Матриц, түүний үйлдлүүд

1. ЛЕКЦ -6
СЭДЭВ : Матриц , түүний үйлдлүүд
ЗОРИЛГО: Энэ хичээлээр шугаман алгебрийн үндсэн ойлголтын нэг болох
матриц, mүүний үйлдлүүд, тэдгээрийн чанаруудын талаар ойлголт өгөх.
ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ :
Оршил
Матрицын онол нь алгебр, аналитик геометр, механик, магадлалын онолд өргөн
хэрэглэдэг,ялангуяа шугаман тэгшитгэлийн систем бодоход маш чухал.
Тодорхойлолт: 22211211 ;;; aaaa … тоонуудаар зохиосон тэгш өнцөгт хэлбэрийн
хүрдийг матриц гэнэ. Ij –индекс гэнэ элемент гэнэ мөр багана
ЖИШЭЭбэл : 𝑎𝑎31 – гэвэл 3 – р мөр 1 – р баганын элемент матрицыг бичихдээ:














mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
...
...
21
22221
11211
гэж бичээд уншихдаа 𝑚𝑚Ч𝑛𝑛- хэмжээст матриц гэнэ
Хэрэв 𝑚𝑚 = 𝑛𝑛 байвал тийм матрицыг квадрат матриц гэдэг














nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
...
...
21
22221
11211
уншихдаа n –эрэмбийн квадрат матриц 





2221
1211
aa
aa
2-р эрэмбийн квадрат матриц
𝑛𝑛 = 1 бол














1
11
21
ma
a
a
- баганан матриц 𝑚𝑚 = 1 ( )naaa 11211 ... - мөрөн матриц














nnaooo
ooa
oooa
......
......
.....
22
11
- Диагональ матриц бүх элемент нь тэгтэй тэнцүү байвал
−ija −i −j

2. �
0 0 0
0 0 0
0 0 0
� тэг матриц 𝐴𝐴 = �
𝑎𝑎11 𝑜𝑜 𝑜𝑜
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑜𝑜
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
� гурвалжин матриц гэнэ
𝐸𝐸 = �
1 𝑜𝑜 𝑜𝑜
𝑜𝑜 1 𝑜𝑜
𝑜𝑜 𝑜𝑜 1
� диагональ матрицын гол диагоналийн элементүүд нэгтэй
тэнцүү байвал нэгж матриц гэнэ.
- Хоёр матрицын элемент бүр нь харгалзан тэнцүү байвал тэр хоёр
матрицүүд тэнцүү байна.
𝐀𝐀 = 𝐁𝐁 ↔ 𝐚𝐚𝐢𝐢𝐢𝐢 = 𝐛𝐛𝐢𝐢𝐢𝐢
- А матрицын мөрүүдийг багануудаар солиход гарах матрицыг 𝐴𝐴𝑇𝑇
гэж
тэмдэглээд түүнийг хөрвөсөн матриц гэнэ
Жишээлбэл : A= �
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32
𝑎𝑎33
� 𝐴𝐴𝑇𝑇
= �
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32
𝑎𝑎33
� гэж тэмдэглэнэ
- Матрицыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэнэ
Матриц дээр хийх үйлдлүүд














=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
...
...
...
21
22221
11211














