Penerapan konsep dasar turunan dalam fungsi maksimalisasi

1. FUNGSI MAKSIMALISASI
Secara sederhana, maksimalisasi merupakan upaya
dalam menentukan nilai maksimum dan nilai
minimum suatu fungsi.
Input
Penerimaan
Biaya

2. Titik Stasionaritas
Titik
Minimum
Titik
Maksimum
Titik stasionaris
berarti titik tersebut
mempunyai nilai
gradient 0

3. Suatu fungsi
disebut Stasionaris
jika
𝑓′ 𝑥 = 0
Fungsi yang
Stasionaris
Jika
𝒇′′ 𝒂 > 𝟎,
maka
𝑓(𝑥) memiliki titik
minimum pada
𝑥 = 𝑎
Titik Minimum
Jika
𝒇′′ 𝒂 < 𝟎,
maka
𝑓(𝑥) memiliki titik
maksimum pada
𝑥 = 𝑎
Titik
Maksimum

4. Tentukan jenis titik stasionaritas fungsi
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 4𝑥 + 5!
CONTOH SOAL

5. SOLUSI
Langkah I: Menentukan
Turunan pertama dan
kedua
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 − 4
𝑓′′ 𝑥 = 2
(Turunan Pertama)
(Turunan Kedua)
Langkah 2:
Menentukan titik
stasionaritas
𝑓′ 𝑥 = 0
2𝑥 − 4 = 0
2𝑥 = 4
𝑥 = 2

6. Karena 𝑓′′ 2 = 2 (lebih besar
dari 0),
Langkah 3: Menentukan Jenis
Titik Stasionaritas
𝑓′′ 𝑥 = 2
𝑓′′ 2 = 2
maka fungsi tersebut
memiliki titik minimum
pada 𝑥 = 2.

7. Menentukan Output Maksimum
Turunan digunakan untuk menentukan input yang
dipakai dalam proses produksi agar mendapatkan
jumlah output maksimum.
“Pada pembahasan kali
ini akan dibahas contoh
input tenaga kerja”

8. Fungsi produksi suatu perusahaan adalah
𝑄 = 6𝐿2
− 0,2𝐿3
. Jika 𝐿 adalah jumlah pekerja,
tentukan jumlah pekerja yang dibutuhkan
untuk memaksimalkan output, kemudian
tentukan output maksimal yang dihasilkan!
CONTOH SOAL

9. SOLUSI
Langkah 1: Menentukan
Turunan Pertama dan Kedua
𝑓 𝐿 = 6𝐿2 − 0,2𝐿3
𝑓′ 𝐿 = 12𝐿 − 0,6𝐿2
𝑓′′ 𝐿 = 12 − 1,2𝐿
Langkah 2: Menentukan Titik
Stasionaritas
𝑓′ 𝐿 = 0
12𝐿 − 0,6𝐿2
= 0
𝐿(12 − 0,6𝐿) = 0
𝐿 = 0 atau 12 − 0,6𝐿 = 0
0,6𝐿 = 12
𝐿 = 20

10. 𝑄 = 800
Langkah 3: Menentukan
jumlah pekerja untuk output
maksimal
𝑓′′ 𝐿 = 12 − 1,2𝐿
𝑓′′ 20 = 12 − 1,2(20)
𝑓′′ 20 = 12 − 24
𝑓′′ 20 = −12
Karena −12 < 0, maka
fungsi memiliki nilai
maksimum pada 𝑥 = 20
Langkah 4: Menentukan
output maksimal
Karena fungsi tersebut
memiliki nilai maksimum
pada 𝑥 = 20, maka
𝑄 = 6𝐿2
− 0,2𝐿3
𝑄 = 6(20)2 − 0,2(20)3
𝑄 = 2400 − 1600

11. Menentukan Profit Maksimum
Turunan digunakan untuk menentukan barang
yang harus diprodukdi agar mendapatkan profit
maksimum.
“Penentuan profit maksimum
menggunakan persamaan
MR=MC”

12. Suatu perusahaan memiliki fungsi permintaan
yang dinyatakan dalam 𝑃 = 460 − 2𝑄 dan
fungsi biaya yang dinyatakan dalam 𝑇𝐶 = 20 +
0,5𝑄2.
• Berapakah yang harus dijual untuk
memaksimalkan profit?
• Berapakah jumalh profit maksimumnya?
CONTOH SOAL

13. 𝑀𝐶 = 𝑄
SOLUSI
Langkah 1:
Menentukan MR
𝑇𝑅 = 𝑃𝑄
𝑇𝑅 = 460 − 2𝑄 𝑄
𝑇𝑅 = 460𝑄 − 2𝑄2
𝑀𝑅 =
𝑑𝑇𝑅
𝑑𝑄
𝑀𝑅 = 460 − 4𝑄
Langkah 2: Menentukan MC
𝑇𝐶 = 20 + 0,5𝑄2
𝑀𝐶 =
𝑑𝑇𝐶
𝑑𝑄

14. = 21,140
Langkah 3:
Menentukan jumlah
output yang harus
terjual untuk
mendapatkan profit
maksimal
𝑀𝐶 = 𝑀𝑅
𝑄 = 460 − 4𝑄
𝑄 + 4𝑄 = 460
5𝑄 = 460
𝑄 = 92
Langkah 4: Menentukan Jumlah
Profit Maksimal
Profit = 𝑇𝑅 − 𝑇𝐶
= 460𝑄 − 2𝑄2 − (20 + 0,5𝑄2)
= −2𝑄2
− 0,5𝑄2
+ 460𝑄 − 20
= −2,5𝑄2
+ 460𝑄 − 20
= −2,5 92 2
+ 460(92) − 20
= −21,160 + 42,320 − 20