i / Σy2
i).
• Одоо Σy2
i нь загвар дахь Х хувьсагчдын тооноос хамааралгүй байна,
Σ(Yi − Y¯)2
. RSS, Σuˆ2
i, нь загвар дахь тайлбарлагч хувьсагчдын тооноос
хамаарна. Хар ухаанаар энэ нь Х хувьсагчдын тоо өсөхөд Σuˆ2
i буурах
нь тодорхой байгаа тул (бараг буурахгүй); R2
өснө.

31. • Хоёр R2
утгыг харьцуулахын тулд загвар дахь Х хувьсагчдын тоог авч
үзэх хэрэгтэй. Хэрэв бид альтернатив детерминацийн коэффициентыг
авч үзвэл энэ асуудлыг шийдэж болно:
• R¯2
= 1 − (Σuˆ2
i / (n− k)) / (Σy2
i/(n− 1)) (7.8.2)
• энд k = загварын параметрүүдийн тоо. (Гурван хувьсагчийн регрессий
хувьд, k = 3. Иймээс энд тодорхойлогдсон R2
-г засварлагдсан R2
гэх ба
R¯2
гэж тэмдэглэнэ.

32. • Тэгшитгэл (7.8.2)-г мөн дараах байдлаар бичиж болно
• R¯2
= 1 − σˆ2
/ S2
Y (7.8.3)
• энд σˆ2
нь үлдэгдлийн дисперс, жинхэнэ σ2
-ийн хазайлтгүй үнэлэлт, ба S2
Y
нь Ү-ийн түүврийн дисперс. R¯2
ба R2
нь холбоотойг харахад хялбар
бөгөөд (7.8.1)-г (7.8.2)-д орлуулахад:
• R¯2
= [1 − (1 − R2
)] [(n− 1) / (n− k)] (7.8.4)
• Энэ нь тэгшитгэл (7.8.4)-с (1) k > 1, R¯2
< R2
буюу Х хувьсагчдын тоо
өсөхөд засварлагдсан R2
нь засварлагдаагүй R2
-с багаар өсөх ба (2)
хэдий R2
сөрөг биш байдаг ч R¯2
сөрөг байж болох нь илэрхий байна. R¯2
тохиолдолд хэрэглээний хувьд сөрөг утгатай байвал түүний утга тэг
гэж авна.
• Аль R2
-г практикт хэрэглэх хэрэгтэй вэ? (7.8.4)-т өгөгдсөн
засварлагдсан R2
нь уламжлалт R2
-ийн хамт ихэнх статистик
багцуудаар тайлагнадаг. Уншигч R¯2
-ыг зүгээр л үр дүнгийн статистик
гэж авч үзэхийг зөвлөж байна.

33. • Хоёр R2
утгыг харьцуулах
• Детерминацийн коэффициентэд үндэслэн хоёр загварыг харьцуулахад,
түүврийн хэмжээ n ба хамааран хувьсагч ижил байна; тайлбарлагч
хувьсагчид ямар ч хэлбэртэй байж болно. Иймээс дараах загваруудын
хувьд
• ln Yi= β1 + β2X2i + β3X3i + ui (7.8.6)
• Yi = α1 + α2X2i + α3X3i + ui (7.8.7)
• Тооцсон R2
утгуудыг харьцуулж болохгүй. Хоёр хамааран хувьсагч
ижил биш байна: Бүлэг 6-д тэмдэглэсэнчлэн, lnY –ийн өөрчлөлт нь
харьцангуй буюу пропорциональ өөрчлөлтийг илэрхийлдэг бол Y-ийн
өөрчлөлт нь абсолют өөрчлөлтийг илэрхийлдэг. Мөн түүнчлэн
varYˆi
/varYi
нь var (ln Yi)/var (ln Yi)-тай тэнцүү биш тул хоёр
детерминацийн коэффициент ижил биш юм.