=
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
B
...
...
...
21
22221
11211
Хоёр матрицын хувьд дараах үйлдлүүдийг хийнэ
1. Матрицүүдыг нэмэхдээ харгалзах элементүүдийг нэмнэ.
2. Хасахдаа мөн адил харгалзах элементүүдийг хасана.
3. Матрицыг тоогоор үржүүлэхдээ элемент тус бүрийг үржүүлнэ.
Жишээлбэл :
𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = �
𝑎𝑎11 𝑎𝑎12 𝑎𝑎13
𝑎𝑎21 𝑎𝑎22 𝑎𝑎23
𝑎𝑎31 𝑎𝑎32 𝑎𝑎33
� + �
𝑏𝑏11 𝑏𝑏12 𝑏𝑏13
𝑏𝑏21 𝑏𝑏22 𝑏𝑏23
𝑏𝑏31 𝑏𝑏32 𝑏𝑏33
� = �
𝑎𝑎11 + 𝑏𝑏11 𝑎𝑎12 + 𝑏𝑏12 𝑎𝑎13 + 𝑏𝑏13
𝑎𝑎21 + 𝑏𝑏21 𝑎𝑎22 + 𝑏𝑏22 𝑎𝑎23 + 𝑏𝑏23
𝑎𝑎31 + 𝑏𝑏31 𝑎𝑎32 + 𝑏𝑏32 𝑎𝑎33 + 𝑏𝑏33
�

3. A∙ 𝜇𝜇 = �
𝑎𝑎11 ∙ 𝜇𝜇 𝑎𝑎12 ∙ 𝜇𝜇 𝑎𝑎13 ∙ 𝜇𝜇
𝑎𝑎21 ∙ 𝜇𝜇 𝑎𝑎22 ∙ 𝜇𝜇 𝑎𝑎23 ∙ 𝜇𝜇
𝑎𝑎31 ∙ 𝜇𝜇 𝑎𝑎32 ∙ 𝜇𝜇 𝑎𝑎33 ∙ 𝜇𝜇
�
Жишээлбэл:
𝐴𝐴 = �
1 2 3
32 1
o 1 2
� B = �
−2 1 o
−4 2 2
1 − 3 2
� бол 2 ∙ A + 4 ∙ B = бод
2 ∙ A + 4 ∙ B = 2 ∙ �
1 2 3
3 2 1
0 1 2
� + 4 ∙ �
−2 1 0
−4 2 2
1 − 3 2
� = �
2 4 6
6 4 2
0 2 4
� + �
−8 4 0
−16 8 8
4 − 12 8
� = �
−6 8 6
−10 12 10
4 − 10 12
�
Матрицын нэмэх үйлдэлд дараах хуулиуд биелдэг.
1. 𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 + 𝐴𝐴 байр солих хууль
2. (𝐴𝐴 + 𝐵𝐵) + 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 + (𝐵𝐵 + 𝐶𝐶) хэсэгчлэн нэгтгэх хууль
4. Харин матрицүүдыг хооронд нь үржүүлэхдээ арай өөр байдлаар үржүүлнэ.
a. Хоёр матрицын нэгдүгээр матрицын баганын тоо хоёрдугаар матрицын
мөрийн тоотой тэнцүү байвал л хоёр матрицыг үржүүлнэ.
б. үржүүлээд гарсан үржвэр матриц нь нэгдүгээр матрицийн мөртэй тэнцүү
мөртэй хоёрдугаар матрицын баганатай тэнцүү баганатай матриц
гардаг.
в. Үржүүлэхдээ А матрицын мөрийн элементүүдийг В матрицийн баганын
элементүүдээр харгалзан үржүүлж нэмэх замаар үйлдлийг гүйцэтгэнэ
Эндээс матрицын үржүүлэх үйлдэлд үржүүлэхийн
1. 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴 байр солих хууль билэхгүй.
2. (AB)C=A(BC)
3. A(B+C)=AB+AC
4. (A+B)C=AC+BC дүрмүүд биелэнэ.
- Зарим үед 𝐴𝐴 ∙ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∙ 𝐴𝐴 байж болох ба тийм матриц нь нэг ижил эрэмбийн
диагональ матрицууд байдаг.

4. Жишээлбэл :










−
−
−
=
3017
2540
1321
A














−
−
=
79
51
23
45
B матрицуудын үржвэрийг ол.
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 









−−=










−⋅−+−⋅+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅+⋅
−⋅−+−⋅+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅+⋅
−⋅−+−⋅+⋅+⋅⋅−+⋅+⋅+⋅
=⋅
5111
31
05
7350214793103157
7255244092153450
7153224191133251
BA