34. • Тайлбарлагч хувьсагчдын дунд R2
-г хуваарилах
• Хүүхдийн эндэгдлийн жишээг дахин авч үзье. Бид (7.6.2)-т хоёр
тайлбарлагч хувьсагчид болох PGNP ба FLR нь хүүхдийн эндэгдлийн
хэлбэлзлийн 0.7077 буюу 70.77 хувийг тайлбарлаж байсныг харсан.
Харин одоо (7.7.2) регрессийг авч үзвэл бид FLR хувьсагчийг орхисон
ба r2
утга 0.1662 байсан. Зөрүү r2
утга 0.5415 (0.7077 − 0.1662) нь
орхигдсон хувьсагч FLR-т хамаарах уу? Нөгөө талаас (7.7.3)
регрессийг авч үзвэл бид PGNP хувьсагчийг орхисон ба r2
утга 0.6696
байсан. r2
утгын зөрүү 0.0381 (0.7077 − 0.6696) нь орхигдсон хувьсагч
PGNP-д хамаарах уу?
• Асуулт: Бид олон хэмжээст R2
0.7077-г хоёр тайлбарлагч хувьсагч
PGNP болон FLR-д энэ аргаар хуваарилж чадах уу? Харамсалтай нь
бид чадахгүй. Хамгийн сайн практик зөвлөгөө нь R2
утгыг түүнийг
бүрдүүлэгч тайлбарлагч хувьсагчдад хуваарилах маш бага боломж
бий.

35. • R¯ 2
-г максимумчлах тоглоом
• Заримдаа судлаачид хамгийн өндөр R¯2
өгөх загварыг сонгохоор R¯2
-г
максимумчлах тоглоом тоглодог. Гэхдээ энэ нь аюултай байж болох
юм, регрессийн шинжилгээнд бидний зорилго нь нэгж стандарт
алдаанд хамгийн өндөр R¯2
-г олох явдал бус эх олонлогийн жинхэнэ
регрессийн коэффициентийн найдвартай үнэлэлтийг олж авч
статистик дүгнэлт өгөх явдал юм.
• Эмпирик шинжилгээнд байнга өндөр R¯2
олдоод байдаггүй ба харин ч
зарим регрессийн коэффициентүүд статистик ач холбогдолгүй юм уу
эсвэл хүлээж байснаас эсрэг тэмдэгтэй байх зэрэг асуудал гардаг. Мөн
түүнчлэн судлаачид тайлбарлагч хувьсагчид болон хамааран
хувьсагчийн логик буюу онолын хамаарал болон тэдгээрийн статистик
ач холбогдолд ихээхэн анхаарах хэрэгтэй. Энэ процесст бид өндөр R¯2
олвол сайн боловч нөгөө талаас хэрэв R¯2
бага бол энэ нь загвар заавал
муу байна гэсэн үг биш юм.

36. ТУХАЙН КОРРЕЛЯЦИЙН КОЭФФИЦИЕНТ
• Энгийн болон тухайн корреляцийн коэффициентийн тайлбар
• Бүлэг 3-т бид корреляцийн коэффициент r нь хоёр хувьсагчийн
хоорондох шугаман хамаарлын зэргийг хэмждэг гэж авч үзсэн. Гурван
хувьсагчийн регрессийн загварын хувьд бид гурван корреляцийн
коэффициентийг тооцож болно: r12 (Y ба X2-ийн хоорондын корреляци),
r13 (Y ба X3-ийн хоорондын корреляци), болон r23 (X2 ба X3-ийн хоорондын
корреляци). Эдгээр корреляцийн коэффициентүүдийг нийт буюу
энгийн корреляцийн коэффициент буюу тэг эрэмбийн корреляцийн
коэффициент гэдэг. Эдгээр коэффициентүүд (3.5.13)-д өгөгдсөн
корреляцийн коэффициентийн тодорхойлолтоор тооцогдсон.

37. • Харин одоо энэ асуудлыг авч үзье: r12 нь Y ба X2–ийн хоорондох жинхэнэ
шугаман хамаарлын зэргийг гурав дахь хувьсагч X3 тэдгээртэй
холбоотой үед хэмжих үү? Ерөнхийдөө, r12 нь X3 –ийн оролцоо байгаа үед
Y ба X2 –ийн хооронды жинхэнэ хамаарлын зэргийг илэрхийлэхгүй
байж болно. Ер нь энэ нь Y ба X2-ийн хоорондын хамаарлын талаар
хуурамч сэтгэгдэл өгч болно. Иймээс бидэнд хэрэгтэй зүйл нь X3-ийн X2
ба Y-т үзүүлэх нөлөөнөөс үл хамаарах корреляцийн коэффициент юм.
Ерөнхий төсөөллөөр энэ нь тухайн регрессийн коэффициенттэй адил
юм.
• r1 2.3 = X3 тогтмол үед Y ба X2 –ийн хоорондох тухайн корреляцийн
коэффициент
• r1 3.2 = X2 тогтмол үед Y ба X3-ийн хоорондох тухайн корреляцийн
коэффициент
• r2 3.1 = Y тогтмол үед X2 ба X3-ийн хоорондох тухайн корреляцийн
коэффициент

38. • Эдгээр тухайн корреляциуд нь:
• Тэгшитгэл (7.11.1) - (7.11.3)-д өгөгдсөн тухайн корреляцийн
коэффициентүүдийг нэгдүгээр эрэмбийн корреляцийн коэффициент
гэдэг. Хоёрдогч тэмдэглэгээний тоогоор эрэмбэлнэ. Иймээс r1 2.3 4 нь 2-р
эрэмбийн корреляцийн коэффициент, r12.345 нь 3-р эрэмбийн
корреляцийн коэффициент, гэх мэт. Өмнө тэмдэглэсэнчлэн, r12, r13, гэх
мэт нь энгийн буюу тэг эрэмбийн корреляциуд. r1 2.3 4 –ийн тайлбар нь X3
ба X4 тогтмол үед Y ба X2-ийн хоорондын корреляцийн коэффициент

39. • Энгийн болон тухайн корреляцийн коэффициентийн тайлбар
• Дараахыг ажиглая:
• 1. Хэрэв r12 = 0, r12.3 тэг биш бол r13 эсвэл r23 эсвэл хоёулаа тэг биш гэсэн үг.
• 2. Хэрэв r12 = 0 ба r13 ба r23 нь тэг биш бөгөөд ижил тэмдэгтэй бол, r1 2.3
сөрөг болно, эсрэг тэмдэгтэй бол, эерэг болно.
• Жишээ үүнийг тодорхой болгоно. Y = ургац, X2 = хур тунадас, ба X3 =
температур. r12 = 0 буюу ургац болон хур тунадас хоорондоо
хамааралгүй гэе. Мөн r13 нь эерэг ба r23 нь сөрөг гэе. Тэгвэл (7.11.1) r1 2.3
эерэг буюу температур тогтмол үед ургац болон хур тунадас хоорондоо
эерэг хамааралтайг илэрхийлнэ. Энэ мэт гаж үр дүн нь гайхмаар зүйл
биш юм. Температур X3 нь ургац Y болон хур тунадас X2-т хоёуланд нь
нөлөөлдөг гэвэл ургац болон хур тунадасны хоорондын цэвэр
хамаарлыг олохын тулд бид температур хувьсагчийн нөлөөг арилгах
хэрэгтэй. Энэ жишээ нь энгийн корреляцийн коэффициент хэрхэн
төөрөгдүүлж болохыг харуулна.

40. • 3. r12.3 ба r12 (ижил харьцуулалт) нь ижил тэмдэгтэй байх шаардлагагүй.
• 4. Хоёр хувьсагчийн тохиолдолд бид r2
нь 0 ба 1-ийн хооронд утгаа
авахыг харсан. Тухайн корреляцийн коэффициентийн квадратын
хувьд ижил шинж чанартай байдаг. Энэ баримтыг ашиглан уншигч
(7.11.1)-ээс дараах илэрхийллийг олж баталж болно:
• 0 ≤ r2
12 + r 2
13+ r 2
23− 2r12r13r23 ≤ 1 (7.11.4)
• Гурван тэг эрэмбийн корреляцийн коэффициентүүдийн харилцан
уялдааг харуулна. Ижил илэрхийллийг тэгшитгэл (7.9.3) ба (7.9.4)-с
гарган авч болно.
• 5. r13 = r23 = 0 гэж үзье. Энэ нь r12 мөн тэг гэсэн үг үү? Хариулт нь (7.11.4)-
с тодорхой байна. Y ба X3 болон X2 ба X3 нь корреляци хамааралгүй байх
нь Y ба X2 корреляци хамааралгүй гэсэн үг биш юм. Дашрамд r 2
12.3
илэрхийллийг тухайн детерминацийн коэффициент гэх ба X3
хувьсагчаар тайлбарлагдахгүй X2 хувьсагчаар тайлбарлагдах Ү-ийн
хэлбэлзлийн хувь гэж ойлгогдоно. (жишээ 7.5-г хар).

41. • Ерөнхийдөө R2
-тай ижил юм.
• Цааш явахаас өмнө R2
, энгийн корреляцийн коэффициент, болон
тухайн корреляцийн коэффициентүүдийн хамаарлыг тэмдэглэе:
• R2
= r 2
12 + r2
13 − 2r12r13r23 / (1 − r2
23) (7.11.5)
• R2
= r2
12 + (1 − r 2
12) r2
13.2 (7.11.6)
• R2
= r2
13 + (1 − r 2
13) r 2
12.3 (7.11.7)
• Энэ хэсэгт дараах зүйлийг авч үзнэ: Өмнө авч үзсэний адил загварт
тайлбарлагч хувьсагч нэмэхэд R2
буурахгүй болох нь (7.11.6)-с тодорхой
харагдаж байна. Энэ тэгшитгэл нь X2 ба X3 –аар тайлбарлагдах Ү-ийн
хэлбэлзлийн хувь нь хоёр хэсгийн нийлбэр болохыг харуулж байна:
зөвхөн X2-р тайлбарлагдах хэсэг (= r 2
12) ба X2 (= 1 − r 2
12)-аар
тайлбарлагдахгүй хэсэг болон X2-ийн нөлөө тогтмол үед X3 –р
тайлбарлагдах хувийн үржвэр. Одоо r2
13.2 > 0 үед R2
> r 2
12 байна. r 2
13.2 тэг
бол R2
= r 2
12 байна.

42. ЖИШЭЭ 7.3: КОББ ДУГЛАСЫН ҮЙЛДВЭРЛЭЛИЙН ФУНКЦ:
ӨӨР НЭГ ФУНКЦИОНАЛЬ ХЭЛБЭР
• Бидний авч үзэх жишээ нь үйлдвэрлэлийн онолын алдарт Кобб-
Дугласын үйлдвэрлэлийн функц юм. Кобб-Дугласын үйлдвэрлэлийн
функцийг стохастик хэлбэрээр илэрхийлвэл
• энд Y = гарц
• X2 = хөдөлмөрийн орц
• X3 = капиталын орц
• u = стохастик зөрүүгийн утга
• e = натурал логарифмийн суурь
• Тэгшитгэл (7.9.1)-с гарц болон хоёр орцын хамаарал шугаман бус
болох нь тодорхой байна. Хэрэв бид энэ загвараас логарифм хувиргалт
хийвэл:

43. • ln Yi = ln β1 + β2 ln X2i + β3 ln X3i+ ui
• = β0 + β2 ln X2i + β3 ln X3i + ui (7.9.2)
• энд β0 = ln β1.
• Иймээс загвар β0, β2, ба β3 параметрүүдийн хувьд шугаман учраас
шугаман регрессийн загвар болно. Мөн энэ нь Ү ба Х хувьсагчдын
хувьд шугаман бус боловч эдгээр хувьсагчдын логарифмийн хувьд
шугаман байгааг тэмдэглэе. Товчоор (7.9.2) нь log-log, double-log, буюу
log-linear загвар, олон хэмжээст регрес юм.
• Кобб-Дугласын үйлдвэрлэлийн функцийн шинж чанарууд нь:
• 1. β2 нь хөдөлмөрийн орцтой харгалзах гарцын (тухайн) мэдрэмж
бөгөөд энэ нь капиталын орц тогтмол байхад хөдөлмөрийн орц нэг
хувиар өсөхөд гарцын өөрчлөгдөх хувийг хэмждэг.

44. • 2. β3 нь хөдөлмөрийн орц тогтмол байхад капиталын орцод харгалзах
гарцын (тухайн) мэдрэмж.
• 3. (β2 + β3) нийлбэр нь өргөжилтийн үр өгөөжийн талаар мэдээллийг
өгдөг ба орцын өөрчлөлтөд тохирох гарцын хариу үр дүнг илэрхийлнэ.
Хэрэв энэ нийлбэр 1 бол тогтмол өргөжилтийн үр өгөөжтэй гэх ба
орцыг хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд гарц хоёр дахин өснө гэсэн үг. Хэрэв
нийлбэр 1-с бага бол өргөжилтийн буурах үр өгөөжтэй гэх ба орцыг
хоёр дахин нэмэгдүүлэхэд гарцыг хоёроос бага дахин нэмэгдүүлнэ.
Эцэст нь хэрэв нийлбэр нь 1-с их бол өргөжилтийн өсөх үр өгөөжтэй
гэх ба орцыг хоёр дахин өсгөхөд орц хоёроос их дахин өснө.

45. • Хэрэв k-хувьсагч бүхий log-linear загвар:
• ln Yi = β0 + β2 ln X2i + β3 ln X3i +· · ·+βk ln Xki + ui (7.9.3)
• β2 –с βk хүртэл тухайн регрессийн коэффициентүүд нь X2 –с Xk хүртэл
хувьсагчдад харгалзах Ү-ийн (тухайн) мэдрэмж.
• (7.9.2) загвар сонгодог шугаман регрессийн загварын урьдчилсан
нөхцлүүдийг хангадаг гэж үзвэл бид OLS-р дараах регрессийг гарган
авна

46. • ln Y^i = −3.3384 + 1.4988 ln X2i + 0.4899 ln X3i
(2.4495) (0.5398) (0.1020)
• t = (−1.3629) (2.7765) (4.8005)
• R2
= 0.8890 df = 12 R¯2
= 0.8705 (7.9.4)
• Тэгшитгэл (7.9.4)-с хөдөлмөр болон капиталаас хамаарах гарцын
мэдрэмж нь харгалзан 1.4988 ба 0.4899 болохыг харж болно. Өөрөөр
хэлбэл судалгааны хугацааны туршид капиталын орц тогтмол үед
хөдөлмөрийн орц 1 хувиар өсөхөд гарц дунджаар 1.5 хувиар өснө. Мөн
адил хөдөлмөрийн орц тогтмол үед капиталын орц 1 хувиар өсөхөд
гарц дунджаар 0.5 хувиар өснө. Хоёр гарцын мэдрэмжийг нэмвэл бид
1.9887 гэж олох ба өргөжилтийн үр өгөөжийн параметрийн утгыг
илэрхийлнэ. Судалгааны хугацааны туршид уг сектор нь өргөжилтийн
өсөх үр өгөөжтэй байсан байна
• Цэвэр статистикийн үүднээс үнэлэгдсэн регрессийн шулуун нь
өгөгдөлд маш сайн нийцэж байна. R2
утга болох 0.8890 нь гарцын
хэлцэлзлийн 89 хувь нь хөдөлмөр болон капиталаар тайлбарлагдаж
байгааг илэрхийлнэ.

47. EVIEWS OUTPUT
Dependent Variable: LY
Method: Least Squares
Date: 12/14/09 Time: 17:51
Sample: 1958 1972
Included observations: 15
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C -3.338455 2.449508 -1.362908 0.1979
LL 1.498767 0.539803 2.776509 0.0168
LK 0.489858 0.102043 4.800487 0.0004
R-squared 0.889030 Mean dependent var 10.09653
Adjusted R-squared 0.870535 S.D. dependent var 0.207914
S.E. of regression 0.074810 Akaike info criterion -2.170875
Sum squared resid 0.067158 Schwarz criterion -2.029265
Log likelihood 19.28156 F-statistic 48.06885
Durbin-Watson stat 0.891083 Prob(F-statistic) 0.000002